2020年天津市中考数学试卷 24页

2020 年天津市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）计算 30 ( 20)  的结果等于 ( ) A．10 B． 10 C．50 D． 50 2．（3 分） 2sin45 的值等于 ( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 3．（3 分）据 2020 年 6 月 24 日《天津日报》报道，6 月 23 日下午，第四届世界智能大会在 天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40 家直播网站及平台同时在线观 看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为 58600000 人．将 58600000 用科学记数法表示应为 ( ) A． 80.586 10 B． 75.86 10 C． 658.6 10 D． 5586 10 4．（3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称 图形的是 ( ) A． B． C． D． 5．（3 分）如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 ( ) A． B． C． D． 6．（3 分）估计 22 的值在 ( ) A．3 和 4 之间 B．4 和 5 之间 C．5 和 6 之间 D．6 和 7 之间 7．（3 分）方程组 2 4, 1 x y x y       的解是 ( ) A． 1 2 x y    B． 3 2 x y      C． 2 0 x y    D． 3 1 x y     8．（3 分）如图，四边形 OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是 (0,0) ，(0,6) ，点 C 在 第一象限，则点 C 的坐标是 ( ) A． (6,3) B． (3,6) C． (0,6) D． (6,6) 9．（3 分）计算 2 2 1 ( 1) ( 1) x x x   的结果是 ( ) A． 1 1x  B． 2 1 ( 1)x  C．1 D． 1x  10．（3 分）若点 1(A x ， 5) ， 2(B x ，2) ， 3(C x ，5) 都在反比例函数 10y x  的图象上，则 1x ， 2x ， 3x 的大小关系是 ( ) A． 1 2 3x x x  B． 2 3 1x x x  C． 1 3 2x x x  D． 3 1 2x x x  11．（3 分）如图，在 ABC 中， 90ACB   ，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 DEC ，使 点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上，点 A 的对应点为 D ，延长 DE 交 AB 于点 F ，则下列 结论一定正确的是 ( ) A． AC DE B． BC EF C． AEF D   D． AB DF 12．（3 分）已知抛物线 2 (y ax bx c a   ，b ，c 是常数， 0a  ， 1)c  经过点 (2,0) ，其对 称轴是直线 1 2x  ．有下列结论： ① 0abc  ； ②关于 x 的方程 2ax bx c a   有两个不等的实数根； ③ 1 2a   ． 其中，正确结论的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）计算 7 5x x x  的结果等于 ． 14．（3 分）计算 ( 7 1)( 7 1)  的结果等于 ． 15．（3 分）不透明袋子中装有 8 个球，其中有 3 个红球、5 个黑球，这些球除颜色外无其他 差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 ． 16．（3 分）将直线 2y x  向上平移 1 个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 17．（3 分）如图， ABCD 的顶点 C 在等边 BEF 的边 BF 上，点 E 在 AB 的延长线上，G 为 DE 的中点，连接 CG ．若 3AD  ， 2AB CF  ，则 CG 的长为 ． 18．（3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中， ABC 的顶点 A ， C 均落在格点 上，点 B 在网格线上，且 5 3AB  ． （Ⅰ）线段 AC 的长等于 ． （Ⅱ）以 BC 为直径的半圆与边 AC 相交于点 D ，若 P ， Q 分别为边 AC ， BC 上的动点， 当 BP PQ 取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 P ， Q ，并 简要说明点 P ， Q 的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8 分）解不等式组 3 2 1, 2 5 1 x x x      ① ② „ … 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 ． 20．（8 分）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位： )cm 进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为 ，图①中 m 的值为 ； （Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数． 21．（10 分）在 O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 P ， 63ABC   ． （Ⅰ）如图①，若 100APC  ，求 BAD 和 CDB 的大小； （Ⅱ）如图②，若 CD AB ，过点 D 作 O 的切线，与 AB 的延长线相交于点 E ，求 E 的 大小． 22．（10 分）如图，A ，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C ，连接 AC ，BC ．测得 221BC m ， 45ACB   ， 58ABC   ．根据测得的数据，求 AB 的长（结果取整数）． 参考数据： sin58 0.85  ， cos58 0.53  ， tan58 1.60  ． 23．（10 分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍 0.7km，图书馆 离宿舍1km ．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了 7min 到食堂；在食堂停留16min 吃早餐后， 匀速走了 5min 到图书馆；在图书馆停留 30min 借书后，匀速走了10min 返回宿舍．给出的 图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 ykm 与离开宿舍的时间 xmin 之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 离开宿舍的时 间 /min 2 5 20 23 30 离宿舍的距离 /km 0.2 0.7 （Ⅱ）填空： ①食堂到图书馆的距离为 km ； ②小亮从食堂到图书馆的速度为 /km min ； ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 /km min ； ④当小亮离宿舍的距离为 0.6km 时，他离开宿舍的时间为 min ． （Ⅲ）当 0 28x„ „ 时，请直接写出 y 关于 x 的函数解析式． 24．（10 分）将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中，点 (0,0)O ，点 (2,0)A ， 点 B 在第一象限， 90OAB  ， 30B  ，点 P 在边 OB 上（点 P 不与点 O ， B 重合）． （Ⅰ）如图①，当 1OP  时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 P ，并与 x 轴的正半轴相交于点 Q ，且OQ OP ， 点 O 的对应点为 O ，设 OP t ． ①如图②，若折叠后△ O PQ 与 OAB 重叠部分为四边形， O P ， O Q 分别与边 AB 相交于 点 C ， D ，试用含有 t 的式子表示 O D 的长，并直接写出 t 的取值范围； ②若折叠后△ O PQ 与 OAB 重叠部分的面积为 S ，当1 3t„ „ 时，求 S 的取值范围（直接写 出结果即可）． 25．（10 分）已知点 (1,0)A 是抛物线 2 (y ax bx m a   ，b ， m 为常数， 0a  ， 0)m  与 x 轴的一个交点． （Ⅰ）当 1a  ， 3m   时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）若抛物线与 x 轴的另一个交点为 ( ,0)M m ，与 y 轴的交点为 C ，过点 C 作直线 1 平行 于 x 轴， E 是直线 1 上的动点， F 是 y 轴上的动点， 2 2EF  ． ①当点 E 落在抛物线上（不与点 C 重合），且 AE EF 时，求点 F 的坐标； ②取 EF 的中点 N ，当 m 为何值时， MN 的最小值是 2 2 ？ 2020 年天津市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）计算 30 ( 20)  的结果等于 ( ) A．10 B． 10 C．50 D． 50 【解答】解： 30 ( 20) (30 20) 10      ． 故选： A ． 2．（3 分） 2sin45 的值等于 ( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 【解答】解： 22sin 45 2 22     ． 故选： B ． 3．（3 分）据 2020 年 6 月 24 日《天津日报》报道，6 月 23 日下午，第四届世界智能大会在 天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40 家直播网站及平台同时在线观 看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为 58600000 人．将 58600000 用科学记数法表示应为 ( ) A． 80.586 10 B． 75.86 10 C． 658.6 10 D． 5586 10 【解答】解： 758600000 5.86 10  ， 故选： B ． 4．（3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称 图形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A 、不是轴对称图形，不合题意； B 、不是轴对称图形，不合题意； C 、是轴对称图形，符合题意； D 、不是轴对称图形，不合题意； 故选： C ． 5．（3 分）如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：从正面看有两列，左列底层一个小正方形，右列三个小正方形． 故选： D ． 6．（3 分）估计 22 的值在 ( ) A．3 和 4 之间 B．4 和 5 之间 C．5 和 6 之间 D．6 和 7 之间 【解答】解： 16 22 25  ， 4 22 5   ， 故选： B ． 7．（3 分）方程组 2 4, 1 x y x y       的解是 ( ) A． 1 2 x y    B． 3 2 x y      C． 2 0 x y    D． 3 1 x y     【解答】解： 2 4 1 x y x y       ① ② ， ①  ②得： 3 3x  ， 解得： 1x  ， 把 1x  代入①得： 2y  ， 则方程组的解为 1 2 x y    ． 故选： A ． 8．（3 分）如图，四边形 OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是 (0,0) ，(0,6) ，点 C 在 第一象限，则点 C 的坐标是 ( ) A． (6,3) B． (3,6) C． (0,6) D． (6,6) 【解答】解：四边形 OBCD 是正方形， OB BC CD OD    ， 90CDO CBO     ， O ， D 两点的坐标分别是 (0,0) ， (0,6) ， 6OD  ， 6OB BC CD    ， (6,6)C ． 故选： D ． 9．（3 分）计算 2 2 1 ( 1) ( 1) x x x   的结果是 ( ) A． 1 1x  B． 2 1 ( 1)x  C．1 D． 1x  【解答】解：原式 2 1 1 ( 1) 1 x x x    ． 故选： A ． 10．（3 分）若点 1(A x ， 5) ， 2(B x ，2) ， 3(C x ，5) 都在反比例函数 10y x  的图象上，则 1x ， 2x ， 3x 的大小关系是 ( ) A． 1 2 3x x x  B． 2 3 1x x x  C． 1 3 2x x x  D． 3 1 2x x x  【解答】解：点 1(A x ， 5) ， 2(B x ， 2) ， 3(C x ， 5) 都在反比例函数 10y x  的图象上， 105 x   ，即 1 2x   ， 102 x  ，即 2 5x  ； 105 x  ，即 3 2x  ， 2 2 5   ， 1 3 2x x x   ； 故选： C ． 11．（3 分）如图，在 ABC 中， 90ACB   ，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 DEC ，使 点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上，点 A 的对应点为 D ，延长 DE 交 AB 于点 F ，则下列 结论一定正确的是 ( ) A． AC DE B． BC EF C． AEF D   D． AB DF 【解答】解：由旋转可得， ABC DEC   ， AC DC  ，故 A 选项错误， BC EC ，故 B 选项错误， AEF DEC B     ，故 C 选项错误， A D   ， 又 90ACB   ， 90A B     ， 90D B    ， 90BFD   ，即 DF AB ，故 D 选项正确， 故选： D ． 12．（3 分）已知抛物线 2 (y ax bx c a   ，b ，c 是常数， 0a  ， 1)c  经过点 (2,0) ，其对 称轴是直线 1 2x  ．有下列结论： ① 0abc  ； ②关于 x 的方程 2ax bx c a   有两个不等的实数根； ③ 1 2a   ． 其中，正确结论的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 1 2x  ， 而点 (2,0) 关于直线 1 2x  的对称点的坐标为 ( 1,0) ， 1c  ， 抛物线开口向下， 0a  ， 抛物线对称轴为直线 1 2x  ， 1 2 2 b a   ， 0b a    ， 0abc  ，故①错误； 抛物线开口向下，与 x 轴有两个交点， 顶点在 x 轴的上方， 0a  ， 抛物线与直线 y a 有两个交点， 关于 x 的方程 2ax bx c a   有两个不等的实数根；故②正确； 抛物线 2y ax bx c   经过点 (2,0) ， 4 2 0a b c    ， b a  ， 4 2 0a a c    ，即 2 0a c  ， 2a c  ， 1c  ， 2 1a  ， 1 2a   ，故③正确， 故选： C ． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）计算 7 5x x x  的结果等于 3x ． 【解答】解： 7 5 (1 7 5) 3x x x x x      ． 故答案为： 3x ． 14．（3 分）计算 ( 7 1)( 7 1)  的结果等于 6 ． 【解答】解：原式 2 2( 7) 1 7 1 6     ． 故答案是：6． 15．（3 分）不透明袋子中装有 8 个球，其中有 3 个红球、5 个黑球，这些球除颜色外无其他 差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 3 8 ． 【解答】解：袋子中装有 8 个小球，其中红球有 3 个， 从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 3 8 ． 故答案为： 3 8 ． 16．（3 分）将直线 2y x  向上平移 1 个单位长度，平移后直线的解析式为 2 1y x   ． 【解答】解：将直线 2y x  向上平移 1 个单位，得到的直线的解析式为 2 1y x   ． 故答案为 2 1y x   ． 17．（3 分）如图， ABCD 的顶点 C 在等边 BEF 的边 BF 上，点 E 在 AB 的延长线上，G 为 DE 的中点，连接 CG ．若 3AD  ， 2AB CF  ，则 CG 的长为 3 2 ． 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC  ， CD AB ， / /DC AB ， 3AD  ， 2AB CF  ， 2CD  ， 3BC  ， 5BF BC CF    ， BEF 是等边三角形， G 为 DE 的中点， 5BF BE   ， DG EG ， 延长 CG 交 BE 于点 H ， / /DC AB ， CDG HEG   ， 在 DCG 和 EHG 中， CDG HEG DG EG DGC EGH         ， ( )DCG EHG ASA   ， DC EH  ， CG HG ， 2CD  ， 5BE  ， 2HE  ， 3BH  ， 60CBH   ， 3BC BH  ， CBH 是等边三角形， 3CH BC   ， 1 3 2 2CG CH   ， 故答案为： 3 2 ． 18．（3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中， ABC 的顶点 A ， C 均落在格点 上，点 B 在网格线上，且 5 3AB  ． （Ⅰ）线段 AC 的长等于 13 ． （Ⅱ）以 BC 为直径的半圆与边 AC 相交于点 D ，若 P ， Q 分别为边 AC ， BC 上的动点， 当 BP PQ 取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 P ， Q ，并 简要说明点 P ， Q 的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【解答】解：（Ⅰ）线段 AC 的长等于 2 23 2 13  ； （Ⅱ）如图，取格点 M ， N ，连接 MN ， 连接 BD 并延长，与 MN 相交于点 B ， 连接 B C ，与半圆相交于点 E ，连接 BE ， 与 AC 相交于点 P ，连接 B P 并延长，与 BC 相交于点 Q ， 则点 P ， Q 即为所求． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8 分）解不等式组 3 2 1, 2 5 1 x x x      ① ② „ … 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 1x„ ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 ． 【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得 1x„ ； （Ⅱ）解不等式②，得 3x … ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 3 1x „ „ ． 故答案为： 1x„ ， 3x … ， 3 1x „ „ ． 20．（8 分）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位： )cm 进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为 25 ，图①中 m 的值为 ； （Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数． 【解答】解：（Ⅰ）本次抽取的麦苗有： 2 8% 25  （株 ) ， % 1 8% 12% 16% 40% 24%m       ， 故答案为：25，24； （Ⅱ）平均数是： 13 2 14 3 15 4 16 10 17 6 15.625x           ， 众数是 16， 中位数是 16． 21．（10 分）在 O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 P ， 63ABC   ． （Ⅰ）如图①，若 100APC  ，求 BAD 和 CDB 的大小； （Ⅱ）如图②，若 CD AB ，过点 D 作 O 的切线，与 AB 的延长线相交于点 E ，求 E 的 大小． 【解答】解：（1） APC 是 PBC 的一个外角， 100 63 37C APC ABC          ， 由圆周角定理得： 37BAD C    ， 63ADC B     ， AB 是 O 的直径， 90ADB   ， 90 63 27CDB ADB ADC          ； （2）连接 OD ，如图②所示： CD AB ， 90CPB   ， 90 90 63 27PCB ABC         ， DE 是 O 的切线， DE OD  ， 90ODE   ， 2 54BOD PCB     ， 90 90 54 36E BOD          ． 22．（10 分）如图，A ，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C ，连接 AC ，BC ．测得 221BC m ， 45ACB   ， 58ABC   ．根据测得的数据，求 AB 的长（结果取整数）． 参考数据： sin58 0.85  ， cos58 0.53  ， tan58 1.60  ． 【解答】解：如图，过点 A 作 AD BC ，垂足为 D ， 45ACB   ， AD CD  ， 设 AB x ， 在 Rt ADB 中， sin58 0.85AD AB x   ， cos58 0.53BD AB x   ， 又 221BC  ，即 221CD BD  ， 0.85 0.53 221x x   ， 解得， 160x  ， 答： AB 的长约为160m ． 23．（10 分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍 0.7km，图书馆 离宿舍1km ．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了 7min 到食堂；在食堂停留16min 吃早餐后， 匀速走了 5min 到图书馆；在图书馆停留 30min 借书后，匀速走了10min 返回宿舍．给出的 图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 ykm 与离开宿舍的时间 xmin 之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 离开宿舍的时 间 /min 2 5 20 23 30 离宿舍的距离 /km 0.2 0.5 0.7 （Ⅱ）填空： ①食堂到图书馆的距离为 km ； ②小亮从食堂到图书馆的速度为 /km min ； ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 /km min ； ④当小亮离宿舍的距离为 0.6km 时，他离开宿舍的时间为 min ． （Ⅲ）当 0 28x„ „ 时，请直接写出 y 关于 x 的函数解析式． 【解答】解：（Ⅰ）由图象可得， 在前 7 分钟的速度为 0.7 7 0.1( / )km min  ， 故当 2x  时，离宿舍的距离为 0.1 2 0.2( )km  ， 在 7 23x„ „ 时，距离不变，都是 0.7km ，故当 23x  时，离宿舍的距离为 0.7km ， 在 28 58x„ „ 时，距离不变，都是1km ，故当 30x  时，离宿舍的距离为1km ， 故答案为：0.2，0.7，1； （Ⅱ）由图象可得， ①食堂到图书馆的距离为1 0.7 0.3( )km  ， 故答案为：0.3； ②小亮从食堂到图书馆的速度为： 0.3 (28 23) 0.06( / )km min   ， 故答案为：0.06； ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为：1 (68 58) 0.1( / )km min   ， 故答案为：0.1； ④当 0 7x„ „ 时， 小亮离宿舍的距离为 0.6km 时，他离开宿舍的时间为 0.6 0.1 6( )min  ， 当 58 68x„ „ 时， 小亮离宿舍的距离为 0.6km 时，他离开宿舍的时间为 (1 0.6) 0.1 58 62( )min    ， 故答案为：6 或 62； （Ⅲ）由图象可得， 当 0 7x„ „ 时， 0.1y x ； 当 7 23x „ 时， 0.7y  ； 当 23 28x „ 时，设 y kx b  ， 23 0.7 28 1 k b k b      ，得 0.06 0.68 k b     ， 即当 23 28x „ 时， 0.06 0.68y x  ； 由上可得，当 0 28x„ „ 时， y 关于 x 的函数解析式是 0.1 (0 7) 0.7 (7 23) 0.06 0.68 (23 28) x x y x x x        „ „ „ ． 24．（10 分）将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中，点 (0,0)O ，点 (2,0)A ， 点 B 在第一象限， 90OAB  ， 30B  ，点 P 在边 OB 上（点 P 不与点 O ， B 重合）． （Ⅰ）如图①，当 1OP  时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 P ，并与 x 轴的正半轴相交于点 Q ，且OQ OP ， 点 O 的对应点为 O ，设 OP t ． ①如图②，若折叠后△ O PQ 与 OAB 重叠部分为四边形， O P ， O Q 分别与边 AB 相交于 点 C ， D ，试用含有 t 的式子表示 O D 的长，并直接写出 t 的取值范围； ②若折叠后△ O PQ 与 OAB 重叠部分的面积为 S ，当1 3t„ „ 时，求 S 的取值范围（直接写 出结果即可）． 【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点 P 作 PH OA 于 H ． 90OAB   ， 30B  ， 90 30 60BOA      ， 90 60 30OPH       ， 1OP  ， 1 1 2 2OH OP   ， 3cos30 2PH OP   ， 1(2P ， 3)2 ． （Ⅱ）①如图②中， 由折叠可知，△ O PQ OPQ   ， OP O P   ， OQ O Q  ， OP OQ t  ， OP OQ O P O Q      ， 四边形 OPO Q 是菱形， / /QO OB  ， 30ADQ B     ， (2,0)A ， 2OA  ， 2QA t  ， 在 Rt AQD 中， 2 4 2DQ QA t   ， 3 4O D O Q QD t      ，  4 23 t  ． ②①当点 O 落在 AB 上时，重叠部分是 PQO  ，此时 2 3t  ， 23 2 3( )4 3 9S    ， 当 2 23 t „ 时，重叠部分是四边形 PQDC ， 2 2 23 3 7 3(3 4) 3 3 2 34 8 8S t t t t       ， 当 3 3 12 77 32 ( )8 x      时， S 有最大值，最大值 4 3 4  ， 当 1t  时， 3 4S  ，当 3t  时， 1 1 3 3 2 2 2 8S     ， 综上所述， 3 4 3 8 7S„ „ ． 25．（10 分）已知点 (1,0)A 是抛物线 2 (y ax bx m a   ，b ， m 为常数， 0a  ， 0)m  与 x 轴的一个交点． （Ⅰ）当 1a  ， 3m   时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）若抛物线与 x 轴的另一个交点为 ( ,0)M m ，与 y 轴的交点为 C ，过点 C 作直线 1 平行 于 x 轴， E 是直线 1 上的动点， F 是 y 轴上的动点， 2 2EF  ． ①当点 E 落在抛物线上（不与点 C 重合），且 AE EF 时，求点 F 的坐标； ②取 EF 的中点 N ，当 m 为何值时， MN 的最小值是 2 2 ？ 【解答】解：（Ⅰ）当 1a  ， 3m   时，抛物线的解析式为 2 3y x bx   ． 抛物线经过点 (1,0)A ， 0 1 3b    ， 解得 2b  ， 抛物线的解析式为 2 2 3y x x   ． 2 22 3 ( 1) 4y x x x      ， 抛物线的顶点坐标为 ( 1, 4)  ． （Ⅱ）①抛物线 2y ax bx m   经过点 (1,0)A 和 ( ,0)M m ， 0m  ， 0 a b m    ， 20 am bm m   ，即 1 0am b   ． 1a  ， 1b m   ． 抛物线的解析式为 2 ( 1)y x m x m    ． 根据题意得，点 (0, )C m ，点 ( 1, )E m m ， 过点 A 作 AH l 于点 H ，由点 (1,0)A ，得点 (1, )H m ． 在 Rt EAH 中， 1 ( 1)EH m m     ， 0HA m m    ， 2 2 2AE EH HA m     ， 2 2AE EF  ， 2 2 2m  ， 解得 2m   ． 此时，点 ( 1, 2)E   ，点 (0, 2)C  ，有 1EC  ． 点 F 在 y 轴上， 在 Rt EFC 中， 2 2 7CF EF EC   ． 点 F 的坐标为 (0, 2 7)  或 (0, 2 7)  ． ②由 N 是 EF 的中点，得 1 22CN EF  ． 根据题意，点 N 在以点 C 为圆心、 2 为半径的圆上， 由点 ( ,0)M m ，点 (0, )C m ，得 MO m  ， CO m  ， 在 Rt MCO 中， 2 2 2MC MO CO m    ． 当 2MC… ，即 1m „ 时，满足条件的点 N 在线段 MC 上． MN 的最小值为 22 2 2MC NC m     ，解得 3 2m   ； 当 2MC  ，即 1 0m   时，满足条件的点 N 落在线段CM 的延长线上，MN 的最小值为 22 ( 2 ) 2NC MC m     ， 解得 1 2m   ． 当 m 的值为 3 2  或 1 2  时， MN 的最小值是 2 2 ．