• 1.66 MB
  • 2021-11-11 发布

2020年天津市中考数学试卷

  • 24页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
2020 年天津市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.(3 分)计算 30 ( 20)  的结果等于 ( ) A.10 B. 10 C.50 D. 50 2.(3 分) 2sin45 的值等于 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 3.(3 分)据 2020 年 6 月 24 日《天津日报》报道,6 月 23 日下午,第四届世界智能大会在 天津开幕.本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现,40 家直播网站及平台同时在线观 看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为 58600000 人.将 58600000 用科学记数法表示应为 ( ) A. 80.586 10 B. 75.86 10 C. 658.6 10 D. 5586 10 4.(3 分)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面 4 个汉字中,可以看作是轴对称 图形的是 ( ) A. B. C. D. 5.(3 分)如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 6.(3 分)估计 22 的值在 ( ) A.3 和 4 之间 B.4 和 5 之间 C.5 和 6 之间 D.6 和 7 之间 7.(3 分)方程组 2 4, 1 x y x y       的解是 ( ) A. 1 2 x y    B. 3 2 x y      C. 2 0 x y    D. 3 1 x y     8.(3 分)如图,四边形 OBCD 是正方形,O ,D 两点的坐标分别是 (0,0) ,(0,6) ,点 C 在 第一象限,则点 C 的坐标是 ( ) A. (6,3) B. (3,6) C. (0,6) D. (6,6) 9.(3 分)计算 2 2 1 ( 1) ( 1) x x x   的结果是 ( ) A. 1 1x  B. 2 1 ( 1)x  C.1 D. 1x  10.(3 分)若点 1(A x , 5) , 2(B x ,2) , 3(C x ,5) 都在反比例函数 10y x  的图象上,则 1x , 2x , 3x 的大小关系是 ( ) A. 1 2 3x x x  B. 2 3 1x x x  C. 1 3 2x x x  D. 3 1 2x x x  11.(3 分)如图,在 ABC 中, 90ACB   ,将 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 DEC ,使 点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上,点 A 的对应点为 D ,延长 DE 交 AB 于点 F ,则下列 结论一定正确的是 ( ) A. AC DE B. BC EF C. AEF D   D. AB DF 12.(3 分)已知抛物线 2 (y ax bx c a   ,b ,c 是常数, 0a  , 1)c  经过点 (2,0) ,其对 称轴是直线 1 2x  .有下列结论: ① 0abc  ; ②关于 x 的方程 2ax bx c a   有两个不等的实数根; ③ 1 2a   . 其中,正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.(3 分)计算 7 5x x x  的结果等于 . 14.(3 分)计算 ( 7 1)( 7 1)  的结果等于 . 15.(3 分)不透明袋子中装有 8 个球,其中有 3 个红球、5 个黑球,这些球除颜色外无其他 差别.从袋子中随机取出 1 个球,则它是红球的概率是 . 16.(3 分)将直线 2y x  向上平移 1 个单位长度,平移后直线的解析式为 . 17.(3 分)如图, ABCD 的顶点 C 在等边 BEF 的边 BF 上,点 E 在 AB 的延长线上,G 为 DE 的中点,连接 CG .若 3AD  , 2AB CF  ,则 CG 的长为 . 18.(3 分)如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中, ABC 的顶点 A , C 均落在格点 上,点 B 在网格线上,且 5 3AB  . (Ⅰ)线段 AC 的长等于 . (Ⅱ)以 BC 为直径的半圆与边 AC 相交于点 D ,若 P , Q 分别为边 AC , BC 上的动点, 当 BP PQ 取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点 P , Q ,并 简要说明点 P , Q 的位置是如何找到的(不要求证明) . 三、解答题(本大题共 7 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19.(8 分)解不等式组 3 2 1, 2 5 1 x x x      ① ② „ … 请结合题意填空,完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①,得 ; (Ⅱ)解不等式②,得 ; (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (Ⅳ)原不等式组的解集为 . 20.(8 分)农科院为了解某种小麦的长势,从中随机抽取了部分麦苗,对苗高(单位: )cm 进行了测量.根据统计的结果,绘制出如图的统计图①和图②. 请根据相关信息,解答下列问题: (Ⅰ)本次抽取的麦苗的株数为 ,图①中 m 的值为 ; (Ⅱ)求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数. 21.(10 分)在 O 中,弦 CD 与直径 AB 相交于点 P , 63ABC   . (Ⅰ)如图①,若 100APC  ,求 BAD 和 CDB 的大小; (Ⅱ)如图②,若 CD AB ,过点 D 作 O 的切线,与 AB 的延长线相交于点 E ,求 E 的 大小. 22.(10 分)如图,A ,B 两点被池塘隔开,在 AB 外选一点 C ,连接 AC ,BC .测得 221BC m , 45ACB   , 58ABC   .根据测得的数据,求 AB 的长(结果取整数). 参考数据: sin58 0.85  , cos58 0.53  , tan58 1.60  . 23.(10 分)在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境. 已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上,食堂离宿舍 0.7km,图书馆 离宿舍1km .周末,小亮从宿舍出发,匀速走了 7min 到食堂;在食堂停留16min 吃早餐后, 匀速走了 5min 到图书馆;在图书馆停留 30min 借书后,匀速走了10min 返回宿舍.给出的 图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 ykm 与离开宿舍的时间 xmin 之间的对应关系. 请根据相关信息,解答下列问题: (Ⅰ)填表: 离开宿舍的时 间 /min 2 5 20 23 30 离宿舍的距离 /km 0.2 0.7 (Ⅱ)填空: ①食堂到图书馆的距离为 km ; ②小亮从食堂到图书馆的速度为 /km min ; ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 /km min ; ④当小亮离宿舍的距离为 0.6km 时,他离开宿舍的时间为 min . (Ⅲ)当 0 28x„ „ 时,请直接写出 y 关于 x 的函数解析式. 24.(10 分)将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中,点 (0,0)O ,点 (2,0)A , 点 B 在第一象限, 90OAB  , 30B  ,点 P 在边 OB 上(点 P 不与点 O , B 重合). (Ⅰ)如图①,当 1OP  时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点 P ,并与 x 轴的正半轴相交于点 Q ,且OQ OP , 点 O 的对应点为 O ,设 OP t . ①如图②,若折叠后△ O PQ 与 OAB 重叠部分为四边形, O P , O Q 分别与边 AB 相交于 点 C , D ,试用含有 t 的式子表示 O D 的长,并直接写出 t 的取值范围; ②若折叠后△ O PQ 与 OAB 重叠部分的面积为 S ,当1 3t„ „ 时,求 S 的取值范围(直接写 出结果即可). 25.(10 分)已知点 (1,0)A 是抛物线 2 (y ax bx m a   ,b , m 为常数, 0a  , 0)m  与 x 轴的一个交点. (Ⅰ)当 1a  , 3m   时,求该抛物线的顶点坐标; (Ⅱ)若抛物线与 x 轴的另一个交点为 ( ,0)M m ,与 y 轴的交点为 C ,过点 C 作直线 1 平行 于 x 轴, E 是直线 1 上的动点, F 是 y 轴上的动点, 2 2EF  . ①当点 E 落在抛物线上(不与点 C 重合),且 AE EF 时,求点 F 的坐标; ②取 EF 的中点 N ,当 m 为何值时, MN 的最小值是 2 2 ? 2020 年天津市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.(3 分)计算 30 ( 20)  的结果等于 ( ) A.10 B. 10 C.50 D. 50 【解答】解: 30 ( 20) (30 20) 10      . 故选: A . 2.(3 分) 2sin45 的值等于 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 【解答】解: 22sin 45 2 22     . 故选: B . 3.(3 分)据 2020 年 6 月 24 日《天津日报》报道,6 月 23 日下午,第四届世界智能大会在 天津开幕.本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现,40 家直播网站及平台同时在线观 看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为 58600000 人.将 58600000 用科学记数法表示应为 ( ) A. 80.586 10 B. 75.86 10 C. 658.6 10 D. 5586 10 【解答】解: 758600000 5.86 10  , 故选: B . 4.(3 分)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面 4 个汉字中,可以看作是轴对称 图形的是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解: A 、不是轴对称图形,不合题意; B 、不是轴对称图形,不合题意; C 、是轴对称图形,符合题意; D 、不是轴对称图形,不合题意; 故选: C . 5.(3 分)如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解:从正面看有两列,左列底层一个小正方形,右列三个小正方形. 故选: D . 6.(3 分)估计 22 的值在 ( ) A.3 和 4 之间 B.4 和 5 之间 C.5 和 6 之间 D.6 和 7 之间 【解答】解: 16 22 25  , 4 22 5   , 故选: B . 7.(3 分)方程组 2 4, 1 x y x y       的解是 ( ) A. 1 2 x y    B. 3 2 x y      C. 2 0 x y    D. 3 1 x y     【解答】解: 2 4 1 x y x y       ① ② , ①  ②得: 3 3x  , 解得: 1x  , 把 1x  代入①得: 2y  , 则方程组的解为 1 2 x y    . 故选: A . 8.(3 分)如图,四边形 OBCD 是正方形,O ,D 两点的坐标分别是 (0,0) ,(0,6) ,点 C 在 第一象限,则点 C 的坐标是 ( ) A. (6,3) B. (3,6) C. (0,6) D. (6,6) 【解答】解:四边形 OBCD 是正方形, OB BC CD OD    , 90CDO CBO     , O , D 两点的坐标分别是 (0,0) , (0,6) , 6OD  , 6OB BC CD    , (6,6)C . 故选: D . 9.(3 分)计算 2 2 1 ( 1) ( 1) x x x   的结果是 ( ) A. 1 1x  B. 2 1 ( 1)x  C.1 D. 1x  【解答】解:原式 2 1 1 ( 1) 1 x x x    . 故选: A . 10.(3 分)若点 1(A x , 5) , 2(B x ,2) , 3(C x ,5) 都在反比例函数 10y x  的图象上,则 1x , 2x , 3x 的大小关系是 ( ) A. 1 2 3x x x  B. 2 3 1x x x  C. 1 3 2x x x  D. 3 1 2x x x  【解答】解:点 1(A x , 5) , 2(B x , 2) , 3(C x , 5) 都在反比例函数 10y x  的图象上, 105 x   ,即 1 2x   , 102 x  ,即 2 5x  ; 105 x  ,即 3 2x  , 2 2 5   , 1 3 2x x x   ; 故选: C . 11.(3 分)如图,在 ABC 中, 90ACB   ,将 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 DEC ,使 点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上,点 A 的对应点为 D ,延长 DE 交 AB 于点 F ,则下列 结论一定正确的是 ( ) A. AC DE B. BC EF C. AEF D   D. AB DF 【解答】解:由旋转可得, ABC DEC   , AC DC  ,故 A 选项错误, BC EC ,故 B 选项错误, AEF DEC B     ,故 C 选项错误, A D   , 又 90ACB   , 90A B     , 90D B    , 90BFD   ,即 DF AB ,故 D 选项正确, 故选: D . 12.(3 分)已知抛物线 2 (y ax bx c a   ,b ,c 是常数, 0a  , 1)c  经过点 (2,0) ,其对 称轴是直线 1 2x  .有下列结论: ① 0abc  ; ②关于 x 的方程 2ax bx c a   有两个不等的实数根; ③ 1 2a   . 其中,正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解答】解:抛物线的对称轴为直线 1 2x  , 而点 (2,0) 关于直线 1 2x  的对称点的坐标为 ( 1,0) , 1c  , 抛物线开口向下, 0a  , 抛物线对称轴为直线 1 2x  , 1 2 2 b a   , 0b a    , 0abc  ,故①错误; 抛物线开口向下,与 x 轴有两个交点, 顶点在 x 轴的上方, 0a  , 抛物线与直线 y a 有两个交点, 关于 x 的方程 2ax bx c a   有两个不等的实数根;故②正确; 抛物线 2y ax bx c   经过点 (2,0) , 4 2 0a b c    , b a  , 4 2 0a a c    ,即 2 0a c  , 2a c  , 1c  , 2 1a  , 1 2a   ,故③正确, 故选: C . 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.(3 分)计算 7 5x x x  的结果等于 3x . 【解答】解: 7 5 (1 7 5) 3x x x x x      . 故答案为: 3x . 14.(3 分)计算 ( 7 1)( 7 1)  的结果等于 6 . 【解答】解:原式 2 2( 7) 1 7 1 6     . 故答案是:6. 15.(3 分)不透明袋子中装有 8 个球,其中有 3 个红球、5 个黑球,这些球除颜色外无其他 差别.从袋子中随机取出 1 个球,则它是红球的概率是 3 8 . 【解答】解:袋子中装有 8 个小球,其中红球有 3 个, 从袋子中随机取出 1 个球,则它是红球的概率是 3 8 . 故答案为: 3 8 . 16.(3 分)将直线 2y x  向上平移 1 个单位长度,平移后直线的解析式为 2 1y x   . 【解答】解:将直线 2y x  向上平移 1 个单位,得到的直线的解析式为 2 1y x   . 故答案为 2 1y x   . 17.(3 分)如图, ABCD 的顶点 C 在等边 BEF 的边 BF 上,点 E 在 AB 的延长线上,G 为 DE 的中点,连接 CG .若 3AD  , 2AB CF  ,则 CG 的长为 3 2 . 【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形, AD BC  , CD AB , / /DC AB , 3AD  , 2AB CF  , 2CD  , 3BC  , 5BF BC CF    , BEF 是等边三角形, G 为 DE 的中点, 5BF BE   , DG EG , 延长 CG 交 BE 于点 H , / /DC AB , CDG HEG   , 在 DCG 和 EHG 中, CDG HEG DG EG DGC EGH         , ( )DCG EHG ASA   , DC EH  , CG HG , 2CD  , 5BE  , 2HE  , 3BH  , 60CBH   , 3BC BH  , CBH 是等边三角形, 3CH BC   , 1 3 2 2CG CH   , 故答案为: 3 2 . 18.(3 分)如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中, ABC 的顶点 A , C 均落在格点 上,点 B 在网格线上,且 5 3AB  . (Ⅰ)线段 AC 的长等于 13 . (Ⅱ)以 BC 为直径的半圆与边 AC 相交于点 D ,若 P , Q 分别为边 AC , BC 上的动点, 当 BP PQ 取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点 P , Q ,并 简要说明点 P , Q 的位置是如何找到的(不要求证明) . 【解答】解:(Ⅰ)线段 AC 的长等于 2 23 2 13  ; (Ⅱ)如图,取格点 M , N ,连接 MN , 连接 BD 并延长,与 MN 相交于点 B , 连接 B C ,与半圆相交于点 E ,连接 BE , 与 AC 相交于点 P ,连接 B P 并延长,与 BC 相交于点 Q , 则点 P , Q 即为所求. 三、解答题(本大题共 7 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19.(8 分)解不等式组 3 2 1, 2 5 1 x x x      ① ② „ … 请结合题意填空,完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①,得 1x„ ; (Ⅱ)解不等式②,得 ; (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (Ⅳ)原不等式组的解集为 . 【解答】解:(Ⅰ)解不等式①,得 1x„ ; (Ⅱ)解不等式②,得 3x … ; (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (Ⅳ)原不等式组的解集为 3 1x „ „ . 故答案为: 1x„ , 3x … , 3 1x „ „ . 20.(8 分)农科院为了解某种小麦的长势,从中随机抽取了部分麦苗,对苗高(单位: )cm 进行了测量.根据统计的结果,绘制出如图的统计图①和图②. 请根据相关信息,解答下列问题: (Ⅰ)本次抽取的麦苗的株数为 25 ,图①中 m 的值为 ; (Ⅱ)求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数. 【解答】解:(Ⅰ)本次抽取的麦苗有: 2 8% 25  (株 ) , % 1 8% 12% 16% 40% 24%m       , 故答案为:25,24; (Ⅱ)平均数是: 13 2 14 3 15 4 16 10 17 6 15.625x           , 众数是 16, 中位数是 16. 21.(10 分)在 O 中,弦 CD 与直径 AB 相交于点 P , 63ABC   . (Ⅰ)如图①,若 100APC  ,求 BAD 和 CDB 的大小; (Ⅱ)如图②,若 CD AB ,过点 D 作 O 的切线,与 AB 的延长线相交于点 E ,求 E 的 大小. 【解答】解:(1) APC 是 PBC 的一个外角, 100 63 37C APC ABC          , 由圆周角定理得: 37BAD C    , 63ADC B     , AB 是 O 的直径, 90ADB   , 90 63 27CDB ADB ADC          ; (2)连接 OD ,如图②所示: CD AB , 90CPB   , 90 90 63 27PCB ABC         , DE 是 O 的切线, DE OD  , 90ODE   , 2 54BOD PCB     , 90 90 54 36E BOD          . 22.(10 分)如图,A ,B 两点被池塘隔开,在 AB 外选一点 C ,连接 AC ,BC .测得 221BC m , 45ACB   , 58ABC   .根据测得的数据,求 AB 的长(结果取整数). 参考数据: sin58 0.85  , cos58 0.53  , tan58 1.60  . 【解答】解:如图,过点 A 作 AD BC ,垂足为 D , 45ACB   , AD CD  , 设 AB x , 在 Rt ADB 中, sin58 0.85AD AB x   , cos58 0.53BD AB x   , 又 221BC  ,即 221CD BD  , 0.85 0.53 221x x   , 解得, 160x  , 答: AB 的长约为160m . 23.(10 分)在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境. 已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上,食堂离宿舍 0.7km,图书馆 离宿舍1km .周末,小亮从宿舍出发,匀速走了 7min 到食堂;在食堂停留16min 吃早餐后, 匀速走了 5min 到图书馆;在图书馆停留 30min 借书后,匀速走了10min 返回宿舍.给出的 图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 ykm 与离开宿舍的时间 xmin 之间的对应关系. 请根据相关信息,解答下列问题: (Ⅰ)填表: 离开宿舍的时 间 /min 2 5 20 23 30 离宿舍的距离 /km 0.2 0.5 0.7 (Ⅱ)填空: ①食堂到图书馆的距离为 km ; ②小亮从食堂到图书馆的速度为 /km min ; ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 /km min ; ④当小亮离宿舍的距离为 0.6km 时,他离开宿舍的时间为 min . (Ⅲ)当 0 28x„ „ 时,请直接写出 y 关于 x 的函数解析式. 【解答】解:(Ⅰ)由图象可得, 在前 7 分钟的速度为 0.7 7 0.1( / )km min  , 故当 2x  时,离宿舍的距离为 0.1 2 0.2( )km  , 在 7 23x„ „ 时,距离不变,都是 0.7km ,故当 23x  时,离宿舍的距离为 0.7km , 在 28 58x„ „ 时,距离不变,都是1km ,故当 30x  时,离宿舍的距离为1km , 故答案为:0.2,0.7,1; (Ⅱ)由图象可得, ①食堂到图书馆的距离为1 0.7 0.3( )km  , 故答案为:0.3; ②小亮从食堂到图书馆的速度为: 0.3 (28 23) 0.06( / )km min   , 故答案为:0.06; ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为:1 (68 58) 0.1( / )km min   , 故答案为:0.1; ④当 0 7x„ „ 时, 小亮离宿舍的距离为 0.6km 时,他离开宿舍的时间为 0.6 0.1 6( )min  , 当 58 68x„ „ 时, 小亮离宿舍的距离为 0.6km 时,他离开宿舍的时间为 (1 0.6) 0.1 58 62( )min    , 故答案为:6 或 62; (Ⅲ)由图象可得, 当 0 7x„ „ 时, 0.1y x ; 当 7 23x „ 时, 0.7y  ; 当 23 28x „ 时,设 y kx b  , 23 0.7 28 1 k b k b      ,得 0.06 0.68 k b     , 即当 23 28x „ 时, 0.06 0.68y x  ; 由上可得,当 0 28x„ „ 时, y 关于 x 的函数解析式是 0.1 (0 7) 0.7 (7 23) 0.06 0.68 (23 28) x x y x x x        „ „ „ . 24.(10 分)将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中,点 (0,0)O ,点 (2,0)A , 点 B 在第一象限, 90OAB  , 30B  ,点 P 在边 OB 上(点 P 不与点 O , B 重合). (Ⅰ)如图①,当 1OP  时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点 P ,并与 x 轴的正半轴相交于点 Q ,且OQ OP , 点 O 的对应点为 O ,设 OP t . ①如图②,若折叠后△ O PQ 与 OAB 重叠部分为四边形, O P , O Q 分别与边 AB 相交于 点 C , D ,试用含有 t 的式子表示 O D 的长,并直接写出 t 的取值范围; ②若折叠后△ O PQ 与 OAB 重叠部分的面积为 S ,当1 3t„ „ 时,求 S 的取值范围(直接写 出结果即可). 【解答】解:(Ⅰ)如图①中,过点 P 作 PH OA 于 H . 90OAB   , 30B  , 90 30 60BOA      , 90 60 30OPH       , 1OP  , 1 1 2 2OH OP   , 3cos30 2PH OP   , 1(2P , 3)2 . (Ⅱ)①如图②中, 由折叠可知,△ O PQ OPQ   , OP O P   , OQ O Q  , OP OQ t  , OP OQ O P O Q      , 四边形 OPO Q 是菱形, / /QO OB  , 30ADQ B     , (2,0)A , 2OA  , 2QA t  , 在 Rt AQD 中, 2 4 2DQ QA t   , 3 4O D O Q QD t      ,  4 23 t  . ②①当点 O 落在 AB 上时,重叠部分是 PQO  ,此时 2 3t  , 23 2 3( )4 3 9S    , 当 2 23 t „ 时,重叠部分是四边形 PQDC , 2 2 23 3 7 3(3 4) 3 3 2 34 8 8S t t t t       , 当 3 3 12 77 32 ( )8 x      时, S 有最大值,最大值 4 3 4  , 当 1t  时, 3 4S  ,当 3t  时, 1 1 3 3 2 2 2 8S     , 综上所述, 3 4 3 8 7S„ „ . 25.(10 分)已知点 (1,0)A 是抛物线 2 (y ax bx m a   ,b , m 为常数, 0a  , 0)m  与 x 轴的一个交点. (Ⅰ)当 1a  , 3m   时,求该抛物线的顶点坐标; (Ⅱ)若抛物线与 x 轴的另一个交点为 ( ,0)M m ,与 y 轴的交点为 C ,过点 C 作直线 1 平行 于 x 轴, E 是直线 1 上的动点, F 是 y 轴上的动点, 2 2EF  . ①当点 E 落在抛物线上(不与点 C 重合),且 AE EF 时,求点 F 的坐标; ②取 EF 的中点 N ,当 m 为何值时, MN 的最小值是 2 2 ? 【解答】解:(Ⅰ)当 1a  , 3m   时,抛物线的解析式为 2 3y x bx   . 抛物线经过点 (1,0)A , 0 1 3b    , 解得 2b  , 抛物线的解析式为 2 2 3y x x   . 2 22 3 ( 1) 4y x x x      , 抛物线的顶点坐标为 ( 1, 4)  . (Ⅱ)①抛物线 2y ax bx m   经过点 (1,0)A 和 ( ,0)M m , 0m  , 0 a b m    , 20 am bm m   ,即 1 0am b   . 1a  , 1b m   . 抛物线的解析式为 2 ( 1)y x m x m    . 根据题意得,点 (0, )C m ,点 ( 1, )E m m , 过点 A 作 AH l 于点 H ,由点 (1,0)A ,得点 (1, )H m . 在 Rt EAH 中, 1 ( 1)EH m m     , 0HA m m    , 2 2 2AE EH HA m     , 2 2AE EF  , 2 2 2m  , 解得 2m   . 此时,点 ( 1, 2)E   ,点 (0, 2)C  ,有 1EC  . 点 F 在 y 轴上, 在 Rt EFC 中, 2 2 7CF EF EC   . 点 F 的坐标为 (0, 2 7)  或 (0, 2 7)  . ②由 N 是 EF 的中点,得 1 22CN EF  . 根据题意,点 N 在以点 C 为圆心、 2 为半径的圆上, 由点 ( ,0)M m ,点 (0, )C m ,得 MO m  , CO m  , 在 Rt MCO 中, 2 2 2MC MO CO m    . 当 2MC… ,即 1m „ 时,满足条件的点 N 在线段 MC 上. MN 的最小值为 22 2 2MC NC m     ,解得 3 2m   ; 当 2MC  ,即 1 0m   时,满足条件的点 N 落在线段CM 的延长线上,MN 的最小值为 22 ( 2 ) 2NC MC m     , 解得 1 2m   . 当 m 的值为 3 2  或 1 2  时, MN 的最小值是 2 2 .