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- 2021-11-11 发布
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第21章
二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1.理解二次根式的概念;
2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点)
3.探索二次根式的性质; (难点)
4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
问题2 什么是一个数的算术平方根?如何表示?
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
问题1 什么叫做一个数的平方根?如何表示?
一般地,若一个数的平方等于a,则这个数就叫做a的平方根.
0的算术平方根是0.
a的平方根是 .a
用 (a≥0)表示.a
观察与思考
正数有两个平方根且互为相反数;
0有一个平方根就是0;
负数没有平方根.
问题3 平方根的性质:
问题4 所有实数都有算术平方根吗?
正数和0都有算术平方根;
负数没有算术平方根.
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S,则半径为__________.π
S
如图所示的值表示正方形的面积,则
正方形的边长是 . b-3
25002 a 3b
π
s
表示一些正数的算术平方根.
你认为下列各代数式有哪些共同特点?
3b
二次根式的定义及有意义的条件一
a
a
一般地,我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根
式.“ ”称为二次根号,a 叫做被开方数.
二次根式的定义
理解要点:两个必备特征
①外貌特征:含有“ ”
②内在特征:被开数a ≥0
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
3. a既可以是一个数,也可以是一个式子.
1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
知识归纳
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识!
例 下列各式是二次根式吗?
m
1
xy
a .
2 3
(1) 32, (2) 6, (3) 12,
(4) - (5) ,
(6) , (7) 5
(m≤0), (x,y 异号)
解析:(1)、(4)、(6)均是二次根式,其中 +1属于
“非负数+正数”的形式一定大于零.而(5)中xy<0,
(7)根指数不是2,是3.而(3)不是,是因为在实
数范围内,负数没有平方根.
2a
典例精析
2
2
2
4
2
0
2
3
1
4
3
1
2
0
2
2 2
2 2 2 2
是 的算术平方根,根据算术平方根的意义,
是一个平方等于 的非负数,因此有( )
1.根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
二次根式的性质1及应用二
一般地,有
归纳
由其定义我们还可进一步知道:二次根式具有双重非负性.
到目前为止,非负数的三种表现形式归纳如下:a2, ︱a︱,
文字叙述:任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数.
a
计算
21(1)( )
2
22(2)( 5)
3
解: 21 1(1)( )
2 2
2 2 22 2 4 20(2)( 5) ( ) ( 5) 5
3 3 9 9
(2)用到了
(ab)2=a2b2这个
结论.
练一练
2
2
2
2
2
2
2
3 9 3
7 = 0 5
5
0
3 = 9=3= 3
7 = 0 5 =
5
,
.
.
又如 ,
类似地,计算:
再计算:
7
5 0.5
0
7
5
0.5
二次根式的性质2及应用三
一般地,有
a
-a
(a≥0)
(a<0)
归纳
2a a
2.从取值范围来看,
2a a≥0 a取任何实数
1.从运算顺序来看,
2a 2a先开方,后平方 先平方,后开方
3.从运算结果来看:
=a
a (a≥0)
2a
2a
-a(a<0)
==∣ a∣
2 2( )
?
a a与
有区别吗
2a
知识要点
化简:
(1) 16 2(2) ( 5)
2(3) ( 7) 2(4) 7
解: 2(1) 16 4 4 2 2(2) ( 5) 5 5
2(3) ( 7) 7
2 1(4) 7
7
练一练
解:由x-1≥0,得 x≥1
1. 当x取何值时, 二次根式有意义?1x
当x≥1时, 在实数范围内有意义.1x
试求当x=5时,二次根式 的值.1x
当x=5时, 1 5 1 4 2.x
思考:当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 2x
x为全体实数.
当堂练习
2.(1)若 ,
则a-b+c=___ ;
0)4(32 2 cba
1 1 2 y x x x y(2)设 + +2015,试求 的值.
解:
(1)由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
(2)由题意知1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015,
所以x+2y=1+2×2015=4031.
(1)二次根式的概念
(2)根号内字母的取值范围
(3)二次根式的值
一般地,我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根
式.“ ”称为二次根号,a 叫做被开方数.
抓住被开数必须为非负数,从而建立不等式求出其解集.
课堂小结
二
次
根
式
定义
性质
a (a≥0)
0( 0)a a
(即 表示一个非负数)a
2
2
0 ;
0
a a a
a a a
( )
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