九年级下册数学人教版课件27-2-1 相似三角形的判定 （第3课时） 25页

人教版 数学 九年级 下册 1. 两个三角形全等有哪些判定方法？ 2. 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL (1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）; (2)平行于三角形一边的直线; (3)三边对应成比例. 导入新知 类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不 能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？ 探究 导入新知 1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似”的判定定理并且会运用. 2. 会运用“两边成比例且夹角相等”判定 两个三角形相似，并进行相关计算与推理. 素养目标 改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？ 实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法. 等于k ∠B =∠B' ∠C =∠C' 改变k的值具有相同的结论 利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'， 量出它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比 等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？ AB AC k. A' B' A' C'   探究新知 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 A' B' C' A B C ' ' ' ' AB AC k A B A C   ∠A＝∠A'  如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的 夹角相等，那么这两个三角形相似． 类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试 证明这个结论． △ABC ∽ △A'B'C' 探究新知 已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A' =∠A，A'B'：AB = A'C'：AC 求证：△A'B'C' ∽ △ABC 证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝ A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE AD AE AB AC   ∴ DE//BC ∴ △ADE ∽ △ABC ∴ △A'B'C' ∽ △ABC ' ' ' 'A B A C AB AC  A' B' C' A B C D E 探究新知 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， AB AC A' B' A' C'  ， B A CB' A' C'∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 探究新知 【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′，这两个三角形一定会相似吗？ 不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个， 其中一个和原三角形相似，另一个不相似. A B C A′ B′ B″ C′ 探究新知 探究新知 归纳总结 如果两个三角形两边对应成比例，但相等 的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形 不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的 夹角. ∵ 7 14 7 ' ' 3 ' ' 6 3 AB AC A B A C   ， 又 ∠A＝∠A' ∴ △ABC∽△A'B'C' 已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B' ＝3cm，A'C' ＝6cm，判断△ABC与△ A′B′C′是否相似， 并说明理由. 例1 探究新知 素养考点 1 利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似 两三角形 的相似比 是多少？ △ABC∽△A'B'C ' . 理由如下：解： A B A C A B A ' C '   ∴ 已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16， A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理 由. 解： ∴△ABC∽△A'B'C'. 巩固练习 △ABC∽△A'B'C' . 理由如下： ∴ . ∠A=∠A',又∵ 15 1 30 2 AC A'C '  ∵ , , 解：∵ AE=1.5，AC=2， A CB E D 例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长. 3 4 AD AB  3 4 AE AD . AC AB  ∴ 又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC， 3 4 DE AD BC AB   ，∴ 3 9 4 4 DE BC . ∴ 探究新知 素养考点 2 利用三角形相似求线段的长度 提示：解题时要找准对应边. 巩固练习 AB C D 解：（1）CD :CB＝BC :AC . （2）设CD＝x,则CA＝x＋2． 当△CBD∽△CAB，且AD＝2， , 有CD:CB＝BC:AC，即 , 所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3． 但x２＝－3不符合题意,应舍去． 所以CD＝1． 如图，在△ABC 中，AC＞BC，D 是边AC 上一点，连接BD． （1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个） （2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,求CD 的长．3BC  3BC  : 3 3 : 2x x （ ＋ ） 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°. ∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B， ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. A B C D 例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ， 求证 ：∠ACB=90°． =A D C D C D B D ∵ AD CD CD BD  ， 探究新知 素养考点 3 利用三角形相似求角度 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. 如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分别是 AB、AC 上的点，AE：AD＝AB：AC． 试问:DE 与AB 垂直吗? 为什么? A B C D E 证明：DE⊥AB．理由如下: ∵　AE：AD＝AB：AC, ∴ 　 ． 又　∠A＝∠A, ∴　△ABC∽△AED． ∴　∠ADE＝∠C＝90°． ∴　DE 与AB 垂直． =A E A D A B A C 巩固练习 如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17， AD=40． 求证：△ABC∽△AED． 连接中考 证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40． ∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED． 20.4 1.2 17 AB AE   48 1.2 40 AC AD   AD AC AE AB  ∴ ， ， ∴ ， 1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD， 使△ABC ∽ △DBA的条件是 （ ） A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B CDAB BC BD AB → 课堂检测 基 础 巩 固 题 2. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm， BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. A C B F ED 证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm， DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， 又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC. 3 5 DF EF . AC BC  ∴ 课堂检测 3. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC， ∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明：∵ AD =AE，AB = AC， AD AE . AB AC ∴ 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. A B C D E 课堂检测 A B C D 解：∵AB=6，BC=4，AC=5， ， 4 5 AB BC . CD AC  ∴ 又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA， 4 5 AC BC AD AC  ∴ ， 25 4 AD .∴ 课堂检测 能 力 提 升 题 2 17CD 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4， AC=5， ，求 AD 的长． 2 17CD 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8 ，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否相 似，某同学的解答如下： 解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8， ∴AD=7.8-4.8=3. ∵ ∴这两个三角形不相似. 你同意他的判断吗？请说明理由. 拓 广 探 索 题 课堂检测 AC AE AB AD  解：他的判断是错误的. ∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8， ∴AD=7.8-4.8=3. ∵ ， ， ∴ ． 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB ． 课堂检测 3 1 6 2 AD AC   2 1 8.7 9.3  AB AE AB AE AC AD  两边成 比例且 夹角相 等的两 个三角 形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 课堂小结 课后作业 作业 内容 教 材 作 业 从课后习题中选取 自 主 安 排 配套练习册练习