2020九年级数学上册 第二十一章一元二次方程的根的判别式 5页

1 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 01 基础题 知识点 1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值 1．(钦州中考)若 x1，x2 是一元二次方程 x2＋10x＋16＝0 的两个根，则 x1＋x2 的值是(A) A．－10 B．10 C．－16 D．16 2．(怀化中考)若 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x－3＝0 的两个根，则 x1x2 的值是(D) A．2 B．－2 C．4 D．－3 3．(凉山中考)已知 x1，x2 是一元二次方程 3x2＝6－2x 的两根，则 x1－x1x2＋x2 的值是(D) A．－4 3 B.8 3 C．－8 3 D.4 3 4．(眉山中考)已知一元二次方程 x2－3x－2＝0 的两个实数根为 x1，x2，则(x1－1)(x2－1) 的值是－4． 5．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－3x－1＝0 的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x1＋x2； 解：x1＋x2＝3. (2)x1x2； 解：x1x2＝－1. (3)x2 1＋x2 2； 解：x2 1＋x2 2＝(x1＋x2)2－2x1x2 ＝32－2×(－1) ＝11. (4)1 x1 ＋1 x2 ； 解：1 x1 ＋1 x2 ＝x1＋x2 x1x2 ＝ 3 －1 ＝－3. (5)(x1－1)(x2－1)； 解：(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1 2 ＝－1－3＋1 ＝－3. (6)x2 x1 ＋x1 x2 . 解：x2 x1 ＋x1 x2 ＝x2 1＋x2 2 x1x2 ＝ 11 －1 ＝－11. 知识点 2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 6．(雅安中考)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2＋2x－k－1＝0 的两根，且 x1x2＝－3，则 k 的 值为(B) A．1 B．2 C．3 D．4 7．(新疆中考)已知关于 x 的方程 x2＋x－a＝0 的一个根为 2，则另一个根是(A) A．－3 B．－2 C．3 D．6 8．已知关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 的两根为－3 和－1，则 p，q 的值分别为 4，3． 9．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0. (1)求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两根分别为 x1，x2，且满足1 x1 ＋1 x2 ＝－1 2 ，求 m 的值． 解：(1)证明：∵a＝1，b＝4m＋1，c＝2m－1， ∴Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1) ＝16m2＋8m＋1－8m＋4 ＝16m2＋5. ∵16m2≥0， ∴Δ＞0. ∴不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)根据题意，得 x1＋x2＝－(4m＋1)，x1x2＝2m－1， ∵1 x1 ＋1 x2 ＝－1 2 ， 3 ∴x1＋x2 x1x2 ＝－1 2 . ∴－（4m＋1） 2m－1 ＝－1 2 ， ∴m＝－1 2 . 易错点 忽视隐含条件 10．若关于 x 的方程 x2＋(a－1)x＋a2＝0 的两个根互为倒数，求 a 的值． 解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为 1． 由根与系数的关系，得 a2＝1． 解得 a＝±1． 当 a＝1 时，原方程化为 x2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去 a＝1．所 以 a＝－1． 02 中档题 11．(易错题)下列一元二次方程两实数根和为－4 的是(D) A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0 C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0 12．(烟台中考)若 x1，x2 是方程 x2－2mx＋m2－m－1＝0 的两个根，且 x1＋x2＝1－x1x2，则 m 的值为(D) A．－1 或 2 B．1 或－2 C．－2 D．1 13．(达州中考)设 m，n 分别为一元二次方程 x2＋2x－2 018＝0 的两个实数根，则 m2＋3m＋ n＝2__016． 14．在解某个关于 x 的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1； 乙看错了常数项，得出的两个根为 8，2，则这个方程为 x2－10x＋9＝0． 15．已知实数 m，n 满足 3m2＋6m－5＝0，3n2＋6n－5＝0，且 m≠n，则n m ＋m n ＝－22 5 ． 16．(十堰中考)已知关于 x 的方程 x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0 有两个实数根 x1，x2. (1)求实数 k 的取值范围； (2)若 x1，x2 满足 x2 1＋x2 2＝16＋x1x2，求实数 k 的值． 解：(1)∵关于 x 的方程 x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0 有两个实数根 x1，x2， 4 ∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0， 解得 k≤5 4 . ∴实数 k 的取值范围为 k≤5 4 . (2)∵关于 x 的方程 x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0 有两个实数根 x1，x2， ∴x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1. ∵x2 1＋x2 2＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2， ∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k2－1)，即 k2－4k－12＝0， 解得 k＝－2 或 k＝6(不符合题意，舍去)． ∴实数 k 的值为－2. 17．已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0. (1)求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当 Rt△ABC 的斜边长 a 为 31，且两条直角边的长 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时， 求△ABC 的周长． 解：(1)证明：Δ＝[－(2k＋1)]2－4(4k－3)＝4k2－12k＋13＝(2k－3)2＋4. ∵(2k－3)2≥0， ∴(2k－3)2＋4＞0，即Δ＞0， ∴无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)∵b，c 是方程 x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0 的两个根， ∴b＋c＝2k＋1，bc＝4k－3. ∵a2＝b2＋c2，a＝ 31， ∴k2－k－6＝0. ∴k1＝3，k2＝－2. ∵b，c 均为正数， ∴4k－3＞0. ∴k＝3.此时原方程为 x2－7x＋9＝0， ∴b＋c＝7. ∴△ABC 的周长为 7＋ 31. 5 03 综合题 18．(换元思想)阅读材料： 材料 1 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1、x2，则 x1＋x2＝－b a ，x1x2＝c a . 材料 2 已知实数 m、n 满足 m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且 m≠n，求n m ＋m n 的值． 解：由题知 m，n 是方程 x2－x－1＝0 的两个不相等的实数根，根据材料 1，得 m＋n＝1，mn ＝－1. ∴n m ＋m n ＝m2＋n2 mn ＝（m＋n）2－2mn mn ＝1＋2 －1 ＝－3. 根据上述材料解决下面的问题： (1)一元二次方程 x2－4x－3＝0 的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝4，x1x2＝－3； (2)已知实数 m，n 满足 2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且 m≠n，求 m2n＋mn2 的值； (3)已知实数 p，q 满足 p2＝3p＋2，2q2＝3q＋1，且 p≠2q，求 p2＋4q2 的值． 解：(2)∵m，n 满足 2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0， ∴m，n 可看作方程 2x2－2x－1＝0 的两实数根． ∴m＋n＝1，mn＝－1 2 . ∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1 2 ×1＝－1 2 . (3)设 t＝2q，代入 2q2＝3q＋1 化简为 t2＝3t＋2， 则 p 与 t(即 2q)为方程 x2－3x－2＝0 的两实数根， ∴p＋2q＝3，p·2q＝－2， ∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－2p·2q＝32－2×(－2)＝13.