2020九年级数学上册 第4章 相似三角形 4 5页

1 4.4 两个三角形相似的判定 (3) (见 A 本 43 页) A　练就好基础　基础达标 1．在小正方形的网格中，下列四个选项的三角形中，与如图所示的三角形相似的是 (　B　) 　第 1 题图　 　 A．　　　B．　 　C．　　　D. 2 ． 如 图 所 示 ， A ， B ， C ， P ， Q ， 甲 、 乙 、 丙 、 丁 都 是 方 格 纸 的 格 点 ， 为 使 △ABC∽△PQR，则点 R 应是甲、乙、丙、丁 4 点中的(　C　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 　 第 2 题图 　　　 第 3 题图 3．如图所示，四边形 ABGH，BCFG，CDEF 都是正方形，图中与△HBC 相似的三角形为(　A　) A．△HBD B．△HCD C．△HAC D．△HAD 4．一个三角形钢架的三边长分别为 20 cm、30 cm 和 40 cm.现在要做一个与其相似的三 角形钢架，已有一根 12 cm 的钢管，还需要截两根长分别为　答案不唯一，如 8 cm 和 16 cm　 的钢管． 5．如图所示，边长为 1 的三个正方形并排放在一起，则 AC＝__ 10 3 __． 2 第 5 题图 6．如图所示，在 4×4 的正方形方格中，△ABC 的顶点 A，B，C 在小正方形的顶点 上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为 1)，且点 A1，B1，C1 都在小 正方形的顶点上． 第 6 题图 　　　　 第 6 题答图 7．如图所示，O 是△ABC 内一点，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 上的点，且满足 DE∥AB， EF∥BC，DF∥AC. 求证：△DEF∽△ABC. 第 7 题图 证明：∵DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC， ∴ DE BA＝ OD OA＝ DF AC＝ OF OC＝ EF BC，即 DE BA＝ DF AC＝ EF BC. ∴△DEF∽△ABC. 8．如图所示，在正方形网格上画有梯形 ABCD.求∠BDC 的度数．(提示：找出图中一对 相似三角形) 第 8 题图 解：设小正方形的边长为 1，由勾股定理，得 AD＝1，AB＝ 2，BD＝ 5，DC＝ 10，BC＝5. ∴ AD BD＝ AB CD＝ BD BC＝ 5 5 ， ∴△ABD∽△DCB， ∴∠ABD＝∠DCB. ∵∠ABD＋∠DBC＝45°， ∴∠DCB＋∠DBC＝45°， 3 ∴∠BDC＝135°. B　更上一层楼　能力提升 9．如图所示，在 Rt△ABC 中(∠C＝90°)，放置边长分别为 3，4，x 的三个正方形， 则 x 的值为(　C　) A．5 B．6 C．7 D．12 第 9 题图 　　　 第 10 题图 10．河池中考如图所示，菱形 ABCD 的边长为 1，直线 l 经过点 C，交 AB 的延长线于 M， 交 AD 的延长线于 N，则 1 AM＋ 1 AN＝__1__． 第 11 题图 11．2017·宿迁中考如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在边 BC 上移动(点 E 不与点 B，C 重合)，满足∠DEF＝∠B，且点 D，F 分别在边 AB，AC 上． (1)求证：△BDE∽△CEF. (2)当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC. 证明：(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB， ∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB， ∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF， ∴△BDE∽△CEF. (2)∵△BDE∽△CEF， ∴ BE CF＝ DE EF，∵点 E 是 BC 的中点， ∴BE＝CE，∴ CE CF＝ DE EF， CE DE＝ CF EF. ∵∠DEF＝∠B＝∠C， ∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE＝∠CFE， ∴FE 平分∠DFC. 12．如图所示，已知 EC∥AB，∠EDA＝∠ABF. 求证：(1)四边形 ABCD 是平行四边形； (2)OA2＝OE·OF. 4 第 12 题图 证明：(1)∵EC∥AB， ∴∠ABF＝∠C. ∵∠EDA＝∠ABF， ∴∠C＝∠EDA，AD∥CF. 又∵EC∥AB， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． (2)∵AB∥EC，∴△OAB∽△OED， ∴ OA OE＝ OB OD. ∵BF∥AD，∴△OFB∽△OAD， ∴ OF OA＝ OB OD， ∴ OA OE＝ OF OA，即 OA2＝OE·OF. C　开拓新思路　拓展创新 13．学习“图形的相似”后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验， 继续探索两个直角三角形相似的条件． (1)“对于两个直角三角形，满足一边、一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个 直角三角形全等．”类似地，你可以得到“满足__一个锐角对应相等__，或__两条直角边对 应成比例__，两个直角三角形相似”． (2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”类似地，你可以得到 “满足__斜边和一条直角边对应成比例__的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形， 写出已知，并完成说理过程． 已知：如图，____． 求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 第 13 题图 解：(2)在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， AB A′B′＝ AC A′C′ 证明：设 AB A′B′＝ AC A′C′＝k，则 AB＝kA′B′，AC＝kA′C′， 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中， 5 BC B′C′＝ AB2－AC2 A′B′2－A′C′2＝ k2A′B′2－k2A′C′2 A′B′2－A′C′2 ＝k. ∴ AB A′B′＝ AC A′C′＝ BC B′C′. ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.