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- 2021-11-11 发布
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第二章 二次函数
1.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( )
A.对称轴是直线x=1,最小值是2
B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=-1,最小值是2
D.对称轴是直线x=-1,最大值是2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2-Y-1所示,则( )
A.b>0,c>0 B.b>0,c<0
C.b<0,c<0 D.b<0,c>0
图2-Y-1 图2-Y-2
3. 将如图2-Y-2所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线的表达式是( )
A.y=(x-1)2+1 B.y=(x+1)2+1
C.y=2(x-1)2+1 D.y=2(x+1)2+1
4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2-Y-3所示,以下四个结论:①a>0;②c>0;③b2-4ac>0;④-<0,正确的是( )
A.①② B.②④
C.①③ D.③④
图2-Y-3 图2-Y-4
5.如图2-Y-4,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,给出下列结论:①b2=4ac;②abc>0;③a>c;④4a-2b+c>0,其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是________.
7. 如图2-Y-5,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴直线x=1对称,则点Q的坐标为________.
8. 已知函数y=-(x-1)2的图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“<”“>”或“=”).
图2-Y-5
图2-Y-6
9.如图2-Y-6,图中二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),则下列命题中正确的有________(填序号).
①abc>0;②b2<4ac;③4a-2b+c>0;④2a+b>c.
10.如图2-Y-7是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
图2-Y-7[来源:学科网ZXXK]
①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是________.(只填序号)
11. 已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数).
(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.1或2
(2)求证:不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上;
(3)当-2≤m≤3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.
12.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)这种双肩包销售单价定为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少?
13.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.
(1)请你建立适当的直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数表达式;
(2)求出水柱的最大高度是多少.
图2-Y-8
14.我们知道,经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,对于这样的抛物线:
(1)当抛物线经过点(-2,0)和(-1,3)时,求抛物线的表达式;
(2)当抛物线的顶点在直线y=-2x上时,求b的值;
(3)如图2-Y-9,现有一组这样的抛物线,它们的顶点A1,A2,…,An在直线y=-2x上,横坐标依次为-1,-2,-3,…,-n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn,如果这组抛物线中的某一条经过点Dn,求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长.
图2-Y-9
详解详析
1.B
2.B [解析] ∵二次函数y=ax2+bx+c图象的开口向下,∴a<0.
∵二次函数图象与y轴交于负半轴,∴c<0.
∵对称轴为直线x=->0,∴b>0.故选B.
3.C [解析] 由图象,得原抛物线的表达式为y=2x2-2.
由平移规律,得平移后所得抛物线的表达式为y=2(x-1)2+1,故选C.
4.C [解析] ∵抛物线开口向上,∴a>0,结论①正确;
∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴,
∴c<0,结论②错误;[来源:Zxxk.Com]
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,结论③正确;
∵抛物线的对称轴在y轴右侧,
∴->0,结论④错误.
故选C.
5.C [解析] ∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2-4ac>0,∴①错误;
∵抛物线开口向上,∴a>0.
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧,
∴a,b同号,∴b>0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,
∴abc>0,
∴②正确;
∵x=-1时,y<0,即a-b+c<0.
∵对称轴为直线x=-1,∴-=-1,
∴b=2a,
∴a-2a+c<0,即a>c,
∴③正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=-1,
∴x=-2和x=0时的函数值相等,即x=-2时,y>0,
∴4a-2b+c>0,∴④正确.
∴正确的有②③④,3个,
故选C.
6.m>9 [解析] 由Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×m<0,解得m>9.
7.(-2,0) [解析] 设Q(a,0),由对称性知,=1,∴a=-2.即Q(-2,0).
8.> [解析] ∵函数y=-(x-1)2,图象的对称轴是直线x=1,开口向下,
∴当x>1时,y随x的增大而减小.
∵函数图象上两点A(2,y1),B(a,y2),a>2,
∴y1>y2.故答案为:>.
9.①③④ [解析] ∵抛物线开口向上,对称轴在y轴右侧,与y轴交于负半轴,
∴a>0,->0,c<0,
∴b<0,∴abc>0,①正确;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,即b2>4ac,②错误;
当x=-2时,y=4a-2b+c>0,③正确;
∵0<-<1,
∴-2a<b<0,
∴2a+b>0>c,④正确.
故答案为:①③④.
10.②⑤ [解析] 根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可.由图象可知:a<0,b>0,c>0,故abc<0,故①错误;观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故②正确;
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0),故③错误;观察图象可知,当1<x<4时,有y2<y1,故④错误;因为当x=1时,y1有最大值,所以ax2+bx+c≤a+b+c,即x(ax+b)≤a+b,故⑤正确.
所以②⑤正确.故答案为②⑤.
11.[解析] (1)表示出根的判别式,判断其正负即可得到结果;
(2)将二次函数表达式配方变形后,判断其顶点坐标是否在已知函数图象上即可;
(3)根据m的范围确定出顶点纵坐标的范围即可.
解:(1)∵函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数),
∴Δ=(m-1)2+4m=(m+1)2≥0,
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2.故选D.
(2)证明:y=-x2+(m-1)x+m=-(x-)2+,其图象顶点坐标为(,).
把x=代入y=(x+1)2,得y=(+1)2=,故不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上.
(3)设z=,
当m=-1时,z有最小值为0;
当m<-1时,z随m的增大而减小;
当m>-1时,z随m的增大而增大.
当m=-2时,z=;当m=3时,z=4.
则当-2≤m≤3时,该函数图象的顶点纵坐标z的取值范围是0≤z≤4.
12.解:(1)w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=-x2+90x-1800.
所以w与x之间的函数关系式为w=-x2+90x-1800(30≤x≤60).
(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225.
∵-1<0,∴当x=45时,w有最大值为225.
答:销售单价定为45元/个时,每天的销售利润最大,最大利润为225元.
(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200.
解得x1=40,x2=50.
∵50>42,
∴x2=50不符合题意,应舍去.[来源:学#科#网]
答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元/个.
13.解:(1)所建直角坐标系不唯一,如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
由题意可设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3).
抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线表达式可得
解得
∴水柱抛物线的表达式为y=-(x-1)2+(0≤x≤3).化为一般式为y=-x2+x+2(0≤x≤3).
(2)由(1)知抛物线的表达式为y=-(x-1)2+(0≤x≤3).当x=1时,y最大=.
∴水柱的最大高度为米.
14.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点(-2,0)和(-1,3),
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-3x2-6x.
(2)∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是
(-,-),
且该点在直线y=-2x上,
∴-=-2×(-).
∵a≠0,∴-b2=4b,
解得b1=-4,b2=0.
(3)这组抛物线的顶点A1,A2,…,An在直线y=-2x上,
由(2)可知,b=-4或b=0.
①当b=0时,抛物线的顶点在坐标原点,不合题意,舍去;
②当b=-4时,抛物线的表达式为y=ax2-4x.[来源:Zxxk.Com]
由题意可知,第n条抛物线的顶点为An(-n,2n),则Dn(-3n,2n).
∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn,设第(n+k)(k为正整数)条抛物线经过点Dn,此时第(n+k)条抛物线的顶点坐标是An+k(-n-k,2n+2k),
∴-=-n-k,
∴a==-,
∴第(n+k)条抛物线的表达式为y=-x2-4x.
∵Dn(-3n,2n)在第(n+k)条抛物线上,
∴2n=-×(-3n)2-4×(-3n),解得k=n.
∵n,k为正整数,且n≤12,
∴n1=5,n2=10.
当n=5时,k=4,n+k=9;
当n=10时,k=8,n+k=18>12(舍去),
∴D5(-15,10),
∴正方形的边长是10.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
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