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- 2021-11-11 发布
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典型例题一
例01.在中,
(1),则_____________;
(2),则_____________;
(3),,则_____________.
分析:三角形的三个内角的和等于,所以,本题有一个隐含的条件,即,所以(1)中,只需把,与,代入上式即可求出. (2)中,我们把已知的式子变形,由. 求得,再代入,得,把与都代入中,即可求得. (3)也可使用. 求,但是因为其中一角是,即三角形为直角三角形,所以也可使用三角形内角和定理的推论1—直角三角形的两个锐角互余来求解.
解答:(1) (2) (3)
例02.一个三角形的一个外角是它相邻内角的倍,是不相邻内角的3倍,求这个三角形的各内角.
分析:三角形的一个外角与它相邻的内角之间的关系是互补,而且是与它不相邻内角的和.
解答:设与这个外角相邻的内角为,
则有 解得
∴ 这个三角形的三个内角为,,.
例03.如图,已知:在中,,延长EF与BC的延长线交于G.
求证:
分析:欲证,只需证. 观察图形,由是的外角得知,又由是的外角可得整理可证明命题.
证明:∵ (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内有的和)
又∵ (已知),
(对顶角相等)
∴. ∴ ①
又∵ ②(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
①+②得 ∴
例04.如图,已知,,.
求:的大小.
分析:在中,已知与的大小,可求得的度数,是的一个外角. 有,并且已知与的大小. 可求得的大小.
解答:∵(三角形内角和定理)
∴
∵ (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和).
∴.
例05.已知:BD为的角平分线,CD为的外角的的平分线,它与BD的延长线交于D. (如下图)
求证:
分析:已知三角形的一个内角平分线和一个外角平分线,可以想到利用外角与内角的关系证题,从而有
∴
证明:∵BD、CD分别为、的平分线
∴
∵
∴
又∵
∴
例06.已知:如图,在中,于D,AE平分()
求证:
证明:∵AE平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
例07.如图,P是内任一点,求证:.
分析:延长BP交AC于D,根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角这一推论,可证出,又因,从而证得.
证明:延长BP交AC于D.
∵ 是的一个外角,
∴ (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角),
又是的一个外角,
∴(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角),
∴.
说明:证明此类角的不等关系时,大多考虑三角形内角和定理的推论3,即三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,它指出了三角形的一个外角与它不相邻的内角的不等关系. 请再用其它方法证明.
说明:理顺各角之间的关系是关键.
例08.如图,已知,BE平分,CE平分,求证:为直角三角形.
分析:要证为直角三角形,即证,利用两平行线同旁内角互补和两平行线的内错角相等,以及角平分线定义,不难求出.
证明:略
例09.已知:如图,在中,,BD、CE分别是边AC、AB上的高,BD、CE相交于H,求的度数.
解答:设
则
∴
∴
∴
∵ ∴
∵ ∴
在中,
说明 用方程思想解答几何求值问题是几何解题中经常使用的.
例10.如图,已知:CE为外角的平分线. CE交AB的延长线于点E.
求证:
分析:证明角的不等关系,想到本节推论,想到大角是不是某个三角形外角,由图形可知:是的外角,有,而,故只须证,而是的一个外角,是的一个和不相邻的内角,所以,有,故.
证明:∵CE平分(已知) ∴ ∵ ∴ ∵
∴
例11.如图,五角星ABCDE,求的度数.
分析:欲求的度数,则可设法把它们转化为三角形的内角,连结BE,则因为与的内角和都为,且其中的一对内角,∴,即求就是求即求三角形ABE的内角和.
解答:连结BE,在中,(三角形内角和定理)
即
又 ∵
(三角形内角和定理)
(对顶角相等)
∴
∴
填空题
(1)在中,
①若,,那么________.
②如果,那么_________,______.
③如果,那么______.
④,那么_________,______,________.
⑤如果,,那么______,______,________.
(2)如图,,,分别是的三个外角,那么______.
(3)如图,已知,,,则______.
(4)如果三角形的三个角都相等,那么每个内角都等于______.
(5)CD是斜边AB上的高,,则________,_______,______.
(6)如图,于D,AE平分,,,则_______;
(7)如图,________;
(8)一个三角形的两角分别为和,则第三个角的平分线与它对边上的高的夹角等于_______;
(9)如图,,,,则________.
(10)如图,在直角三角形ABC中,,,的平分线相交于O点,则_______;
参考答案:
(1)① ②, ③
提示: 两式相加,可得,∴
④,, ⑤,,
(2) (3) (4) (5),,
(6)
提示:
,
∴
(7)提示:
(8) (9) (10)
填空题
(1)如图,已知,,,则_______.
(2)如图,________.
(3)如图,已知的和的外角夹发线交于D,,则_______.
(4)如图,在中,已知AD平分交BC于D,,,那么_______.
(5)如图,,,,则______.
(6)如图,的一个外角,,则_______.
参考答案:
(1)
(2)提示:四边形外角之和为,所以的邻补角为,∴
(3),提示,与相邻外角度数为,所以和的外角的一半为,∴
(4)
(5),提示:连结CD,则
(6)
解答题
1.计算题
(1)如图,已知,,,求,的度数.
(2)如图,已知AD是的角平分线,,,求各内角的度数.
(3)如图,已知,,.求的大小.
(4)如图,已知中,,,,求的大小.
(5)如图,已知,,,求的大小.
(6)如图,已知于D,于E.,.求的大小.
(7)如图,已知,,,求的度数.
(8)如图,的一个内角平分线与一个外角平分线交于点D,,,求的度数.
参考答案:
1.计算题
(1)解:(已知)
∴(两直线平行,同位角相等)
又∵(三角形内角和定理)
(2)解:∵(已知)
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内的和)
∴
AD为的角平分线.
∴
(三角形内角和定理)
∴
(3)解:(已知)
∴(直角三角形两个锐角互余)
∴
∴(对顶角相等)
∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴
(4)解:.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∵ (已知)
∴
又∵(直角三角形两个锐角互余)
∴
∵(三角形内角和定理)
∴
(5)解:(三角形内角和定理)
∴ (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴
(6)解:(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
其中,,(已知)
∴ ∴
(直角三角形两个锐角互余)
∴
(7)解:(已知)
∴,(两直线平行,同位角相等)
(两直线平行,同旁内角互补)
∴
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
又∵ (已知)
∴
∴
∴
∵(三角形内角和定理)
∴
(8)解:(三角形内角和定理)
∴
(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴
(三角形内角和定理)
∴
解答题
1.证明题
(1)如图,已知中,,,D,E为垂足,BD和CE交于点H.求证:.
(2)如图,D、E分别在AB、AC上,已知,.求证:.
(3)如图,已知D是BC上的一点,且.求证:.
(4)如图,已知.求证:.
(5)如图,已知:BCD,CAE,AFB为直线,求证:.
(6)如图,已知D是的外角平分线与BA的延长线的交点.求证:.
(7)如图,已知:在中,的平分线与的平分线相交于点I.
求证:.
(8)如图,已知:的三个内角平分线AD,BI,CI相交于点I,于点H.求证:.
参考答案:
1.证明题
(1)证明:(已知)
∴ (垂直定义)
∴,(直角三角形的两个锐角互余)
∴(同角的余角相等)
(2)证明:∵,(三角形内角和定理)
又∵ (已知)
∴
∴
∴ (同位角相等,两直线平行)
(3)证明:∵(已知)
∴
又∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴
(4)证明:∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
又 ∵
∴
∴(内错角相等,两直线平行)
(5)证明:∵(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴
(6)证明:∵ (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
又 ∵ (外角平分线定义)
∴
∴
(7)证明:应用三角形内角和定理得
(8)证明:∵ (直角三角形的两个锐角互余),
即
1、判断题:
A、三角形的外角大于它的内角.
B、三角形的一个外角等于它的两个内角.
C、三角形的外角和是180度.
D、三角形的外角中一定有一个锐角.
E、若一个三角形有一个外角是100度,则此三角形为锐角三角形.
2、下列命题中真命题是( ).
A、一个钝角三角形一定不是等腰三角形
B、钝角三角形是斜三角形
C、等腰三角形是斜三角形
D、任意三角形是斜三角形
3、三角形一个内角平分线与其相应的外角平分线位置关系是( ).
A、相交 B、垂直 C、互为反向延长线 D、不能确定
4、三角形的一个外角小于和它相邻的内角,则这个三角形是( ).
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、都有可能
5、三角形中最大角的范围为___,最小角的范围为____.
6、
7、
8、五角星的五个角的度数之和是____每一个角的度数是____.
9、
答案: 1.A 错; B 错;C 错;D 错;E错.
2.B; 3. B; 4. C ; 5. 大角: 小角:; 6. 180度; 7. 70度. 8. 180度. 9. .
A
B
C
D
E
1、
提示:证明角的不等关系应当利用
“三角形一个外角大于任何一个
与它不相邻的内角” 由此可得证。
A
B
C
D
E
F
2、
提示:此题的结论与图形,不难发现
,
因此须设法把它们联系起来,而三角形内角和定理正好将二者起来。