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  • 2021-11-11 发布

中考数学专题复习练习:内角和

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典型例题一 例01.在中,‎ ‎(1),则_____________;‎ ‎(2),则_____________;‎ ‎(3),,则_____________. ‎ 分析:三角形的三个内角的和等于,所以,本题有一个隐含的条件,即,所以(1)中,只需把,与,代入上式即可求出. (2)中,我们把已知的式子变形,由. 求得,再代入,得,把与都代入中,即可求得. (3)也可使用. 求,但是因为其中一角是,即三角形为直角三角形,所以也可使用三角形内角和定理的推论1—直角三角形的两个锐角互余来求解. ‎ 解答:(1) (2) (3)‎ 例02.一个三角形的一个外角是它相邻内角的倍,是不相邻内角的3倍,求这个三角形的各内角. ‎ 分析:三角形的一个外角与它相邻的内角之间的关系是互补,而且是与它不相邻内角的和. ‎ 解答:设与这个外角相邻的内角为,‎ 则有 解得 ‎ ‎∴ 这个三角形的三个内角为,,. ‎ 例03.如图,已知:在中,,延长EF与BC的延长线交于G. ‎ 求证:‎ 分析:欲证,只需证. 观察图形,由是的外角得知,又由是的外角可得整理可证明命题. ‎ 证明:∵ (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内有的和)‎ 又∵ (已知),‎ ‎(对顶角相等)‎ ‎∴. ∴ ①‎ 又∵ ②(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎①+②得 ∴ ‎ 例04.如图,已知,,. ‎ 求:的大小. ‎ 分析:在中,已知与的大小,可求得的度数,是的一个外角. 有,并且已知与的大小. 可求得的大小. ‎ 解答:∵(三角形内角和定理) ‎ ‎∴‎ ‎∵ (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和). ‎ ‎∴. ‎ 例05.已知:BD为的角平分线,CD为的外角的的平分线,它与BD的延长线交于D. (如下图)‎ 求证:‎ 分析:已知三角形的一个内角平分线和一个外角平分线,可以想到利用外角与内角的关系证题,从而有 ‎∴‎ 证明:∵BD、CD分别为、的平分线 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ 例06.已知:如图,在中,于D,AE平分()‎ 求证:‎ 证明:∵AE平分 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例07.如图,P是内任一点,求证:. ‎ 分析:延长BP交AC于D,根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角这一推论,可证出,又因,从而证得. ‎ 证明:延长BP交AC于D. ‎ ‎∵ 是的一个外角,‎ ‎∴ (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角),‎ 又是的一个外角,‎ ‎∴(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角),‎ ‎∴. ‎ 说明:证明此类角的不等关系时,大多考虑三角形内角和定理的推论3,即三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,它指出了三角形的一个外角与它不相邻的内角的不等关系. 请再用其它方法证明. ‎ ‎ 说明:理顺各角之间的关系是关键.‎ 例08.如图,已知,BE平分,CE平分,求证:为直角三角形. ‎ 分析:要证为直角三角形,即证,利用两平行线同旁内角互补和两平行线的内错角相等,以及角平分线定义,不难求出.‎ 证明:略 例09.已知:如图,在中,,BD、CE分别是边AC、AB上的高,BD、CE相交于H,求的度数. ‎ 解答:设 则 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∵ ∴‎ 在中,‎ 说明 用方程思想解答几何求值问题是几何解题中经常使用的.‎ 例10.如图,已知:CE为外角的平分线. CE交AB的延长线于点E. ‎ 求证:‎ 分析:证明角的不等关系,想到本节推论,想到大角是不是某个三角形外角,由图形可知:是的外角,有,而,故只须证,而是的一个外角,是的一个和不相邻的内角,所以,有,故. ‎ 证明:∵CE平分(已知) ∴ ∵ ∴ ∵‎ ‎ ∴‎ 例11.如图,五角星ABCDE,求的度数. ‎ 分析:欲求的度数,则可设法把它们转化为三角形的内角,连结BE,则因为与的内角和都为,且其中的一对内角,∴,即求就是求即求三角形ABE的内角和. ‎ 解答:连结BE,在中,(三角形内角和定理)‎ 即 ‎ 又 ∵ ‎ ‎(三角形内角和定理)‎ ‎(对顶角相等)‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 填空题 ‎(1)在中,‎ ‎①若,,那么________.‎ ‎②如果,那么_________,______.‎ ‎③如果,那么______.‎ ‎④,那么_________,______,________.‎ ‎⑤如果,,那么______,______,________.‎ ‎(2)如图,,,分别是的三个外角,那么______.‎ ‎(3)如图,已知,,,则______.‎ ‎(4)如果三角形的三个角都相等,那么每个内角都等于______.‎ ‎(5)CD是斜边AB上的高,,则________,_______,______.‎ ‎(6)如图,于D,AE平分,,,则_______;‎ ‎(7)如图,________;‎ ‎(8)一个三角形的两角分别为和,则第三个角的平分线与它对边上的高的夹角等于_______;‎ ‎(9)如图,,,,则________.‎ ‎(10)如图,在直角三角形ABC中,,,的平分线相交于O点,则_______;‎ 参考答案:‎ ‎(1)① ②, ③‎ 提示: 两式相加,可得,∴‎ ‎④,, ⑤,,‎ ‎(2) (3) (4) (5),, ‎ ‎(6) ‎ 提示:‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎(7)提示: ‎ ‎(8) (9) (10) ‎ 填空题 ‎(1)如图,已知,,,则_______.‎ ‎(2)如图,________.‎ ‎(3)如图,已知的和的外角夹发线交于D,,则_______.‎ ‎(4)如图,在中,已知AD平分交BC于D,,,那么_______.‎ ‎(5)如图,,,,则______.‎ ‎(6)如图,的一个外角,,则_______.‎ 参考答案:‎ ‎(1) ‎ ‎(2)提示:四边形外角之和为,所以的邻补角为,∴ ‎ ‎ (3),提示,与相邻外角度数为,所以和的外角的一半为,∴ ‎ ‎(4) ‎ ‎(5),提示:连结CD,则 ‎(6)‎ 解答题 ‎1.计算题 ‎(1)如图,已知,,,求,的度数.‎ ‎(2)如图,已知AD是的角平分线,,,求各内角的度数.‎ ‎(3)如图,已知,,.求的大小.‎ ‎(4)如图,已知中,,,,求的大小.‎ ‎(5)如图,已知,,,求的大小.‎ ‎(6)如图,已知于D,于E.,.求的大小.‎ ‎(7)如图,已知,,,求的度数.‎ ‎(8)如图,的一个内角平分线与一个外角平分线交于点D,,,求的度数.‎ 参考答案:‎ ‎1.计算题 ‎(1)解:(已知)‎ ‎∴(两直线平行,同位角相等)‎ ‎ 又∵(三角形内角和定理)‎ ‎ ‎ ‎(2)解:∵(已知)‎ ‎(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内的和)‎ ‎∴ ‎ AD为的角平分线.‎ ‎∴‎ ‎(三角形内角和定理)‎ ‎∴‎ ‎(3)解:(已知)‎ ‎∴(直角三角形两个锐角互余)‎ ‎∴‎ ‎∴(对顶角相等)‎ ‎∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎∴‎ ‎(4)解:.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎∵ (已知)‎ ‎∴‎ 又∵(直角三角形两个锐角互余)‎ ‎∴ ‎ ‎∵(三角形内角和定理)‎ ‎∴‎ ‎(5)解:(三角形内角和定理)‎ ‎ ∴ (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎∴‎ ‎(6)解:(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎ 其中,,(已知)‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎ (直角三角形两个锐角互余)‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎(7)解:(已知)‎ ‎∴,(两直线平行,同位角相等)‎ ‎(两直线平行,同旁内角互补)‎ ‎∴‎ ‎ (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ 又∵ (已知)‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵(三角形内角和定理)‎ ‎∴‎ ‎(8)解:(三角形内角和定理)‎ ‎∴‎ ‎(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎∴ ‎ ‎(三角形内角和定理)‎ ‎∴ ‎ 解答题 ‎1.证明题 ‎(1)如图,已知中,,,D,E为垂足,BD和CE交于点H.求证:.‎ ‎(2)如图,D、E分别在AB、AC上,已知,.求证:.‎ ‎(3)如图,已知D是BC上的一点,且.求证:.‎ ‎(4)如图,已知.求证:.‎ ‎(5)如图,已知:BCD,CAE,AFB为直线,求证:.‎ ‎(6)如图,已知D是的外角平分线与BA的延长线的交点.求证:.‎ ‎(7)如图,已知:在中,的平分线与的平分线相交于点I.‎ 求证:.‎ ‎(8)如图,已知:的三个内角平分线AD,BI,CI相交于点I,于点H.求证:.‎ 参考答案:‎ ‎1.证明题 ‎(1)证明:(已知)‎ ‎∴ (垂直定义)‎ ‎∴,(直角三角形的两个锐角互余)‎ ‎∴(同角的余角相等)‎ ‎(2)证明:∵,(三角形内角和定理)‎ 又∵ (已知)‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ (同位角相等,两直线平行)‎ ‎(3)证明:∵(已知)‎ ‎∴‎ 又∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎∴‎ ‎(4)证明:∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ 又 ∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴(内错角相等,两直线平行)‎ ‎(5)证明:∵(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)‎ ‎∴ ‎ ‎(6)证明:∵ (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎ 又 ∵ (外角平分线定义)‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎(7)证明:应用三角形内角和定理得 ‎ ‎ ‎(8)证明:∵ (直角三角形的两个锐角互余),‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎1、判断题:‎ A、三角形的外角大于它的内角.‎ B、三角形的一个外角等于它的两个内角.‎ C、三角形的外角和是180度.‎ D、三角形的外角中一定有一个锐角.‎ E、若一个三角形有一个外角是100度,则此三角形为锐角三角形.‎ ‎2、下列命题中真命题是(  ).‎ A、一个钝角三角形一定不是等腰三角形 B、钝角三角形是斜三角形  ‎ C、等腰三角形是斜三角形    ‎ D、任意三角形是斜三角形 ‎3、三角形一个内角平分线与其相应的外角平分线位置关系是(  ).‎ ‎  A、相交   B、垂直 C、互为反向延长线  D、不能确定 ‎4、三角形的一个外角小于和它相邻的内角,则这个三角形是(  ).‎ ‎  A、锐角三角形  B、直角三角形  C、钝角三角形 D、都有可能 ‎5、三角形中最大角的范围为___,最小角的范围为____.‎ ‎6、‎ ‎ 7、‎ ‎8、五角星的五个角的度数之和是____每一个角的度数是____.‎ ‎9、‎ 答案: 1.A 错; B 错;C 错;D 错;E错.‎ ‎ 2.B; 3. B; 4. C ; 5.  大角: 小角:; 6. 180度; 7. 70度. 8. 180度. 9. .‎ A B C D E ‎1、‎ 提示:证明角的不等关系应当利用 ‎“三角形一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角” 由此可得证。‎ A B C D E F ‎2、‎ ‎ 提示:此题的结论与图形,不难发现 ‎,‎ 因此须设法把它们联系起来,而三角形内角和定理正好将二者起来。‎