2020九年级数学上册第1章第3课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及特征同步练习1 9页

第1章　二次函数 ‎1．2　二次函数的图象 第3课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及其特征 知识点1　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及 特征 ‎1．将二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是(　　)‎ A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3‎ C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4‎ ‎2．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是(　　)‎ A．直线x＝1 B．直线x＝－1‎ C．直线x＝－2 D．直线x＝2‎ ‎3．抛物线y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是(　　)‎ A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)‎ B．开口向下，顶点坐标为(1，4)‎ C．开口向上，顶点坐标为(1，4)‎ D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)‎ ‎4．下列图象为二次函数y＝2x2－8x＋6的图象的是(　　)‎ 图1－2－15‎ ‎5．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．‎ ‎6．二次函数y＝(k＋2)x2的图象开口向下，则k的取值范围是________．‎ ‎7．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ 9‎ y＝x2＋3x－2，y＝1－6x－x2，y＝3x2－2x＋4.‎ 知识点2　抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的平移 ‎8．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的函数表达式是(　　)‎ A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2‎ C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3‎ ‎9．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有________(填写所有正确选项的序号)．‎ ‎10．如果将抛物线y＝x2－4平移到抛物线y＝x2－4x的位置，那么平移的方向和距离是__________________．‎ 知识点3　求二次函数的表达式 ‎11．根据已知条件，求二次函数表达式：‎ ‎(1)抛物线的顶点是(3，－1)，且过点(2，3)；‎ ‎(2)抛物线过(0，1)，(－1，0)，(1，0)三点；‎ ‎(3)抛物线的对称轴是直线x＝2，且过点(1，4)和(5，0)．‎ 9‎ ‎12．2017·贵港将如图1－2－16所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式是(　　)‎ 图1－2－16‎ A．y＝(x－1)2＋1 B．y＝(x＋1)2＋1‎ C．y＝2(x－1)2＋1 D．y＝2(x＋1)2＋1 ‎ ‎13．将抛物线y＝x2＋bx＋c先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值为(　　)‎ A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0‎ C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝2‎ ‎14．2017·遵义如图1－2－17，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴l如图所示．则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③‎2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中所有正确的结论是(　　)‎ 图1－2－17‎ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④‎ ‎15．已知点A(a－2b，2－4ab)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为(　　)‎ A．(－3，7) B．(－1，7)‎ 9‎ C．(－4，10) D．(0，10)‎ ‎16．2017·广东改编如图1－2－18，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.‎ ‎(1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的函数表达式；‎ ‎(2)当P是线段BC的中点时，求点P的坐标．‎ 图1－2－18‎ ‎17．2017·东阳模拟我们知道，对于二次函数y＝a(x＋m)2＋k的图象，可由二次函数y＝ax2的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到，我们称二次函数y＝ax2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y＝a(x＋m)2＋k为“基本函数”y＝ax2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为“朋友路径”，对应点之间的线段长度称为“朋友距离”．‎ 由此，我们所学的函数：二次函数y＝ax2，正比例函数y＝kx和反比例函数y＝都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．‎ 如一次函数y＝2x－5是“基本函数”y＝2x的“朋友函数”，由y＝2x－5＝2(x－1)－3可知“朋友路径”可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，“朋友距离”＝＝.‎ ‎(1)探究一：小明同学经过思考后，为函数y＝2x－5又找到了一条“朋友路径”：由“基本函数”y＝2x先向________，再向下平移7单位，相应的“朋友距离”为________；‎ 9‎ ‎(2)探究二：已知函数y＝x2－6x＋5，求它的“基本函数”“朋友路径”和相应的“朋友距离”；‎ ‎(3)探究三：为函数y＝和它的“基本函数”y＝找到“朋友路径”，并求相应的“朋友距离”．‎ 9‎ 详解详析 ‎1．B　2.B ‎3．A　[解析] ∵二次函数y＝x2＋2x－3的二次项系数为a＝1＞0，‎ ‎∴抛物线开口向上．‎ ‎∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，‎ ‎∴顶点坐标为(－1，－4)．‎ ‎4．A ‎5．4　6.k<－2‎ ‎7．解：(1)y＝x2＋3x－2＝x2＋3x＋()2－()2－2＝(x＋)2－，‎ ‎∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为(－，－)．‎ ‎(2)y＝1－6x－x2‎ ‎＝－x2－6x＋1‎ ‎＝－(x2＋6x＋9－9)＋1‎ ‎＝－(x＋3)2＋10，‎ ‎∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为(－3，10)．‎ ‎(3)y＝3x2－2x＋4‎ ‎＝3(x2－x＋－)＋4‎ ‎＝3(x－)2－＋4‎ ‎＝3(x－)2＋，‎ ‎∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，顶点坐标为(，)．‎ ‎8．C 9‎ ‎9．①③　[解析] 函数y＝x2＋2x－3可化为y＝(x＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y＝x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4的图象，故①正确；函数y＝(x＋1)2－4的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y＝(x－1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4的图象，故③正确．‎ ‎10．向右平移2个单位　[解析] ∵抛物线y＝x2－4的顶点坐标是(0，－4)，抛物线y＝x2－4x＝(x－2)2－4的顶点坐标是(2，－4)，‎ 而把点(0，－4)向右平移2个单位得到点(2，－4)，‎ ‎∴平移方法是向右平移2个单位．‎ ‎11．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(3，－1)，‎ ‎∴设表达式为y＝a(x－3)2－1.‎ 把(2，3)代入，得a＝4，‎ ‎∴二次函数表达式为y＝4(x－3)2－1.‎ ‎(2)设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.‎ 将(0，1)，(－1，0)，(1，0)代入，得 解得 ‎∴二次函数表达式为y＝－x2＋1.‎ ‎(3)设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，‎ 由题意得 解得 ‎∴二次函数表达式为y＝－x2＋2x＋.‎ 9‎ ‎12．C　[解析] 设原抛物线的函数表达式为y＝ax2－2，把(1，0)代入，得a－2＝0，解得a＝2，所以抛物线的函数表达式为y＝2x2－2，抛物线y＝2x2－2向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得y＝2(x－1)2－2＋3，即y＝2(x－1)2＋1.故选C.‎ ‎13．B ‎14．D　[解析] ∵开口向下，∴a＜0.∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，即b＞0.∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，即abc＜0，结论①错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，∴a－b＋c＝0，结论②正确；∵当x＝2时，y＜0，即‎4a＋2b＋c＜0，又b＝a＋c，∴‎4a＋2(a＋c)＋c＜0，即‎2a＋c＜0，结论③正确；∵a－b＋c＝0，∴c＝b－a.又∵‎4a＋2b＋c＜0，∴‎4a＋2b＋b－a＜0，∴‎3a＋3b＜0，∴a＋b＜0，结论④正确．‎ ‎15．D　[解析] ∵点A(a－2b，2－4ab)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，‎ ‎∴2－4ab＝(a－2b)2＋4(a－2b)＋10，化简得a2＋4b2＋4a－8b＋8＝0，(a＋2)2＋4(b－1)2＝0，∴a＋2＝0且b－1＝0，∴a＝－2，b＝1，∴A(－4，10)．‎ ‎∵抛物线y＝x2＋4x＋10的对称轴为直线x＝－2，则点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为(0，10)．故选D.‎ ‎16．解：(1)将点A，B的坐标代入抛物线的函数表达式y＝－x2＋ax＋b，得 解得a＝4，b＝－3，‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4x－3.‎ ‎(2)∵点C在y轴上，‎ ‎∴点C的横坐标为0.‎ ‎∵P是线段BC的中点，‎ ‎∴点P的横坐标xP＝＝.‎ ‎∵点P在抛物线y＝－x2＋4x－3上，‎ ‎∴yP＝－＋4×－3＝，‎ ‎∴点P的坐标为.‎ ‎17．解：(1)左平移1个单位　5 9‎ ‎(2)“基本函数”为y＝x2.‎ ‎∵原抛物线的顶点坐标为(0，0)，新抛物线的顶点坐标为(3，－4)，‎ ‎∴“朋友路径”为先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，‎ 相应的“朋友距离”为＝5.‎ ‎(3)∵函数y＝可化为y＝＋3，‎ ‎∴“朋友路径”为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，相应的“朋友距离”为＝＝.‎ 9‎