2020年重庆市南岸区南开融侨中学中考数学第三次模拟试题（解析版） 26页

‎2020年重庆市南岸区南开融侨中学中考数学第三次模拟试题 ‎ 一、选择题 ‎1.比大的数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据有理数的加减即可求解.‎ ‎【详解】由有理数的加减，-3+5=2，故选C ‎【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知有理数的性质.‎ ‎2.如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据简单几何体的三视图即可求解.‎ ‎【详解】三视图的俯视图，应从上面看，故选C ‎【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知三视图的定义.‎ ‎3.2019年4月10日，人类首张黑洞图片问世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系的中心，距离地球万光年.将数据万用科学计数法表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据科学计数法的表示方法即可求解.‎ ‎【详解】5500万=5.5×107，故选C ‎【点睛】此题主要考查科学计数法的表示，解题的关键是熟知科学计数法的表示方法.‎ ‎4.在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度后得到的点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直角坐标系的坐标平移即可求解.‎ ‎【详解】一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加4，故选A ‎【点睛】此题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.‎ ‎5.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若，则的度数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行的性质即可求解.‎ ‎【详解】根据平行线的性质得到∠3=∠1=30°，‎ ‎∴∠2=45°-∠3=15°.‎ 以及等腰直角三角形的性质，故选B ‎【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等.‎ ‎6.下列计算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据整式的运算法则即可求解.‎ ‎【详解】A选项明显错误，B选项正确结果为，C选项，故选D ‎【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知整式的运算法则.‎ ‎7.分式方程的解为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式方程的解法即可求解.‎ ‎【详解】根据分式方程的解法去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1)‎ 化简得2x=-2,‎ 解得x=-1，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的求解.‎ ‎8.如图所示，直线y1=﹣x与双曲线y=交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC=15时，求k的值为（　　）‎ A. ﹣10 B. ﹣9 C. 6 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，设，则，利用勾股定理表示出，则，接着利用三角形面积公式得到，解出得到，，然后把，代入中可求出的值．‎ ‎【详解】解：∵直线y1=﹣x与双曲线y=交于A，B两点，‎ ‎∴点A与点B关于原点对称，OA=OB，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴OA=OB=OC，‎ 设A（t，﹣t），则B（﹣t， t），‎ ‎∴OA==﹣t，‎ ‎∴OC=﹣t，‎ ‎∵S△ABC=15，‎ ‎∴×（﹣t）（﹣t﹣）=15，解得t=﹣，‎ ‎∴A（﹣，2），‎ 把A（﹣，2）代入y=得k=﹣×2=﹣9．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】（1）本题考查了正比例函数与反比例函数中心对称性；‎ ‎（2）考查了待定系数法求函数解析式；‎ ‎（3）通过中心对称得到，再利用直角三角形性质得到是解题关键．‎ ‎9.如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆周角的性质即可求解.‎ ‎【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，‎ 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，‎ 故∠CPD=,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.‎ ‎10.一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）‎ A. 10.2 B. 9.8 C. 11.2 D. 10.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于．设，在中，根据，构造方程解决问题即可．‎ ‎【详解】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J．‎ 由题意四边形EFTB四边形DHTJ是矩形，‎ ‎∴BT=EF=1.4米，JT=DH，‎ 在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，‎ ‎∴DH=1（米），CH=2.4（米），‎ ‎∵∠ACT=45°，∠T=90°，‎ ‎∴AT=TC，‎ 设AT=TC=x．则DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，‎ 在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，‎ ‎∴=0.75，‎ 解得x=2，‎ ‎∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查解直角三角形的应用测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．‎ ‎11.若关于x的分式方程﹣=3的解为正整数，且关于y的不等式组至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m的取值之和为（　　）‎ A. 1 B. 0 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m的值，最后求和即可．‎ ‎【详解】解：化简不等式组为，‎ 解得：﹣2＜y≤，‎ ‎∵不等式组至多有六个整数解，‎ ‎∴≤4，‎ ‎∴m≤3，‎ 将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得 x+m﹣1=3（x﹣2），‎ 解得：x=，‎ ‎∵分式方程的解为正整数，‎ ‎∴m+5是2的倍数，‎ ‎∵m≤3，‎ ‎∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3，‎ ‎∵x≠2，‎ ‎∴≠2，‎ ‎∴m≠﹣1，‎ ‎∴m=﹣3或m=1或m=3，‎ ‎∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．‎ ‎12.△ABC中，∠ACB=45°，D为AC上一点，AD=5，连接BD，将△ABD沿BD翻折至△EBD，点A的对应点E点恰好落在边BC上．延长BC至点F，连接DF，若CF=2，tan∠ABD=，则DF长为（　　）‎ A. B. C. 5 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作于，交于，作于．设，，由，可知．‎ 由折叠可知，平分，，得，在中，，得出，因此，，，所以，‎ 得，，，再由勾股定理．‎ ‎【详解】解：如图．过A作AH⊥BC于H，交BD于P，作DG⊥BC于G．‎ 设PH=x，AP=y，‎ ‎∵tan∠ABD=，‎ ‎∴BH=2HP=2x．‎ 由折叠可知，BD平分∠ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴AB=2y，‎ 在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，‎ 即，（x+y）2+（2x）2=（2y）2，‎ ‎∴y=x，‎ ‎∴AB=，AH=AP+PH=+x=x，‎ ‎∵∠ACB=45°，AH⊥BC，‎ ‎∴CH=AH=‎ BC=BH+CH=2x+=，‎ ‎∴，‎ ‎∴CD=7，‎ ‎∴DG=CG=7，‎ ‎∵CF=2，‎ ‎∴FG=7+2=9，‎ ‎∴DF==，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了折叠问题，要熟练掌握角平分线的性质．构造直角三角形，利用勾股定理、三角函数表示各线段数量关系，构造方程是解题的关键．‎ 二、填空题 ‎13.若与互为相反数，则的值为_______.‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相反数的性质即可求解.‎ ‎【详解】m+1+(-2)＝0，所以m＝1.‎ ‎【点睛】此题主要考查相反数的应用，解题的关键是熟知相反数的性质.‎ ‎14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过证明，即可求出CE的长．‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ 在△ABD和△ACE中 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．‎ ‎15.已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是________．‎ ‎【答案】k＜3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据时，函数图象经过第一、二、四象限，即可求解；‎ ‎【详解】解：的图象经过第一、二、四象限，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；熟练掌握一次函数与对函数图象的影响是解题的关键．‎ ‎16.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为_______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作法得到∠COE=∠OAB，则OE//AB,利用平行四边形的性质判断OE为△A BC的中位线，从而得到OE的长.‎ ‎【详解】解：由作法得∠COE＝∠OAB，‎ ‎∴OE∥AB，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴OC＝OA，‎ ‎∴CE＝BE，‎ ‎∴OE为△ABC的中位线，‎ ‎∴OE＝AB＝×8＝4．‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形的中位线、平行四边形的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键.‎ ‎17.A、B两地之间有一修理厂C，一日小海和王陆分别从A、B两地同时出发相向而行，王陆开车，小海骑摩托．二人相遇时小海的摩托车突然出故障无法前行，王陆决定将小海和摩托车一起送回到修理厂C后再继续按原路前行，王陆到达A地后立即返回B地，到B地后不再继续前行，等待小海前来（装载摩托车时间和掉头时间忽略不计），整个行驶过程中王陆速度不变，而小海在修理厂花了十分钟修好摩托车，为了赶时间，提速前往目的地B，小海到达B地后也结束行程，若图象表示的是小海与王陆二人到修理厂C的距离和y（km）与小海出行时间之间x（h）的关系，则当王陆第二次与小海在行驶中相遇时，小海离目的地B还有_____km．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从时，得、两地距离为，再从，得，第一次相遇点与点距离为，根据题意与函数图象知，当时，王陆回到了点，进而求得王陆的速度，再根据相遇问题求出两人的速度和，进而得小海的速度，设把摩托车送回到修理厂后，再过，两人第二次相遇，根据追及问题列出方程求得，进而求得第二次相遇时，他们距地的距离，即可求得结果．‎ ‎【详解】解：从函数图象可知，∵x=0h时，y=80km，‎ ‎∴AB=80km，‎ 设两人第一次相遇地点为D地，‎ ‎∵x=h，y=20km，‎ ‎∴BD﹣BC=20÷2=10（km），‎ 由函数图象可知，当时间x=2h时，王陆回到了B地，‎ ‎∴王陆的速度为：（80×2+10×2）÷2=90（km/h），‎ ‎∴小海原来的速度为：80÷﹣90=30（km/h），‎ 小海后来的速度为：30×（1+）=40（km/h），‎ 设把摩托车送回到修理厂C后，再过ah，两人第二次相遇，则 ‎90a=[30×+10]×2+40（a﹣﹣），‎ ‎∴a=，‎ ‎∴当王陆第二次与小海在行驶中相遇时，小海离目的地B的距离为：‎ ‎80﹣[30×+10+40（a﹣﹣）]=14．‎ ‎【点睛】本题为单线型一次函数行程问题，考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，读懂函数图像蕴含的信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．涉及相遇问题与追及问题，熟练掌握相遇问题与追及问题中的等量关系，是解题关键所在．‎ ‎18.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据菱形和平移的性质得出四边形A′B′CD是平行四边形，进而得出A′D＝B′C，根据最短路径问题的步骤求解即可得出答案．‎ ‎【详解】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，‎ ‎∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，‎ ‎∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，‎ ‎∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠BAD＝120°，‎ ‎∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，‎ ‎∴四边形A′B′CD是平行四边形，‎ ‎∴A′D＝B′C，‎ ‎∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，‎ ‎∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，‎ ‎∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，‎ 则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，‎ ‎∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，‎ ‎∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，‎ ‎∴DE＝1，‎ ‎∴DE＝CD，‎ ‎∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，‎ ‎∴∠E＝∠DCE＝30°，‎ ‎∴CE＝CD＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的是菱形的性质以及最短路径问题，难度较大，需要熟练掌握相关基础知识．‎ 三、解答题 ‎19.（1）计算：.‎ ‎（2）解不等式组：‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据实数的性质即可化简求解；‎ ‎（2）根据不等式的性质分别求解不等式，再找到其公共解集.‎ ‎【详解】（1）解：原式=‎ ‎=‎ ‎=-4‎ ‎（2）解不等式①得： ；‎ 解不等式②得：‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】此题主要考查实数的运算及不等式的性质，解题的关键是熟知实数的性质、不等式求解方法.‎ ‎20.某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：‎ a．七年级成绩频数分布直方图：‎ b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79‎ c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：‎ 年级 平均数 中位数 七 ‎76.9‎ m 八 ‎79.2‎ ‎79.5‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　 　人；‎ ‎（2）表中m的值为　 　；‎ ‎（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；‎ ‎（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．‎ ‎【答案】（1）23（2）77.5（3）甲学生在该年级的排名更靠前（4）224‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条形图及成绩在这一组的数据可得；‎ ‎（2）根据中位数的定义求解可得；‎ ‎（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；‎ ‎（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．‎ ‎【详解】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人，‎ 故答案为23；‎ ‎（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，‎ ‎，‎ 故答案为77.5；‎ ‎（3）甲学生在该年级的排名更靠前，‎ 七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前，‎ 八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后，‎ 甲学生在该年级的排名更靠前．‎ ‎（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为（人）．‎ ‎【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．‎ ‎21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.‎ ‎【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；‎ ‎（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）‎ 将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴‎ 故反比例函数的表达式为 ‎（2）联立直线与反比例函数，‎ 解得，当时，，故B（-8,1）‎ 如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知 S梯形AMNB=S△AOB，‎ ‎∴S梯形AMNB=S△AOB===‎ ‎【点睛】此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.‎ ‎22.甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍，两人各加工 600 个这种零件，甲比乙少用 5 天．‎ ‎（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？‎ ‎（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元，现有 3000 个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过 7800 元，那么甲至少加工了多少天？‎ ‎【答案】（1）乙每天加工40个幂件,甲每天加工60个件；（2）甲至少加工40天.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；‎ ‎（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．‎ ‎【详解】（1）设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件 化简得600×1.5=600+5×1.5x 解得x=40‎ ‎∴1.5x=60‎ 经检验，x=40是分式方程的解且符合实际意义．‎ 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件.‎ ‎（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得 ‎ ‎ 由①得y=75-1.5x  ③‎ 将③代入②得150x+120（75-1.5x）≤7800‎ 解得x≥40，‎ 当x=40时，y=15，符合问题的实际意义．‎ 答：甲至少加工了40天．‎ ‎【点睛】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．‎ ‎23.模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：‎ ‎（1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标．‎ ‎（2）画出函数图象 函数图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．‎ ‎（3）平移直线，观察函数图象 ‎①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为　 　；‎ ‎②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．‎ ‎（4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　．‎ ‎【答案】（1）一（2）见解析（3）①②；（4）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；‎ ‎（2）直接画出图象即可；‎ ‎（3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解；‎ ‎（4）运用（3）的相关结论即可．‎ ‎【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，‎ 故点在第一象限，‎ 答案为：一；‎ ‎（2）图象如下所示：‎ ‎（3）①把点代入得：‎ ‎，解得：；‎ ‎②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，‎ 联立和并整理得：，‎ 时，两个函数有交点，‎ 解得：；‎ ‎（4）由（3）得：．‎ ‎【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．‎ ‎24.如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．‎ ‎（1）在旋转过程中，‎ ‎①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．‎ ‎②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．‎ ‎（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．‎ ‎【答案】（1）①20；②20或10；（2）30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①根据D在AM上还是AM的延长线上分两种情况求解即可.‎ ‎②由图可知∠MAD不能为直角，当∠AMD或∠ADM=90为直角时，分别应用勾股定理解答即可.‎ ‎（2）连接CD，先用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2= CD1即可.‎ ‎【详解】（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．‎ ‎②显然∠MAD不能为直角．‎ 当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，‎ ‎∴AM＝20或（﹣20舍弃）．‎ 当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，‎ ‎∴AM＝10或（﹣10舍弃）．‎ 综上所述，满足条件的AM的值为20或10．‎ ‎（2）如图2中，连接CD．‎ 由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，‎ ‎∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30，‎ ‎∵∠AD2C＝135°，‎ ‎∴∠CD2D1＝90°，‎ ‎∴CD1＝＝30，‎ ‎∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，‎ ‎∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，‎ ‎∴∠BAD2＝∠CAD1，‎ ‎∵AB＝AC，AD2＝AD1，‎ ‎∴△BAD2≌△CAD1（SAS），‎ ‎∴BD2＝CD1＝30．‎ ‎【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键.‎ ‎25.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；‎ ‎【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线经过点，与轴相交于，‎ 两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；‎ ‎（2）先确定二次函数对称轴，BC长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三角函数求出∠C′BC，再根据角平分线求出∠DBC，解直角三角形可以求得点和点的坐标，本题得以解决．‎ ‎【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，‎ ‎∴，得，‎ 即抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）∵与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，‎ ‎∴BC=3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x==1，‎ 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，‎ 则点H的坐标为（1，0），‎ ‎∴BH=2，‎ ‎∵将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，点C′恰好落在抛物线的对称轴上，‎ ‎∴BC=BC′=4，∠C′HB=90°，∠C′BD=∠DBC，‎ ‎∴OC′==2，cos∠C′BH===，‎ ‎∴C′的坐标为（1，2），∠C′BH=60°，‎ ‎∴∠DBC=30°，‎ ‎∵BH=2，∠DBH=30°，‎ ‎∴OD=BH•tan30°=2×=，‎ ‎∴点D的坐标为（1，），‎ 由上可得，点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）．‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎26.如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，.‎ 探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝___，AC＝___，△ABC的面积＝___.‎ 拓展：如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD＝x，AE＝m，CF＝n，（当点D与A重合时，我们认为＝0）.‎ ‎（1）用含x、m或n代数式表示及；‎ ‎（2）求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值；‎ ‎（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围.‎ 发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.‎ ‎【答案】探究：12，15，84；拓展：（1），；（2）；x=时，（）的最大值为15；当时，（）的最小值为12；（3）或；发现：.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 探究：由，AB=13，可得BH的长，即可求出CH的长，利用勾股定理求出AH、AC的长即可；拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；（2）首先由（1）可得，，再根据S△ABD+S△CBD=S△ABC=84，即可求出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长；根据反比例函数的性质即可得答案；（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△ABC的边AC上的高时，D点符合题意；②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；发现：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．‎ ‎【详解】探究：∵，AB=13，‎ ‎∴BH＝5，‎ ‎∴，‎ ‎∴HC＝9，，‎ ‎∴S△ABC=×12×14=84，‎ 故答案为12，15，84；‎ 拓展：解：（1）由三角形面积公式得出：，；‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵AC边上的高为：，‎ ‎∴x的取值范围为：，‎ ‎∵（）随的增大而减小，‎ ‎∴时，（）的最大值为：15；‎ 当时，（）的最小值为12；‎ ‎（3）∵BC＞BA，只能确定唯一的点D，‎ ‎∴当以B为圆心，以大于且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，‎ ‎①当BD为△ABC的边AC上的高时，即x=时，BD与AC有一个交点，符合题意，‎ ‎②当AB＜BD≤BC时，即时，BD与AC有一个交点，符合题意，‎ ‎∴x的取值范围是或，‎ 发现：‎ ‎∵AC＞BC＞AB，‎ ‎∴AC、BC、AB三边上高中，AC边上的高最短，‎ ‎∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，最小值为AC边上的高的长.‎ ‎【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.‎