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  • 2021-11-11 发布

2020年重庆市南岸区南开融侨中学中考数学第三次模拟试题(解析版)

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‎2020年重庆市南岸区南开融侨中学中考数学第三次模拟试题 ‎ 一、选择题 ‎1.比大的数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据有理数的加减即可求解.‎ ‎【详解】由有理数的加减,-3+5=2,故选C ‎【点睛】此题主要考查有理数的运算,解题的关键是熟知有理数的性质.‎ ‎2.如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成,它的俯视图是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据简单几何体的三视图即可求解.‎ ‎【详解】三视图的俯视图,应从上面看,故选C ‎【点睛】此题主要考查三视图的判断,解题的关键是熟知三视图的定义.‎ ‎3.2019年4月10日,人类首张黑洞图片问世,该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系的中心,距离地球万光年.将数据万用科学计数法表示为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据科学计数法的表示方法即可求解.‎ ‎【详解】5500万=5.5×107,故选C ‎【点睛】此题主要考查科学计数法的表示,解题的关键是熟知科学计数法的表示方法.‎ ‎4.在平面直角坐标系中,将点向右平移个单位长度后得到的点的坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直角坐标系的坐标平移即可求解.‎ ‎【详解】一个点向右平移之后的点的坐标,纵坐标不变,横坐标加4,故选A ‎【点睛】此题主要考查坐标的平移,解题的关键是熟知直角坐标系的特点.‎ ‎5.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起,若,则的度数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行的性质即可求解.‎ ‎【详解】根据平行线的性质得到∠3=∠1=30°,‎ ‎∴∠2=45°-∠3=15°.‎ 以及等腰直角三角形的性质,故选B ‎【点睛】此题主要考查平行线的性质,解题的关键是熟知两直线平行,内错角相等.‎ ‎6.下列计算正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据整式的运算法则即可求解.‎ ‎【详解】A选项明显错误,B选项正确结果为,C选项,故选D ‎【点睛】此题主要考查整式的运算,解题的关键是熟知整式的运算法则.‎ ‎7.分式方程的解为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式方程的解法即可求解.‎ ‎【详解】根据分式方程的解法去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1)‎ 化简得2x=-2,‎ 解得x=-1,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】此题主要考查分式方程的求解,解题的关键是熟知分式方程的求解.‎ ‎8.如图所示,直线y1=﹣x与双曲线y=交于A,B两点,点C在x轴上,连接AC,BC.当AC⊥BC,S△ABC=15时,求k的值为(  )‎ A. ﹣10 B. ﹣9 C. 6 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称,,再根据直角三角形斜边上的中线性质得到,设,则,利用勾股定理表示出,则,接着利用三角形面积公式得到,解出得到,,然后把,代入中可求出的值.‎ ‎【详解】解:∵直线y1=﹣x与双曲线y=交于A,B两点,‎ ‎∴点A与点B关于原点对称,OA=OB,‎ ‎∵AC⊥BC,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴OA=OB=OC,‎ 设A(t,﹣t),则B(﹣t, t),‎ ‎∴OA==﹣t,‎ ‎∴OC=﹣t,‎ ‎∵S△ABC=15,‎ ‎∴×(﹣t)(﹣t﹣)=15,解得t=﹣,‎ ‎∴A(﹣,2),‎ 把A(﹣,2)代入y=得k=﹣×2=﹣9.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】(1)本题考查了正比例函数与反比例函数中心对称性;‎ ‎(2)考查了待定系数法求函数解析式;‎ ‎(3)通过中心对称得到,再利用直角三角形性质得到是解题关键.‎ ‎9.如图,正五边形内接于⊙,为上的一点(点不与点重合),则的度数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆周角的性质即可求解.‎ ‎【详解】连接CO、DO,正五边形内心与相邻两点的夹角为72°,即∠COD=72°,‎ 同一圆中,同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半,‎ 故∠CPD=,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质,解题的关键是熟知圆周角定理的应用.‎ ‎10.一天,小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度,他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°,然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°(身高忽略不计).已知斜坡CD坡度i=1:2.4,坡长为2.6米,旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米,旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上.则请问旗杆自身高度AB为(  )米.‎ ‎(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)‎ A. 10.2 B. 9.8 C. 11.2 D. 10.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图,作交的延长线于,延长交的延长线于,作于.设,在中,根据,构造方程解决问题即可.‎ ‎【详解】解:如图,作DH⊥FC交FC的延长线于H,延长AB交CF的延长线于T,作DJ⊥AT于J.‎ 由题意四边形EFTB四边形DHTJ是矩形,‎ ‎∴BT=EF=1.4米,JT=DH,‎ 在Rt△DCH中,∵CD=2.6米,=,‎ ‎∴DH=1(米),CH=2.4(米),‎ ‎∵∠ACT=45°,∠T=90°,‎ ‎∴AT=TC,‎ 设AT=TC=x.则DJ=TH=(x+2.4)米,AJ=(x﹣1)米,‎ 在Rt△ADJ中,∵tan∠ADJ==0.75,‎ ‎∴=0.75,‎ 解得x=2,‎ ‎∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8(米),‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查解直角三角形的应用测量高度问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,要熟练掌握仰角,坡度等概念,为中考常见题型.‎ ‎11.若关于x的分式方程﹣=3的解为正整数,且关于y的不等式组至多有六个整数解,则符合条件的所有整数m的取值之和为(  )‎ A. 1 B. 0 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出一元一次不等式组的解集,根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m的取值范围,再解分式方程,依据“解为正整数”进一步确定m的值,最后求和即可.‎ ‎【详解】解:化简不等式组为,‎ 解得:﹣2<y≤,‎ ‎∵不等式组至多有六个整数解,‎ ‎∴≤4,‎ ‎∴m≤3,‎ 将分式方程的两边同时乘以x﹣2,得 x+m﹣1=3(x﹣2),‎ 解得:x=,‎ ‎∵分式方程的解为正整数,‎ ‎∴m+5是2的倍数,‎ ‎∵m≤3,‎ ‎∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3,‎ ‎∵x≠2,‎ ‎∴≠2,‎ ‎∴m≠﹣1,‎ ‎∴m=﹣3或m=1或m=3,‎ ‎∴符合条件的所有整数m的取值之和为1,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组;熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法,是解题关键,分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点.‎ ‎12.△ABC中,∠ACB=45°,D为AC上一点,AD=5,连接BD,将△ABD沿BD翻折至△EBD,点A的对应点E点恰好落在边BC上.延长BC至点F,连接DF,若CF=2,tan∠ABD=,则DF长为(  )‎ A. B. C. 5 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作于,交于,作于.设,,由,可知.‎ 由折叠可知,平分,,得,在中,,得出,因此,,,所以,‎ 得,,,再由勾股定理.‎ ‎【详解】解:如图.过A作AH⊥BC于H,交BD于P,作DG⊥BC于G.‎ 设PH=x,AP=y,‎ ‎∵tan∠ABD=,‎ ‎∴BH=2HP=2x.‎ 由折叠可知,BD平分∠ABC,‎ ‎∴,‎ ‎∴AB=2y,‎ 在Rt△ABH中,AH2+BH2=AB2,‎ 即,(x+y)2+(2x)2=(2y)2,‎ ‎∴y=x,‎ ‎∴AB=,AH=AP+PH=+x=x,‎ ‎∵∠ACB=45°,AH⊥BC,‎ ‎∴CH=AH=‎ BC=BH+CH=2x+=,‎ ‎∴,‎ ‎∴CD=7,‎ ‎∴DG=CG=7,‎ ‎∵CF=2,‎ ‎∴FG=7+2=9,‎ ‎∴DF==,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了折叠问题,要熟练掌握角平分线的性质.构造直角三角形,利用勾股定理、三角函数表示各线段数量关系,构造方程是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13.若与互为相反数,则的值为_______.‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相反数的性质即可求解.‎ ‎【详解】m+1+(-2)=0,所以m=1.‎ ‎【点睛】此题主要考查相反数的应用,解题的关键是熟知相反数的性质.‎ ‎14.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为__________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过证明,即可求出CE的长.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ 在△ABD和△ACE中 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为:9.‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的问题,掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键.‎ ‎15.已知一次函数y=(k﹣3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是________.‎ ‎【答案】k<3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据时,函数图象经过第一、二、四象限,即可求解;‎ ‎【详解】解:的图象经过第一、二、四象限,‎ ‎∴,‎ ‎∴;‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系;熟练掌握一次函数与对函数图象的影响是解题的关键.‎ ‎16.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;②以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC于点M';③以点M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠COB内部交前面的弧于点N';④过点N'作射线ON'交BC于点E.若AB=8,则线段OE的长为_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作法得到∠COE=∠OAB,则OE//AB,利用平行四边形的性质判断OE为△A BC的中位线,从而得到OE的长.‎ ‎【详解】解:由作法得∠COE=∠OAB,‎ ‎∴OE∥AB,‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴OC=OA,‎ ‎∴CE=BE,‎ ‎∴OE为△ABC的中位线,‎ ‎∴OE=AB=×8=4.‎ 故答案为4.‎ ‎【点睛】本题考查了三角形的中位线、平行四边形的性质,掌握三角形中位线的性质是解题的关键.‎ ‎17.A、B两地之间有一修理厂C,一日小海和王陆分别从A、B两地同时出发相向而行,王陆开车,小海骑摩托.二人相遇时小海的摩托车突然出故障无法前行,王陆决定将小海和摩托车一起送回到修理厂C后再继续按原路前行,王陆到达A地后立即返回B地,到B地后不再继续前行,等待小海前来(装载摩托车时间和掉头时间忽略不计),整个行驶过程中王陆速度不变,而小海在修理厂花了十分钟修好摩托车,为了赶时间,提速前往目的地B,小海到达B地后也结束行程,若图象表示的是小海与王陆二人到修理厂C的距离和y(km)与小海出行时间之间x(h)的关系,则当王陆第二次与小海在行驶中相遇时,小海离目的地B还有_____km.‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从时,得、两地距离为,再从,得,第一次相遇点与点距离为,根据题意与函数图象知,当时,王陆回到了点,进而求得王陆的速度,再根据相遇问题求出两人的速度和,进而得小海的速度,设把摩托车送回到修理厂后,再过,两人第二次相遇,根据追及问题列出方程求得,进而求得第二次相遇时,他们距地的距离,即可求得结果.‎ ‎【详解】解:从函数图象可知,∵x=0h时,y=80km,‎ ‎∴AB=80km,‎ 设两人第一次相遇地点为D地,‎ ‎∵x=h,y=20km,‎ ‎∴BD﹣BC=20÷2=10(km),‎ 由函数图象可知,当时间x=2h时,王陆回到了B地,‎ ‎∴王陆的速度为:(80×2+10×2)÷2=90(km/h),‎ ‎∴小海原来的速度为:80÷﹣90=30(km/h),‎ 小海后来的速度为:30×(1+)=40(km/h),‎ 设把摩托车送回到修理厂C后,再过ah,两人第二次相遇,则 ‎90a=[30×+10]×2+40(a﹣﹣),‎ ‎∴a=,‎ ‎∴当王陆第二次与小海在行驶中相遇时,小海离目的地B的距离为:‎ ‎80﹣[30×+10+40(a﹣﹣)]=14.‎ ‎【点睛】本题为单线型一次函数行程问题,考查一次函数的应用,解题的关键是理解题意,读懂函数图像蕴含的信息,灵活运用所学知识解决问题,属于中考填空题中的压轴题.涉及相遇问题与追及问题,熟练掌握相遇问题与追及问题中的等量关系,是解题关键所在.‎ ‎18.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',分别连接A'C,A'D,B'C,则A'C+B'C的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据菱形和平移的性质得出四边形A′B′CD是平行四边形,进而得出A′D=B′C,根据最短路径问题的步骤求解即可得出答案.‎ ‎【详解】解:∵在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,‎ ‎∴AB=CD=1,∠ABD=30°,‎ ‎∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',‎ ‎∴A′B′=AB=1,A′B′∥AB,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∴∠BAD=120°,‎ ‎∴A′B′=CD,A′B′∥CD,‎ ‎∴四边形A′B′CD是平行四边形,‎ ‎∴A′D=B′C,‎ ‎∴A'C+B'C的最小值=A′C+A′D的最小值,‎ ‎∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上,‎ ‎∴作点D关于定直线的对称点E,连接CE交定直线于A′,‎ 则CE的长度即为A'C+B'C的最小值,‎ ‎∵∠A′AD=∠ADB=30°,AD=1,‎ ‎∴∠ADE=60°,DH=EH=AD=,‎ ‎∴DE=1,‎ ‎∴DE=CD,‎ ‎∵∠CDE=∠EDB′+∠CDB=90°+30°=120°,‎ ‎∴∠E=∠DCE=30°,‎ ‎∴CE=CD=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查的是菱形的性质以及最短路径问题,难度较大,需要熟练掌握相关基础知识.‎ 三、解答题 ‎19.(1)计算:.‎ ‎(2)解不等式组:‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据实数的性质即可化简求解;‎ ‎(2)根据不等式的性质分别求解不等式,再找到其公共解集.‎ ‎【详解】(1)解:原式=‎ ‎=‎ ‎=-4‎ ‎(2)解不等式①得: ;‎ 解不等式②得:‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】此题主要考查实数的运算及不等式的性质,解题的关键是熟知实数的性质、不等式求解方法.‎ ‎20.某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下:‎ a.七年级成绩频数分布直方图:‎ b.七年级成绩在这一组的是:70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79‎ c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下:‎ 年级 平均数 中位数 七 ‎76.9‎ m 八 ‎79.2‎ ‎79.5‎ 根据以上信息,回答下列问题:‎ ‎(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有   人;‎ ‎(2)表中m的值为   ;‎ ‎(3)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由;‎ ‎(4)该校七年级学生有400人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.‎ ‎【答案】(1)23(2)77.5(3)甲学生在该年级的排名更靠前(4)224‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据条形图及成绩在这一组的数据可得;‎ ‎(2)根据中位数的定义求解可得;‎ ‎(3)将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案;‎ ‎(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得.‎ ‎【详解】解:(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有人,‎ 故答案为23;‎ ‎(2)七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数,而第25、26个数据分别为78、79,‎ ‎,‎ 故答案为77.5;‎ ‎(3)甲学生在该年级的排名更靠前,‎ 七年级学生甲的成绩大于中位数78分,其名次在该班25名之前,‎ 八年级学生乙的成绩小于中位数78分,其名次在该班25名之后,‎ 甲学生在该年级的排名更靠前.‎ ‎(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为(人).‎ ‎【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体,解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用.‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系中,一次函数和的图象相交于点,反比例函数的图象经过点.‎ ‎(1)求反比例函数的表达式;‎ ‎(2)设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为,连接,求的面积.‎ ‎【答案】(1)反比例函数的表达式为;(2)的面积为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)联立两一次函数解出A点坐标,再代入反比例函数即可求解;‎ ‎(2)联立一次函数与反比例函数求出B点坐标,再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.‎ ‎【详解】(1)由题意:联立直线方程,可得,故A点坐标为(-2,4)‎ 将A(-2,4)代入反比例函数表达式,有,∴‎ 故反比例函数的表达式为 ‎(2)联立直线与反比例函数,‎ 解得,当时,,故B(-8,1)‎ 如图,过A,B两点分别作轴的垂线,交轴于M、N两点,由模型可知 S梯形AMNB=S△AOB,‎ ‎∴S梯形AMNB=S△AOB===‎ ‎【点睛】此题主要考查一次函数与反比例函数综合,解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.‎ ‎22.甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍,两人各加工 600 个这种零件,甲比乙少用 5 天.‎ ‎(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件?‎ ‎(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元,现有 3000 个这种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过 7800 元,那么甲至少加工了多少天?‎ ‎【答案】(1)乙每天加工40个幂件,甲每天加工60个件;(2)甲至少加工40天.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件,根据甲比乙少用5天,列分式方程求解;‎ ‎(2)设甲加工了x天,乙加工了y天,根据3000个零件,列方程;根据总加工费不超过7800元,列不等式,方程和不等式综合考虑求解即可.‎ ‎【详解】(1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件 化简得600×1.5=600+5×1.5x 解得x=40‎ ‎∴1.5x=60‎ 经检验,x=40是分式方程的解且符合实际意义.‎ 答:甲每天加工60个零件,乙每天加工,40个零件.‎ ‎(2)设甲加工了x天,乙加工了y天,则由题意得 ‎ ‎ 由①得y=75-1.5x  ③‎ 将③代入②得150x+120(75-1.5x)≤7800‎ 解得x≥40,‎ 当x=40时,y=15,符合问题的实际意义.‎ 答:甲至少加工了40天.‎ ‎【点睛】本题是分式方程与不等式的实际应用题,题目数量关系清晰,难度不大.‎ ‎23.模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:‎ ‎(1)建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得,即;由周长为m,得,即.满足要求的应是两个函数图象在第   象限内交点的坐标.‎ ‎(2)画出函数图象 函数图象如图所示,而函数的图象可由直线平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线.‎ ‎(3)平移直线,观察函数图象 ‎①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时,周长m的值为   ;‎ ‎②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.‎ ‎(4)得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为   .‎ ‎【答案】(1)一(2)见解析(3)①②;(4)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)x,y都是边长,因此,都是正数,即可求解;‎ ‎(2)直接画出图象即可;‎ ‎(3)①把点代入即可求解;②在直线平移过程中,交点个数有:0个、1个、2个三种情况,联立和并整理得:,即可求解;‎ ‎(4)运用(3)的相关结论即可.‎ ‎【详解】解:(1)x,y都是边长,因此,都是正数,‎ 故点在第一象限,‎ 答案为:一;‎ ‎(2)图象如下所示:‎ ‎(3)①把点代入得:‎ ‎,解得:;‎ ‎②在直线平移过程中,交点个数有:0个、1个、2个三种情况,‎ 联立和并整理得:,‎ 时,两个函数有交点,‎ 解得:;‎ ‎(4)由(3)得:.‎ ‎【点睛】本题为反比例函数综合运用题,涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点,此类探究题,通常按照题设条件逐次求解,一般难度不大.‎ ‎24.如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.‎ ‎(1)在旋转过程中,‎ ‎①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长.‎ ‎②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.‎ ‎(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连结D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.‎ ‎【答案】(1)①20;②20或10;(2)30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)①根据D在AM上还是AM的延长线上分两种情况求解即可.‎ ‎②由图可知∠MAD不能为直角,当∠AMD或∠ADM=90为直角时,分别应用勾股定理解答即可.‎ ‎(2)连接CD,先用勾股定理求出CD1,再利用全等三角形的性质证明BD2= CD1即可.‎ ‎【详解】(1)①AM=AD+DM=40,或AM=AD﹣DM=20.‎ ‎②显然∠MAD不能为直角.‎ 当∠AMD为直角时,AM2=AD2﹣DM2=302﹣102=800,‎ ‎∴AM=20或(﹣20舍弃).‎ 当∠ADM=90°时,AM2=AD2+DM2=302+102=1000,‎ ‎∴AM=10或(﹣10舍弃).‎ 综上所述,满足条件的AM的值为20或10.‎ ‎(2)如图2中,连接CD.‎ 由题意:∠D1AD2=90°,AD1=AD2=30,‎ ‎∴∠AD2D1=45°,D1D2=30,‎ ‎∵∠AD2C=135°,‎ ‎∴∠CD2D1=90°,‎ ‎∴CD1==30,‎ ‎∵∠BAC=∠A1AD2=90°,‎ ‎∴∠BAC﹣∠CAD2=∠D2AD1﹣∠CAD2,‎ ‎∴∠BAD2=∠CAD1,‎ ‎∵AB=AC,AD2=AD1,‎ ‎∴△BAD2≌△CAD1(SAS),‎ ‎∴BD2=CD1=30.‎ ‎【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识,正确添加常用辅助线,构造全等三角形是解答本题的关键.‎ ‎25.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣2,5),与x轴相交于B(﹣1,0),C(3,0)两点.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D,若点C′恰好落在抛物线的对称轴上,求点C′和点D的坐标;‎ ‎【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)点C′的坐标为(1,2),点D的坐标为(1,)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据抛物线经过点,与轴相交于,‎ 两点,利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可;‎ ‎(2)先确定二次函数对称轴,BC长度,根据题意和翻折的性质,得到B C′长度,利用三角函数求出∠C′BC,再根据角平分线求出∠DBC,解直角三角形可以求得点和点的坐标,本题得以解决.‎ ‎【详解】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣2,5),与x轴相交于B(﹣1,0),C(3,0)两点,‎ ‎∴,得,‎ 即抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3;‎ ‎(2)∵与x轴相交于B(﹣1,0),C(3,0)两点,‎ ‎∴BC=3﹣(﹣1)=3+1=4,该抛物线的对称轴是直线x==1,‎ 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H,‎ 则点H的坐标为(1,0),‎ ‎∴BH=2,‎ ‎∵将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D,点C′恰好落在抛物线的对称轴上,‎ ‎∴BC=BC′=4,∠C′HB=90°,∠C′BD=∠DBC,‎ ‎∴OC′==2,cos∠C′BH===,‎ ‎∴C′的坐标为(1,2),∠C′BH=60°,‎ ‎∴∠DBC=30°,‎ ‎∵BH=2,∠DBH=30°,‎ ‎∴OD=BH•tan30°=2×=,‎ ‎∴点D的坐标为(1,),‎ 由上可得,点C′的坐标为(1,2),点D的坐标为(1,).‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式,图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.‎ ‎26.如图1和图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,.‎ 探究:如图1,AH⊥BC于点H,则AH=___,AC=___,△ABC的面积=___.‎ 拓展:如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F,设BD=x,AE=m,CF=n,(当点D与A重合时,我们认为=0).‎ ‎(1)用含x、m或n代数式表示及;‎ ‎(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;‎ ‎(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.‎ 发现:请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.‎ ‎【答案】探究:12,15,84;拓展:(1),;(2);x=时,()的最大值为15;当时,()的最小值为12;(3)或;发现:.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 探究:由,AB=13,可得BH的长,即可求出CH的长,利用勾股定理求出AH、AC的长即可;拓展:(1)由三角形的面积公式即可求解;(2)首先由(1)可得,,再根据S△ABD+S△CBD=S△ABC=84,即可求出(m+n)与x的函数关系式,然后由点D在AC上(可与点A,C重合),可知x的最小值为AC边上的高,最大值为BC的长;根据反比例函数的性质即可得答案;(3)由于BC>BA,所以当以B为圆心,以大于且小于13为半径画圆时,与AC有两个交点,不符合题意,故根据点D的唯一性,分两种情况:①当BD为△ABC的边AC上的高时,D点符合题意;②当AB<BD≤BC时,D点符合题意;发现:由于AC>BC>AB,所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线.‎ ‎【详解】探究:∵,AB=13,‎ ‎∴BH=5,‎ ‎∴,‎ ‎∴HC=9,,‎ ‎∴S△ABC=×12×14=84,‎ 故答案为12,15,84;‎ 拓展:解:(1)由三角形面积公式得出:,;‎ ‎(2)∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∵AC边上的高为:,‎ ‎∴x的取值范围为:,‎ ‎∵()随的增大而减小,‎ ‎∴时,()的最大值为:15;‎ 当时,()的最小值为12;‎ ‎(3)∵BC>BA,只能确定唯一的点D,‎ ‎∴当以B为圆心,以大于且小于13为半径画圆时,与AC有两个交点,不符合题意,‎ ‎①当BD为△ABC的边AC上的高时,即x=时,BD与AC有一个交点,符合题意,‎ ‎②当AB<BD≤BC时,即时,BD与AC有一个交点,符合题意,‎ ‎∴x的取值范围是或,‎ 发现:‎ ‎∵AC>BC>AB,‎ ‎∴AC、BC、AB三边上高中,AC边上的高最短,‎ ‎∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线,最小值为AC边上的高的长.‎ ‎【点睛】本题考查了勾股定理,三角形的面积,反比例函数的性质等知识,综合性较强,熟练掌握相关性质及定理是解题关键.‎