2020九年级数学上册 第4章 相似三角形 4 5页

4.5 相似三角形的性质及其应用(1)‎ ‎(见A本45页)‎ A　练就好基础　基础达标 ‎1．用幻灯机将一个三角形ABC的边长放大到原来的4倍，下列说法中不正确的是(　A　)‎ A．放大后∠A，∠B，∠C是原来的4倍 B．放大后对应角平分线是原来的4倍 C．放大后对应边长是原来的4倍 D．放大后对应中线长是原来的4倍 ‎2．兰州中考已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　A　)‎ A. B. C. D. ‎3．设O为△ABC内部一点，且满足S△OAB＝S△OBC＝S△OAC，则O为△ABC的(　B　)‎ A．外心 B．重心 C．垂心 D．任意一点 第4题图 ‎4．安徽中考如图所示，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　B　)‎ A．4 B．‎4‎ C．6 D．4 ‎5．如图所示，△ABC中的AC边与一刻度尺重叠放置，DE∥AB，若DE＝30，则AB＝__45__．‎ ‎　‎ 第5题图 5‎ ‎　　　图(a)　　　　　图(b)‎ 第6题图 ‎6．如图(a)，有一质地均匀的三角形铁片，其中一中线AD长‎24 cm.若小亮想用食指撑住此铁片，如图(b)，则支撑点设在距离D点__8__cm处最恰当．‎ 第7题图 ‎7．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，在AB边上取一点D，使BD＝BC，过点D作DE⊥AB交AC于点E，AC＝8，BC＝6.则DE的长为__3__．‎ 第8题图 ‎8．2017·杭州中考如图所示，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.‎ ‎(1)求证：△ADE∽△ABC.‎ ‎(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．‎ 解：(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，‎ ‎∴∠AFE＝∠AGC＝90°，‎ ‎∵∠EAF＝∠GAC，‎ ‎∴∠AED＝∠ACB，‎ ‎∵∠EAD＝∠BAC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC.‎ ‎(2)由(1)可知△ADE∽△ABC，‎ ‎∴＝＝，‎ 由(1)可知∠AFE＝∠AGC＝90°，‎ ‎∴∠EAF＝∠GAC，‎ ‎∴△EAF∽△CAG，‎ ‎∴＝＝.‎ 5‎ 第9题图 ‎9．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：‎ 第一步，分别以点A，D为圆心、大于AD长的一半为半径作弧，在AD两侧交于点M，N；‎ 第二步，连结MN分别交AB，AC于点E，F；‎ 第三步，连结DE，DF.‎ 若BD＝6，AF＝4，CD＝3，求BE的长．‎ 解：∵根据作法可知，MN是线段AD的垂直平分线，‎ ‎∴AE＝DE，AF＝DF，∴∠EAD＝∠EDA，‎ ‎∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，‎ ‎∴∠EDA＝∠CAD，∴DE∥AC，同理，DF∥AE，‎ ‎∴四边形AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF，‎ ‎∵AF＝4，∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，‎ ‎∵DE∥AC，∴＝，‎ ‎∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，∴＝，∴BE＝8.‎ B　更上一层楼　能力提升 第10题图 ‎10．如图所示，O为矩形ABCD的中心，将直角三角形的直角顶点与O重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N. 如果AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y，则y与x的表达式是(　D　)‎ A．y＝x B．y＝ C．y＝x D．y＝x ‎11．滨州中考如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连结AE并延长交DC于点F，则＝____．‎ 第11题图 5‎ ‎12．已知直角三角形的两条直角边分别为‎3 cm、‎4 cm，则重心到外心的距离为____cm.‎ ‎13．2017·泸州中考在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC，AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O.若OD＝‎2 cm，OE＝‎4 cm，则线段AO的长度为__4__cm.‎ ‎14．如图所示，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC＝‎15 cm，BC＝‎20 cm.若将斜边上的高CD 分成n等分，然后裁出(n－1)张宽度相等的长方形纸条．则这(n－1)张纸条的面积和是____cm2.‎ 第14题图 C　开拓新思路　拓展创新 ‎15．如图所示，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，AC＝2DF＝4.‎ ‎(1)这两个三角形是否相似？请说明理由．‎ ‎(2)能否分别过点A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别相似？证明你的结论．‎ 第15题图 解：(1)不相似，理由如下：‎ ‎∵在Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4；‎ 在Rt△EDF中，∠D＝90°，DE＝3，DF＝2.‎ ‎∴＝1，＝2或＝，＝.‎ ‎∴≠或≠.‎ ‎∴Rt△BAC与Rt△EDF不相似．‎ ‎(2)能作如图所示的辅助线进行分割．‎ 具体作法：作∠BAM＝∠E，交BC于M；作∠NDE＝∠B，交EF于N.‎ ‎　　‎ 第15题答图 由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN.‎ ‎∵∠BAM＝∠E，∠NDE＝∠B，‎ 5‎ 又∵∠AMC＝∠BAM＋∠B，∠FND＝∠E＋∠NDE，‎ ‎∴∠AMC＝∠FND.‎ ‎∵∠FDN＝90°－∠NDE，∠C＝90°－∠B，‎ ‎∴∠FDN＝∠C.∴△AMC∽△FND.‎ ‎16．2017·河池中考(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M.求证：AE＝BF.‎ ‎(2)如图2，将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．‎ 第16题图 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC＝∠C，AB＝BC.‎ ‎∵AE⊥BF，‎ ‎∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，‎ ‎∵∠ABM＋∠CBF＝90°，‎ ‎∴∠BAM＝∠CBF.‎ 在△ABE和△BCF中，‎ ‎∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF.‎ ‎(2)AE＝BF.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC＝∠C，∵AE⊥BF，‎ ‎∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，‎ ‎∵∠ABM＋∠CBF＝90°，‎ ‎∴∠BAM＝∠CBF，‎ ‎∴△ABE∽△BCF，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴AE＝BF.‎ 5‎