呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形第19课时等腰三角形课件 40页

第 19 课时 等腰三角形 第四单元　三角形 定义 　 有 ① 　　　 相等的三角形叫做等腰三角形 . 相等的两边叫做腰 , 另一边叫做底边 , 两腰的夹角叫做顶角 , 腰和底边的夹角叫做底角   性质 (1) 两个底角相等 ( 简称 ② 　　 　　 )  (2) 顶角平分线、底边上的 ③ 　　　　 、底边上的高相互重合 ( 简称三线合一 )  (3) 是轴对称图形 , 有 ④ 　　　　 条对称轴   判定 (1) 在 △ ABC 中 , AB=AC ⇒△ ABC 是等腰三角形 ( 定义 ) (2) 在 △ ABC 中 , ∠ B= ∠ C ⇒△ ABC 是等腰三角形 考点一　等腰三角形 考点聚焦 两边 等边对等角 中线 1 （续表） 考点二　等边三角形 60° 3 考点三　垂直平分线、角平分线 名称 图形 性质及判定 垂直 平分线 　 若直线 l ⊥ AB 于点 O , OA=OB , 则 AP=BP 　 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 　 若 PA=PB , OA=OB , 则 l ⊥ AB 　 到一条线段两个端点距离相等的点 , 在这条线段的垂直平分线上 角平分线 由 ∠ 1 = ∠ 2, PE ⊥ OA , PF ⊥ OB 可得 PE=PF 　 角平分线上的点到角两边的距离相等 由 PE ⊥ OA , PF ⊥ OB , PE=PF 可得 ∠ 1 = ∠ 2 　 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 题组一　必会题 对点演练 图 1 9 -1 [ 答案 ] C 2 . [ 八上 P77 练习第 3 题改编 ] 如图 19-2, 在 △ ABC 中 , AB=AD=DC , ∠ BAD= 26°, 则∠ B= 　　　　 , ∠ C= 　　　　 .  图 19-2 [ 答案 ] 77° 　 38 . 5° 3 . [ 八上 P78 例 2 改编 ] 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边 , 那么这个三角形是 　　　　 .  [ 答案 ] 等腰三角形 　 [ 解析 ] 如图 , CD 平分∠ ACE , 且 AB ∥ CD , ∴∠ ACD= ∠ DCE , ∠ A= ∠ ACD , ∠ ABC= ∠ DCE , ∴∠ ABC= ∠ A , ∴ △ ABC 为等腰三角形 . 4 . [ 八上 P82 习题 13 . 3 第 7 题改编 ] 如图 19-3, AB=AC , ∠ A= 40°, AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D , 则∠ DBC= 　　　　 .  图 19-3 [ 答案 ] 30° 　 [ 解析 ] ∵ AB=AC , ∴∠ ABC= ∠ C= 70° . ∵ MN 垂直平分 AB , ∴ DA=DB , ∴∠ A= ∠ ABD= 40°, ∴∠ DBC= ∠ ABC - ∠ ABD= 70°-40° = 30° . 5 . [ 八上 P83 习题 13 . 3 第 10 题改编 ] 如图 19-4,△ ABC 中 , BO 平分∠ ABC , CO 平分∠ ACB , MN 经过点 O , 与 AB , AC 相交于点 M , N , 且 MN ∥ BC. 则 △ AMN 的周长等于 　　　　 ( 用含 △ ABC 三边的式子表示 ) .  图 19-4 AB + AC 题组二　易错题 【 失分点 】 当腰与底不确定时或顶角与底角不确定时 , 忽视分类讨论造成漏解 . 6 . 等腰三角形一边长等于 5, 另一边长等于 10, 则它的周长是 　　　　 .  [ 答案 ] 25 　 [ 解析 ] 当 5 为腰 ,10 为底时 , ∵ 5+5 = 10, ∴不能构成三角形 ; 当腰为 10 时 , ∵ 5+10 > 10, ∴能构成三角形 , ∴等腰三角形的周长为 :10+10+5 = 25 . 7 . 某等腰三角形的一个外角为 140°, 则底角为 　　 　　 .  40° 或 70° 考向一　等腰三角形的性质及判定 例 1 (1) 若等腰三角形的底角是 70°, 那么它的顶角是 　　　　 .  (2) 若等腰三角形的一个角是 70°, 那么它的顶角是 　　　　 .  (3) 若等腰三角形的一个外角是 70°, 那么它的顶角是 　　　　 .  (4) 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 60°, 那么它的顶角是 　　　　 .  (5) 若等腰三角形两边长分别为 3 和 4, 则这个等腰三角形的周长是 　　　　 .  (6) 若等腰三角形的一边长为 4, 周长为 10, 则底边长为 　　　　 .  [ 答案 ] (1)40° [ 解析 ] (1) ∵等腰三角形两底角相等且三角形内角和为 180°, ∴顶角为 180°-70°×2 = 40° . 例 1 (2) 若等腰三角形的一个角是 70°, 那么它的顶角是 　　　　 .  (3) 若等腰三角形的一个外角是 70°, 那么它的顶角是 　　　　 .  [ 答案 ] (2)70° 或 40° [ 解析 ] (2) 当 70° 角为底角时 , 顶角为 40°; 当 70° 角是顶角时 , 顶角就是 70° . ∴顶角为 70° 或 40° . [ 答案 ] (3)110° [ 解析 ] (3) ∵外角是 70°, ∴对应的内角为 110°,110° 只能为顶角 . 例 1 (4) 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 60°, 那么它的顶角是 　　 .  (5) 若等腰三角形两边长分别为 3 和 4, 则这个等腰三角形的周长是 　　　　 .  [ 答案 ] (4)150° 或 30° [ 解析 ] (4) 当三角形为钝角三角形时 , 顶角为 150° . 当三角形为锐角三角形时 , 顶角为 30° . [ 答案 ] (5)10 或 11 [ 解析 ] (5) 当 3 为底 ,4 为腰时 ,3+4 > 4, 成立 , ∴周长为 3+4+4 = 11 . 当 3 为腰 ,4 为底时 ,3+3 > 4 成立 , ∴周长为 3+3+4 = 10 . 综上 , 周长为 11 或 10 . 例 1 (6) 若等腰三角形的一边长为 4, 周长为 10, 则底边长为 　　　　 .    [ 答案 ] (6)2 或 4 | 考向精练 | 1 . [2017· 呼和浩特实验集团警钟考 ] 等腰三角形的边长分别为 a , b ,2, 且 a , b 是关于 x 的一元二次方程 x 2 -6 x + n -1 = 0 的两根 , 则 n 的值为 ( 　　 ) A . 9 B . 10 C . 9 或 10 D . 8 或 10 B 2 . [2019· 包头昆区二模 ] 如图 19-5,△ ABC 中 , 以 B 为圆心 , BC 长为半径画弧 , 分别交 AC , AB 于 D , E 两点 , 连接 BD , DE , 若∠ A= 30°, AB=AC , 则∠ BDE 的度数为 ( 　　 ) A . 45° B . 52 . 5° C . 67 . 5° D . 75° 图 19-5 C 3 . [2018· 呼和浩特一模 ] 已知一等腰三角形底边上的高等于 18 cm, 腰上的中线等于 15 cm, 则这个等腰三角形的面积为 　　　　 cm 2 .  [ 答案 ] 144 4 . [2014· 呼和浩特 13 题 ] 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36°, 则该等腰三角形的底角的度数为 　　　　 .  [ 答案 ] 63° 或 27° 　 [ 解析 ] 在三角形 ABC 中 , AB=AC , BD ⊥ AC 于 D. ①若三角形是锐角三角形 , 如图① , ∠ A= 90°-36° = 54°, 底角 = (180°-54°)÷2 = 63°; ②若三角形是钝角三角形 , 如图② , ∠ BAC= 36°+90° = 126°, 此时底角 = (180°-126°)÷2 = 27° . 所以等腰三角形底角的度数是 63° 或 27° . 5 . [2017· 呼和浩特 18 题 ] 如图 19-6, 等腰三角形 ABC 中 , BD , CE 分别是两腰上的中线 . (1) 求证 : BD=CE. (2) 设 BD 与 CE 相交于点 O , 点 M , N 分别为线段 BO 和 CO 的中点 . 当 △ ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时 , 判断四边形 DEMN 的形状 , 无需说明理由 . 图 19-6 5 . [2017· 呼和浩特 18 题 ] 如图 19-6, 等腰三角形 ABC 中 , BD , CE 分别是两腰上的中线 . (2) 设 BD 与 CE 相交于点 O , 点 M , N 分别为线段 BO 和 CO 的中点 . 当 △ ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时 , 判断四边形 DEMN 的形状 , 无需说明理由 . 图 19-6 (2) 四边形 DEMN 为正方形 . 6 . [2019· 重庆 A 卷 ] 如图 19-7, 在 △ ABC 中 , AB=AC , D 是 BC 边上的中点 , 连接 AD , BE 平分∠ ABC 交 AC 于点 E , 过点 E 作 EF ∥ BC 交 AB 于点 F. (1) 若∠ C= 36°, 求∠ BAD 的度数 ; (2) 求证 : FB=FE. 图 19-7 6 . [2019· 重庆 A 卷 ] 如图 19-7, 在 △ ABC 中 , AB=AC , D 是 BC 边上的中点 , 连接 AD , BE 平分∠ ABC 交 AC 于点 E , 过点 E 作 EF ∥ BC 交 AB 于点 F. (2) 求证 : FB=FE. 图 19-7 (2) 证明 : ∵ BE 平分∠ ABC , ∴∠ ABE= ∠ CBE. ∵ EF ∥ BC , ∴∠ FEB= ∠ CBE. ∴∠ ABE= ∠ FEB. ∴ FB=FE. 考向二　等边三角形的性质及判定 例 2 [ 八上 P93 复习题 13 第 13 题 ] 如图 19-8,△ ABC 是等边三角形 , BD 是中线 , 延长 BC 至 E , 使 CE=CD. 求证 : DB=DE. 图 19-8 | 考向精练 | 1 . 如图 19-9, 点 A , C , B 在同一直线上 ,△ DAC 和 △ EBC 均是等边三角形 , AE 与 BD 交于点 O , AE , BD 分别与 CD , CE 交于点 M , N , 有如下结论 : ① AE=BD ; ② △ ACM ≌△ DCN ; ③ EM=BN ; ④ MN ∥ BC ; ⑤∠ DOA= 60°, 其中 , 正确的结论个数是 ( 　　 ) A . 5 个 B . 4 个 C . 3 个 D . 2 个 图 19-9 [ 答案 ] A 2 . 如图 19-10, 已知等边三角形 ABC 中 , BD=CE , AD 与 BE 交于点 P , 则∠ APE= 　　　 .  图 19-10 [ 答案 ] 60° 3 . [2019· 呼和浩特一模 ] 如图 19-11, BD 是☉ O 的弦 , 点 C 在 BD 上 , 以 BC 为边作等边三角形 ABC , 点 A 在圆内 , 且 AC 恰好经过点 O , 其中 BC= 12, OA= 8, 则 BD 的长为 　　　　 .  图 19-11 [ 答案 ] 20 考向三　垂直平分线和角平分线 例 3 (1) 如图 19-12, AB ∥ CD , BP 和 CP 分别平分∠ ABC 和∠ DCB , AD 过点 P , 且与 AB 垂直 . 若 AD= 8, 则点 P 到 BC 的距离是 ( 　　 ) A . 8 B . 6 C . 4 D . 2 图 19-12 [ 答案 ] C 　 [ 解析 ] 过点 P 作 PE ⊥ BC 于 E , ∵ AB ∥ CD , PA ⊥ AB , ∴ PD ⊥ CD. ∵ BP , CP 分别平分∠ ABC 和∠ DCB , ∴ PA=PE , PD=PE , ∴ PE=PA=PD. ∵ PA + PD=AD= 8, ∴ PA=PD= 4, 即 PE= 4 . 例 3 (2) [2019· 南充 ] 如图 19-13, 在 △ ABC 中 , AB 的垂直平分线交 AB 于点 D , 交 BC 于点 E , 若 BC= 6, AC= 5, 则 △ ACE 的周长为 ( 　　 ) A . 8 B . 11 C . 16 D . 17 图 19-13 [ 答案 ] B 　 [ 解析 ] ∵ DE 垂直平分 AB , ∴ AE=BE , ∴ △ ACE 的周长 =AC + CE + AE=AC + CE + BE=AC + BC= 5+6 = 11, 故选 B . | 考向精练 | 1 . [2019· 梧州 ] 如图 19-14, DE 是 △ ABC 的边 AB 的垂直平分线 , D 为垂足 , DE 交 AC 于点 E , 且 AC= 8, BC= 5, 则 △ BEC 的周长是 ( 　　 ) A . 12 B . 13 C . 14 D . 15 图 19-14 [ 答案 ] B 　 [ 解析 ] ∵ DE 是 △ ABC 的边 AB 的垂直平分线 , ∴ AE=BE , ∵ AC= 8, BC= 5, ∴ △ BEC 的周长是 : BE + EC + BC =AE + EC + BC=AC + BC= 13 . 故选 B . 2 . [2019· 湖州 ] 如图 19-15, 已知在四边形 ABCD 中 , ∠ BCD= 90°, BD 平分∠ ABC , AB= 6, BC= 9, CD= 4, 则四边形 ABCD 的面积是 ( 　　 ) A . 24 B . 30 C . 36 D . 42 图 19-15 [ 答案 ] B