2020年中考数学专题复习：方程与不等式 9页

第二章 方程式与不等式 一、考点综述 考点内容： 1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 5、一元二次方程根的判别式及应用 6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 7、不等式的基本性质 8、一元一次不等式（组）的解法及应用 二、例题精析 题型一：计算 例 1 解方程： ． 【解题思路】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将 结果代入最简公分母即可． 原方程变形为 方程两边都乘以 ，去分母并整 理得 ，解这个方程得 ．经检验， 是原方程的根， 是原方程的增根．∴原方程的根是 ． 【答案】 ． 【规律总结】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘 记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少． 例 2． 【解题思路】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法． 由方程①可得 ， ∴ .它们与方程②分别组成两个方程组： 2 24 1 1 1 x x x x   )1)(1( 4 1 2 1  xxxx x )1)(1(  xx 022  xx 1,2 21  xx 2x 1x      .03 ,04 2 22 xyx yx      ②xyx ①yx .03 ,04 2 22    022  yxyx 02,02  yxyx 或      04 02 2 xyx yx      04 02 2 xyx yx 解方程组 可知，此方程组无解； 解方程组 得 所以原方程组的解是 【答案】 【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破 方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的 方程组，求解． 解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就 是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解． 题型二：不等式（组）及解集 例 4 已知方程组 的解 x、y 满足 2x+y≥0，则 m 的取值范围是（ ） A．m≥－ B．m≥ C．m≥1 D．－ ≤m≤1 【解题思路】由题意，可求出 ，代入 2x+y≥0，解得 m≥－ ．或 者 也 可 整 体 求 值 ， 把 第 (2) 式 乘 以 4 减去第(1) 式 直 接 得 ，得 ，解得 m≥－ ． 【答案】选 A． 【规律总结】本题一般做法是把 m 看作是已知系数，用含 m 的代数式表示 x、y，解出 方程组的解，然后再把所求的 x、y 的值入题目中的不等式，从而得到只含 m 的不等式，求 出解集．或者也可以依据题目条件的特点，从整体考虑，直接进行整理得到与不等式相关的 代数式，进行求解． 题型三：方程解几何问题      04 02 2 xyx yx      04 02 2 xyx yx           4 2 4 2 2 2 2 1 y x x x           4 2 4 2 2 2 2 1 y x x x 2, 2 3 1 y x m y x m      4 3 7 52,7 1 mymx  43147  mxy 07 432  myx 例 3 如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱 侧面的一部分，其展开图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧 AB 所在圆的圆心为 O． 车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结 果保留 ）． 【考点要求】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法 和工具，通常结合勾股定理的形式出现． 【解题思路】连结 OB，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，交弧 AB 于 F，如图． 由垂径定理，可知：E 是 AB 中点，F 是弧 AB 中点， ∴EF 是弓形高 ∴AE= 2 ，EF=2． 设半径为 R 米，则 OE=(R－2)米． 在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2= ．解 得 R =4． ∵sin∠AOE= ， ∴ ∠AOE=60°， ∴∠AOB=120°． ∴弧 AB 的长为 = ． ∴帆布的面积为 ×60=160 （平方米）． 【答案】160 （平方米）． 【规律总结】方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的 形式出现，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起 来，能将生活中的问题抽象为数学问题． 题型四：方程解实际应用 例 5．某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 、  AB2 1 3 22 )32()2( R 2 3OA AE 180 4120  3 8  3 8 A · E F O B A O B A · 图乙 图甲 A B 2 米 4 3 米 60 米 两种产品，共 50 件．已知生产一件 种产品，需用甲种原料 9 千克，乙种原料 3 千克； 生产一件 种产品，需用甲种原料 4 千克，乙种原料 10 千克． （1） 据现有条件安排 、 两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来． （2） 若甲种原料每千克 80 元，乙种原料每千克 120 元，怎样设计成本最低． 【解题思路】（1）设生产 种产品 件， 种产品 件．按这样生产需甲种的原料 ，∴ 即： ．∵ 为整数，∴ ∴ 有三种生产方案． 第一种方案：生产 种产品 30 件， 种产品 20 件； 第二种方案：生产 种产品 31 件， 种产品 19 件； 第三种方案：生产 种产品 32 件， 种产品 18 件． （2）第一种方案的成本： （元）． 第二种方案的成本： （元）． 第三种方案的成本： （元）． ∴第三种方案成本最低． 【答案】（1）第一种方案：生产 种产品 30 件， 种产品 20 件； 第二种方案：生产 种产品 31 件， 种产品 19 件； 第三种方案：生产 种产品 32 件， 种产品 18 件． （2）第三种方案成本最低． 【规律总结】解决本题的关键在于找出生产 种产品和 种产品分别甲种原料和乙种 原料的数量，再根据厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组，解不等式组得出结果可得 三种生产方案．再根据三种不同方案，求出最低成本． 三、综合训练 一、选择题 1. 不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+ =0; C. D.(x+2)(x-3)==-5 2. 若 是方程 的两个实数根，则 的值 （ ） B A A B x )50( x      290)50(103 360)50(49 xx xx      .30 ,32 x x 3230  x x ,32,31,30x 62800)2010303(120)204309(80  62360)1910313(120)194319(80  61920)1810303(120)184329(80  5 4 22 3 0xx   , 2 2 2007 0xx   2 3   A．2007 B．2005 C．－2007 D．4010 3．某超市一月份的营业额为 200 万元,已知第一季度的总营业额共 1000 万元, 如果平 均每月增长率为 x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 4.一元一次不等式组 的解集是 （ ） A．-2＜x＜3 B．-3＜x＜2 C．x＜-3 D．x＜2 5．如图 1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 （ ） A． B． C．x+1≥-1 D．-2x＞4 6．关于 x 的方程 的解是非负数，那么 a 满足的条件是( ) A．a＞3 B．a≤3 C．a＜3 D．a≥3 二、填空题 1. 已知方程组 的一组解是 ，则其另外一组解是 ． 2. 3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要______场比赛，则 5 名 同学一共需要______比赛． 3．不等式 的解集是__________________． 4．当 x_________时，代数代 的值是正数． 5．不等式组 的解集是__________________． 6．不等式 的正整数解是_______________________． 7． 的最小值是 a， 的最大值是 b，则      xx x 332 312 12 1 x 32 3 x 632  xa x y a x y b    2 3 x y    13 2 x x32       3 1 2 134 xx xx 0103 x 2x  6x .___________ba 8．生产某种产品，原需 a 小时，现在由于提高了工效，可以节约时间 8%至 15%，若现 在所需要的时间为 b 小时，则____________< b <_____________． 三、解答题 1．已知关于 x、y 的方程组 ． （1）求这个方程组的解； （2）当 m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于 1，y 不小于－1． 2．已知方程组 的解为负数，求 k 的取值范围． 3．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这 户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分 还要按每度 0.5 元交费． ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少 元（用 A 表示）？ ②下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况： 月份 用电量（度） 交电费总数（元） 3 月 80 25      myx yx 2 12      172 652 yx kyx 4 月 45 10 根据上表数据，求电厂规定 A 度为多少？ 4．艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等. （1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ （2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺 品 100 件．若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少 元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元? 5．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在 修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作 24 天可以完成， 需费用 120 万元，若甲单独做 20 天后，剩下的工程由乙做，还需 40 天才能完成，这样需费 用 110 万元．问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单 独完成此项工程，各需要费用多少万元？ 答 案 一 、选择题 1．B（提示：先将各方程整理为一般式，再利用根的判别式进行判断，B 项中 ＜0，所以 B 项方程无实数根） 2．B（提示：因为 是方程 的两个实数根，则 ， 把 它 代 入 原 式 得 ， 再 利 用 根 与 系 数 的 关 系 得 2 54 16 4 4 44b ac       , 2 2 2007 0xx   2 2007 2 2007 2 3 2007          ，所以原式=2005） 3．D（提示：第一季度 1000 万元营业额为一、二、三三个月的总额，应把三个月营业 额相加） 4．C（提示：不等式①的解集为 x＜2，不等式②的解集为 x＜－3，共公部分为 x＜－3） 5. C（提示：解四个不等式，得解集分别为 x＞－2，x≥－9，x≥－2，x＜－2，数轴 上表示的范围是 x≥－2） 6. D（提示：解关于 x 的方程得 ，因为解非负，所以 ≥0，解得 a ≥3） 二、填空题 1. （将 代入原方程然后所得解方程即可） 2. 3，10（提示：设 x 名学生参加比赛，每人需参赛（x－1）场，因为甲跟乙比赛时， 也是乙跟甲比，所以总共比赛场次为 3. x≤5（利用不等式的基本性质） 4. x＜ （提示：由题意，2－3 x＞0，解得 x＜ ） 5.－2≤x＜1（提示：求两不等式解集的公共部分） 6.1，2，3（提示：先求出不等式的解集为 x≤ ，再取其中的正整数） 7.－4（提示：x≥2 最小值 a=2，x≤－6，最大值 b=－6，a＋b=2＋(－6)=－4） 8.85%a＜b＜92% a（提示：由题意可列不等式（1－15%）a＜b＜（1－8%）a） 三、解答题 1. 解（1） 2   2 23xa 2 23 a  3 6 x y    2 3 x y    1 ( 1)2 xx 2 3 10 3 1 2 1 4 mx my     (2)由题意得 即 ，解得 1＜x≤5. 2. 解方程组，得 ，因为方程组的解是负数，所以 即 ， 解得 k＜－8) 3．解：①10＋ (90－A) ②由表中数据可得 25＝10＋ (80－A) 解得：A＝50 4．解：(1)设该工艺品每件的进价为 元，则标价为 . 由题意得: 解得 （2）工艺品应降价 元. 则 时 , 获 得 的 利 润 最 大 为 . 5．解：（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要 x 天，y 天． 根据题意得 解这个方程组得 x=30,y=120 . 经检验 x=30,y=120 是方程组的解． （2）设单独完成此项工程，甲需费用 m 万元，乙需费用 n 万元， 根据题意，得 解这个方程组得 m=135,n=60 . 1 1 x y    1 12 1 14 m m     21 8 xk yk    0 0 x y    2 1 0 80 k k    1 2 1 2 x )45( x 12)3545(])45(85.0[8  xx 20045155  xx a 4900)10(4)4100)(45( 2  aaaW 10a 4900         14020 12424 yx yx        110401202030 12024)2030( nm nm