- 314.00 KB
- 2021-11-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
例01.不能判定两个三角形全等的条件是()
A.三条边对应相等;
B.两条边及其夹角对应相等;
C.两角和一边对应相等;
D.两条边和一边所对的角对应相等.
分析:依据三角形全等的条件,易知A选项满足SSS公理,B选项满足SAS公理,C选项满足AAS公理,但选项D满足的条件是SSA,不符合三角形全等的判定条件. 故应选D.
例02.如图所示,已知,E是AC上一点.
求证:.
分析:(1)用分析法. 要证只要证. 要证这两个三角形全等,必须找出三对元素对应相等,已知(公共边),(已知),还需一个条件,这个条件可以是或. 但证比较困难,因此主要考虑证. 为此只要证,根据已知条件,证明是可行的.
(2)用综合法. 结合上图根据已知条件,由于,,,所以. 所以,在和中,为由于,,,得,所以.
证明:在和中,
∴
∴
在和中,
∴
∴
例03.已知:在中,M在BC上,D在AM上,(如图)
求证:
分析:要证,只要证和全等即可,而和中,有和公共边AM,只能找它们的夹角相等,即证,而由边边边公理有,从而,问题得证.
证明:在和
∴ (SSS)
∴ (全等三角形对应角相等)
在和中
∴
∴ (全等三角形对应边相等)
例04.已知:如图,AD为的高,且,F为AD上一点,连结BF并延长交AC于E,.
求证:
分析:要证由垂直的证法和图形,可想到证明,只证与互余即可,而和互余,故只证明,因此,证明,而解决问题.
证明:∵ (已知)
∴
∴
在和中
∴
∴ (全等三角形的对应角相等)
∵
∴
∴
∴
例05.已知:如图,
求证:
分析:由,欲证,可联想构造全等三角形,若取AD的中点N连结NB,NC,由边角边公理有,从而得出和,由,设法再证和相等即可.
再取BC的中点M,连结NM在和中,由全等三角形判定公理3(SSS)可证其两三角形全等,因此有. 所以即
具体证明过程同学们写出.
例06.如图,已知:.
求证:.
分析:欲证,需证. 要证这两个三角形全等,已具备了两组条件. 和. 只需再证即可. 为此,还需证明
.
证明:连结BD,在与中,
∴
∴(全等三角形的对应角相等)
∵(已知),
∴.
即 .
在与中,
∴
∴(全等三角形的对应边相等)
说明:利用全等三角形证明线段相等或角相等,常须添辅助线构造三角形,构造时有下面两种情况:①待证的线段或角,在图形上不在两个可能全等的三角形之中,需添辅助线构造三角形,使它们分别包括一个所要证的线段或角. ②有些条件具备的全等三角形,图形中没有直接显示出,需添辅助线才能发现,如本题中的和.
例07.如图,已知:
求证:.
分析:欲证,需证. 已经具备了两个条件,,,所以只需证,为了证明这两个角相等,不妨证明.
证明:在与中,
∴
∴(全等三角形的对应角相等)
在与中,
∴
∴(全等三角形的对应边相等)
例08.如图,已知:,.
求证:.
分析:欲证,只需证,这就要证明,它已具备两个条件:,所以只需证,为了证明这一点,还需证明.
证明:在与中,
∴
∴ (全等三角形的对应角相等)
在与中,
∴
∴ (全等三角形的对应角相等)
又∵ (邻补角定义)
∴
∴ (垂直定义)
选择题
(1)两个三角形有以下三对元素对应相等,则不能判定全等的是()
(A)一边和两角 (B)两边和其夹角
(C)三个角 (D)三条边
(2)下列各组中,一定全等的是
(A)各有一个角是的两个等腰三角形
(B)有三边相等的两个三角形
(C)有一腰长相等的两个等腰三角形
(D)有一直角边相等的两个直角三角形
(3)如图,AC,BD交于点O,,则图中全等三角形的对数是()
(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对
(4)如图,,AC与BD交于点O,EF过点O,若,则图中全等三角形的对数是()
(A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对
参考答案
(1)C (2)B (3)C (4)D
填空题
(1)如图,已知:,.
求证:.
证明:连结AC,在和中,
∴( )
∴
(2)如图,已知:
求证:.
证明:在与中,
∴( )
∴
参考答案
(1)已知;AC;AC;公共边;SSS;全等三角形的对应角相等;
(2)公共边;SSS;全等三角形的对应角相等.
1、判断下列命题是否正确,并说明理由
(1) 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
(2) 周长相等的两个三角形全等。
(3) 周长相等的两个等边三角形全等。
(4) 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等。
提示:(1)正确。运用“SSS”容易证得符合条件的两个三角形全等
A
B
D
E
C
(2)错误。例如两个三角形的周长都为60,一个三角形的三边长为20,20,20另一个三角形三边长为15,20,25,显然这两个三角形不全等。
(3)正确。
(4)错误。如图AB=AB,AC=AD
第三边上的高AE相同。
2、如图2,MP=MQ,PN=QN,MN交PQ于O点,则下列结论中,不正确的是( )
O
D
C
A
B
P
A、△MPN≌△MQN B、OP=OQ
M
P
N
Q
O
C、MO=NO D、∠MPN=∠MQN
图3
图2
答案:C.
3、如图3,在∠AOB的两边上截取AO=BO,CO=DO,连接AD,BC交于点P,则下列结论正确的是( )
①、△AOD≌△BOC ②、△APC≌△BPD
A
B
B
C
③、点P在∠AOB的平分线上
A、只有① B、只有②
C、只有①② D、①②③
图4
答案:D.
4、如图4,已知:AB=DC,AC=DB求证∠A=∠D
提示:连结BC,这样已知的两边与公共边BC构成三角形△ABC和△DCB,根据条件易证这两个三角形全等
A
B
C
D
O
E
F
5、如图5,已知:AB=CD,AD=CB,O为AC任一点,过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E,求证:∠E=∠F。
提示:由条件易证△ABC≌△CDA
从而得知∠BAC=∠DCA
即:AB∥CD
图5
A
D
B
C
E
图6
6、如图6,已知:AB=DC,AC=DB,BE=CE。求证:AE=DE
提示:可利用△ABE≌△DCE,由已知还需一个条件,
显然不能再找AE=DE,那么只能找∠ABC=∠DCB
由题意易证△ABC≌△DCB
7、求证:如果两个三角形的两条边和第三边上的中线对应相等,则这两个三角形全等。
提示:要求画图,写出已知、求证、证明。
遇到三角形的中线,通常是延长中线,使延长的线段与中线相等,构造两个全等三角形。