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  • 2021-11-11 发布

中考数学专题复习练习:全等三角形判定(三)

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例01.不能判定两个三角形全等的条件是()‎ ‎ A.三条边对应相等;‎ ‎ B.两条边及其夹角对应相等;‎ ‎ C.两角和一边对应相等;‎ D.两条边和一边所对的角对应相等.‎ 分析:依据三角形全等的条件,易知A选项满足SSS公理,B选项满足SAS公理,C选项满足AAS公理,但选项D满足的条件是SSA,不符合三角形全等的判定条件. 故应选D. ‎ 例02.如图所示,已知,E是AC上一点. ‎ 求证:. ‎ 分析:(1)用分析法. 要证只要证. 要证这两个三角形全等,必须找出三对元素对应相等,已知(公共边),(已知),还需一个条件,这个条件可以是或. 但证比较困难,因此主要考虑证. 为此只要证,根据已知条件,证明是可行的. ‎ ‎(2)用综合法. 结合上图根据已知条件,由于,,,所以. 所以,在和中,为由于,,,得,所以. ‎ 证明:在和中,‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 在和中,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 例03.已知:在中,M在BC上,D在AM上,(如图)‎ 求证:‎ 分析:要证,只要证和全等即可,而和中,有和公共边AM,只能找它们的夹角相等,即证,而由边边边公理有,从而,问题得证. ‎ 证明:在和 ‎∴ (SSS)‎ ‎∴ (全等三角形对应角相等)‎ 在和中 ‎∴ ‎ ‎∴ (全等三角形对应边相等)‎ 例04.已知:如图,AD为的高,且,F为AD上一点,连结BF并延长交AC于E,. ‎ 求证:‎ 分析:要证由垂直的证法和图形,可想到证明,只证与互余即可,而和互余,故只证明,因此,证明,而解决问题. ‎ 证明:∵ (已知)‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴ (全等三角形的对应角相等)‎ ‎∵ ‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 例05.已知:如图,‎ 求证:‎ 分析:由,欲证,可联想构造全等三角形,若取AD的中点N连结NB,NC,由边角边公理有,从而得出和,由,设法再证和相等即可. ‎ 再取BC的中点M,连结NM在和中,由全等三角形判定公理3(SSS)可证其两三角形全等,因此有. 所以即 具体证明过程同学们写出. ‎ 例06.如图,已知:. ‎ 求证:. ‎ 分析:欲证,需证. 要证这两个三角形全等,已具备了两组条件. 和. 只需再证即可. 为此,还需证明 ‎. ‎ 证明:连结BD,在与中,‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴(全等三角形的对应角相等)‎ ‎∵(已知),‎ ‎∴. ‎ 即 . ‎ 在与中,‎ ‎∴ ‎ ‎∴(全等三角形的对应边相等)‎ 说明:利用全等三角形证明线段相等或角相等,常须添辅助线构造三角形,构造时有下面两种情况:①待证的线段或角,在图形上不在两个可能全等的三角形之中,需添辅助线构造三角形,使它们分别包括一个所要证的线段或角. ②有些条件具备的全等三角形,图形中没有直接显示出,需添辅助线才能发现,如本题中的和. ‎ 例07.如图,已知:‎ 求证:. ‎ 分析:欲证,需证. 已经具备了两个条件,,,所以只需证,为了证明这两个角相等,不妨证明. ‎ 证明:在与中,‎ ‎∴‎ ‎∴(全等三角形的对应角相等)‎ 在与中,‎ ‎∴‎ ‎∴(全等三角形的对应边相等)‎ 例08.如图,已知:,. ‎ 求证:. ‎ 分析:欲证,只需证,这就要证明,它已具备两个条件:,所以只需证,为了证明这一点,还需证明. ‎ 证明:在与中,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ (全等三角形的对应角相等)‎ 在与中,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ (全等三角形的对应角相等)‎ 又∵ (邻补角定义)‎ ‎∴ ‎ ‎∴ (垂直定义)‎ 选择题 ‎(1)两个三角形有以下三对元素对应相等,则不能判定全等的是()‎ ‎(A)一边和两角 (B)两边和其夹角 ‎(C)三个角 (D)三条边 ‎(2)下列各组中,一定全等的是 ‎(A)各有一个角是的两个等腰三角形 ‎(B)有三边相等的两个三角形 ‎(C)有一腰长相等的两个等腰三角形 ‎(D)有一直角边相等的两个直角三角形 ‎(3)如图,AC,BD交于点O,,则图中全等三角形的对数是()‎ ‎ (A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对 ‎(4)如图,,AC与BD交于点O,EF过点O,若,则图中全等三角形的对数是()‎ ‎ (A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对 参考答案 ‎(1)C (2)B (3)C (4)D 填空题 ‎(1)如图,已知:,.‎ 求证:.‎ 证明:连结AC,在和中,‎ ‎∴( )‎ ‎∴‎ ‎(2)如图,已知:‎ 求证:.‎ 证明:在与中,‎ ‎∴( )‎ ‎∴‎ 参考答案 ‎(1)已知;AC;AC;公共边;SSS;全等三角形的对应角相等;‎ ‎(2)公共边;SSS;全等三角形的对应角相等.‎ ‎1、判断下列命题是否正确,并说明理由 (1) 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 (2) 周长相等的两个三角形全等。‎ (3) 周长相等的两个等边三角形全等。‎ (4) 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等。‎ 提示:(1)正确。运用“SSS”容易证得符合条件的两个三角形全等 A B D E C ‎  (2)错误。例如两个三角形的周长都为60,一个三角形的三边长为20,20,20另一个三角形三边长为15,20,25,显然这两个三角形不全等。‎ ‎  (3)正确。‎ ‎  (4)错误。如图AB=AB,AC=AD 第三边上的高AE相同。‎ ‎2、如图2,MP=MQ,PN=QN,MN交PQ于O点,则下列结论中,不正确的是( )‎ O D C A B P A、△MPN≌△MQN B、OP=OQ M P N Q O C、MO=NO D、∠MPN=∠MQN 图3‎ 图2‎ 答案:C.‎ ‎3、如图3,在∠AOB的两边上截取AO=BO,CO=DO,连接AD,BC交于点P,则下列结论正确的是( )‎ ‎①、△AOD≌△BOC ②、△APC≌△BPD A B B C ‎③、点P在∠AOB的平分线上 A、只有① B、只有②‎ C、只有①② D、①②③‎ 图4‎ 答案:D.‎ ‎4、如图4,已知:AB=DC,AC=DB求证∠A=∠D 提示:连结BC,这样已知的两边与公共边BC构成三角形△ABC和△DCB,根据条件易证这两个三角形全等 A B C D O E F ‎5、如图5,已知:AB=CD,AD=CB,O为AC任一点,过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E,求证:∠E=∠F。‎ 提示:由条件易证△ABC≌△CDA 从而得知∠BAC=∠DCA 即:AB∥CD 图5‎ A D B C E 图6‎ ‎6、如图6,已知:AB=DC,AC=DB,BE=CE。求证:AE=DE 提示:可利用△ABE≌△DCE,由已知还需一个条件,‎ 显然不能再找AE=DE,那么只能找∠ABC=∠DCB 由题意易证△ABC≌△DCB ‎7、求证:如果两个三角形的两条边和第三边上的中线对应相等,则这两个三角形全等。‎ 提示:要求画图,写出已知、求证、证明。‎ 遇到三角形的中线,通常是延长中线,使延长的线段与中线相等,构造两个全等三角形。‎ ‎                                  ‎