中考数学专题复习练习：相似1 7页

图 形 的 相 似 考点一、比例线段 （一）考点要求： 1、比例式与比例系数： ……=k（比例系数） 2、比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。即： 黄金分割与比例中项： 3、等比性质： ……=k 4、合分比性质： （二）精讲精练： 典型例题： 例 01．已知 ，求 变式：线段 ， 满足 ，求 的值 说明 本题可用比例的基本性质求解，也可以运用合分比性质求解。 例 02．已知 ，求 的值 说明 本题考查比例的性质，解题关键是设 ，将 、 、 统一成 。注意：设比例式 的比值为 （比例系数），这是解比例式常用的有效方法，要注意掌握。 例 03．若 ，则 的值是__________ 说明 本题可用比例的基本性质求解，也可以运用合分比性质求解，还可用方程思想求解。解题关键 是灵活运用比例的性质 例 04．设 ，求 的值 说明 本题在运用合分比的性质求解时，易忽视 的情形，所以应该分类讨论。 变式：如图，已知，在 中， 、 分别是 、 上的点，并 且 ， 的周长为 12cm。求： 的周长 == d c b a bcadd c b a =⇒= acbc b b a =⇒= 2 == d c b a kd c b a db ca ===++ ++⇒        +=+−=−⇒= d dc b ba d dc b ba d c b a 8 11=+ x yx y x x y 1:4:)4( 22 =+ xyyx yx : 432 zyx == yx zyx − +− 3 3 kzyx === 432 x y z k k 3 753 =+ b ba b a kyx z xz y zy x =+=+=+ k 0=++ zyx ABC∆ D E AB AC 2 3=== AE AC DE BC AD AB ABC∆ ADE∆ 针对练习： 1．如果 ，求： 的值 2．已知：如图，在 中， ， ， ，且 （1）求 的长；（2）求证： 3．已知两数 4 和 8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，第三个 数是________（只需写出一个） 考点二、相似三角形 类型 1、相似三角形的定义： ⑴对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形。 ⑵对应边的比值是相似三角形的相似比。 ⑶基本性质定理：对应角相等；对应边成比例。 典型例题： 例 01．已知： 的三边长分别是 3，4，5，与其相似的 的最大边长是 15，求 面积 0432 ≠== cba bca cba 24 235 −+ +− ABC∆ 12=AB 6=AE 4=EC EC AE DB AD = AD AC EC AB DB = ABC∆ CBA ′′′∆ CBA ′′′∆ CBAS ′′′∆ 说明 本题考查相似三角形的定义，解题关键是求出 ， 的长 例 02．已知：如图，在四边形 中， ， .求证： ∽ 说 明 本 题 考 查 相 似 三 角 形 基 本 定 理 的 应 用 ， 解 题 关 键 是 证 明 例题 03 如图所示，已知平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 延长线上一点， ，BE 交 DC 于 F，指出图中各对相似三角形及相似比． 说明：紧靠相似三角形定义、相似比定义和基本定理，充分利用平行四边形性 质. 类型 2、相似三角形的判定： 相似三角形的判定定理：①如果有两个角对应相等，那么这两个三角形相似； ②如果三条边对应成比例，那么这两个三角形相似； ③如果有两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。 精讲精练： 例 01 ． 如 图 ， 在 中 ， ， ， ； 在 中 ， ， ， ，试判断这两个三角形是否相似. 说明 判定两三角形是否相似，不能依图形的放置方向来考查， 而应该按相似三角形的判定方法仔细判定，若没有将夹已知角的长 边与长边相对应，就会发生错误. 针对练习： 1．已知：如图， ， ， ，（1）当 与 ， 之间满足怎样的关系时， ∽ ；（2）当 与 ， 之间 满足怎样的关系时， ∽ ；（3）当 与 ， 之间满足怎样的关 系时，这两个三角形相似 CA ′′ CB ′′ ABCD FDAFEBAE :: = HCDHGCBG :: = OEF∆ OHG∆ GHEF // DEAD 2= ABC∆ °=∠ 47A cm5.1=AB cm2=AC DEF∆ °=∠ 47E cm8.2=DE cm1.2=EF °=∠=∠ 90CDBABC aAC = bBC = BD a b ABC∆ CDB∆ BD a b ABC∆ BDC∆ BD a b 说明 本题是一个条件探索性问题，易错点是弄错对应边或第（3）小题不分类讨论. 例 02．如图，已知：在 中， ， ， 是角平分线， 求证： 说明 “平方式”在相似三角形中经常出现，证明时可采用这样的方法：可 以用相等的线段代替已知线段，从而创造出平方，或某线段是两个相似三角形的公 共边，也可以创造出平方来 针对练习： 1．如图，已知：在梯形 中， ， ， ， ，且 求证： 例 03．如图，已知： 是 的斜边 上的高， 为 上任意一点， ，垂足为 求证： 说明：应用直角三角形中的“射影定理”与几何证明中常用的“倒推法”。 针对练习： 1．如图，已知：在 中， ， 于 ， 在 上，若 于 求证： 例 04 ． 已 知 ： 如 图 ， 在 中 ， ， 、 分 别 是 、 上 的 两 点 ， 并 且 ABC∆ ACAB = °=∠ 36A BD ACDCAD ⋅=2 ABCD BCAD // xBC = yAC = zAD = 02 =− xzy ACDB ∠=∠ CD ABC∆Rt AB E BC ABEF ⊥ F EFCDAFADAC ⋅+⋅=2 ABC∆ °=∠ 90ACB ABCD ⊥ D E BC AECF ⊥ F BAFD ∠=∠ ABC∆ °=∠ 90C D E AB AC ACAEABAD ⋅=⋅ 求证： 说明 如果两个三角形没有互相平行的边，而有公共角时，我们一般使用“两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似”来判定两个三角形相似 例 05．如图，已知：在 中， ， 和 是 的高 求证： 说明 证明线段的倍半问题有以下几种方法：（1）取长线段的中点，证其一半等于短线段（折半 法）；（2）延长短线段为其 2 倍，证其与较长线段相等（加倍法）；（3）用其他线段作媒介，其中经常用 的有①三角形两边（或梯形两腰）的中点连线等于底边（或两底之和）的一半；②直角三角形斜边上的中 线等于斜边长的一半；③直角三角形中 角的对边等于斜边的一半；④利用三角形相似，通过成比例线 段证明线段的倍半关系等 针对练习． 1．如图， ， 是 是高， 求证： 2、如图，已知 为 内一点， 为 外一点，且 ， ， 求证： ∽ 例 06 ．已知：如图，在矩形 中， 为 的中点， 交 ABED ⊥ ABC∆ °=∠ 60B AE CD ABC∆ DEAC 2= °30 BD CE ABC∆ ACBAED ∠=∠ D ABC∆ E ABC∆ 21 ∠=∠ 43 ∠=∠ ABC∆ DBE∆ ABCD E AD ECEF ⊥ AB 于 ，连结 （ ） （1） 与 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由 （2）设 ，是否存在这样的 值，使得 与 相似？若存在，证明你的结论并求出 值；若不存在，说明理由 分析 这既是一道判断推理性试题，又是一道探索存在性的试题 例 07．如图，在矩形 中， 厘米， 厘米，点 沿 边从点 开始向点 以 2 厘米/秒的速度移动；点 沿 边向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动，如果 ， 同时出发，用 （秒）表 示移动的时间（ ），那么： （1）当 为何值时， 为等腰直角三角形？ （2）试说明四边形 的面积始终保持不变。 （3）当 为何值时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？ 说明 本题将“几何一动点”及分类讨论相结合，综合创新命题，全面考查学生素质 巩固作业： 1、（上海市，2001）如图 1-1，在大小为 4×4 的正方形方格中，△ABC 的 顶点 A、B、C 在单位正方形的顶点上，请在图中画一个 △A1B1C1，使△A1B1C1 ∽△ABC(相似比不为 1)，且点 A1、B1、C1 都在单位正方形的顶点上． 说明：（1）此题是一道开放题，答案有多种，通过本题加强对数学素质和数 学能力培养；（2）解此题的关键是认真分析图形，找出切入点，利用所学的知识 解决，不能盲目地去画；（3）在判断三角形相似时，要灵活应用定理，如本题要用 “两角对应相等，两三角形相似”则较难． 2、如图，平行四边形 ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点，AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交于 F，则图中相似三角形共有　　　　　对　. 分析：图形中相似形较多，不能盲目的取找，先对相似形分类，再寻找． 3、（河北省，2001）已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是 BC 上的点， 且 BP＝3PC，Q 是 CD 的中点． 求证：△ADQ∽△QCP． 4．如图， 为 的角平分线， 垂直于 的延长线于 ， 于 ， ， 的 延长线交于点 ， 求证： F FC AEAB > AEF∆ EFC∆ kBC AB = k AEF∆ BFC∆ k ABCD 12=AB 6=BC P AB A B Q DA P Q t 60 ≤≤ t t QAP∆ QAPC t Q A P ABC∆ AD ABC∆ BE AD E ADCF ⊥ F BF EC P APCF // 뽁 ⍃ A B C D E F G A B C D F Q