2019九年级数学上册 第二十一章 21公式法 3页

第二十一章 ‎21.2.2‎公式法 知识点1：一元二次方程根的判别式及根的情况判别 ‎ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2‎-4ac来确定,我们把b2‎-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2‎-4ac.‎ 一般地,方程ax2+bx+c=0(a≠0).‎ 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;‎ 当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;‎ 当Δ<0时,方程没有实数根.‎ 反过来,有 当方程有两个不相等的实数根时,Δ>0;‎ 当方程有两个相等的实数根时,Δ=0;‎ 当方程没有实数根时,Δ<0.‎ 归纳整理:一元二次方程根的判别式的应用:①不解方程判别根的情况;②根据方程解的情况确定系数的取值范围.‎ 知识点2：用公式法解一元二次方程 一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式:‎ x1,2= (b2‎-4ac≥0)‎ 可以利用一元二次方程的求根公式,由一元二次方程中系数a,b,c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法. 也就是说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的.‎ 方法:公式法解一元二次方程的一般步骤:‎ 3‎ 适用范围:求根公式只适用于解一元二次方程,只有确定方程是一元二次方程后,才能应用公式求方程的解.‎ 考点1：利用判别式判断一元二次方程的根的情况 ‎【例1】 不解方程,判断下列方程的根的情况:‎ ‎(1)2x2+3x=4;(2)ax2+bx=0(a≠0).‎ 解:(1)2x2+3x-4=0,‎ a=2,b=3,c=-4,‎ ‎∵　Δ=b2‎-4ac=32-4×2×(-4)=41>0,‎ ‎∴　方程有两个不相等的实数根.‎ ‎(2)∵　a≠0,‎ ‎∴　方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零.‎ ‎∵　Δ=(-b)2-4·a·0=b2,‎ ‎∵　无论b取任何实数,b2均为非负数,‎ ‎∴　Δ≥0.‎ 故方程有两个实数根.‎ 点拨:将方程化为一般形式,确定a,b,c的值,计算b2‎-4ac并与0进行比较.‎ 3‎ 考点2：利用判别式解决问题 ‎【例2】 已知关于x的方程(m+2)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围.‎ 解:由题意得Δ=22-4(m+2)·(-1)>0,‎ 解得m>-3.‎ 又方程有两个不相等的实数根,则方程必为一元二次方程,‎ 即m+2≠0,解得m≠-2.‎ 综上,m的取值范围是m>-3且m≠-2.‎ 点拨:方程有两个不相等的实数根,说明方程必为一元二次方程,即Δ>0,同时还要注意二次项系数不为零这个条件.‎ 考点3：利用求根公式解一元二次方程 ‎【例3】 用公式法解下列方程:‎ ‎(1)x2+5x-6=0;　          (2)4x2-3x-1=x-2;‎ ‎(3)x2-6x+5=0;　          (4)x2-6x+1=0.‎ 解:(1)∵　a=1,b=5,c=-6,‎ ‎∴　Δ=b2‎-4ac=52-4×1×(-6)=49>0.‎ ‎∴　x=.∴　x1=1,x2=-6.‎ ‎(2)原方程可化为4x2-4x+1=0.‎ ‎∵　a=4,b=-4,c=1,∴　Δ=b2‎-4ac=0.‎ ‎∴　x=.∴　x1=x2=.‎ ‎(3)∵　a=1,b=-6,c=5,‎ ‎∴　Δ=b2‎-4ac=16.∴　x=.∴　x1=5,x2=1.‎ ‎(4)∵　a=1,b=-6,c=1,∴　Δ=b2-‎4ac=32.‎ ‎∴　x=.∴　x1=3+2,x2=3-2.‎ 点拨:运用公式法解一元二次方程应先把一元二次方程化为一般形式,确定a,b,c的值,再计算出b2‎-4ac的值,确定方程是否有实数解,若有,则代入公式求解.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 3‎