2020年中考数学专题复习：数与代数知识点整理 14页

第 1 页 共 14 页 小学数学数与代数知识点整理 第一章 数和数的运算 一、概念 （一）整数 1 整数的意义：自然数和 0 都是整数。 2 自然数 ：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数。 3 计数单位 ：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位 练习题： （1）分数的单位是 1/8 的最大真分数是（ ），它至少再添上（ ）个这样的分数单位就 成了假分数 （2）在 1/4 、15/24 、7/4 、9/12 四个数中，分数单位相同的是（ ），相等的 分数是（ ）和（ ）。 （3）3/7 的分子加上 6，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）。 5 数的整除 ： 整数 a 除以整数 b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或者说 b 能整除 a ； 如果数 a 能被数 b（b ≠ 0）整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数（或 a 的因数）。倍数和因数是相互依存的。 如：因为 35 能被 7 整除，所以 35 是 7 的倍数，7 是 35 的因数。 （1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的 因数是它本身。例如： 10 的因数有 1、2、5、10，其中最小的因数是 1，最大的因数是 10。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有：3、6、9、12…… 其中最小的倍数是 3 ，没有最大的倍数。 （3）常用规律： ①个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除，例如：202、480、304，都能被 2 整除。。 ②个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除，例如：5、30、405 都能被 5 整除。。 ③一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除，例如：12、108、204 都能 被 3 整除。 ④一个数各位数上的和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。 能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。 ⑤一个数的末两位数能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除。例如：16、404、 1256 都能被 4 整除，50、325、500、1675 都能被 25 整除。 ⑥能被 2 整除的数叫做偶数。 不能被 2 整除的数叫做奇数。0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。 ⑦质数和合数的概念： 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100 以内的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、…79、83、89、97。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12 都 第 2 页 共 14 页 是合数。 1 不是质数也不是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个 数的不同分类，可分为质数、合数和 1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合 数的质因数，例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的质因数。（把一个合数用质因数相乘的形式 表示出来，叫做分解质因数。 练习题：由 4、5、6 三个数字可以组成（ ）个不重复的三位数，这些数中是 2 的 倍数的有（ ），是 5 的倍数的有（ ），有（ ）个是 3 的倍数，同 时是 3 和 5 的倍数有（ ）。 （4）公因数和公倍数的概念： ①几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因 因数，例如 12 的因数有 1、2、3、4、6、12；18 的因数有 1、2、3、6、9、18。其中，1、 2、3、6 是 12 和 1 8 的公因数，6 是它们的最大公因数。 ②几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍 数，如 2 的倍数有 2、4、6 、8……；3 的倍数有 3、6、9、12 …… 其中 6、12、18……是 2、3 的公倍数，6 是它们的最小公倍数。。 ③公因数只有 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1 和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质 练习题: 一、填空题。 1、因为 3×6=18，所以（ ）是（ ）的因数，18 是 6 的（ ）。 2、在自然数 1～20 中，质数分别有 （ ）。 3、个位是（ ）的自然数，叫做奇数。两位数中，最小的奇数是（ ）， 最大的偶数是（ ）。 4、同时是 2，5 的倍数的最大两位数是（ ）。 5、一个数既是 9 的因数、又是 9 的倍数，这个数可能是（ ）。 6、有一个两位数 5□，如果它是 5 的倍数，□里填（ ）。如果它是 3 的倍数，□里可 以填（ ），如果它同时是 2、5 的倍数，□里可以填（ ）。 7、三个连续的偶数和是 96，这三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 8、 226 至少增加（ ）就是 3 的倍数，至少减少（ ）就是 5 的倍数。 9、两个连续的质数是（ ）和（ ）；两个连续的合数是（ ）和（ ） 10、用质数填一填。22=（ ）+（ ）=（ ）+（ ） 11、100 以内最大的质数与最小的合数的和是（ ），差是（ ）。 12、一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位 数，最高位上是最小的合数，这个数是（ ）。 二、判断题。 1、自然数按是否是 2 的倍数，分成了奇数和偶数。 （ ） 2、自然数按因数个数的不同，分成了质数和合数。 （ ） 3、13，51，47，97 这几个数都是质数。 （ ） 第 3 页 共 14 页 4、在 10、15、20 中，10 是 20 的因数，15 是 10 的倍数。 （ ） 5、几个质数的积一定是偶数。 （ ） 三、选择题。 1、一个边长是质数的正方形，它的面积一定是（ ） A. 合数 B. 质数 2、判定下面的结果是偶数还是奇数。 A、785＋547 的和是（ ） B、675+54 －465 的结果是（ ） C、75×71 的积是（ ） D、奇数×奇数的积是（ ）。 3、同时是 2、3、5 的倍数的数是（ ） A．奇数 B．偶数 4、36 的因数共有（ ）个。 A. 6 个 B. 9 个 C. 10 个 5、如果 a 表示自然数，那么下面一定可以表示偶数的是（ ） A. a+1 B. a+2 C. 2a （二）小数 1 小数的意义：把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份…… 得到的十分之几、百分之几、 千分之几…… 可以用小数表示；一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数 表示千分之几…… 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数 点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。 2 小数的分类 纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都 是有限小数。 无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 …… 无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不 循环小数。 例如：∏ 循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循 环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 练习题：5÷9 的商用小数表示是（ ），保留三位小数约是（ ）。 （三）分数 1 分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成 多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2 分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于 1。 带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 3 约分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 注： 分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 4、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 （四）百分数 ： 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百 第 4 页 共 14 页 分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 二 方法 （一）数的读法和写法 1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读， 再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的 0 都不读出来，其它数位连续有几个 0 都 只读一个零。 2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数 位上写 0。 练习题：1、由 8 个亿，8 个千万，7 个万，6 个千，5 个百组成的数是（ ）， 这个数读作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）， 省略亿后面的尾数是（ ）。 3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分 从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小 数部分顺次写出每一个数位上的数字。 5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法 来读。 6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法 来读。 8. 百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 （二）数的改写 ： 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还 可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的 数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近 似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小，就把尾数去掉；如果尾数 的最高位上的数是 5 或者比 5 大，就把尾数舍去，并向它的前一位进 1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 练习题：1、三百七十五万零六十写作( ), 四舍五入到万位约是( ). 2、一个两位小数保留一位小数是 6.0，这个两位小数最大是（ ），最小是（ ）。 4. 大小比较 （1） 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位， 最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就 大。 第 5 页 共 14 页 练习题：在（ ）里填上> < = 2461（ ）3458 2468400（ ）5234000 6878254（ ）1000000 327（ ）1000 345000（ ）346210 876000 （ ）90000 （2） 比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同 的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大…… 练习题：在（ ）里填上> < = 12（ ）10.05 26.37（ ）54.01 25.35（ ）25.46 5． 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数 大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。 练习题：在（ ）里填上> < = 5 4 （ ） 5 7 15 41 （ ） 15 24 37 14 （ ） 37 24 105 21 （ ） 105 37 29 13 （ ） 29 23 31 17 （ ） 31 15 75 4 （ ） 65 4 17 24 （ ） 35 37 （ ） 27 37 （ ） 95 21 （ ） 24 13 （ ） 39 17 5 4 （ ） 15 7 15 4 （ ） 12 3 7 4（ ） 3 2 42 21 （ ） 7 5 58 33 （ ） （ ） 93 55 （三）数的互化 1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在 1 的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数 点作分子，能约分的要约分。 2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有 限小数的，一般保留三位小数。 练习题：1、 把下面的小数化成分数。 0.3＝ 0.25＝ 0.45＝ 1.06＝ 2.5＝ 0.375＝ 2 把下面的分数化成小数。(不能化成有限小数的保留两位小数) 2/3＝ 3/5＝ 9/16＝ 8/11＝ 7/40＝ 4/25＝ 3. 一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有 限小数；如果分母中含有 2 和 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数 练习题：判断 下面分数能化成有限小数的在后面（ ）里画对号 1/8 （ ）5/16（ ） 1/15（ ） 8/35（ ） 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化 成百分数。 7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 练习题： 1、把下面各数化成百分数： 0.27＝ 1.52＝ 0.5＝ 0.08＝ 3.28＝ 10.06＝ 32＝ 0.005＝ 2、把下面百分数化成小数或整数： 52%＝ 1.23%＝ 248%＝ 70%＝ 0.4%＝ 15%＝ 100%＝ 2000%＝ 3、0.6=3：（ ）=（ ）÷15=（ ）成=（ ）％ 4、在 17/5 、3.04、3.4%、3.4 四个数中，最大数与最小数的差是（ ）。 15、0.25＝（ ）÷（ ）＝2∶（ ）＝6/（ ） ＝（ ）% 第 6 页 共 14 页 （四）数的整除 1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是 质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只 有公因数 1 为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直 除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最 小公倍数。 4. 成为互质关系的两个数：1 和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是 质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公因数只有 1 时，这两个合数互质。 练习题：求下面各组数的最大公因数和最小公倍数 25 和 30 12 和 24 11 和 13 8 和 24 （五） 约分和通分 约分的方法：用分子和分母的公因数（1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数 为止。 通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍 数作分母的分数。 练习题 1、把下面的分数约分成最简分数。 2、把下面每组中的两个分数通分。 和 和 和 3、先约分，再比较每组中两个分数的大小。 4、先通分，再比较每组中个分数的大小。 三 性质和规律 （一）商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。 （二）小数的性质 ：小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 ： 1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大 10 倍；向右移动两位，原来的数就扩大 100 倍；…… 2. 小数点向左移动一位，原来的数就缩小 10 倍；向左移动两位，原来的数就缩小 100 倍；…… 2 8 10 15 6 9 8 10 14 21 18 30 70 105 66 88 1 4 5 6 7 9 2 3 9 10 5 6 24 32 3 12 30 70 18 48 7 15 9 20 7 18 5 12 5 9 8 15 4 5 11 13 3 5 7 10 3 4 5 6 13 15 5 8 第 7 页 共 14 页 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。 （四）分数的基本性质：分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 练习题：3/7 的分子加上 6，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）。 （五）分数与除法的关系 ： 1. 被除数÷除数= 被除数/除数 2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3. 被除数 相当于分子，除数相当于分母。 四 运算的意义 （一）整数四则运算 1 整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。 加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数 2 整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数， 减数和差分别是部分数。 加法和减法互为逆运算。 3 整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里，0 和任何数相乘都得 0. 1 和任何数相乘都的任何数。 一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数 4 整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。 在除法里，0 不能做除数。因为 0 和任何数相乘都得 0，所以任何一个数除以 0，均得不到一 个确定的商。 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 （二）小数四则运算 1. 小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 2. 小数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 3. 小数乘法：求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、 百分之几、千分之几……是多少。 4. 小数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 5. 乘方: 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32 （三）分数四则运算 1. 分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。 2. 分数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3. 分数乘法：就是求几个相同加数和的简便运算。 4. 乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。 5. 分数除法：就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （四）运算定律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b=b+a 。 第 8 页 共 14 页 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加， 再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。 2.411 98.511 2  32+123+68 4.5+15.6+5.5+4.4 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即 a×b=b×a。 4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘， 再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。 练习题：1.06×2.5×4 0.25×（ 4 × 1.2） 1.25×（ 213×0.8） 3.2×12.5×25 1.25×88 3.6×0.25 4. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相 加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 练习题：0.92×1.41＋0.92×8.5 1.3×11.6－1.6×1.3 102×0.87 2.6×9.9 28×21.6－2.8×16 5.6×1.7＋0.56×83 9 5109 5  5. 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变 933-15.7-4.3 41.06－19.72－20.28 7 5 2 －3 8 3 + 8 3 8 7 4 +2 9 5 - 9 5 6.除法的性质：一个数连续除以两个数，可以除以两个数的乘积，商不变。 即 a÷b÷c=a÷(b×c) , a÷b×c=a÷(b÷c),a×b÷c=a×(b÷c), 700÷14÷5 18.6÷2.5÷0.4 1.96÷0.5÷4 13×19 17 ÷19 17 29÷ 27 13 × 27 13 （五）运算法则 1. 整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进 一。 2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位 退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用 因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 第 9 页 共 14 页 4. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如 果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够 商 1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的 右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的 小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右 移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 11. 分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分 数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。 （六） 运算顺序 ： 1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 3. 没有括号的混合运算: 同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。 4. 有括号的混合运算: 先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 5. 第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。 6. 第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。 7.【0 与 1 在四则运算中的特性】： a +1=a ×0＝0 0÷ =0 -0=a ×1=a ÷1=a - =0 × =a2 ÷ ＝1 8.文字题（列式计算）： 1、文字题实际上是四则混合运算的文字读法，它一般要求列综合算式或方程来计算，不用作 答。 2、文字题中文字的含义。 （1）“加（加上）、减（减去）、乘（乘以）、除以”分别表示用“+、-、×、÷”计算。 “除（去除）”也表示用“÷”计算，但是要将“除”字后面的数除以前面的数，如“4 除 5” 即是“5÷4”。 （2）“和、差、积、商”出现在文字题的条件里（前面部分），除了表示分别用“+、-、×、 ÷”计算之外，还表示要先算（往往要用到括号），如“75 与 25 的和除以它们的的差”即 是“（75+25）÷（75-25）”。“和、差、积、商”出现在问题里（最后部分），只表示最 后一部分的计算符号。 （3）“它、它们”指前面说过的一个数或几个数。 3、文字题的解题方法。 第 10 页 共 14 页 （1）如果条件中全是已知数，问题部分的样式是“和（差、积、商）是多少？”或“得多少？”， 一般用算术式解，基本上是按运算顺序用合适的运算符号将数连接起来。 （2）如果条件中有未知数（“一个数”、“某数”），问题部分的样式是“求这个数”或“求 某数”，用字母设未知数代入题中，用方程解比较简单。 （3）列算术式或方程时，要注意按题中所说的顺序，正确使用运算符号和括号。 练习题：列式计算 1.一个数的 3 5 是 30，这个数 是多少？ 2.一个数的 比它的 2 倍少 28，这个数是多少 3． 5 4 与它的倒数的和的 4 倍加上 10 13 ，和是多少？ 4. 5 3 与 2 1 的差除以 4 7 ，商是多少 第三章 代数初步知识 一、用字母表示数 ： 1 用字母表示数的意义和作用 * 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。 2 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式 （示例如下）： （1）常见的数量关系 （2）运算定律和性质 （3）用字母表示几何形体的公式 路程用 s 表示，速度 v 用 表示，时间用 t 表示，三 者之间的关系： s=vt v=s/t t=s/v 加法交换律：a+b=b+a 加 法 结 合 律 ： （a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab)c=a(bc) 乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 减法的性质：a-(b+c) =a-b-c （1）长方形的长用 a 表示，宽用 b 表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。 c=2(a+b) ；s=ab （2）圆柱的高用 h 表示，底面周长 用 c 表示，底面积用 s 表示， 体积用 v 表示. s 侧=ch ；s 表=s 侧+2s 底 ；v=sh 3 用字母表示数的写法 （1）数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“ ”，或者省略不写，数字要写在字 母的前面。 （2）当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。 （3）在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。 （4）用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号， 要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。 4 将数值代入式子求值 （1）把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再 第 11 页 共 14 页 把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。 （2）同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。 练习题：选择 1、a2 与（ ）是相同的。 A．a×2 B．a×a C．a×a×2 D．a＋a 2、王华今年 a 岁，比叔叔小 13 岁，再过 13 年，他们相差（ ）岁。 A．a B．13 C．a＋13 D．26 3、李师傅计划做 m 个零件，已经做了 10 天，每天做 n 个，还剩（ ）个。 A．10n B．m＋10n C．m－10n D．m－n 10 4、当 a=10，b=40 时，2a2－b=（ ）。 A．0 B．160 C．360 二、简易方程 ： （一）方程和方程的解 1 方程：含有未知数的等式叫做方程。 注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。 方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程 是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才 成立 。 2 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 三、解方程 ：解方程，求方程的解的过程叫做解方程。 练习题：解下列方程 11 10 9 5  x 24 31  x 3 1 x＋60%x＝28 4 3 x＋ 4 1 ＝ 2 1 x－ 5 4 x＝12 x＋10%x＝110 四、 比和比例 1 比的意义和性质 ： （1） 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比 的前项除以后项所得的商，叫做比值。 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数，注比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。 第 12 页 共 14 页 （2）比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 （3）求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整 数，也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项 是互质的数。 （4）比例尺 图上距离：实际距离=比例尺 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。 （5）按比例分配 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法 通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 2 比例的意义和性质 （1）比例的意义 ：表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 （2）比例的性质 ：两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 （3）解比例 ：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例 中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 练习题：解比例 45:x=18:26 2.8:4.2=x:9.6 2.8:4.2=x:9.6 2/3：x=1/4:1/2 0．6∶4＝2.4∶x 10∶50＝x∶40 1.3∶x＝5.2∶20 x∶3.6＝6∶18 3 正比例和反比例 （1） 成正比例的量 ：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量 中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫 做正比例关系。 如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用字母 k 表示它们的比值，正比例 关可以表示成 kx y  （一定），或写成 kxy  。 （2）成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中 相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 如 果用字母 和 表示两种相关联的量，用字母 k 表示它们的积，反比例关可以表示成 kyx  （一定），或写成 x ky  。 第 13 页 共 14 页 （3）正比例和反比例的区别和联系： 正比例 反比例 相同点 都是描述两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化的关系 不 同 点 两种相关 联的量的 变化方向 变化方向相同： 一种量增大，另一种量也随着增大；同样， 一种量减少，另一种量也随着减少。 变化方向相反： 一种量增大，另一种量反而减少；同 样，一种量减少，另一种量反而增大。 定值意义 两种相关联的量的比值（商）一定 两种相关联的量的乘积一定 对应式子 kx y  （一定） kyx  （一定） 具体实例 在圆柱的侧面积、底面周长、这三种量中： 当圆柱的高一定时，圆柱的侧面积与底面 周长成正比例； 在圆柱的侧面积、底面周长、这三种 量中当圆柱的侧面积一定时，圆柱的 高与底面周长成反比例； 图象 正比例的图像是一条直线。 反比例的图像是一条曲线。 练习题：判断（对的打“√”，错的打“×”） 1、如果 Y=5X，则 x 与 y 成正比例。 （ ） 2、一个非 0 的自然数与它的倒数成反比例。 （ ） 4、比例尺： （1）概念：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即比例尺 = 实际距离 图上距离 （2）比例尺的分类： 分类一：按照实际距离是放大还是缩小来分：缩小比例尺和放大比例尺； 分类二：根据表现形式的不同：数值比例尺和线段比例尺。 （3）比例尺的应用：利用比例尺的概念已知图上距离、实际距离、比例尺中的两个量，可求 第三个量。 五、名数改写 1、通常把数与单位名称合起来叫名数。名数有单名数和复名数两类。只有一个数和单位 的叫单名数，如 20 吨、4.5 米、 2 1 小时。有两个或两个以上的数与单位的叫复名数，如 4 米 5 分米。复名数中的数全部是整数。 2、名数改写的基本方法： 高级单位（大单位）改写成低级单位（小单位），乘进率。 低级单位（小单位）改写成高级单位（大单位），除以进率。 3、单名数与复名数之间的改写： （1）单名数改写成复名数：①单名数（是整数）的单位与复名数中的小单位相同，将单 名数前面的数除以进率，商填入复名数中的大单位前，余数填入小单位前。②单名数（是分 数或小数）的单位与复名数中的大单位相同，将整数部分填入复名数中的大单位前，将分数 第 14 页 共 14 页 部分（或小数部分）乘以进率填入小单位前。 （2）复名数改写成单名数：将复名数中与单名数不同单位的部分先化成相同，再将两部 分合并在一起，填入单名数中。 练习题：0.93 吨=（ ）千克 8 吨=( )千克 60 千克=（ ） 吨 42000 克=( )千克 0.21 吨=（ ）千克 4.08 吨=（ ）千克 3.2 平方千米=（ ）公顷 0.2 公顷=（ ）平方米 6 平方米=( )平方分米=( )平方厘米 15 公顷=( )平方米 480000 平方米=( )公顷 7 平方分米=（ ）平方米 0.08 平方米= （ ）平方厘米 0.95 公顷=（ ）平方米 24 公顷= ( )平方千米 10.36 平方千米= （ ） 公顷 1.96 平方分米=（ ）平方厘米