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- 2021-11-12 发布
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第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
1
.如图,在
▱
ABCD
中,若添加下列条件:①
AB
=
CD
;②
AB
=
BC
;③∠
1
=∠
2.
其中能使
▱
ABCD
成为菱形的有
( )
A
.
0
个
B
.
1
个
C
.
2
个
D
.
3
个
C
2
.如图,
P
是菱形
ABCD
的对角线
AC
上一点,
PE
⊥
AD
于点
E
,且
PE
=
3 cm
,则点
P
到
AB
的距离为
____ cm.
3
3
.如图,在菱形
OABC
中,点
B
在
x
轴上,点
A
的坐标为
(2
,
3)
,则点
C
的坐标为
______________.
(2
,-
3)
4
.
(2019
·
贵阳
)
如图,菱形
ABCD
的周长是
4 cm
,∠
ABC
=
60°
,那么这个菱形的对角线
AC
的长是
( )
A
.
1 cm B
.
2 cm C
.
3 cm D
.
4 cm
A
5
.
(
西宁中考
)
如图,在菱形
ABCD
中,
E
,
F
分别是
AD
,
BD
的中点,若
EF
=
2
,则菱形
ABCD
的周长是
____
.
16
6
.
(2019
·
衢州
)
如图,在菱形
ABCD
中,点
E
,
F
分别在边
BC
,
CD
上,且
BE
=
DF
,连结
AE
,
AF
.
求证:
AE
=
AF
.
证明:
∵
四边形
ABCD
是菱形,
∴
AB
=
AD
,
∠
B
=
∠
D
,又
BE
=
DF
,
∴△
ABE
≌△
ADF
(SAS)
,
∴
AE
=
AF
C
C
9
.如图,在菱形
ABCD
中,对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,过点
D
作对角线
BD
的垂线交
BA
的延长线于点
E
.
(1)
求证:四边形
ACDE
是平行四边形;
(2)
若
AC
=
8
,
BD
=
6
,求△
ADE
的周长.
解:
(1)∵
四边形
ABCD
是菱形,∴
AB
∥
CD
,
AC
⊥
BD
,∴
AE
∥
CD
.
又∵
DE
⊥
BD
,∴
DE
∥
AC
,∴四边形
ACDE
是平行四边形
10
.
(2019
·
苏州
)
如图,菱形
ABCD
的对角线
AC
,
BD
交于点
O
,
AC
=
4
,
BD
=
16
,将△
ABO
沿点
A
到点
C
的方向平移,得到△
A
′
B
′
O
′.
当点
A
′
与点
C
重合时,点
A
与点
B
′
之间的距离为
( )
A.6
B
.
8
C
.
10
D
.
12
C
11
.
(
广州中考
)
如图,若菱形
ABCD
的顶点
A
,
B
的坐标分别为
(3
,
0)
,
(
-
2
,
0)
,点
D
在
y
轴上,则点
C
的坐标是
____________
.
(
-
5
,
4)
12
.如图,已知菱形
ABCD
的两条对角线
AC
,
BD
的长分别为
6
和
8
,
M
,
N
分别是边
BC
,
CD
的中点,
P
是对角线
BD
上一点,则
PM
+
PN
的最小值是
____
.
5
13
.
(2019
·
聊城
)
如图,在菱形
ABCD
中,点
P
是
BC
边上一点,连接
AP
,点
E
,
F
是
AP
上的两点,连接
DE
,
BF
,使得∠
AED
=∠
ABC
,∠
ABF
=∠
BPF
.
求证:
(1)△
ABF
≌△
DAE
;
(2)
DE
=
BF
+
EF
.
证明:
(1)∵
四边形
ABCD
是菱形,∴
AB
=
AD
,
AD
∥
BC
,∴∠
BPA
=∠
DAE
,∵∠
ABC
=∠
AED
,∴∠
BAF
=∠
ADE
,∵∠
ABF
=∠
BPF
,∠
BPA
=∠
DAE
,∴∠
ABF
=∠
DAE
,∵
AB
=
DA
,∴△
ABF
≌△
DAE
(ASA)
(2)∵△
ABF
≌△
DAE
,∴
AE
=
BF
,
DE
=
AF
,∴
AF
=
AE
+
EF
=
BF
+
EF
,∴
DE
=
BF
+
EF
14
.如图,在菱形
ABCD
中,
F
是
BC
上任意一点,连接
AF
交对角线
BD
于点
E
,连接
EC
.
(1)
求证:
AE
=
EC
;
(2)
当∠
ABC
=
60°
,∠
CEF
=
60°
时,点
F
在线段
BC
上的什么位置?说明理由.
解:
(1)
连接
AC
.∵
BD
是菱形
ABCD
的对角线,∴
BD
垂直平分
AC
,∴
AE
=
EC
(2)
点
F
是线段
BC
的中点.理由:∵四边形
ABCD
是菱形,∴
AB
=
CB
.
又∵∠
ABC
=
60°
,∴△
ABC
是等边三角形.∴∠
BAC
=
60°.∵
AE
=
EC
,∴∠
EAC
=∠
ECA
.∵∠
CEF
=
60°
,∴∠
EAC
=
30°
,∴
AF
是△
ABC
的角平分线.又∵△
ABC
是等边三角形,∴
BF
=
CF
,∴点
F
是线段
BC
的中点
15
.如图,在边长为
10
的菱形
ABCD
中,对角线
BD
=
16
,点
O
是直线
BD
上一动点,
OE
⊥
AB
于点
E
,
OF
⊥
AD
于点
F
.
(1)
对角线
AC
的长是
________
;
(2)
如图①,当点
O
在对角线
BD
上运动时,
OE
+
OF
的值是否会发生变化?请说明理由;
(3)
如图②,当点
O
在对角线
BD
的延长线上时,
OE
+
OF
的值是否会发生变化?若不变,请说明理由;若变化,请探究
OE
,
OF
之间的数量关系,并说明理由.
解:
(1)12
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