2020年中考数学专题复习：九大几何模型 15页

初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC≌△OBD； ②∠AEB=∠AOB； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD∥AB， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； ②延长 AC 交 BD 于点 E，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD∥AB，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； ②延长 AC 交 BD 于点 E，必有∠BEC=∠BOA； ③  OA OB OC OD AC BD tan∠OCD；④BD⊥AC； ⑤连接 AD、BC，必有 2222 CDABBCAD  ；⑥ BDAC2 1S△BCD  三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE；②OD+OE= 2 OC；③ 2 △OCE△OCD△DCE OC2 1SSS  证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△CDM≌△CEN ②过点 C 作 CF⊥OC，如图 3，证明△ODC≌△FEC ※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： 以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD= 2 OC； ③ 2 △OCD△OCE OC2 1SS  O A B C D O A B C D E O A B C D E O A B C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4 （2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③ 2 △OCE△OCD△DCE OC4 3SSS  证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在 OB 上取一点 F，使 OF=OC，证明△OCF 为等边三角形。 （3）全等型-任意角ɑ 【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE； 【结论】：①OC 平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ； ③ αcosαsinOCSSS 2 △OCE△OCD△DCE  ※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如右下图）： 原结论变成：① ； ② ； ③ 。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A O B C E F A O B C E F F A O BE D C A O B E C D 对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③注意 OC 平分∠AOB 时， ∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导？ 四、模型四：角含半角模型 90° （1）角含半角模型 90°---1 【条件】：①正方形 ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF 的周长为正方形 ABCD 周长的一半； 也可以这样： 【条件】：①正方形 ABCD；②EF=DF+BE； 【结论】：①∠EAF=45°； （2）角含半角模型 90°---2 【条件】：①正方形 ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：①EF=DF-BE； A O B C D E A B C D E F A B C D E F G A B C D E F A B C D E F A B C D E F （3）角含半角模型 90°---3 【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°； 【结论】： 222 DECEBD  （如图 1） 若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论 仍然成立（如图 2） （4）角含半角模型 90°变形 【条件】：①正方形 ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：△AHE 为等腰直角三角形； 证明：连接 AC（方法不唯一） ∵∠DAC=∠EAF=45°， ∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°； ∴△DAH∽△CAE，∴ AE AC AH DA  ∴△AHE∽△ADC，∴△AHE 为等腰直角三角形 模型五：倍长中线类模型 （1）倍长中线类模型---1 【条件】：①矩形 ABCD；②BD=BE； ③DF=EF； A B CD E A B CD E F A B CD E A B CD E F A B C D G H F E A B C D G H F E A B C E F D H A B E F D H 【结论】：AF⊥CF 模型提取：①有平行线 AD∥BE；②平行线间线段有中点 DF=EF； 可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。 （2）倍长中线类模型---2 【条件】：①平行四边形 ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB； 【结论】：∠EMD=3∠MEA 辅助线：有平行 AB∥CD，有中点 AM=DM，延长 EM，构造△AME≌△DMF，连接 CM 构造 等腰△EMC，等腰△MCF。（通过构造 8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化） 模型六：相似三角形 360°旋转模型 （1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法 【条件】：①△ADE、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF； 【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF 辅助线：延长 DF 到点 G，使 FG=DF，连接 CG、BG、BD，证明△BDG 为等腰直角三角形； 突破点：△ABD≌△CBG； 难点：证明∠BAO=∠BCG （2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法 【条件】：①△ADE、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF； 【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF 辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC； 辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EF。 A B C DM E A B C DM E F A E B D F C A E B D F C H G A E B D F C A B D F C G （3）任意相似直角三角形 360°旋转模型---补全法 【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE； 【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO 辅助线：延长 BA 到 G，使 AG=AB，延长 CD 到点 H 使 DH=CD，补全△OGB、△OCH 构造旋转模 型。转化 AE 与 DE 到 CG 与 BH，难点在转化∠AED。 （4）任意相似直角三角形 360°旋转模型---倍长法 【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE； 【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO 辅助线：延长 DE 至 M，使 ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点， 将△AMD∽△ABC 继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在 证明∠ABM=∠AOD 模型七：最短路程模型 （1）最短路程模型一（将军饮马类） 总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决； O A B D CE O A B D CE G H O A B D CE O A B D C E M A B B' P l PA+PB 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定 （2）最短路程模型二（点到直线类 1） 【条件】：①OC 平分∠AOB；②M 为 OB 上一定点；③P 为 OC 上一动点；④Q 为 OB 上一动点； 【问题】：求 MP+PQ 最小时，P、Q 的位置？ 辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q’，转化 PQ’=PQ，过点 M 作 MH⊥OA， 则 MP+PQ=MP+PQ’ MH(垂线段最短） （3）最短路程模型二（点到直线类 2） 【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n） 【问题】：n 为何值时， PA5 5PB  最小？ 求解方法：①x 轴上取 C(2,0),使 sin∠OAC= 5 5 ；②过 B 作 BD⊥AC，交 y 轴于点 E，即为 所求；③tan∠EBO=tan∠OAC= 2 1 ，即 E（0，1） A A' P Q B B' l2 l1 PA+PQ+BQ A A' P Q B B' l A A' P Q B l1 l2 PA+PQ+BQ PA+PQ+BQ A P O Q M B Q' H P A x y OB P A x y OB P A C D E （4）最短路程模型三（旋转类最值模型） 【条件】：①线段 OA=4，OB=2；②OB 绕点 O 在平面内 360°旋转； 【问题】：AB 的最大值，最小值分别为多少？ 【结论】：以点 O 为圆心，OB 为半径作圆，如图所示，将问题转化为 “三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。 最大值：OA+OB；最小值：OA-OB 【条件】：①线段 OA=4，OB=2；②以点 O 为圆心，OB，OC 为半径作圆； ③点 P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点； 【结论】：若 PA 的最大值为 10，则 OC= 6 ；若 PA 的最小值为 1，则 OC= 3 ； 若 PA 的最小值为 2，则 PC 的取值范围是 0