初中数学常用解题方法总结 87页

一．初中数学常用解题方法总结 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中 的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过 配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配 成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方 法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方 程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经 常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因 式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一 种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。 因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式 法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆 项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方 法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在 一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个 部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a≠0）根的判 别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题 方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃 至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知 两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的 对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解 一些有关二次曲线的问题等 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形 式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于 待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待 定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称 为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论 的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、 一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件 和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法， 我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几 何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反 的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛 盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反 证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤， 大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用 的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、 不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不 等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一个、 一个也没有；至少有 n 个、至多有(n 一 1)个；至多有一个、 至少有两个；唯一、至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但 必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推 理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾； 与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相 矛盾。 8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计 算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明 平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证 明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的 一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。 面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通 过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元 素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不 添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。 9、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化 为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元 素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的 变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习 题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面， 也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静 止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本 质的认识。 几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。 10、客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答 案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比 较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷 的容量和知识覆盖面。 填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有 考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查 学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未 给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、 严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下 面通过实例介绍常用方法。 （1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、 公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案， 这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。 （2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证， 找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找 出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量 命题时，常用此法。 （3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入 题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素 法。 （4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题， 根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的 结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。 （5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、 特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择 题常用方法之一。 （6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的 分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，为分析法。 二．初中数学基本定理总结 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最 短 7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直 线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相 平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理 三角形两边的和大于第三边 16、推论 三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18、推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和 20、推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内 角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个 三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三 角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等 27、定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平 分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即 等边对等角） 31、推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底 边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合 33、推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60° 34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35、推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°那么它所对的 直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距 离相等 40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有 点的集合 42、定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是 对应点连线的垂直平分线 44、定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段 或延长线相交，那么交点在对称轴上 45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直 平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46、勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜 边 c 的平方，即 a2+b2=c2 47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 48、定理 四边形的内角和等于 360° 49、四边形的外角和等于 360° 50、多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180° 51、推论 任意多边的外角和等于 360° 52、平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53、平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55、平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56、平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平 行四边形 57、平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边 形是 平行四边形 58、平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行 四边形 59、平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平 行四边形 60、矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61、矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62、矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63、矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64、菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65、菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角 66、菱形面积=对角线乘积的一半，即 S=（a×b）÷2 67、菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68、菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69、正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都 相等 70、正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相 垂直平分，每条对角线平分一组对角 71、定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72、定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对 称中心，并且被对称中心平分 73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并 且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75、等腰梯形的两条对角线相等 76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是 等腰梯形 77、对角线相等的梯形是等腰梯形 78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截 得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79、推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另 一腰 80、推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线， 必平分第三边 81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并 且等于它的一半 82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于 两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 83、(1)比例的基本性质：如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如 果 ad=bc ,那么 a:b=c:d 84、(2)合比性质：如果 a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85、(3)等比性质：如果 a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0), 那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所 得的对应线段成比例 87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段成比例 88、定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线） 所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三 边 89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所 截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的 延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91、相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似 （ASA） 92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三 角形相似 93、判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相 似（SAS） 94、判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一 个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个 直角三角形相似 96、性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与 对应角平分线的比都等于相似比 97、性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98、性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的 余弦值等于它的余角的正弦值 100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角 的余切值等于它的余角的正切值 101、圆是定点的距离等于定长的点的集合 102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104、同圆或等圆的半径相等 105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心， 定长为半径的圆 106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条 线段的垂直平分线 107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平 分线 108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行 线平行且距离相等的一条直线 109、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对 的两条弧 111、推论 1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所 对的另一条弧 112、推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 115、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其 余各组量都相等 116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117、推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等 118、推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径 119、推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那 么这个三角形是直角三角形 120、定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角 121、①直线 L 和⊙O 相交 d﹤r ②直线 L 和⊙O 相切 d=r ③直线 L 和⊙O 相离 d﹥r 122、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线 123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124、推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125、推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127、圆的外切四边形的两组对边的和相等 128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切 角也相等 130、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段长的积相等 131、推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直 径所成的两条线段的比例中项 132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 133、推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割 线与圆的交点的两条线段长的积相等 134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135、①两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相 交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r) ④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r) 136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137、定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边 形是这个圆的外切正 n 边形 138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆， 这两个圆是同心圆 139、正 n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140、定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个 全等的直角三角形 141、正 n 边形的面积 Sn=pnrn／2 p 表示正 n 边形的周 长 142、正三角形面积√3a／4 a 表示边长 143、如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，由于这些 角的和应为 360°，因此 k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2） (k-2)=4 144、弧长计算公式：L=n 兀 R／180 145、扇形面积公式：S 扇形=n 兀 R^2／360=LR／2 146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 三．初中数学基本知识总结 ㈠、数与代数 A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示 0（原点）， 选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方 向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个 点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一 个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在 数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且 与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左 边的大。正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做 该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值 是他的相反数、0 的绝对值是 0。两个负数比较大小，绝对 值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号 相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大 的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个 数与 0 相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。② 任何数与 0 相乘得 0。③乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0 不能作除 数。 乘方：求 N 个相同因数 A 的积的运算叫做乘方，乘方的结果 叫幂，A 叫底数，N 叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先 算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数 X 的平方等于 A，那么这个正数 X 就叫做 A 的算术平方根。②如果一个数 X 的平方等于 A，那 么这个数 X 就叫做 A 的平方根。③一个正数有 2 个平方根/0 的平方根为 0/负数没有平方根。④求一个数 A 的平方根运算， 叫做开平方，其中 A 叫做被开方数。 立方根：①如果一个数 X 的立方等于 A，那么这个数 X 就叫 做 A 的立方根。②正数的立方根是正数、0 的立方根是 0、 负数的立方根是负数。③求一个数 A 的立方根的运算叫开立 方，其中 A 叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数， 倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对 值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点 来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同 的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类 项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和 字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的 和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中， 所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式 中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同 类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同 字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的 因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去 乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一 项，再把所得的积相加。 公式两条：平方差公式/完全平方公式 整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后， 作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的 指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这 个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变 化叫做把这个多项式分解因式。 方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。 分式：①整式 A 除以整式 B，如果除式 B 中含有分母，那么 这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为 0。②分式的 分子与分母同乘以或除以同一个不等于 0 的整式，分式的值 不变。 分式的运算： 乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为 积的分母。 除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。 加减法：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 ②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。 分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方 程的分母为 0 的解称为原方程的增根。 B、方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且 未知数的指数是 1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两 边同时加上或减去或乘以或除以（不为 0）一个代数式，所 得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知 数系数化为 1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次 数都是 1 的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元 一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一 次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方 程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系 数为 2 的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了 解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可 以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一 个特殊情况，就是当 Y 的 0 的时候就构成了一元二次方程了。 那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二 次函数中，图象与 X 轴的交点。也就是该方程的解了 2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要 记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是 二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可 以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去 求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方 程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去 解 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根 X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 3）解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为 1，再 同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公 式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法 （这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以， 就可以化为乘积的形式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为 a，一次项的系数为 b，常数项的系数为 c 4）韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二 根之和=-b/a，二根之积=c/a 也可以表示为 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求 出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5）一元一次方程根的情况 利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为 “△”，读作“diao ta”，而△=b2-4ac，这里可以分为 3 种情 况： I 当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根； II 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根； III 当△<0 时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中 就会知道，这里有 2 个虚数根） 2、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等 式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③ 不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相 反。 不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等 式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不 等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数， 且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。 一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不 等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不 等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次 不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式 组。 一元一次不等式的符号方向： 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是 随着你加或乘的运算改变。 在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等 式符号不改向；例如：A>B,A+C>B+C 在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等 式符号不改向；例如：A>B，A-C>B-C 在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如： A>B，A*C>B*C（C>0） 在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：A>B， A*C=0，b>=0) 2 算术平方根的除法 sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a>=0，b>0) 通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火 把根号中的分母化去，叫做分母有理化 (1) 被开方数的每个因数的指数都小于 2;(2) 被开方数 不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方 根 23 算术平方根的加、减运算 如果几个平方根化成最简平方根以后，被开方数相同， 那么这几个平方根就叫做同类平方根 3 一元二次方程及其解法 31 一元二次方程 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的方程， 叫做一元二次方程 32 特殊的一元二次方程的解法 33 一般的一元二次方程的解法——配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1 化二次项系数为 1 用二次项系数去除方程两边，将方 程化为 x^2+px+q=0 的形式 2 移项把常数项移至方程右边，将方程化为 x^2+px=-q 的形式 3 配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，是 方程左边成为含有未知数的完全平方形式，右边是一个常数 4 有平方根的定义，可知 (1) 当 p^2/4-q>0 时，原方程有两个实数根; (2) 当 p^2/4-q=0，原方程有两个相等的实数根(二重根); (3) 当 p^2/4-q<0，原方程无实根 34 一元二次方程的求根公式 一元二次方程 ax^2+bx+c=0(a!=0)的求根公式: 当 b^2-4ac>=0 时，x1，2=(-b(+，-)sqrt(b^2-4ac))/2a 35 一元二次方程根的判别式 方程 ax^2+bx+c=0(a!=0) 当 delta=b^2-4ac>0 时，有两个不相等的实数根; 当 delta=b^2-4ac=0 时，有两个相等的实数根; 当 delta=b^2-4ac<0 时，没有实数根 36 一元二次方程的根与系数的关系 以两个数 x1，x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1) 是 x^2-(x1+x2)x+x1?x2=0 4 解应用问题 七．初中数学代数知识点总结：多项式的四则运算 1 单项式与多项式 仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)运算的式子叫做 单项式单独的一个数或字母也是单项式 单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数)的数 字系数，简称系数 当一个单项式的系数是 1 或-1 时，“1”通常省略不写 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的 次数 如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只 要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同， 那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的 常数都是同类项 12 多项式 有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式 多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项， 叫做常数项 单项式可以看作是多项式的特例 把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的 乘方指数不变 在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项 式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称 为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数，就称 为这个多项式的次数 13 多项式的值 任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把 已知数和未知数连接起来的式子 14 多项式的恒等 对于两个一元多项式 f(x)、g(x)来说，当未知数 x 同取任 一个数值 a 时，如果它们所得的值都是相等的，即 f(a)=g(a)， 那么，这两个多项式就称为是恒等的记为 f(x)==g(x)，或简记 为 f(x)=g(x) 性质 1 如果 f(x)==g(x)，那么，对于任一个数值 a，都有 f(a)=g(a) 性质 2 如果 f(x)==g(x)，那么，这两个多项式的个同类项 系数就一定对应相等 15 一元多项式的根 一般地，能够使多项式 f(x)的值等于 0 的未知数 x 的值， 叫做多项式 f(x)的根 2 多项式的加、减法，乘法 21 多项式的加、减法 22 多项式的乘法 单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字 母因式，则连同它的指数作为积的一个因式 3 多项式的乘法 多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另 一个多项式的各项，再把所得的积相加 23 常用乘法公式 公式 I 平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方 差 公式 II 完全平方公式 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 两数(或两式)和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们积的 2 倍 3 单项式的除法 两个单项式相除，就是它们的系数、同底数的幂分别相 除，而对于那些只在被除式里出现的字母，连同它们的指数 一起作为商的因式，对于只在除式里出现的字母，连同它们 的指数的相反数一起作为商的因式 一个多项式处以一个单项式，先把这个多项式的每一项 除以这个单项式，再把所得的商相加 八．初中数学代数知识点总结：因式分解 1 因式分解 11 因式 如果一个次数不低于一次的多项式因式，除这个多项式 本身和非零常数外，再也没有其他的因式，那么这个因式(即 该多项式)就叫做质因式 12 因式分解 把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫 做多项式的因式分解 1 提取公因式法 2 运用公式法 3 分组分解法 4 十字相乘法 5 配方法 6 求根公式法 13 用待定系数法分解因式 2 余式定理及其应用 21 余式定理 f(x)除以(x-a)的余式是常数 f(a) 九．初中数学代数知识点总结：分式与二次根式 1 分式与分式方程 11 指数的扩充 12 分式和分式的基本性质 设 f，g 是一元或多元多项式，g 的次数高于零次，则称 f，g 之比 f/g 为分式 分式的基本性质 分数的分子与分母都乘以或除以同一 个不等于 0 的数，分数的值不变 13 分式的约分和通分 分式的约分是将分子与分母的公因式约去，使分式化简 如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公 因式，且各系数没有大于 1 的公约数，则此分式成为既约分 式既约分式也就是最简分式 对于分母不相同的几个分式，将每个分式的分子与分母 乘以适当的非零多项式，使各分式的分母相同，而各分式的 值保持不变，这种运算叫做通分 14 分式的运算 15 分式方程 方程的两遍都是有理式，这样的方程成为有理方程如果 有理方程中含有分式，则称为分式方程 2 二次根式 21 根式 在实数范围内，如果 n 个 x 相乘等于 a，n 是大于 1 的 整数，则称 x 为 a 的 n 次方根 含有数字与变元的加，减，乘，除，乘方，开方运算， 并一定含有变元开方运算的算式成为无理式 22 最简二次根式与同类根式 具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方 式的每一个因式的指数都小于开方次数 (2)根号内不含有分 母 如果几个二次根式化成最简根式以后，被开方式相同， 那么这几个二次根式叫做同类根式 23 二次根式的运算 24 无理方程 根号里含有未知数的方程叫做无理方程 十．初中数学代数知识点总结：二元二次方程 1 二元二次方程与二元二次方程组 11 二元二次方程 含有两个未知数，并且未知数最高次数是 2 的整式方程， 称为二元二次方程 关于 x，y 的二元二次方程的一般形式是 ax²+bxy+cy² +dy+ey+f=0 其中 ax²，bxy，cy²叫做方程的二次项，d，e 叫做一次 项，f 叫做常数项 12 二元二次方程组 2 二元二次方程组的解法 21 第一种类型的二元二次方程组的解法 当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次 方程的时候，我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的 另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方 法，称为分解降次法 22 第二种类型的二元二次方程组的解法 十一.初中数学代数公式、定理汇编(函数与图像) 1 数轴 11 有向直线 在科学技术和日常生活中，为了区别一条直线的两个不 同方向，可以规定其中一方向为正向，另一方向为负相 规定了正方向的直线，叫做有向直线，读作有向直线 l 12 数轴 我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标 对于每一个坐标(实数)，在数周上可以找到唯一的点与 之对应这就是直线的坐标化 数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与 起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐 标差的绝对值 2 平面直角坐标系 21 平面的直角坐标化 在平面内任取一点 o 为作为原点(基准点)，过 o 引两条 互相垂直的，以 o 为公共原点的数轴，一般地，两个数轴选 取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系 x 轴叫 横轴，y 轴叫纵轴，它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点 o 称为直角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫 直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个 部分，它们叫做四个象限 22 两点间的距离 23 中点公式 3 函数 31 常量，变量和函数 在某一过程中可以去不同数值的量，叫做变量在整个过 程中保持统一数值的量或数，叫做常量或常数 一般地，设在变活过程中有两个互相关联的变量 x，y， 如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确 定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 叫做自变量 1. 函数的定义域 2. 对应法则 (1) 解析法 就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数，这个 等式叫做函数的解析表达式(函数关系式) (2) 列表法 (3) 图像法 3 函数的值域 一般的，当函数 f(x)的自变量 x 去定义域 D 中的一个确 定的值 a，函数有唯一确定的对应值这个对应值，称为 x=a 时的函数值，简称函数值，记作:f(a) 32 函数的图像 若把自变量 x 的一个值和函数 y 的对应值分别作为点的 横坐标和纵坐标，可以在直角坐标平面上描出一个点(x，f(x)) 的集合构成一个图形 F，而集 F 成为函数 y=f(x)的图像 知道函数的解析式，要画函数的图像，一般分为列表， 描点，连线三个步骤 4 正比例函数 41 正比例函数 一般地，函数 y=kx(k 是不等于零的常数)叫做正比例函 数，其中常数 k 叫做变量 y 与 x 之间的比例函数确定了比例 函数 k，就可以确定一个正比例函数 正比例函数 y=kx 有下列性质: (3) 当 k>0 时，它的图像经过第一，三象限，y 随着 x 的 值增大而增大;当 k<0 时，他的图像经过第二，四象限，y 随 着 x 的增大而减小 (2)随着比例函数的绝对值的增加，函数图像渐渐离开 x 轴而接近于 y 轴，因此，比例系数 k 和直线 y=kx 与 x 轴正方 向所成的角有关据此，k 叫做直线 y=kx 的斜率 42 反比例函数 一般地，函数 y=k/x(k 是不等于 0 的常数)叫做反比例函 数 反比例函数 y=k/x 有下列性质: (7) 当 k>0 时，他的图像的两个分支分别位于第一，三 象限内，在每一个象限内，y 随 x 的值增大而减小;当 k<0 时， 它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内，在每一个象 限内，y 随 x 的增大而增大 (8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到 x 轴和 y 轴 5 一次函数及其图像 51 一次函数及其图像 如果 k=0 时，函数变形为 y=b，无论 x 在其定义域内取 何值，y 都有唯一确定的值 b 与之对应，这样的函数我们称 它为常函数 直线 y=kx+b 与 y 轴交与点(0，b)，b 叫做直线 y=kx+b 在 y 轴上的截距，简称纵截距 52 一次函数的性质 函数 y=f(小)，在 a〈x〈b 上，如果函数值随着自变量 x 的值增加而增加，那么我们说函数 f(x)在 a〈x 如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图 像，交点的坐标就是这个方程组的解，这种求二元一次方程 组的解法叫图像法 3. 3 一次函数的应用 十二.初中数学代数公式、定理汇编(二次函数) 1 二次函数及其图像 11 二次函数 我们把函数 y=ax²+bx+c(a，b，c 为常数，且 a 不等于 0) 叫做二次函数 12 函数 y=ax²(a 不等于 0)的图像和性质 用表里各组对应值作为点的坐标，进行描点，然后用光 滑的曲线把它们顺次联结起来，就得到函数 y=x²的图象这个 图象叫做抛物线函数 y=x²的图像，以后简称为抛物线 y=x² 这条抛物线是关于 y 轴成对称的我们把 y 轴叫做抛物线 y=x² 的对称轴对称轴和抛物线的焦点，叫做抛物线的顶点 13 函数 y=ax²+bx+c(a 不等于 0)的图像和性质 抛物线 y=ax²+bx+c 的顶点坐标是(-b/2a，4ac-b²/4a)，对 称轴方程是 x=-b/2a，当 a〉0 时，抛物线的开口向上，并且 向上无限延伸;当 a〈0 时，抛物线的开口向下，并且向下无 限延伸 当 a〉0 时，二次函数 y=ax²+bx+c 在 x〈-b/2a 时是递减 的，在 x〉-b/2a 时是递增的;在 x=-b/2a 处取得 y 最小=4ac- b ²/4a 当 a〈0 时，二次函数 y=ax²+bx+c 在 x〈-b/2a 时是递减 的;在 x=-不/2a 处取得 y 最大=4ac-b²/4a 2 根据已知条件求二次函数 21 根据已知条件确定二次函数 22 二次函数的最大值或最小值 23 一元二次方程的图像解法