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  • 2021-11-12 发布

初中数学常用解题方法总结

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一.初中数学常用解题方法总结 1、配方法 所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中 的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过 配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配 成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方 法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方 程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经 常用到它。 2、因式分解法 因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因 式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一 种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。 因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式 法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆 项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方 法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在 一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个 部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a、b、c 属于 R,a≠0)根的判 别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题 方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃 至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知 两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的 对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解 一些有关二次曲线的问题等 5、待定系数法 在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形 式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于 待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待 定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称 为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论 的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、 一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件 和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法, 我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几 何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。 7、反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反 的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛 盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反 证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤, 大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用 的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是、不是;存在、 不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不 等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、 一个也没有;至少有 n 个、至多有(n 一 1)个;至多有一个、 至少有两个;唯一、至少有两个。 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但 必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推 理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾; 与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相 矛盾。 8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计 算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明 平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证 明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的 一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。 面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通 过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元 素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不 添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。 9、几何变换法 在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化 为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元 素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的 变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习 题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面, 也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静 止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本 质的认识。 几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。 10、客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答 案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比 较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷 的容量和知识覆盖面。 填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有 考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查 学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未 给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、 严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下 面通过实例介绍常用方法。 (1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、 公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案, 这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。 (2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证, 找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找 出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量 命题时,常用此法。 (3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入 题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素 法。 (4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题, 根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的 结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。 (5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图象的性质、 特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择 题常用方法之一。 (6)分析法:直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的 分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,为分析法。 二.初中数学基本定理总结 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最 短 7、平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直 线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相 平行 9、同位角相等,两直线平行 10、内错角相等,两直线平行 11、同旁内角互补,两直线平行 12、两直线平行,同位角相等 13、两直线平行,内错角相等 14、两直线平行,同旁内角互补 15、定理 三角形两边的和大于第三边 16、推论 三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18、推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和 20、推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内 角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个 三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三 角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等 27、定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平 分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即 等边对等角) 31、推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底 边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合 33、推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35、推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的 直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距 离相等 40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线 段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有 点的集合 42、定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是 对应点连线的垂直平分线 44、定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段 或延长线相交,那么交点在对称轴上 45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直 平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46、勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜 边 c 的平方,即 a2+b2=c2 47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 48、定理 四边形的内角和等于 360° 49、四边形的外角和等于 360° 50、多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)×180° 51、推论 任意多边的外角和等于 360° 52、平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53、平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55、平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56、平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平 行四边形 57、平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边 形是 平行四边形 58、平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行 四边形 59、平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平 行四边形 60、矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61、矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62、矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63、矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64、菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65、菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对 角线平分一组对角 66、菱形面积=对角线乘积的一半,即 S=(a×b)÷2 67、菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68、菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69、正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都 相等 70、正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相 垂直平分,每条对角线平分一组对角 71、定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72、定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对 称中心,并且被对称中心平分 73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并 且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称 74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75、等腰梯形的两条对角线相等 76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是 等腰梯形 77、对角线相等的梯形是等腰梯形 78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截 得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 79、推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另 一腰 80、推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线, 必平分第三边 81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并 且等于它的一半 82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于 两底和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h 83、(1)比例的基本性质:如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如 果 ad=bc ,那么 a:b=c:d 84、(2)合比性质:如果 a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 85、(3)等比性质:如果 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0), 那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所 得的对应线段成比例 87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线),所得的对应线段成比例 88、定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三 边 89、平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线, 所 截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 91、相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似 (ASA) 92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三 角形相似 93、判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相 似(SAS) 94、判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一 个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个 直角三角形相似 96、性质定理 1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与 对应角平分线的比都等于相似比 97、性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98、性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的 余弦值等于它的余角的正弦值 100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角 的余切值等于它的余角的正切值 101、圆是定点的距离等于定长的点的集合 102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104、同圆或等圆的半径相等 105、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心, 定长为半径的圆 106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条 线段的垂直平分线 107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平 分线 108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行 线平行且距离相等的一条直线 109、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对 的两条弧 111、推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所 对的另一条弧 112、推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114、定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 115、推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两 条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其 余各组量都相等 116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117、推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等 118、推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的 圆周角所对的弦是直径 119、推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那 么这个三角形是直角三角形 120、定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外 角都等于它的内对角 121、①直线 L 和⊙O 相交 d﹤r ②直线 L 和⊙O 相切 d=r ③直线 L 和⊙O 相离 d﹥r 122、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线 123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124、推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125、推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线 长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127、圆的外切四边形的两组对边的和相等 128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切 角也相等 130、相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线 段长的积相等 131、推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直 径所成的两条线段的比例中项 132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 133、推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条 割 线与圆的交点的两条线段长的积相等 134、如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 135、①两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相 交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r) ④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r) 136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137、定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边 形是这个圆的外切正 n 边形 138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆, 这两个圆是同心圆 139、正 n 边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 140、定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个 全等的直角三角形 141、正 n 边形的面积 Sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周 长 142、正三角形面积√3a/4 a 表示边长 143、如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些 角的和应为 360°,因此 k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2) (k-2)=4 144、弧长计算公式:L=n 兀 R/180 145、扇形面积公式:S 扇形=n 兀 R^2/360=LR/2 146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 三.初中数学基本知识总结 ㈠、数与代数 A、数与式: 1、有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示 0(原点), 选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方 向,就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个 点来表示。③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一 个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在 数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且 与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数,右边的总比左 边的大。正数大于 0,负数小于 0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做 该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值 是他的相反数、0 的绝对值是 0。两个负数比较大小,绝对 值大的反而小。 有理数的运算: 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号 相加,绝对值相等时和为 0;绝对值不等时,取绝对值较大 的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个 数与 0 相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。② 任何数与 0 相乘得 0。③乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0 不能作除 数。 乘方:求 N 个相同因数 A 的积的运算叫做乘方,乘方的结果 叫幂,A 叫底数,N 叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先 算括号里的。 2、实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数 X 的平方等于 A,那么这个正数 X 就叫做 A 的算术平方根。②如果一个数 X 的平方等于 A,那 么这个数 X 就叫做 A 的平方根。③一个正数有 2 个平方根/0 的平方根为 0/负数没有平方根。④求一个数 A 的平方根运算, 叫做开平方,其中 A 叫做被开方数。 立方根:①如果一个数 X 的立方等于 A,那么这个数 X 就叫 做 A 的立方根。②正数的立方根是正数、0 的立方根是 0、 负数的立方根是负数。③求一个数 A 的立方根的运算叫开立 方,其中 A 叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数, 倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对 值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点 来表示。 3、代数式 代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同 的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类 项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和 字母的指数不变。 4、整式与分式 整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的 和叫多项式,单项式和多项式统称整式。②一个单项式中, 所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式 中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同 类项。 幂的运算:AM+AN=A(M+N) (AM)N=AMN (A/B)N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同 字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作为积的 因式。②单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去 乘多项式的每一项,再把所得的积相加。③多项式与多项式 相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一 项,再把所得的积相加。 公式两条:平方差公式/完全平方公式 整式的除法:①单项式相除,把系数,同底数幂分别相除后, 作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同他的 指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式,先把这 个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。 分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变 化叫做把这个多项式分解因式。 方法:提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。 分式:①整式 A 除以整式 B,如果除式 B 中含有分母,那么 这个就是分式,对于任何一个分式,分母不为 0。②分式的 分子与分母同乘以或除以同一个不等于 0 的整式,分式的值 不变。 分式的运算: 乘法:把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为 积的分母。 除法:除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。 加减法:①同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。 ②异分母的分式先通分,化为同分母的分式,再加减。 分式方程:①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方 程的分母为 0 的解称为原方程的增根。 B、方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程:①在一个方程中,只含有一个未知数,并且 未知数的指数是 1,这样的方程叫一元一次方程。②等式两 边同时加上或减去或乘以或除以(不为 0)一个代数式,所 得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知 数系数化为 1。 二元一次方程:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次 数都是 1 的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组:两个二元一次方程组成的方程组叫做二元 一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一 次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方 程的解。 解二元一次方程组的方法:代入消元法/加减消元法。 一元二次方程:只有一个未知数,并且未知数的项的最高系 数为 2 的方程 1)一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数(即抛物线)了,对他也有很深的了 解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可 以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一 个特殊情况,就是当 Y 的 0 的时候就构成了一元二次方程了。 那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二 次函数中,图象与 X 轴的交点。也就是该方程的解了 2)一元二次方程的解法 大家知道,二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a),这大家要 记住,很重要,因为在上面已经说过了,一元二次方程也是 二次函数的一部分,所以他也有自己的一个解法,利用他可 以求出所有的一元一次方程的解 (1)配方法 利用配方,使方程变为完全平方公式,在用直接开平方法去 求出解 (2)分解因式法 提取公因式,套用公式法,和十字相乘法。在解一元二次方 程的时候也一样,利用这点,把方程化为几个乘积的形式去 解 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了,方程的根 X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a,X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 3)解一元二次方程的步骤: (1)配方法的步骤: 先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为 1,再 同时加上 1 次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公 式 (2)分解因式法的步骤: 把方程右边化为 0,然后看看是否能用提取公因式,公式法 (这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以, 就可以化为乘积的形式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为 a,一次项的系数为 b,常数项的系数为 c 4)韦达定理 利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二 根之和=-b/a,二根之积=c/a 也可以表示为 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理,可以求 出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用 5)一元一次方程根的情况 利用根的判别式去了解,根的判别式可在书面上可以写为 “△”,读作“diao ta”,而△=b2-4ac,这里可以分为 3 种情 况: I 当△>0 时,一元二次方程有 2 个不相等的实数根; II 当△=0 时,一元二次方程有 2 个相同的实数根; III 当△<0 时,一元二次方程没有实数根(在这里,学到高中 就会知道,这里有 2 个虚数根) 2、不等式与不等式组 不等式:①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。②不等 式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。③ 不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相 反。 不等式的解集:①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等 式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不 等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数, 且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。 一元一次不等式组:①关于同一个未知数的几个一元一次不 等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。②一元一次不 等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次 不等式组的解集。③求不等式组解集的过程,叫做解不等式 组。 一元一次不等式的符号方向: 在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,他是 随着你加或乘的运算改变。 在不等式中,如果加上同一个数(或加上一个正数),不等 式符号不改向;例如:A>B,A+C>B+C 在不等式中,如果减去同一个数(或加上一个负数),不等 式符号不改向;例如:A>B,A-C>B-C 在不等式中,如果乘以同一个正数,不等号不改向;例如: A>B,A*C>B*C(C>0) 在不等式中,如果乘以同一个负数,不等号改向;例如:A>B, A*C=0,b>=0) 2 算术平方根的除法 sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a>=0,b>0) 通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火 把根号中的分母化去,叫做分母有理化 (1) 被开方数的每个因数的指数都小于 2;(2) 被开方数 不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方 根 23 算术平方根的加、减运算 如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同, 那么这几个平方根就叫做同类平方根 3 一元二次方程及其解法 31 一元二次方程 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的方程, 叫做一元二次方程 32 特殊的一元二次方程的解法 33 一般的一元二次方程的解法——配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤是: 1 化二次项系数为 1 用二次项系数去除方程两边,将方 程化为 x^2+px+q=0 的形式 2 移项把常数项移至方程右边,将方程化为 x^2+px=-q 的形式 3 配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,是 方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数 4 有平方根的定义,可知 (1) 当 p^2/4-q>0 时,原方程有两个实数根; (2) 当 p^2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根(二重根); (3) 当 p^2/4-q<0,原方程无实根 34 一元二次方程的求根公式 一元二次方程 ax^2+bx+c=0(a!=0)的求根公式: 当 b^2-4ac>=0 时,x1,2=(-b(+,-)sqrt(b^2-4ac))/2a 35 一元二次方程根的判别式 方程 ax^2+bx+c=0(a!=0) 当 delta=b^2-4ac>0 时,有两个不相等的实数根; 当 delta=b^2-4ac=0 时,有两个相等的实数根; 当 delta=b^2-4ac<0 时,没有实数根 36 一元二次方程的根与系数的关系 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1) 是 x^2-(x1+x2)x+x1?x2=0 4 解应用问题 七.初中数学代数知识点总结:多项式的四则运算 1 单项式与多项式 仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)运算的式子叫做 单项式单独的一个数或字母也是单项式 单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数)的数 字系数,简称系数 当一个单项式的系数是 1 或-1 时,“1”通常省略不写 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的 次数 如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只 要他们所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同, 那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项所有的 常数都是同类项 12 多项式 有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式 多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项, 叫做常数项 单项式可以看作是多项式的特例 把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的 乘方指数不变 在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项 式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称 为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数,就称 为这个多项式的次数 13 多项式的值 任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把 已知数和未知数连接起来的式子 14 多项式的恒等 对于两个一元多项式 f(x)、g(x)来说,当未知数 x 同取任 一个数值 a 时,如果它们所得的值都是相等的,即 f(a)=g(a), 那么,这两个多项式就称为是恒等的记为 f(x)==g(x),或简记 为 f(x)=g(x) 性质 1 如果 f(x)==g(x),那么,对于任一个数值 a,都有 f(a)=g(a) 性质 2 如果 f(x)==g(x),那么,这两个多项式的个同类项 系数就一定对应相等 15 一元多项式的根 一般地,能够使多项式 f(x)的值等于 0 的未知数 x 的值, 叫做多项式 f(x)的根 2 多项式的加、减法,乘法 21 多项式的加、减法 22 多项式的乘法 单项式相乘,用它们系数作为积的系数,对于相同的字 母因式,则连同它的指数作为积的一个因式 3 多项式的乘法 多项式与多项式相乘,先用一个多项式等每一项乘以另 一个多项式的各项,再把所得的积相加 23 常用乘法公式 公式 I 平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方 差 公式 II 完全平方公式 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 两数(或两式)和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上 (或减去)它们积的 2 倍 3 单项式的除法 两个单项式相除,就是它们的系数、同底数的幂分别相 除,而对于那些只在被除式里出现的字母,连同它们的指数 一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,连同它们 的指数的相反数一起作为商的因式 一个多项式处以一个单项式,先把这个多项式的每一项 除以这个单项式,再把所得的商相加 八.初中数学代数知识点总结:因式分解 1 因式分解 11 因式 如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式 本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式(即 该多项式)就叫做质因式 12 因式分解 把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫 做多项式的因式分解 1 提取公因式法 2 运用公式法 3 分组分解法 4 十字相乘法 5 配方法 6 求根公式法 13 用待定系数法分解因式 2 余式定理及其应用 21 余式定理 f(x)除以(x-a)的余式是常数 f(a) 九.初中数学代数知识点总结:分式与二次根式 1 分式与分式方程 11 指数的扩充 12 分式和分式的基本性质 设 f,g 是一元或多元多项式,g 的次数高于零次,则称 f,g 之比 f/g 为分式 分式的基本性质 分数的分子与分母都乘以或除以同一 个不等于 0 的数,分数的值不变 13 分式的约分和通分 分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简 如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公 因式,且各系数没有大于 1 的公约数,则此分式成为既约分 式既约分式也就是最简分式 对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母 乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的 值保持不变,这种运算叫做通分 14 分式的运算 15 分式方程 方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果 有理方程中含有分式,则称为分式方程 2 二次根式 21 根式 在实数范围内,如果 n 个 x 相乘等于 a,n 是大于 1 的 整数,则称 x 为 a 的 n 次方根 含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算, 并一定含有变元开方运算的算式成为无理式 22 最简二次根式与同类根式 具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方 式的每一个因式的指数都小于开方次数 (2)根号内不含有分 母 如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同, 那么这几个二次根式叫做同类根式 23 二次根式的运算 24 无理方程 根号里含有未知数的方程叫做无理方程 十.初中数学代数知识点总结:二元二次方程 1 二元二次方程与二元二次方程组 11 二元二次方程 含有两个未知数,并且未知数最高次数是 2 的整式方程, 称为二元二次方程 关于 x,y 的二元二次方程的一般形式是 ax²+bxy+cy² +dy+ey+f=0 其中 ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e 叫做一次 项,f 叫做常数项 12 二元二次方程组 2 二元二次方程组的解法 21 第一种类型的二元二次方程组的解法 当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次 方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的 另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方 法,称为分解降次法 22 第二种类型的二元二次方程组的解法 十一.初中数学代数公式、定理汇编(函数与图像) 1 数轴 11 有向直线 在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不 同方向,可以规定其中一方向为正向,另一方向为负相 规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线 l 12 数轴 我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标 对于每一个坐标(实数),在数周上可以找到唯一的点与 之对应这就是直线的坐标化 数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与 起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐 标差的绝对值 2 平面直角坐标系 21 平面的直角坐标化 在平面内任取一点 o 为作为原点(基准点),过 o 引两条 互相垂直的,以 o 为公共原点的数轴,一般地,两个数轴选 取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系 x 轴叫 横轴,y 轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点 o 称为直角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫 直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个 部分,它们叫做四个象限 22 两点间的距离 23 中点公式 3 函数 31 常量,变量和函数 在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过 程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数 一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量 x,y, 如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确 定的值与之对应,那么就称 y 是 x 的函数,x 叫做自变量 1. 函数的定义域 2. 对应法则 (1) 解析法 就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个 等式叫做函数的解析表达式(函数关系式) (2) 列表法 (3) 图像法 3 函数的值域 一般的,当函数 f(x)的自变量 x 去定义域 D 中的一个确 定的值 a,函数有唯一确定的对应值这个对应值,称为 x=a 时的函数值,简称函数值,记作:f(a) 32 函数的图像 若把自变量 x 的一个值和函数 y 的对应值分别作为点的 横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x)) 的集合构成一个图形 F,而集 F 成为函数 y=f(x)的图像 知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表, 描点,连线三个步骤 4 正比例函数 41 正比例函数 一般地,函数 y=kx(k 是不等于零的常数)叫做正比例函 数,其中常数 k 叫做变量 y 与 x 之间的比例函数确定了比例 函数 k,就可以确定一个正比例函数 正比例函数 y=kx 有下列性质: (3) 当 k>0 时,它的图像经过第一,三象限,y 随着 x 的 值增大而增大;当 k<0 时,他的图像经过第二,四象限,y 随 着 x 的增大而减小 (2)随着比例函数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开 x 轴而接近于 y 轴,因此,比例系数 k 和直线 y=kx 与 x 轴正方 向所成的角有关据此,k 叫做直线 y=kx 的斜率 42 反比例函数 一般地,函数 y=k/x(k 是不等于 0 的常数)叫做反比例函 数 反比例函数 y=k/x 有下列性质: (7) 当 k>0 时,他的图像的两个分支分别位于第一,三 象限内,在每一个象限内,y 随 x 的值增大而减小;当 k<0 时, 它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象 限内,y 随 x 的增大而增大 (8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到 x 轴和 y 轴 5 一次函数及其图像 51 一次函数及其图像 如果 k=0 时,函数变形为 y=b,无论 x 在其定义域内取 何值,y 都有唯一确定的值 b 与之对应,这样的函数我们称 它为常函数 直线 y=kx+b 与 y 轴交与点(0,b),b 叫做直线 y=kx+b 在 y 轴上的截距,简称纵截距 52 一次函数的性质 函数 y=f(小),在 a〈x〈b 上,如果函数值随着自变量 x 的值增加而增加,那么我们说函数 f(x)在 a〈x 如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图 像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程 组的解法叫图像法 3. 3 一次函数的应用 十二.初中数学代数公式、定理汇编(二次函数) 1 二次函数及其图像 11 二次函数 我们把函数 y=ax²+bx+c(a,b,c 为常数,且 a 不等于 0) 叫做二次函数 12 函数 y=ax²(a 不等于 0)的图像和性质 用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光 滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数 y=x²的图象这个 图象叫做抛物线函数 y=x²的图像,以后简称为抛物线 y=x² 这条抛物线是关于 y 轴成对称的我们把 y 轴叫做抛物线 y=x² 的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点 13 函数 y=ax²+bx+c(a 不等于 0)的图像和性质 抛物线 y=ax²+bx+c 的顶点坐标是(-b/2a,4ac-b²/4a),对 称轴方程是 x=-b/2a,当 a〉0 时,抛物线的开口向上,并且 向上无限延伸;当 a〈0 时,抛物线的开口向下,并且向下无 限延伸 当 a〉0 时,二次函数 y=ax²+bx+c 在 x〈-b/2a 时是递减 的,在 x〉-b/2a 时是递增的;在 x=-b/2a 处取得 y 最小=4ac- b ²/4a 当 a〈0 时,二次函数 y=ax²+bx+c 在 x〈-b/2a 时是递减 的;在 x=-不/2a 处取得 y 最大=4ac-b²/4a 2 根据已知条件求二次函数 21 根据已知条件确定二次函数 22 二次函数的最大值或最小值 23 一元二次方程的图像解法