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- 2021-11-12 发布
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例 1 用两种不同的方法解方程组
解法1 由(1)得 (3)
(3)代入(2)中,得
,
即 .
解之,得
代入(3)中,得 .
∴ 原方程组的解是
解法2 由(2)得,
∴ 或.
∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组
∴ 原方程组的解是
说明:解法1是代入消元法,具体思维过程是:先消元,再把原方程组转化为一元二次方程;解法2是分解因式法,具体思维过程是:先降次,再把原方程组转化为两个二元一次方程组.两种解法,各有千秋,但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.
例2 解方程组:
分析:一些含有、、
的二元二次方程组,除可以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系,将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时,后者显得更为简便.
解法1 由(1)得 , (3)
由(3)代入(2),整理,得
.
解得 .
把分别代入(3),得
.
∴ 原方程组的解是
解法2 把、看作一元二次方程的根
解得 .
∴ 原方程组的解是
解法1 由(2)得:. (3)
把(3)代入(1),整理,得
解得 .
把分别代入(3),得
.
∴ 原方程组的解是
解法2 把(2)式左右两边平方得:
, (3)
(3)-(1)得,
即
把x、y看作方程的根,
解得 .
∴ 原方程组的解是
说明:显然,此处(1)、(2)题中解法二都比解法一快捷、简便,但要求能较好地理解一元二次方程根与系数的关系及熟练掌握、、、之间的运算关系.
例 3 为何值时,方程组
有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?
分析:将一次方程代入二次方程,将之化为关于的一元二次方程来解之.
解:
由(2),得
(3)
将(3)代入(1),得
即 , (4)
∵ 当,即,即或时,方程(4)有两个不相等的实根,所以方程组有两组不同的实数解.
因为当,即,即时,方程(4)有两个相等的实根,所以方程组有两组相同的实数解.
说明:方程组相同的实数解,应看作一组解.
例4 A、B两地间的路程为36千米.甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度.
解:设甲、乙的速度分别为x千米/时,y千米/时,根据题意,得
解方程组,得
答:略.
说明:(2)式实际上是一个二元二次方程,即.
典型例题五
例 解方程组
分析:用代入法求解。
解 由(2),得(基本方法)(3)
将(3)代入(1),得
整理,得,.
将代入(3),得
原方程的解为
说明:上述解法属一般方法。如果仔细观察方程组的特点,会发现另一种解法,即把方程(1)化为,结合(2),从而得到,这样,原方程就转化为一个二元一次方程组,即其解法如下:
由(1),得(4)
将(2)代入(4),得,于是组成新方程组,即
解这个方程组,得
原方程组的解是
典型例题六
例 解方程组
分析:因为,成轮换对称,故可逆用根与系数的关系构造一元二次方程解之.
解 把,看成的一元二次方程
(构造新的一元二次方程)
的两根,当时,方程有两组不同的解:
当时,方程组有两组相同的解:
当时,方程组无实数解.
说明:本例属于具有特征的方程组,上述解法是把根与系数式的运用与解方程组结合起来,展示了知识间的内在联系.若从另一角度出发,得如下解法.
,(能否直接开方?)
当时,得
或
解之,得或
当时,得
.
当时,原方程组无实数解.
典型例题七
例 为何值时,方程组
(1)有两组相等的实数解,并求此解;
(2)有两组不相等的实数解;
(3)没有实数解.
分析:利用代入法求解.
解 由原方程组
把(1)代入(2),整理,得
(注意取值)
.
(1)当时方程有两组相等的实数解,即时方程组有两组相等的实数解.
将代入原方程组得
解之,得
即当时原方程组有两组相等的实数解,其解为
(2)当时,方程组有两组不相等实数解,解得且,此时方程组有两组不相等实数解.
(3)当时,即时,方程组无解.
说明:本题是将方程组转化为一元二次方程后利用,,讨论的,并注意一元二次方程中的系数不等于0的条件.
典型例题八
例 (安徽省试题,2002)解方程组
分析:方程组中有一个一元一次方程,常常用代入法求解。
解:联立方程组,得
把(1)代入(2)并整理,得:
解这个一元二次方程,得
,
将的值分别代入(2),得
,
所以原方程组解为
选择题
1.下列方程组中,是二元二次方程组的有( )
(A)1个;(B)2个;(C)3个;(D)4个.
2.由方程组消去y,整理后得到的方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
3.若则x、y的值是( )
(A) (B)
(C)或 (D)或
4. 方程组的解是().
① ② ③ ④
A.①和② B.③和④ C.①和③ D.②和④
5. 方程组的解的个数是().
A.1 B.2 C.3 D.4
6. 如果方程组的一组解为,那么、的值为()
A. B. C. D.
7. 若是一方程组的一组解,那么另一组解为().
A. B. C.不存在 D.不确定
8.若是方程组的一组解,那么这个方程的另一组解是( )
(A) (B) (C) (D)不能确定.
9.方程组有两组相等的实数解,则m的取值是( )
(A) (B) (C) (D)
答案:
1.B;2.C;3.D;4. A; 5. B; 6. B ; 7. B ;8.A ; 9.C.
填空题
1. 若关于,的方程组有两个相等的实数解,则__________.
2. 已知是方程的两个解,则,值分别为________.
答案:
1. ; 2. ,.
解答题
1.解下列方程组
2.解下列方程组:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
3.解下列方程组:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
4.为何值时,下列方程组有两组相等的实数解?
(1) (2)
5.m为何值时,方程组有两组相等实数解?求出这时方程组的解.
6.已知直角三角形的面积为,斜边上的中线长6.5cm,求这个直角三角形的两条直角边的长.
7.已知x、y满足方程组求作以x、y为根的一元二次方程.
答案:
1.(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
2.(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
3.(1)(2)(3)(4)
(5)(6)不符合原方程组,舍去。
4.(1);(2).
5.时, 时
6.设两直角边为a、b,则
解得 .
答:两直角边长分别为5cm,12cm.
7.原方程组可化为
得 或.从而得所求方程为:或.
例1 解方程组
分析:这是由两个二元二次方程组成的方程组,系数没有显著的特征,故我们思维的合理起点是设法把其中一个分解因式.
解:由(1),得
∴ 或
∴ 原方程组可化为两个方程组:
解之得原方程组的解为
说明:此题解法是分解因式法.把其中的一个方程通过分解因式达到降次之目的,从而使原方程组转化为等价的两个方程组,可收化难为易的之功效.
例2 解方程组
分析:两方程含x项的系数对应成比例,故可用消元法解之.
解:(1)-2·(2),得
∴ 或.
原方程组可化为两个方程组
解之得原方程组的解为
例 3 解方程组
分析:可将(2)化为,
则原方程组可化为
或
解之,得
典型例题四
例 二元二次方程组(不需求解)
的解有()
(A)4组 (B)3组 (C)2组 (D)1组
分析:本题是判断方程组有多少组解,由于方程(1)、(2)都是二元二次方程,它最多有4组解,下面通过求解做出判断.
解 由(1),得
或.
由(2),得
或.
原方程组可化为以下四个方程组:
故原方程组有四组实数解,选A.
说明:判断二元二次方程组的解的组数问题是中考中的一种新题型,其思考方法是通过初步求解做出准确判断.
典型例题五
例 已知方程组
有实数解,试确定的取值范围.
分析:将方程组进行配凑,形成平方形式,利用非负性解之.
解 将,得
即
两个等式左边均为非负,故
,.
解之,得,即为所求的取值范围.
说明:利用非负性确定字母参数的取值范围是一种常见的解法.
典型例题六
例 解方程组
分析:观察发现方程(1)的右边为零,而左边可以因式分解,从而可达到降次的目的.方程(2)左边是完全平方式,右边是1,将其两边开方也可以达到降次的目的.
解:由(1)得
或.
由(2)得(不能漏解)
或
原方程组可化为以下四个方程组:
解这四个方程组,得原方程组的四个解是:
说明:要注意避免增解或漏解.
典型例题七
例 解方程组
分析:观察发现,方程(2)可以看作是关于的一元二次方程,因此可分解为,由此可得到两个二元一次方程和,这两个二元一次方程分别和方程(1)组成方程组,求解便得原方程组的解。
解 由(2)得.
或.
原方程组可化为两个方程组:
解之,得
原方程组的解为
选择题
1.的解的组数共有( ).
(A)2 (B)3 (C)4 (D)1
2.方程组的解是( ).
(A) (B) (C) (D)
3.已知是方程组的解,则( ).
(A) (B) (C) (D)
4. 在下列方程组中,解为方程组的解的方程组为()
①②③④
A.①和② B.①、②和③ C.①和③ D.①、②、③、④
5. 方程组的解的个数为().
A.1 B.2 C.3 D.4
6.二元二次方程组的解有().
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
7. 解方程组时,(2)可先化为_______和两个方程().
A. B. C. D..
答案:
1.C;2.A;3.D. 4. D 5. D 6. A 7. A.
填空题
1.方程组的解是 .
2.方程组的解是 .
3.方程组的解是 .
4. 方程组的解是_________.
5. 方程组的解是_________.
6. 方程组可以转化为二元一次方程组________.
7. 把方程分解为两个二元一次方程为_________.
8. 把下列方程化为两个一次方程:
①可化为________.
②可化为_________.
9. 解方程组先将方程(1)化为两个二元一次方程______这样,原方程组可化为两个方程组_________.
10.解方程组的最好方法是将两个方程都分解因式,那么原方程组可化为_______方程组来解.
11.由二元二次方程组可化成的二元一次方程组是________个.
12. 如方程组的一个解是则=_________.
答案:
1.
2.3.
4. 5. 无解 6.
7. , 8. ①和②
或9.,
10.四个 11. 四 12. ,7.
解答题
1.解方程组:
(1)(2)
(3)
2.已知方程组有实数解,求的范围。
3.已知关于,的方程组
(1)把方程(2)化为两个二元一次方程
(2)设是原方程组的一个解,试求和的值;
(3)若与是原方程组的两个解,并且,试求的值。
4.长方形场地周长,对角线比长多,求场地面积。
答案:
1.(1)(2)
(3)
2..
3.(1),(2),(3).
4..
单元测试A卷
1.选择题(四选一)
(1)方程是关于的一元二次方程,则的值不能是( );
A.0 B. C. D.
(2)方程的解是( );
A. B.
C. D.无解
(3)方程的解是( )
A. B.
C. D.
(4)如果方程有增根,那么增根可能是( );
A.0 B.9 C. -9 D.3或-3
(5)若关于的方程有两个相等的实根,则的值是( );
A.-4 B.4 C.4或-4 D.2
(6)如果关于的方程没有实数根,那么的最大整数值是( );
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
(7)以和为根的一元二次方程是( );
A. B.
C. D.
(8)如果关于的方程和有相同的实根,那么的值是( );
A.-7或4 B.-4 C.-7 D.4
(9)把方程的左边配成完全平方,正确的变形是( )
A. B. C. D.
(10)在实数范围内分解因式的结果是( );
A. B.
C. D.
(11)已知关于的方程的两根互为相反数,则的值是( );
A.5 B.-3 C.5或-3 D.1
(12)以墙为一边,用13米长的绳子作另外三边围成一个面积是20平方米的场地,那么这场地的长和宽是( ).
A.8米,2.5米或5米,4米 B.8米,2.5米
C.5米,4米 D.10米,2米
2.填空题
(1)方程的解是 ;
(2)若分式的值是零,则;
(3)已知方程的两根是,则;
(4)关于x的方程有两个不相等的实数根,则;
(5)一个正的两位数,个位数字比十位数大2,个位数字与十位数字的积是24,则这个两位数是 .
3.解下列方程或方程组:
4.列方程解应用题:
(1)某油库的储油罐有甲、乙两个注油管,单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时,两管同时开放3小时后,甲管因发生故障停止注油,乙管继续注油9小时后注满油罐,求甲、乙两管单独开放注满油罐各需多少小时?
(2)甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行,相遇后,二人继续前进,乙的速度不变,甲每小时比原来多走1千米,结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地,求乙每小时走多少千米?
5.
已知关于x的方程.
(1)求证方程有实数根;
(2)若方程有两个实数根,且两根平方和等于3,求m的值.
6.
已知关于x的方程中的m为不小于0的整数,并且它的两实根的符号相反,求m的值,并解方程.
参考答案
A卷
1.(1) C;(2) B;(3) C;(4) D;(5) B;(6) A;(7) A;(8) D;(9) C;(10) D;(11) B;(12) A.
2.(1);(2)3;(3);(4);(5)46.
3.(1);(2)(增根);(3);(4).
4.(1)甲管需12小时,乙管需16小时;(2)每小时4千米.
5.(1)时,方程有一个实根;时,.方程有两个不等实根,综上所述,m为任意实数时,方程均有实根.(2).
6.时,(提示:由和,求出m的整数值是0或1,当时,求出方程的两根符合题意;当时,方程的两根积,两根同号,不符合题意,∴ 舍去).
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