北师大版九年级数学上册第四章 图的相似 教学课件 384页

4.1 比例线段 第四章 图形的相似 第 1 课时 线段的比和成比例线段 1. 知道线段的比的概念，会计算两条线段的比； （重点） 2 ．理解成比例线段的概念；（重点） 3 ．掌握成比例线段的判定方法．（难点） 学习目标 问题 1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？ 导入新课 情境引入 问题 2 多啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？ 下面图形有什么相同和不同的地方？ 讲授新课 图形的放大与缩小 一 观察与思考 相同点：形状相同 不同点：大小不相同 图形的放大 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 图形的缩小 两个图形相似 图形的缩小 归纳： 你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？ 思考： 线段的比和成比例线段 二 如果选用同一个长度单位得两条先线段 AB , CD 的长度分别是 m , n , 那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 A B C D m n AB : CD= m : n 或 如果把 表示成比值 k , 那么 =k ，或 AB=k · CD , 两条线段的比实际上就是两个数的比 . 1. 若线段 AB ＝6 cm ， CD ＝ 4 cm ，则 . 2. 若线段 AB ＝ 8cm ， CD ＝2dm ，则 . 思考： 两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？ 有关 ？ 无关 ？ 求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一 在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同 . 注意： 虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数 . 练一练 4. 五边形 ABCDE 与五边形 A'B'C'D'E' 形状相同， AB ＝ 5cm ， A'B' ＝ 3cm ， AB ∶ A'B' ＝ . A B C D E A' B' C' D' E' 5∶3 3. 已知线段 AB ＝ 8cm ， A'B' ＝ 2cm ， AB ∶ A'B' 的比为 　　　 ， AB ∶ A'B' 的比值为 ， AB ＝ 　　 A'B' . 4∶1 4 4 练一练 你能举出生活中使用线段的比的例子吗？ 做一做： 设小方格的边长为 1 ，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上，那么 AB ， AD , EF , EH 的长度分别是多少？ A B C D G H E F 计算　　 　　　 的值，你发现了什么？ A B C D G H E F 四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a , b ,c , d 叫作 成比例线段 ，简称 比例线段 . 归纳总结 AB，EF，AD，EH 是成比例线段， AB，AD，EF，EH 也是成比例线段 . 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 例 1 ： 判断下列线段 a 、 b 、 c 、 d 是否是成比例线段： 　 （ 1 ） a ＝ 4 ， b ＝ 6 ， c ＝ 5 ， d ＝ 10 ； 解： （ 1 ）　∵　 ∴ 　线段 a 、 b 、 c 、 d 不是成比例线段． ， ∴ 　 ， 典例精析 （ 2 ） a ＝ 2 ， b ＝ ， c ＝ ， d ＝ ． （ 2 ）　∵　 ∴ 　 ∴ 　线段 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段． 注意 : 1. 若 a:b=k , 说明 a 是 b 的 k 倍 ； 2. 两条线段的比与所采用的 长度单位无关 ，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3. 两条线段的 比值是一个没有单位的正数 ； 4. 除了 a=b 外 , a : b≠b : a , 互为倒数 . 1. 判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？ 成比例线段 不成比例线段 2. 下列各组线段中成比例线段的是　　（　　） C 练一练 解：根据题意可知 , AB=a m , AE = a m , AD =1m . 由 ，得 即 开平方 , 得 例 2 ： 一块矩形绸布的长 AB=a m , 宽 AD =1m ，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么 a 的值应当是多少？ D A F E C B 当堂练习 1 . 一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（ ） A . 100:3 B. 1:3 C. 10:3 D. 1000:3 2 . 甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（ ） A . 5:1 B. 1:5 C. 1:500000 D. 500000:1 A C 解：根据题意可知 , , AB = 15 , AC = 10 , BD = 6. 则 AD = AB – BD =15 – 6= 9. 则 3. 已知 ， AB =15 ， AC =10 ， BD =6 ．求 AE ． A B C D E 1. 一条线段的长度是另一条线段的 5 倍，则这两条线段的比等于 . 2. 已知 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a =3 cm ， b =2 cm ， c =6 cm ，则线段 d = . 3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 . 4cm ， 3 ， 12 5∶1 拓展练习 课堂小结 成比例线段 如果选用同一长度单位量得两条线段 AB , CD 的长 度分别是 m ， n ，那么这两条线段的比就是它们长 度的比，即 AB ： CD = m ： n ，或写成 四条线段 a ， b ， c ， d ，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的 比，即 ，那么这四条线段 a ， b ， c ， d 叫做 成比例线段，简称比例线段 . 线段的比 成比例线段 4.1 成比例线段 第四章 图形的相似 第 2 课时 比例的性质 1. 理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点） 2. 能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题 . （难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 如图的 (1) 和 (2) 都是故宫太和殿的照片 ，(2) 是由 (1) 缩小得到的. （ 1 ） （ 2 ） P Q P ′ Q ′ 在照片 (1) 中任意取四个点 P ， Q ， A ， B 在照片 (2) 找出对应的两个点 P ′ ， Q ′ ， A ′ , B ′ 量出线段 PQ ， P ′ Q ′ ， AB ， A ′ B ′ 的长度 . 计算它们的长度的比值 . A A ´ B ´ B 讲授新课 比例的基本性质 一 合作探究 问题 1 ： 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc , 那么 a , b , c , d 四个数成比例吗？ 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd , 得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad=bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果 ad=bc （ a , b , c , d 都不等于 0 ），那么 . 如果 ad=bc , 那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a , b , c , d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 典例精析 例 1 ： 根据下列条件，求 a : b 的值： （1） 4 a= 5 b ； （2） （2）∵ ，∴8 a= 7 b ，∴ 解 （1）∵ 4 a= 5 b ，∴ 例 2 ： 已知 ，求 的值 . 解： 解法 1 ： 由比例的基本性质， 得 2 （ a +3 b ） =7×2 b . ∴ a =4 b ，∴ = 4 . 解法 2 ：由 ，得 . ∴ , ，那么 、 各等于多少？ 2 ．已知 1 ．已知：　线段 a 、 b 、 c 满足关系式 且 b ＝ 4 ，那么 ac ＝ ______ ． ， 练一练 16 问题 2 ： 已知 a , b, c, d, e, f 六个数，如果 （ b+d+f≠0 ） , 那么 成立吗？为什么？ 设 , 则 a = kb, c = kd , e= kf . 所以 等比性质 二 由此可得到比例的又一性质： 例 3 ： 在△ ABC 与△ DEF 中，已知 ， 且 △ ABC 的周长为 18cm, 求△ DEF 得周长 . 解：∵ ∴ ∴ 4 ( AB + BC + CA )=3( DE + EF + FD ). 即 AB + BC + CA = ( DE + EF + FD ) ， 又 △ ABC 的周长为 18cm ， 即 AB + BC + CA = 18cm. ∴ △ DEF 的周长为 24cm . 例 4 ： 若 a ， b ， c 都是不等于零的数，且 ，求 k 的值 . 得 ， 则 k ＝＝ 2 ； 当 a ＋ b ＋ c ＝ 0 时，则有 a ＋ b ＝－ c . 此时 综上所述， k 的值是 2 或－ 1 . 解：当 a ＋ b ＋ c ≠0 时，由 ， 1.(1) 已知 ，那么 = ， = . (3) 如果 ，那么 . (2) 如果 那么 . 当堂练习 2. 已知四个数 a ， b ， c ， d 成比例. （1）若 a =-3， b =9， c =2 ，求 d ； （2）若 a =-3， b = ， c =2 ，求 d . 比例的性质 如果 那么 ad = bc 基本性质 等比性质 如果 ad = bc （ a , b, c, d ） 都不等于 0 ，那么 课堂小结 4.2 平行线分线段成比例 第四章 图形的相似 1. 了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论 ; （重点） 2. 会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题 . （难点） 学习目标 观察与猜想 下图是一架梯子的示意图 , 由生活常识可以知道 : AD , BE 1 , CF 互相平行，且若 AB=BC , 你能猜想出什么结果呢？ a b c DE = EF 导入新课 D F E 讲授新课 平行线分线段成比例（基本事实） 一 如图①，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c ，分别交直线 m ， n 于 A 1 ， A 2 ， A 3 ， B 1 ， B 2 ， B 3 . 合作探究 A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 m n a b c 图① A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 m n a b c (1) 计算 ，你有什么发现？ ( 2 ) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m ， n 与直线 b 的交点分别为 A 2 ， B 2 . 你在问题 (1) 中发现的结 论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？ A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 m n a b c 图② ( 3 ) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线， 用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？ 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 若 a∥b∥ c ，则 ， ， 归纳： A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 b c a 1 . 如何理解“对应线段”？ 2. “对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 想一想： 如图，已知 l 1 ∥l 2 ∥l 3 ，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D. D 练一练 A C E B D F l 2 l 1 l 3 如图，直线 a ∥ b ∥ c ，由 平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， 平行线分线段成比例定理的推论 二 A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 b c m n a 观察与思考 把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例 . A 1 A 2 A 3 b c m B 1 B 2 B 3 n a 直线 n 向左平移到 B 1 与 A 1 重合的位置，说说 图 中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A 1 ( B 1 ) A 2 A 3 B 2 B 3 ( ) A 1 A 2 A 3 b c m B 1 B 2 B 3 n a 直线 n 向左平移到 B 2 与 A 2 重合的位置，说说 图 中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A 2 ( B 2 ) A 1 A 3 B 1 B 3 ( ) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. A 1 ( B 1 ) A 2 A 3 B 2 B 3 A 2 ( B 2 ) A 1 A 3 B 1 B 3 归纳： 如图， DE∥BC ， ，则 ； FG∥BC ， ，则 . 练一练 A B C E D F G 例 1 如图，在△ ABC 中， EF∥BC . ( 1 ) 如果 E 、 F 分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE =7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ A B C E F 典例精析 解： ∵ ∴ 解得 AF = 4. ( 2 ) 如果 AB = 10， AE =6， AF = 5，那么 FC 的长是多 少？ A B C E F 解： ∵ ∴ 解得 AC = . ∴ FC = AC － AF = . 如图， DE∥BC ， AD =4， DB =6， AE =3，则 AC = ； FG∥BC ， AF =4.5 ，则 AG = . A B C E D F G 练一练 7.5 6 例 2 ： 如图：在 △ABC 中 , 点 D 、 E 、 F 分别在边 AB 、 AC 、 BC 上，且 DE//BC 、 EF//AB. 若 AD=2BD. (1) 求证： (2) 求 的值 . A B C D E F 解： ∵ DE // BC ， EF // AB 又 AD =2 BD 1. 如图，已知 l 1 ∥l 2 ∥l 3 ，下列比例式中错误的是 ( 　　 ) A. B. C. D. D 当堂练习 2. 如图，在 △ ABC 中， EF∥BC ， AE =2cm， BE =6cm， BC = 4 cm， EF 长 ( ) A A. 1 cm B. cm C. 3 cm D. 2cm A B C E F A B C E D 2. 填空题 : 如图 : DE ∥ BC , 已知 : 则 . 3.在△ ABC 中， ED // AB ，若 ， 则 4 . 如图，已知菱形 ABCD 内接于△ AEF ， AE =5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长. 解： ∵ 四边形 ABCD 为菱形， B C A D E F ∴ CD∥AB ， ∴ 设菱形的边长为 x cm ，则 CD = AD = x cm ， DF = (4 － x ) cm ， ∴ 解得 x = ∴ 菱形的边长为 cm. 5. 如图， AB = AC ， AD ⊥ BC 于点 D , M 是 AD 的中点， CM 交 AB 于点 P , DN ∥ CP . （ 1 ）若 AB =6cm ，求 AP 的长； （ 2 ）若 PM =1cm, 求 PC 的长 . 拓展提升 解： (1)∵ AB = AC ， AD ⊥ BC 于点 D , M 是 AD 的中点 , ∴ DB = DC , AM = MD . ∵ DN ∥ CP , 又 ∵ AB = 6cm ， ∴ AP = 2cm. （ 2 ） 若 PM =1cm, 求 PC 的长 . ∵ DN ∥ CP , 又 ∵ PM = 1cm ， ∴ PC = 2 ND =4 PM =4cm. 解：由（ 1 ）知 AP = PN = NB , 课堂小结 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ◑推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例 ◑基本事实 平行线分线段成 比例 4.3 相似多边形 第四章 图形的相似 1. 了解相似多边形和相似比的概念 . 2. 会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形 . （重点） 3. 掌握相似多边形的性质 , 能根据相似比进行相关的计算 . （难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 想一想 : 下面几组图形有什么相同点和不同点 ? （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 放大镜下的图形和原来的图形有什么相同与不同吗？ 放大镜下的角与原图 形中角是什么关系 ? 相似多边形与相似比 一 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 A B C D E F 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的 ， 而多边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 是投射到银幕上的. 观察与思考 讲授新课 问题 1 这两个多边形相似吗？ 问题 2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？ 问题 3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成 比例？ A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 A B C D E F 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形的对应边的比叫作相似比. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. ◑相似比： ◑相似多边形的特征： ◑相似多边形的定义： 要点归纳 相似多边形用符号 “∽” 表示，读作 “ 相似于 ” 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？ a 1 a 2 a 3 a n … 分析： 已知等边三角形的每个角都为 60°, 三边都相等 . 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等 . 议一议 同理，任意两个正方形都相似 . 归纳： 任意两个边数相等的正多边形都相似. … a 1 a 2 a 3 a n 思考： 任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？ 例 1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α ， β 的大小和 EH 的长度 x . 典例精析 D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 在四边形 ABCD 中， ∠ β＝ 360°－ ( 78°＋83°＋118° ) ＝81°. ∠ α ＝∠ C ＝83°，∠ A ＝∠ E ＝118°. 解： ∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似， ∴ 它们的对 应角相等．由此可得 D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° ∵ 四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应边 成 比 例， 由此可得 解得 x ＝ 28 cm. ，即 . D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 如图所示的两个五边形相似，求未知边 a ， b ， c ， d 的长度． 5 3 2 c d 7.5 b a 6 9 练一练 解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得 解得： a =3， b =4.5， c =4， d =6. 所以未知边 a ， b ， c ， d 的长度分别为3，4.5，4，6. ， ， ， ， 例 2 ： 如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， EF ∥ BC ， EF 将四边形 ABCD 分成两个相似四边形 AEFD 和 EBCF . 若 AD =3 ， BC =4 ，求 AE : EB 的值 . 解：∵四边形 AEFD ∽ 四边形 EBCF , ∴ . ∴ EF 2 = AD · BC =3×4=12 , ∴ EF = . ∵四边形 AEFD ∽ 四边形 EBCF , ∴ AE : EB = AD : EF = 3: = :2 . A B C D E F 当堂练习 1. 下 列图形中能够确定相似的是 ( ) A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形 C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形 E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形 ABDF 2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得 甲、乙两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际 距离是 ( ) A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 m D 3 . 如图所示的两个四边形是否相似？ 答案：不相似 . 4. 观察下面的图形 (a)~(g) ， 其中哪些是与图形 (1)、 (2) 或 (3) 相似的？ 5. 填空： ( 1 ) 如图① 是两个相似的四边 形 ，则 x = ， y = ， α = ； ( 2 ) 如图② 是两个相似的矩形 ， x = . ╰ 65 ° ╯ 80 ° α ╭ 6 125 ° ╯ 80 ° ╮ 3 x y 图① 3 5 30 20 15 x 图② 2.5 1.5 90° 22.5 6 . 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF ，若矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似， AB = 1． ( 1 ) 求 BC 长； A B C D E F 解： ∵ E 是 AD 的中点， ∴ . 又 ∵矩形 ABCD 与 矩形 EABF 相似， AB =1 ， ∴ ， ∴ AB 2 = AE · BC ， ∴ . 解得 ( 2 ) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比. A B C D E F 解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比为： 相似图形 形状相同的图形叫做 相似图形 相似图形的大小不一定相同 相似多边形对应边的比叫做 相似比 对应角相等，对应边成比例 课堂小结 相似多边形 相似多边形 4.4 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第 1 课时 利用两角判定三角形相似 1. 理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件 . 2. 掌握相似三角形的判定定理 1. （重点） 3. 能熟练运用相似三角形的判定定理 1. （难点） 学习目标 问题 1 ： 这两个三角形有什么关系？ 观察与思考 全等三角形 导入新课 那这样变化一下呢？ 相似三角形 相似三角形定义 ：我们把 三角 分别相等、 三边 成比例的两个三角形叫做 相似三角形 . 对应角 …… ？ 对应边 …… ？ 问题 2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 全等是一种特殊的相似 定义 判定 方法 全等三角形 相似三角形 三角、三边对应相等的两个三角形全等 三角对应相等 , 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角 A S A 角角边 A A S 边边边 S S S 边角边 S A S 斜边、直角边 H L 问题 3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 需要 三个 等量条件 思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？ 学校举办活动，需要三个内角分别为 90 °， 60 °， 30 °的形状相同、大小不同的三角纸板若干 . 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 导入新课 情境引入 ？ ？ ？ 讲授新课 问题一 度量 AB ， BC ， AC ， A′B′ ， B′C′ ， A′C′ 的长，并计算出它们的比值 . 你有什么发现？ C A B A' B' C' 两角分别相等的两个三角形相似 一 合作探究 与同伴合作，一人画 △ ABC ，另一人画 △ A′B′C′ ，使∠ A =∠ A′ ， ∠ B = ∠ B ′ ，探究下列问题： 这两个三角形是相似的 证明： 在 △ ABC 的边 AB （或 AB 的延长线）上， 截取 AD = A′B′ ，过点 D 作 DE // BC ，交 AC 于点 E ， 则有△ ADE ∽△ ABC ，∠ ADE =∠ B . ∵ ∠ B = ∠ B ′ ， ∴ ∠ ADE =∠ B′. 又 ∵ AD = A′B′ ， ∠ A =∠ A′ ， ∴ △ ADE ≌ △ A′B′C′ ， ∴ △ A′B′C′ ∽△ ABC . C A A' B B' C' D E 问题二 试证明 △ A′B′C′ ∽△ ABC . 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠ A = ∠ A' ，∠ B =∠ B' ， ∴ △ ABC ∽ △ A'B'C' . 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 例 1 ： 如图， D , E 分别是△ ABC 的边 AB , AC 上的点， DE ∥ BC , AB =7 ， AD =5 ， DE =10 ，求 BC 的长 . 解：∵ DE ∥ BC , ∴∠ ADE =∠ B ，∠ AED =∠ C . ∴△ ADE ∽△ ABC ( 两角分别相等的两个三角形相似 ). ∴ ∴ BC =14 . B A D E C 典例精析 如图，△ ABC 中， DE∥BC ， EF∥AB ，求证： △ ADE ∽△ EFC . A E F B C D 证明 : ∵ DE∥BC ， EF∥AB ， ∴∠ AED ＝∠ C ， ∠ A ＝∠ FEC . ∴ △ ADE ∽△ EFC . 练一练 证明： ∵∠ BAC = ∠ 1+ ∠ DAC ， ∠ DAE = ∠ 3+ ∠ DAC ，∠ 1=∠3 ， ∴ ∠ BAC = ∠ DAE. ∵ ∠ C =180° －∠ 2 －∠ DOC ， ∠ E =180° －∠ 3 －∠ AOE ， ∠ DOC = ∠ AOE （对顶角相等）， ∴ ∠ C = ∠ E. ∴ △ ABC ∽△ ADE. 例 2 ： 如图，∠ 1=∠2=∠3 ，求证：△ ABC ∽△ ADE ． A B C D E 1 3 2 O 归纳总结 ∴ 解： ∵ ED ⊥ AB ， ∴ ∠ EDA =90 ° . 又 ∠ C =90 ° ， ∠ A = ∠ A ， ∴ △ AED ∽ △ ABC . 例 3 如图 ， 在 Rt △ ABC 中， ∠ C = 90° ， AB = 10 ， AC = 8. E 是 AC 上一点， AE = 5 ， ED ⊥ AB ，垂足为 D . 求 AD 的长 . D A B C E ∴ 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳总结 当堂练习 1. 如图，已知 AB∥DE ，∠ AFC ＝∠ E ，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1 对 　　 B. 2 对 C. 3 对 　　 D. 4 对 C 2. 如图，△ ABC 中， AE 交 BC 于点 D ，∠ C =∠ E ， AD : DE =3 : 5， AE =8， BD =4，则 DC 的长等于 ( ) A. B. C. D. A C A B D E A B D C 3 . 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ ( 或 ∠ =∠ ) 时， △ ACD ∽△ ABC ； ACD ACB B ADB 证明： ∵ 在 △ ABC 中， ∠ A =40 ° ， ∠ B =80 ° ， ∴ ∠ C =180 ° －∠ A －∠ B =60 °. ∵ 在 △ DEF 中， ∠ E =80 ° ， ∠ F =60 °. ∴ ∠ B =∠ E ，∠ C =∠ F . 　 ∴ △ ABC ∽ △ DEF . 4. 如图， △ ABC 和 △ DEF 中，∠ A =40° ，∠ B =80° ， ∠ E =80 ° ， ∠ F =60 ° ．求证： △ ABC ∽ △ DEF. A C B F E D 证明： ∵ △ ABC 的高 AD 、 BE 交于点 F ， ∴ ∠ FEA = ∠ FDB =90° ， ∠ AFE =∠ BFD ( 对顶角相等 ). ∴ △ FEA ∽ △ FDB ， ∴ 5. 如图，△ ABC 的高 AD 、 BE 交于点 F ． 求证： D C A B E F 利用两角判定三角形相似 定理：两角分别相等的两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理 1 的运用 第四章 图形的相似 4.4 探究三角形相似的条件 第 2 课时 利用两边及夹角判定三角形相似 学习目标 1. 掌握相似三角形的判定定理 2 ；（重点） 2. 能熟练运用相似三角形的判定定理 2 ．（难点） 问题 1 . 有两边对应成比例的两个三角形相似吗? 3 3 5 5 不相似 观察与思考 问题 2 . 类比三角形全等的判定方法（ SAS,SSS ），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 3 3 5 5 相似 导入新课 讲授新课 利用刻度尺和量角器画 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′，使 ∠ A =∠ A ′， 量出 BC 及 B ′ C ′ 的长， 它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的 两个角，你有什么发现？△ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ 有何关 系？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 两个三角形相似 改变 k 和∠ A 的值的大小，是否有同样的结论？ 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′中，已知∠ A = ∠ A ′ ， 证明： 在 △ A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D ， 使 A′D = AB ．过点 D 作 DE∥B′C′ ， 交 A′C′ 于点 E . ∵ DE∥B′C′ ， ∴ △ A′DE ∽△ A′B′C′ . 求证： △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′. B A C D E B' A' C' ∴ ∴ A′E = AC . 又 ∠ A′ = ∠ A . ∴ △ A′DE ≌ △ ABC ， ∴ △ A′B′C′ ∽ △ ABC . B A C D E B' A' C' ∵ A′D=AB ， ∴ 由此得到利用 两边和夹角 来判定 三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠ A= ∠ A ′ ， B A C B' A' C' ∴ △ ABC ∽ △ A′B′C′ . 归纳： 对于△ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ ， 如果 A ′ B ′ : AB = A ′ C ′ : AC . ∠ B = ∠ B ′ ， 这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等 . A B C 思考： A ′ B ′ B ″ C ′ 结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似， 相等的角一定要是两条对应边的夹角. 典例精析 例 1 根据下列条件，判断 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 是否相似，并说明理由： ∠ A =120° ， AB =7 cm ， AC =14 cm ， ∠ A ′ =120° ， A ′ B ′ =3 cm ， A ′ C ′ =6 cm ． 解： ∵ ∴ 又 ∠ A′ = ∠ A ， ∴ △ ABC ∽ △ A′B′C′ . 1. 在 △ ABC 和 △ DEF 中， ∠ C =∠ F =70° ， AC = 3.5 cm ， BC = 2.5 cm ， DF =2.1 cm ， EF =1.5 cm. 求证： △ DEF ∽△ ABC . A C B F E D 证明： ∵ AC = 3.5 cm ， BC = 2.5 cm ， DF = 2.1 cm ， EF = 1.5 cm ， 又 ∵ ∠ C =∠ F = 70° ， ∴ △ DEF ∽△ ABC . 练一练 ∴ 2. 如图，△ ABC 与 △ ADE 都是等腰三角形， AD = AE ， AB = AC ，∠ DAB =∠ CAE . 求证：△ ABC ∽△ ADE . 证明 ： ∵ △ ABC 与 △ ADE 是等腰三角形， ∴ AD = AE ， AB = AC ， ∴ 又 ∵ ∠ DAB = ∠ CAE ， ∴ ∠ DAB +∠ BAE = ∠ CAE +∠ BAE ， 即 ∠ DAE =∠ BAC ，∴△ ABC ∽ △ ADE . A B C D E 解：∵ AE =1.5 ， AC =2 ， 例 2 如图， D ， E 分别是 △ ABC 的边 AC ， AB 上的点， AE =1.5 ， AC =2 ， BC =3 ， 且 ，求 DE 的长 . A C B E D ∴ 又∵∠ EAD =∠ CAB ， ∴ △ ADE ∽△ ABC ， ∴ ∴ 提示： 解题时要找准对应边 . 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ ADC = ∠ CDB =90°. ∴ △ ADC ∽ △ CDB ， ∴ ∠ ACD = ∠ B ， ∴ ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = ∠ B + ∠ BCD = 90°. 例 3 如图， 在 △ ABC 中 ， CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ ACB =90 ° ． A B C D ∵ 方法总结： 解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等 . 当堂练习 1 . 判断 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( ) × √ √ × 2. 如图， D 是 △ ABC 一边 BC 上一点，连接 AD ，使 △ ABC ∽ △ DBA 的条件是 ( ) A . AC : BC=AD : BD B . AC : BC=AB : AD C . AB 2 = CD · BC D . AB 2 = BD · BC D A B C D 3. 如图 △ AEB 和 △ FEC ( 填 “ 相似 ” 或 “ 不相似 ”) . 54 30 36 45 E A F C B 1 2 相似 解析：当 △ ADP ∽△ ACB 时， AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ ADP ∽△ ABC 时， AD : AB = AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4 . ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ ADP 和 △ ABC 相似． 4. 如图，已知 △ ABC 中， D 为边 AC 上一点， P 为边 AB 上一点， AB = 12， AC = 8， AD = 6，当 AP 的长 度为 时，△ ADP 和 △ ABC 相似. A B C D 4 或 9 P P 5. 如图，在四边形 ABCD 中， 已知 ∠ B =∠ ACD ， AB =6， BC =4， AC =5， CD = ，求 AD 的长． A B C D 解： ∵ AB =6， BC =4， AC =5， CD = ， ∴ 又 ∵∠ B =∠ ACD ， ∴ △ ABC ∽ △ DCA ， ∴ ， ∴ 6 . 如图，∠ DAB =∠ CAE ，且 AB · AD = AE · AC ，求证 △ ABC ∽△ AED . A B C D E 证明： ∵ AB · AD = AE · AC ， ∴ 又 ∵ ∠ DAB =∠ CAE ， ∴ ∠ DAB +∠ BAE =∠ CAE +∠ BAE ， 即 ∠ DAE =∠ BAC ， ∴ △ ABC ∽△ AED . 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 4.4 探究三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第 3 课时 利用三边判定三角形相似 1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理 . 2. 掌握利用 三边来判定两个三角形相似的方法，并能进 行相关计算 . ( 重点、难点 ) 学习目标 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获 得证明三角形相似的启发吗？ 导入新课 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 复习引入 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？ 讲授新课 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 画 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ ， 使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ A B C C′ B ′ A ′ A B C C′ B ′ A ′ 通过测量不难发现∠ A =∠ A' ，∠ B =∠ B' ，∠ C =∠ C' ， 又因为两个三角形的边对应成比例， 所以 △ ABC ∽ △ A′B′C′ . 下面我们 用前 面 所学得定理 证明该结论 . ∴ C′ B ′ A ′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A ′ B ′， 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E . ∵ DE∥BC ，∴ △ ADE ∽ △ ABC . ∴ DE = B′C′ ， EA = C′A ′. ∴△ ADE ≌ △ A′B′C′ ， △ A′B′C′ ∽ △ ABC . B C A D E 又 ， AD = A ′ B ′， ∴ ， . 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △ A ′ B ′ C . 符号语言： 归纳总结 例 1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 典例精析 解：在 △ ABC 中 ， AB > BC > CA ， 在 △ DEF 中， DE > EF > FD. ∴ △ ABC ∽ △ DEF . A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵ ， ， ， ∴ . 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等 . 注意： 计算时 最长边 与 最长边 对应，最短边与最短边对应 . 归纳总结 已知 △ ABC 和 △ DEF ， 根据下列条件判断它们是否相似 . ( 3 ) AB =12 ， BC =15 ， AC ＝ 24 ， DE ＝ 16 ， EF ＝ 20 ， DF ＝ 30. ( 2 ) AB =4 ， BC =8 ， AC ＝ 10 ， DE ＝ 20 ， EF ＝ 16 ， DF ＝ 8 ； ( 1 ) AB =3 ， BC =4 ， AC ＝ 6 ， DE ＝ 6 ， EF ＝ 8 ， DF ＝ 9 ； 是 否 否 练一练 例 2 如图，在 Rt△ ABC 与 Rt△ A′B′C′ 中， ∠ C =∠ C ′ = 90 ° ， 且 求证：△ A′B′C′ ∽△ ABC . 证明：由已知条件 得 AB = 2 A ′ B ′ ， AC = 2 A ′ C ′ ， ∴ BC 2 = AB 2 － AC 2 = ( 2 A ′ B ′ ) 2 － ( 2 A ′ C ′ ) 2 = 4 A ′ B ′ 2 － 4 A ′ C ′ 2 = 4 ( A ′ B ′ 2 － A ′ C ′ 2 ) = 4 B ′ C ′ 2 = ( 2 B ′ C ′ ) 2 . ∴ △ A′B′C′ ∽△ ABC . ( 三边对应 成比例的两个三角形相似 ) ∴ BC =2 B ′ C ′ ， ∴∠ BAC =∠ DAE ， ∠ BAC － ∠ DAC = ∠ DAE － ∠ DAC ， 即 ∠ BAD =∠ CAE . ∵∠ BAD =20° ， ∴∠ CAE =20°. ∴ △ ABC ∽△ ADE ( 三边成 比例的两个三角形相似 ). 例 3 如图，在 △ ABC 和 △ ADE 中， ∠ BAD =20° ， 求∠ CAE 的度数 . A B C D E 解：∵ 解：在 △ ABC 和 △ ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE ， ∴ △ ABC ∽ △ ADE ， ∴∠ BAC =∠ DAE ， ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E . ∴∠ BAC － ∠ CAD =∠ DAE － ∠ CAD ， ∴∠ BAD =∠ CAE . 故图中相等的角有 ∠ BAC =∠ DAE ， ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E ， ∠ BAD =∠ CAE . 如图，已知 AB : A D = BC : DE = AC : AE ，找出图中相等的角 ( 对顶角除外 ) ，并说明你的理由 . 练一练 A B C D E 当堂练习 1. 如图，若 △ ABC ∽ △ DEF ，则 x 的值为 ( ) A B C D E F A. 20 B. 27 C. 36 D. 45 C 2. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三 角形的是 ( ) ① ② ③ ④ A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ C 3 . 如图，∠ APD =90°， AP = PB = BC = CD ，下列结论 正确的是 ( ) A. △ PAB ∽△ PCA B. △ PAB ∽△ PDA C. △ ABC ∽△ DBA D. △ ABC ∽△ DCA A C B P D C ∵ AB : BC = B D : AB = A D : A C ， ∴ △ ABC ∽ △ DBA ，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD =1 ， ∵ ∠ APD =90°， ∴AB= ， AC= ， AD= . 4. 根据下列条件，判断△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′ 是否相似： AB =4cm ， BC =6cm ， AC =8cm， A ′ B ′ =12cm ， B ′ C ′ =18cm ， A ′ C ′ =21cm. 答案：不相似 . 5. 如图，△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点，求证：△ ABC ∽△ EFD ． ∴ △ ABC ∽△ EFD . 证明：∵△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点， ∴ ∴ 6. 如图，某地四个乡镇 A ， B ， C ， D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米， AD = 28 千米， BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解： 公路 AB 与 CD 平行 . ∴ ∴ △ AB D ∽△ B D C ， ∴∠ ABD =∠ BDC ， ∴ AB∥DC . 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 4.4 探究三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第 4 课时 黄金分割 学习目标 1. 知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比； 2. 能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点） 导入新课 通过观察，你觉得下面那副图最有美感？ 事物之间的 和谐 关系可以表现为某种恰当的比例关系 . 讲授新课 黄金分割的概念 一 一个五角星如下图所示 . 问题 ： 度量 C 到点 A 、 B 的距离 , 与 相等吗？ A C B A B C A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC , 如果 , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 . 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 , AC 与 AB 的比称为 黄金比 . 概念学习 1. 计算黄金比 . 解：由 ，得 AC 2 = AB · BC . 设 AB = 1 ， AC = x , 则 BC = 1 – x . ∴ x 2 = 1 × （ 1 - x ） . 即 x 2 + x – 1 = 0 . 解方程得： x 1 = x 2 = 黄金比 做一做 2. 如图所示 , 已知线段 AB 按照如下方法作图 : 1. 经过点 B 作 BD ⊥ AB , 使 BD = AB 2. 连接 AD , 在 AD 上截取 DE = DB . 3. 在 AB 上截取 AC = AE . 思考： 点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗 ? A B D E C 巴台农神庙 （ Parthenom Temple ） F C A E B D 想一想： 如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD ，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD ，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么 ? 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形 . A B C D E F 例 1 ： 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感 . 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60 ，她的身高为 1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解： 设肚脐到脚底的距离为 x m ，根据题意，得 ，解得 x = 0.96 . 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y ≈0.075 ，而 0.075m=7.5cm . 故她应该穿约为 7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美 . 1. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm ，则它的宽约为 ( ) (A)12.36 cm (B)13.6 cm (C)32.36 cm (D)7.64 cm 【 解析 】 选 A. 0.618×20=12.36(cm). A 练一练 2. 如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB=10 cm ，则 AC 的长约为 _____cm. （结果精确到 0.1 cm ） 【 解析 】 本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 ∴AC 2 =(10-AC)×10 ，解得 AC≈6.2 cm. 6.2 3. 如图所示，乐器上的一根弦 AB=80 cm ，两个端点 A 、 B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC=______cm ， DC=_______cm. 【 解析 】 由黄金分割定义可知， AC=BD= ×AB= ( 40 -40 ) cm, AD=AB-BD=(120-40 ) cm, 所以 DC=AC-AD=(80 -160) cm. 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30 度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30 度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。 衔远山，吞长江的中国三大 淡水湖也恰好在这黄金分割 的纬度上。 大自然与黄金分割 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比 , 普通树叶的宽与长之比也接近 0.618; 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是 23℃( 体温 ) ，也是正常人体温 ( 37℃ ) 的黄金点 ( 23=37×0.618 ) . 这说明医学与 0.618 有千丝万缕联系 , 尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节 . 上肢与下肢长度之比均 近似 0.618 . 在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美． B C A 设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异 . 但这些 金字塔底面的边长与高的比都接近于 0.618. 东方明珠塔， 塔高 468 米 . 设计师在 263 米 处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观 . 人的俊美 , 体现在头部及躯干是否符合黄金分割 . 美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例 0.618 ，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美． 黄金分割的魅力 Apple logo 苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6 ，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。 1. 已知线段 AB ，点 P 是它的黄金分割点， AP>BP ，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1 ，以 PB 、 AB 为边的矩形面积为 S2 ，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A ． S1>S2 B ． S1