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- 2021-11-12 发布
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九年级二次函数知识点梳理
一、考点、热点回顾
二次函数知识点
函数的传统定义:
设在某变化过程中有两个变量 x、y,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯
一确定的值与它对应,那么就称 y 是 x 的函数,x 叫做自变量。
我们将自变量 x 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量 x 对应的 y 的值叫做函数值,函数
值的集合叫做函数的值域。
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如 2y ax bx c ( abc, , 是常数, 0a )的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 0a ,而 bc, 可以为零.二次函数的定义域是全
体实数.
2. 二次函数 2y ax bx c 的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2.
⑵ abc, , 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式: 2y ax 的性质:
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 2y ax c的性质:上加下减。
3. 2y a x h的性质:左加右减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 00, y 轴 0x 时, y 随 x 的增大而增大; 0x 时, y 随 x 的
增大而减小; 0x 时, y 有最小值 0 .
0a 向下 00, y 轴
时, 随 的增大而减小; 时, 随 的
增大而增大; 时, 有最大值 .
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 0 c, 轴
时, 随 的增大而增大; 时, 随 的
增大而减小; 时, 有最小值 c .
向下 0 c, 轴
时, 随 的增大而减小; 时, 随 的
增大而增大; 时, 有最大值 c .
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
4. 2y a x h k 的性质:
三、二次函数图象的平移
在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴ cbxaxy 2 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, 变成
mcbxaxy 2 (或 mcbxaxy 2 )
⑵ 沿轴平移:向左(右)平移 个单位, 变成
cmxbmxay )()( 2 (或 cmxbmxay )()( 2 )
四、二次函数 2y a x h k 与 2y ax bx c 的比较
从解析式上看, 与 2y ax bx c 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得
到前者,即
2 24
24
b ac by a x aa
,其中
24
24
b ac bhkaa
, .
五、二次函数 2y ax bx c 图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数 2y ax bx c 化为顶点式 2()y a x h k ,确定其开口方
向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、
与 y 轴的交点 0 c, 、以及 0 c, 关于对称轴对称的点 2hc, 、与 x 轴的交点 1 0x , , 2 0x ,
(若与 x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点.
六、二次函数 2y ax bx c 的性质
0a 向上 0h, X=h
xh 时, y 随 x 的增大而增大; xh 时, y 随 x 的
增大而减小; xh 时, y 有最小值 0 .
0a 向下 0h, X=h
xh 时, 随 的增大而减小; xh 时, 随 的
增大而增大; xh 时, 有最大值 .
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 hk, X=h
时, 随 的增大而增大; 时, 随 的
增大而减小; 时, 有最小值 k .
向下 hk, X=h
时, 随 的增大而减小; 时, 随 的
增大而增大; 时, 有最大值 k .
1. 当 0a 时,抛物线开口向上,对称轴为
2
bx a ,顶点坐标为
24
24
b ac b
aa
, .
当
2
bx a 时, y 随 x 的增大而减小;当
2
bx a 时, y 随 x 的增大而增大;当
2
bx a 时, y
有最小值
24
4
ac b
a
.
2. 当 0a 时,抛物线开口向下,对称轴为 ,顶点坐标为 .当 时,
随 的增大而增大;当 时, 随 的增大而减小;当 时, 有最大值 .
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式: 2y ax bx c ( a , b , c 为常数, 0a );
2. 顶点式: 2()y a x h k ( a , h , k 为常数, 0a );
3. 两根式: 12( )( )y a x x x x ( 0a , 1x , 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只
有抛物线与 x 轴有交点,即 2 40b ac时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析
式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a
二次函数 2y ax bx c 中, a 作为二次项系数,显然 0a .
⑴ 当 0a 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大;
⑵ 当 0a 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大.
总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数 b
在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在 0a 的前提下,
当 0b 时, 02
b
a,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧;
当 0b 时, 02
b
a,即抛物线的对称轴就是 轴;
当 0b 时, 02
b
a,即抛物线对称轴在 轴的右侧.
⑵ 在 0a 的前提下,结论刚好与上述相反,即
当 时, 02
b
a,即抛物线的对称轴在 轴右侧;
当 时, ,即抛物线的对称轴就是 轴;
当 时, 02
b
a,即抛物线对称轴在 轴的左侧.
总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置.
ab 的符号的判定:对称轴
a
bx 2 在 y 轴左边则 0ab ,在 轴的右侧则 0ab ,概括的说
就是“左同右异”
总结:
3. 常数项 c
⑴ 当 0c 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当 0c 时,抛物线与 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0 ;
⑶ 当 0c 时,抛物线与 轴的交点在 轴下方,即抛物线与 轴交点的纵坐标为负.
总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.
总之,只要 abc, , 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根
据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1. 关于 x 轴对称
2y ax bx c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 2y ax bx c ;
2y a x h k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 2y a x h k ;
2. 关于 y 轴对称
2y ax bx c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 2y ax bx c ;
关于 y 轴对称后,得到的解析式是 2y a x h k ;
3. 关于原点对称
2y ax bx c 关于原点对称后,得到的解析式是 2y ax bx c ;
关于原点对称后,得到的解析式是 2y a x h k ;
4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180°)
2y ax bx c 关于顶点对称后,得到的解析式是
2
2
2
by ax bx c a ;
关于顶点对称后,得到的解析式是 2y a x h k .
5. 关于点 mn, 对称
2y a x h k 关于点 mn, 对称后,得到的解析式是 222y a x h m n k
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此 a 永远不变.求
抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原
抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,
然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况):
一元二次方程 2 0ax bx c 是二次函数 2y ax bx c 当函数值 0y 时的特殊情况.
图象与 x 轴的交点个数:
① 当 2 40b ac 时,图象与 x 轴交于两点 1200A x B x, , , 12()xx ,其中的 12xx, 是一
元二次方程 2 00ax bx c a 的两根.这两点间的距离
2
21
4b acAB x x a
.
② 当 0 时,图象与 x 轴只有一个交点;
③ 当 0 时,图象与 x 轴没有交点.
1' 当 0a 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 0y ;
2' 当 0a 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 0y .
2. 抛物线 2y ax bx c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , )c ;
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数 2y ax bx c 中 a ,b ,c 的符号,或由二次函数中 a ,b ,c 的
符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一
个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式 2 ( 0)ax bx c a 本身就是所含字母 x 的二次函
数;下面以 0a 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
十一、函数的应用
二次函数应用
刹车距离
何时获得最大利润
最大面积是多少
0
抛物线与 x 轴有两
个交点
二次三项式的值可正、可
零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
0
抛物线与 x 轴只有
一个交点
二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
0
抛物线与 x 轴无交
点
二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
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