九年级数学上册第四章图形的相似5相似三角形判定定理的证明习题课件新版北师大版 17页

﹡5 相似三角形判定定理的证明 1. 相似三角形的判定方法一 : (1)___ 角分别 _____ 的两个三角形相似 . (2) 应用格式 :∵∠A__∠D,∠B__∠E, ∴△ABC___△DEF. 两 相等 = = ∽ 2. 相似三角形的判定方法二 : (1)_____ 成比例且夹角 _____ 的两个三角形相似 . (2) 应用格式 :__________,∠A__∠D, ∴△ABC___△DEF. 两边 相等 = ∽ 3. 三角形相似的判定方法三 : (1) 三边成比例的两个三角形相似 . (2) 应用格式 :∵_________________, ∴△ABC___△DEF. ∽ 【 思维诊断 】 ( 打“√”或“ ×”) 1. 等腰直角三角形都相似 . 　 ( ) 2. 有一组角对应相等的两个等腰三角形相似 . 　 ( ) 3. 有一组角对应相等的两个直角三角形相似 . 　 ( ) 4. 直角三角形与该三角形中被斜边上的高分成的两个较小的直 角三角形彼此相似 . 　 ( ) √ × × √ 知识点一 相似三角形的判定 【 示范题 1】 如图 , 在△ ABC 和△ ADE 中 ,∠BAD= ∠CAE,∠ABC=∠ADE. (1) 写出图中两对相似三角形 ( 不得添加辅助线 ). (2) 请分别说明 (1) 中两对三角形相似的理由 . 【 思路点拨 】 ∠BAD=∠CAE→∠BAC=∠DAE→△ABC∽△ADE→ 对应边的比相等→△ ABD∽△ACE. 【 自主解答 】 (1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE. (2)① 证△ ABC∽△ADE.∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠ BAC=∠DAE. 又∵∠ ABC=∠ADE, ∴△ABC∽△ADE. ② 证△ ABD∽△ACE. ∵△ABC∽△ADE,∴ 又∵∠ BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE. 【 想一想 】 此题中如果已知△ ABD∽△ACE, 如何证明△ ABC∽△ADE. 提示 : ∵△ABD∽△ACE, ∴∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠ BAC=∠DAE. 又∵ 又∵∠ BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE. 【 微点拨 】 证明三角形相似时 , 需要两个条件 , 如果题目中出现公共角或对顶角时 , 需要再证明另一角相等 , 或者证明夹这个角的两边成比例 . 【 方法一点通 】 相似三角形的判定方法的选择 1. 三边成比例 : 当给出的边比较多或者有边的比例关系时 , 选用三边成比例判定 . 2. 两组角相等 : 当出现平行线、对顶角、公共角或者给出几个角的大小时 , 选用两组角对应相等判定 . 3. 两组边对应成比例且夹角相等 : 当已知条件中只有一组角相等时 , 通过证明夹角的两边成比例判定 . 知识点二 相似三角形判定的综合应用 【 示范题 2】 如图 ,AB=3AC,BD=3AE, 又 BD∥AC, 点 B,A,E 在同一条 直线上 . (1) 求证 :△ABD∽△CAE.(2) 如果 AC=BD,AD=2 BD, 设 BD=a, 求 BC 的长 . 【 思路点拨 】 (1) 证等比→证等角→得结论 (2) 等量代换→求出∠ D→ 求出∠ E→ 求出 BC 【 自主解答 】 (1)∵AB=3AC,BD=3AE,∴ ∵BD∥AC,∴∠EAC=∠DBA,∴△ABD∽△CAE. (2) 连接 BC,AB=3AC=3BD=3a,BD=3AE,∴AE= BD= a, AD=2 BD=2 a, 在△ ABD 中 ,AB 2 =(3a) 2 =9a 2 ,AD 2 +BD 2 =(2 a) 2 +a 2 =9a 2 , ∴AD 2 +BD 2 =AB 2 ,∴∠D=90°, 由 (1) 知△ ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°, 在 Rt△AEC 中 ,EC 2 =AC 2 -AE 2 =a 2 - 在 Rt△BEC 中 , 【 想一想 】 在示范题 2(2) 的条件下 , 连接 CD, 此时四边形 ABDC 是什么特殊的四边形 ? 提示 : 平行四边形 . ∵AC∥BD,AC=BD, ∴ 四边形 ABDC 是平行四边形 . 【 备选例题 】 已知四边形 ABCD 、四边形 DCFE 、四边形 EFHG 都是边长为 1 的正方形 , 则∠ 1+∠2+∠3 是多少度 ? 【 解析 】 由题意知 AC= ,CF=1,CH=2, 所以 又∠ ACF=∠HCA, 所以△ ACF∽△HCA, 所以∠ 2=∠CAH, 又因为∠ 1=∠3+∠CAH, 所以∠ 1+∠2+∠3=∠1+∠CAH+∠1-∠CAH=2∠1=90°. 【 方法一点通 】 相似三角形判定的综合应用 1. 在证明三角形相似时 , 经常要用到两种判定方法判定三角形相似 , 其中用一种判定方法证明三角形相似 , 是为另一种判定方法证明相似三角形作准备的 . 2. 用相似三角形的判定方法证明三角形相似时要注意几种方法综合应用 .