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- 2021-11-12 发布
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3.6 圆和圆的位置关系
教学目标
(一)教学知识点
1.了解圆与圆之间的几种位置关系.
2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系的联系.
(二)能力训练要求
1.经历探索两个圆之间位置关系的过程,训练学生的探索能力.
2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系,发展学生的识图能力和动手操作能力.
(三)情感与价值观要求
1.通过探索圆和圆的位置关系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性
以及数学结论的确定性.
2.经历探究图形的位置关系,丰富对现实空间及图形的认识,发展形象思维.
教学重点
探索圆与圆之间的几种位置关系,了解两圆外切、内切与两圆圆心距 d、半径 R 和 r
的数量关系的联系.
教学难点
探索两个圆之间的位置关系,以及外切、内切时两圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系
的过程.
教学方法
教师讲解与学生合作交流探索法
教具准备
投影片三张
第一张:(记作§3.6A)
第二张:(记作§3.6B)
第三张:(记作§3.6C)
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们已经研究过点和圆的位置关系,分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种;
还探究了直线和圆的位置关系,分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天
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我们要学习的内容是圆和圆的位置关系,那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言
权.下面我们就来进行有关探讨.
Ⅱ.新课讲解
一、想一想
[师]大家思考一下,在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?
[生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一
只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等.
[师]很好,现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位
置关系分别是什么.
二、探索圆和圆的位置关系
在一张透明纸上作一个⊙O.再在另一张透明纸上作一个与⊙O1 半径不等的⊙O2.把两
张透明纸叠在一起,固定⊙O1,平移⊙O2,⊙O1 与⊙O2 有几种位置关系?
[师]请大家先自己动手操作,总结出不同的位置关系,然后互相交流.
[生]我总结出共有五种位置关系,如下图:
[师]大家的归纳、总结能力很强,能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共
点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.
[生]如图:(1)外离:两个圆没有公共点,并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;
(2)外切:两个圆有唯一公共点,除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;
(3)相交:两个圆有两个公共点,一个圆上的点有的在另一个圆的外部,有的在另一个
圆的内部;
(4)内切:两个圆有一个公共点,除公共点外,⊙O2 上的点在⊙O1 的内部;
(5)内含:两个圆没有公共点,⊙O2 上的点都在⊙O1 的内部.
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[师]总结得很出色,如果只从公共点的个数来考虑,上面的五种位置关系中有相同类
型吗?
[生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点.
[师]因此只从公共点的个数来考虑,可分为相离、相切、相交三种.
经过大家的讨论我们可知:
投影片(§3.6A)
(1)如果从公共点的个数,和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑,两个圆
的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.
(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种:相离、相切、相交,并且相离
外离
内含
,相切
外切
内切.
三、例题讲解
投影片(§3.6B)
两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图所示(点 O,O'是圆心),分隔两个肥皂
泡的肥皂膜 PQ 成一条直线,TP、NP 分别为两圆的切线,求∠TPN 的大小.
分析:因为两个圆大小相同,所以半径 OP=O'P=OO',又 TP、NP 分别为两圆的切线,
所以 PT⊥OP,PN⊥O'P,即∠OPT=∠O'PN=90°,所以∠TPN 等于 360°减去∠OPT+∠O'
PN+∠OPO'即可.
解:∵OP=OO'=PO',
∴△PO'O 是一个等边三角形.
∴∠OPO'=60°.
又∵TP 与 NP 分别为两圆的切线,
∴∠TPO=∠NPO'=90°.
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°.
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四、想一想
如图(1),⊙O1 与⊙O2 外切,这个图是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?切
点与对称轴有什么位置关系?如果⊙O1 与⊙O2 内切呢?〔如图(2)〕
[师]我们知道圆是轴对称图形,对称轴是任一直径所在的直线,两个圆是否也组成一
个轴对称图形呢?这就要看切点 T 是否在连接两个圆心的直线上,下面我们用反证法来证
明.反证法的步骤有三步:第一步是假设结论不成立;第二步是根据假设推出和已知条件或
定理相矛盾的结论;第三步是证明假设错误,则原来的结论成立.
证明:假设切点 T 不在 O1O2 上.
因为圆是轴对称图形,所以 T 关于 O1O2 的对称点 T'也是两圆的公共点,这与已知条件
⊙O1 和⊙O2 相切矛盾,因此假设不成立.
则 T 在 O1O2 上.
由此可知图(1)是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线,切点与对称轴的位置关系是切
点在对称轴上.
在图(2)中应有同样的结论.
通过上面的讨论,我们可以得出结论:两圆相内切或外切时,两圆的连心线一定经过
切点,图(1)和图(2)都是轴对称图形,对称轴是它们的连心线.
五、议一议
投影片(§3.6C)
设两圆的半径分别为 R 和 r.
(1)当两圆外切时,两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d 与 R 和 r 具有怎样的关系?反
之当 d 与 R 和 r 满足这一关系时,这两个圆一定外切吗?
(2)当两圆内切时(R>r),圆心距 d 与 R 和 r 具有怎样的关系?反之,当 d 与 R 和 r 满
足这一关系时,这两个圆一定内切吗?
[师]如图,请大家互相交流.
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[生]在图(1)中,两圆相外切,切点是 A.因为切点 A 在连心线 O1O2 上,所以 O1O2=O1A
+O2A=R+r,即 d=R+r;反之,当 d=R+r 时,说明圆心距等于两圆半径之和,O1、A、
O2 在一条直线上,所以⊙O1 与⊙O2 只有一个交点 A,即⊙O1 与⊙O2 外切.
在图(2)中,⊙O1 与⊙O2 相内切,切点是 B.因为切点 B 在连心线 O1O2 上,所以 O1O2=O1B
-O2B,即 d=R-r;反之,当 d=R-r 时,圆心距等于两半径之差,即 O1O2=O1B-O2B,说
明 O1、O2、B 在一条直线上,B 既在⊙O1 上,又在⊙O2 上,所以⊙O1 与⊙O2 内切.
[师]由此可知,当两圆相外切时,有 d=R+r,反过来,当 d=R+r 时,两圆相外切,
即两圆相外切 d=R+r.
当两圆相内切时,有 d=R-r,反过来,当 d=R-r 时,两圆相内切,即两圆相内切 d
=R-r.
Ⅲ.课堂练习
随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了如下内容:
1.探索圆和圆的五种位置关系;
2.讨论在两圆外切或内切情况下,图形的轴对称性及对称轴,以及切点和对称轴的位
置关系;
3.探讨在两圆外切或内切时,圆心距 d 与 R 和 r 之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题 3.9
Ⅵ.活动与探究
已知图中各圆两两相切,⊙O 的半径为 2R,⊙O1、⊙O2 的半径为 R,求⊙O3 的半径.
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分析:根据两圆相外切连心线的长为两半径之和,如果设⊙O3 的半径为 r,则 O1O3=O2O3
=R+r,连接 OO3 就有 OO3⊥O1O2,所以 OO2O3 构成了直角三角形,利用勾股定理可求得⊙O3
的半径 r.
解:连接 O2O3、OO3,
∴∠O2OO3=90°,OO3=2R-r,
O2O3=R+r,OO2=R.
∴(R+r)2=(2R-r)2+R2.
∴r= 2
3
R.
板书设计
§3.6 圆和圆的位置关系
一、1.想一想 2.探索圆和圆的位置关系
3.例题讲解 4.想一想 5.议一议
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
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