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  • 2021-11-12 发布

人教版九年级数学上册教案:24_2 圆和圆的位置关系

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1 3.6 圆和圆的位置关系 教学目标 (一)教学知识点 1.了解圆与圆之间的几种位置关系. 2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系的联系. (二)能力训练要求 1.经历探索两个圆之间位置关系的过程,训练学生的探索能力. 2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系,发展学生的识图能力和动手操作能力. (三)情感与价值观要求 1.通过探索圆和圆的位置关系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性 以及数学结论的确定性. 2.经历探究图形的位置关系,丰富对现实空间及图形的认识,发展形象思维. 教学重点 探索圆与圆之间的几种位置关系,了解两圆外切、内切与两圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系的联系. 教学难点 探索两个圆之间的位置关系,以及外切、内切时两圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系 的过程. 教学方法 教师讲解与学生合作交流探索法 教具准备 投影片三张 第一张:(记作§3.6A) 第二张:(记作§3.6B) 第三张:(记作§3.6C) 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们已经研究过点和圆的位置关系,分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种; 还探究了直线和圆的位置关系,分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天 2 我们要学习的内容是圆和圆的位置关系,那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言 权.下面我们就来进行有关探讨. Ⅱ.新课讲解 一、想一想 [师]大家思考一下,在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢? [生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一 只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等. [师]很好,现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位 置关系分别是什么. 二、探索圆和圆的位置关系 在一张透明纸上作一个⊙O.再在另一张透明纸上作一个与⊙O1 半径不等的⊙O2.把两 张透明纸叠在一起,固定⊙O1,平移⊙O2,⊙O1 与⊙O2 有几种位置关系? [师]请大家先自己动手操作,总结出不同的位置关系,然后互相交流. [生]我总结出共有五种位置关系,如下图: [师]大家的归纳、总结能力很强,能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共 点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑. [生]如图:(1)外离:两个圆没有公共点,并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部; (2)外切:两个圆有唯一公共点,除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部; (3)相交:两个圆有两个公共点,一个圆上的点有的在另一个圆的外部,有的在另一个 圆的内部; (4)内切:两个圆有一个公共点,除公共点外,⊙O2 上的点在⊙O1 的内部; (5)内含:两个圆没有公共点,⊙O2 上的点都在⊙O1 的内部. 3 [师]总结得很出色,如果只从公共点的个数来考虑,上面的五种位置关系中有相同类 型吗? [生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点. [师]因此只从公共点的个数来考虑,可分为相离、相切、相交三种. 经过大家的讨论我们可知: 投影片(§3.6A) (1)如果从公共点的个数,和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑,两个圆 的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含. (2)如果只从公共点的个数来考虑分三种:相离、相切、相交,并且相离    外离 内含 ,相切    外切 内切. 三、例题讲解 投影片(§3.6B) 两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图所示(点 O,O'是圆心),分隔两个肥皂 泡的肥皂膜 PQ 成一条直线,TP、NP 分别为两圆的切线,求∠TPN 的大小. 分析:因为两个圆大小相同,所以半径 OP=O'P=OO',又 TP、NP 分别为两圆的切线, 所以 PT⊥OP,PN⊥O'P,即∠OPT=∠O'PN=90°,所以∠TPN 等于 360°减去∠OPT+∠O' PN+∠OPO'即可. 解:∵OP=OO'=PO', ∴△PO'O 是一个等边三角形. ∴∠OPO'=60°. 又∵TP 与 NP 分别为两圆的切线, ∴∠TPO=∠NPO'=90°. ∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°. 4 四、想一想 如图(1),⊙O1 与⊙O2 外切,这个图是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?切 点与对称轴有什么位置关系?如果⊙O1 与⊙O2 内切呢?〔如图(2)〕 [师]我们知道圆是轴对称图形,对称轴是任一直径所在的直线,两个圆是否也组成一 个轴对称图形呢?这就要看切点 T 是否在连接两个圆心的直线上,下面我们用反证法来证 明.反证法的步骤有三步:第一步是假设结论不成立;第二步是根据假设推出和已知条件或 定理相矛盾的结论;第三步是证明假设错误,则原来的结论成立. 证明:假设切点 T 不在 O1O2 上. 因为圆是轴对称图形,所以 T 关于 O1O2 的对称点 T'也是两圆的公共点,这与已知条件 ⊙O1 和⊙O2 相切矛盾,因此假设不成立. 则 T 在 O1O2 上. 由此可知图(1)是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线,切点与对称轴的位置关系是切 点在对称轴上. 在图(2)中应有同样的结论. 通过上面的讨论,我们可以得出结论:两圆相内切或外切时,两圆的连心线一定经过 切点,图(1)和图(2)都是轴对称图形,对称轴是它们的连心线. 五、议一议 投影片(§3.6C) 设两圆的半径分别为 R 和 r. (1)当两圆外切时,两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d 与 R 和 r 具有怎样的关系?反 之当 d 与 R 和 r 满足这一关系时,这两个圆一定外切吗? (2)当两圆内切时(R>r),圆心距 d 与 R 和 r 具有怎样的关系?反之,当 d 与 R 和 r 满 足这一关系时,这两个圆一定内切吗? [师]如图,请大家互相交流. 5 [生]在图(1)中,两圆相外切,切点是 A.因为切点 A 在连心线 O1O2 上,所以 O1O2=O1A +O2A=R+r,即 d=R+r;反之,当 d=R+r 时,说明圆心距等于两圆半径之和,O1、A、 O2 在一条直线上,所以⊙O1 与⊙O2 只有一个交点 A,即⊙O1 与⊙O2 外切. 在图(2)中,⊙O1 与⊙O2 相内切,切点是 B.因为切点 B 在连心线 O1O2 上,所以 O1O2=O1B -O2B,即 d=R-r;反之,当 d=R-r 时,圆心距等于两半径之差,即 O1O2=O1B-O2B,说 明 O1、O2、B 在一条直线上,B 既在⊙O1 上,又在⊙O2 上,所以⊙O1 与⊙O2 内切. [师]由此可知,当两圆相外切时,有 d=R+r,反过来,当 d=R+r 时,两圆相外切, 即两圆相外切  d=R+r. 当两圆相内切时,有 d=R-r,反过来,当 d=R-r 时,两圆相内切,即两圆相内切 d =R-r. Ⅲ.课堂练习 随堂练习 Ⅳ.课时小结 本节课学习了如下内容: 1.探索圆和圆的五种位置关系; 2.讨论在两圆外切或内切情况下,图形的轴对称性及对称轴,以及切点和对称轴的位 置关系; 3.探讨在两圆外切或内切时,圆心距 d 与 R 和 r 之间的关系. Ⅴ.课后作业 习题 3.9 Ⅵ.活动与探究 已知图中各圆两两相切,⊙O 的半径为 2R,⊙O1、⊙O2 的半径为 R,求⊙O3 的半径. 6 分析:根据两圆相外切连心线的长为两半径之和,如果设⊙O3 的半径为 r,则 O1O3=O2O3 =R+r,连接 OO3 就有 OO3⊥O1O2,所以 OO2O3 构成了直角三角形,利用勾股定理可求得⊙O3 的半径 r. 解:连接 O2O3、OO3, ∴∠O2OO3=90°,OO3=2R-r, O2O3=R+r,OO2=R. ∴(R+r)2=(2R-r)2+R2. ∴r= 2 3 R. 板书设计 §3.6 圆和圆的位置关系 一、1.想一想 2.探索圆和圆的位置关系 3.例题讲解 4.想一想 5.议一议 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业