沪教小学数学五上平面图形的面积.4 25页

1 小结 思考题 作业 直角坐标 下平面图形的面积 7.2 平面图形的面积 第 7 章 定积分的应用 极坐标下平面图形的面积 2 回忆 的几何意义 : 曲边梯形的面积 . 启示 一般曲线围成区域的面积也可以 用定积分来计算 . 定积分 下面曲线均假定是 连续 曲线 . 注 等于介于 y = f ( x ), 直线 x = a , x = b 与 x 轴之间 3 求这两条曲线及 直线 x = a , x = b 所围成的区域的 面积 A. 面积微元 d A 为 它对应的 (1) 即 区间 一、直角坐标 下平面图形的面积 设在区间 [ a , b ] 上 , 曲线 y = f ( x ) 位于曲线 y = g ( x ) 的上方 , 在 [ a , b ] 上任取一个 小 4 (2) 由曲线 x = f ( y ), 和直线 y = c , x = d 所围成的区域的 面积 A. 面积微元 d A 为 它对应的 区间 x = g ( y ) 在 [ c , d ] 上任取一个 小 5 例 解 画草图 , 求两曲线交点的坐标以便 解方程组 : 交点 面积微元 法一 选 为积分变量 , ? 确定积分限 , 6 法二 选 y 为积分变量 , 面积微元 法三 ? 将图形看成 : [0, 3] 上方的三角形 减去 在 [2, 3] 上方的曲边梯形 , 再 加上 [0, 2] 下方的曲边梯形 : 7 (3) 平面图形 ( 如图 ) 面积为 ? 设 f ( x ) 、 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 则曲线 y = f ( x ) 、 y = g ( x ) 与直线 x = a , x = b 所围成的 8 解 两曲线的交点 画草图 , 练习 9 解 曲线的参数方程为 由对称性 , 作变量代 换 , 例 其中 总面积等于 4 倍第一象限部分面积 . 不易积分 . 一般地 , 当曲线用参数方程表示时 , 都可以用类似的变量代换法处理 . 10 解 面积 练习 作变量代 换 求摆线 ( 旋轮线 ) 与 x 轴所围图形的面积 . 11 面积微元 曲边扇形的面积 由极坐标方程 给出的平面曲线 所围成的面积 A . 和射线 曲边扇形 二、 极坐标下平面图形的面积 12 解 由对称性知总面积 = 4 倍第一象限部分面积 例 求双纽线 所围平面图形的面积 . 13 解 利用 对称性 知 例 求心形线 所围平面图形的 面积 14 解 求交点 由对称性 2 例 求心形线 的公共部分的面积 . 所围图形与圆盘 15 解 交点 由对称性 是双纽线方程 . 极坐标方程 : 极坐标方程 : 练习 16 练习 解 利用对称性知 的公共部分面积 . 17 答案 (1) 成的面积最小 . (2) 之间图形面积 . 答案 练习 18 解 之间图形面积 . 对称性 所求面积 A 为在第一象限中 由直线 x 轴 及椭圆 所围图形面积的 8 倍 . 将椭圆 化为 极坐标 方程 . (2) 练习 将 代入椭圆 得 19 20 解 求由抛物线 与过焦点的弦所围成的图形 设 记 面积的最小值 . 焦点 焦点 ( 变 ) 弦 (1) (2) 求交点 练习 21 (3) 设 因为 S ( k ) 单减 所以 求由抛物线 与过焦点的弦所围成的 图形面积的最小值 . 22 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形 ( 注意恰当的 选择积分变量 有助于简化积分 分平面图形的方法有 : 分竖条 , 分横条 , 分成扇形 , 分成圆环 . 的面积 . 运算 ) 三、小结 23 思考题 位置无关 . 分别 表示从点 向抛物线 引出的两条切线的切点 . 在点 的切线方程 : 即 又 解 24 于是切线 的方程分别为 所围图形的 面积为 可见 A 与 x 0 无关 , A 与点 P ( x 0 , y 0 ) 位置无关 . 25 作业 习题 7.2 (251 页 )