五年级下册数学教案 4分数和小数的互化 北京版 (2) 7页

1 聚焦核心概念的“方法”教学 ——以《分数和小数的互化》一课为例 “分数和小数的互化”一课是五年级下册《分数的意义和性质》（人教版） 中的内容。共包括两个例题，例 1 是“小数化分数”，方法是将小数直接写成分 母是 10、100、1000……的分数，再化简。例 2 是“分数化小数”，应用分数与除 法的关系，通过除法计算得到小数结果，除不尽时，根据需要按“四舍五入”法 保留几位小数。此前，有小数的意义、基本性质、比大小等相关内容。 这节课通常不是老师们心目中的“大课”，一方面它不属于概念的起始课， 另一方面从掌握方法的角度看内涵并不复杂。甚至在有些版本教材中并没有安排 特定的例题，而是“藏”在练习中一带而过。这个内容除了表面看到的“方法”， 还有什么深层次的价值值得挖掘呢？ 思考一：上一节“技能课”还是“概念课”？ 以往讲这个内容，将教学重点定位于探索分数和小数互化的方法，引导学生 掌握技能，为后续学习和运算奠定基础就可以了。但对“分小为什么互化？互化 背后的本质是什么”等问题想之甚少。此次，在“小数”单元教学设计的探索中， 希望尝试通过本内容的教学帮助学生进一步深化理解分数和小数，因此尝试将其 从单纯的“方法（技能）课”转向“概念课”，聚焦核心概念开展“方法”的教 学。在探索方法的同时加强对分数和小数本质的理解，深化对互化价值的分析。 以此让“方法”根植在“概念”之上，成为学生对概念理解的必然生成。 思考二：除了掌握方法，还有哪些教育价值？ 首先是突出用联系的眼光看问题。小数是从分数中“走来的”，小数的本质 是十进分数。分数起源于分物、测量和计算这些活动，有“份”、“比”和“商” 的定义。小数是十进位制记数系统与“分”相结合的产物，因此和分数有着密切 的联系。正因为如此，三年级学习“小数的初步认识”与四年级学习“小数的意 义”时都是借助分数迁移到小数。但认识了小数之后，由于其十进位制记数系统 的特征，使得它的运算与整数运算方法“一脉相承”，而分数的运算方法则与其 大相径庭。可以形象地说，在最初学习小数时，它和分数的关系就十分紧密。而 在后续较长时间的学习中，二者却相对独立，自成体系。它们的再一次“密切接 触”就是在“分数和小数的互化”，从教材安排来看，这也是它们沟通联系的“最 后一次”。因此，抓住这“最后一次”的机会，让学生感受到虽然分数和小数的 2 运算截然不同，但只要能够将其二者“互化”，各自适用的“方法”也就相通了。 也就是小数和分数通过互化，可以在彼此的世界里“畅通无阻”。这就实现了各 种规律、定律、运算方法的有效推广，拓展了各自方法的适用范围，提升了效能。 其次是突出用对比的方法想问题。正如教材在练习中安排的解决问题那样， 生活中有时会遇到分数和小数之间比大小或一起参与运算的情况，如果将其转化， 就能够将“新”问题转化为“旧”问题，进而解决问题。与此同时，我们还应该 认识到分数和小数各有各的特点和价值，这种独特性在分数和小数的互相转化中， 可以让学生深入体会。具体可以概括为： 分数 小数 应用 简洁 广泛 精确 近似 感知程度 不易感知 易感知 如表所示，分数具有简洁而精准的特点，但由于它的分数单位可以是任意的， 因此其大小不容易被感知；而小数具有应用广泛和近似的特点，由于它采用十进 位值制记数法，其大小更容易被感知。此外，分数除了可以表示具体数量，更能 够清晰、简洁地表达两个量之间的关系。 基于这些思考，我将本课的教学目标设计为： 1.掌握分数和小数互化的方法，理解方法背后的道理； 2.在互化过程中，深入理解分数和小数的意义和特征。感受小数的广泛应用及易 感知的特征，以及分数表达简洁却不易被感知的特征，理解应用价值。 3.在探寻方法、解释现象和明理辨析的过程中，发展推理、抽象的能力。 一、问题引入 1.提问 师：这节课我们来研究“分数和小数的互化”（教师板书课题），“互化”，这个词 不常见到，你能解释一下吗？ 生：就是互相转化的意思。 师：看到这个标题你有什么问题或想法吗？ 生 1：（问题一）分数和小数能不能转化？ 生 2：（问题二）分数和小数怎么互化？ 生 3：（问题三）分数和小数为什么要互化，什么情况时互化？ 2.追问 3 师：既然是“互化”，你能试着将第一个问题问得更具体些吗？ 生：分数怎样转化为小数？小数怎样转化成分数？ 师：很多时候，我们思考问题、研究问题，就是要通过这样的追问，让问题变得 更具体、更清晰。 小结：前两个问题提得很好，第三个问题则提得更好！一说要学习“分数和 小数的互化”，大家比较容易想到的就是“怎么互化”这个指向方法的问题。但 能够想到“为什么要互化”的同学，思考问题很深刻。好的问题往往就是好研究 的开始。这节课我们就围绕同学们自己提出的这些问题展开讨论。 （设计意图：学起于思，思起于疑。结合“课题”引导学生思考“学什么”和“为 什么学”，这两个问题分别指向于方法和价值。让学生自己提出问题不仅仅是开 启这节课的学习，更是对学生问题意识和思考方法的培养。） 二、探究方法 1.算一算，感受联系 （板书）有一根 3m 长的丝线，如果平均将它平均分成 4 份，每份有多长呢？ 师：请你试着列式解决这个问题。 生：列式并汇报计算结果，根据除法与分数的关系可以得到分数结果；根据 小数除法的计算方法也可以算出小数结果。（板书：3÷4=0.75（m） 3÷4= （m）） 师：同一个除法算式，计算的结果既可以是个小数，还可以是个分数。你能 得出什么合理的推论吗？ 生（异口同声）：0.75= ，或 =0.75。 小结：看来小数和分数之间的确有密切的联系，只有在相等的情况下才能够 相互转化。 （设计意图：调动已有的认知经验，通过推理发现分数和小数的联系，明确“转 化”的前提是“相等”。） 2.想一想，探寻方法 师：请你试着用不同的方法解决下面的问题。 4 尝试解决下面的问题： 去时用的时间多，还是返回时用的时间多？（可以用不同方法） （1） 活动要求：先独立完成，再小组 4 人交流研究成果，提出问题或总结方法。 （2）作品反馈： 方法一： 师：你能读懂这位同学的方法吗？你觉得这个方法的价值是什么？ 生：这个方法很好，将分数和小数比较的问题转化成了整数，再比较。 师：的确，分数和小数进行比较时，不能直接比，就想到请我们的老朋友“整数” 来帮忙，将两个数都转化成整数再比较，问题就解决了，这个方法的确很有价值。 方法二： 师：第二种方法你能读懂吗？这样做的道理是什么？ 生：他将分数化成了小数，再比较两个小数的大小。 师：他是如何将分数转化成小数的？ 生：用分子除以分母。（师板书方法） 方法三： 师：这种做法你能看懂吗？这样做的道理又是什么？ 生：将小数化成分数，再比大小。也可以将不能比较的两个数转化成可以比较的 问题。 5 师：在他的方法中，哪个数的出现很关键？ 生（异口同声）： 师：怎么就想到这个分数了呢？ 生：一位小数就是十分之几，两位小数就是百分之几……… 师：你能试着概括一下小数转化成分数的方法吗？ 生：先根据小数部分的位数，直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的小 数，再化简。 小结：我们对小数很熟悉，丰富的经验让我们把一位小数和十分之几；两位小数 和百分之几；三位小数和千分之几……之间建立起紧密的联系。现在这些经验就 帮助我们解决了新的问题。看来找到分数和小数之间的联系是进行相互转化的关 键。 （设计意图：在解决问题中，学生充分调动已有的认知经验，将“新问题”转化 为“旧问题”。无论是将两个量都转化为整数，还是将小数化为分数、分数化为 小数，都是为了统一形式再比较。学生通过调动已有认知经验，探索分数和小数 互化的方法，达成本课的方法目标。） 3.练一练，巩固方法 （1）互化练习 师：经过刚才的交流，大家对分数和小数之间的互化方法有所了解，下面一起来 试一试。 第一组：小数化分数，说说具体的转化方法。 第二组：分数化小数，分别说说你的方法。你有什么新的问题吗？ （2）练中思疑 生：循环小数或无限不循环小数怎么转化成分数？ 师：这个问题非常有价值，我们就要有全面思考的意识。不能只想到那些平时常 常见到的小数类型，既然要讨论分数和小数的互化方法，就要将小数的每种类型 都考虑到。对于这类情况谁有话要说？ 生：我猜想可以一位一位的转化，最后再和在一起。 6 师：你的想法很有道理。大家对这种“无限”的情况都很好奇，就像浩瀚无垠的 星空，因为“看不到边，望不到头”，所以总是深深地吸引着人们不断地去探索 和发现。数学中这种“无限”的情况也很多，也同样吸引着人们去思考和研究。 我们今天一节课难以解决所有的问题。但这类情况却可以引发我们深入的思考， 刚才我们研究的方法为什么就不能转化无限小数呢？你觉得哪儿犯难了？ 生：因为它们有无数位，无法确定分数的分母，也就是无法确定分数单位。 师：可见，在将小数转化成分数的时候，最关键的是什么？ 生（齐）：确定计数单位。 师：透过现象看本质自，你认为分数和小数之间的互化，“化”的是什么？ 生：转化的就是计（分）数单位。 小结：同学们紧紧抓住了小数与分数的联系，分数与除法的联系，找到了二者相 互转化的方法。带着联系的眼光看问题和思考问题是非常重要且有价值的。 （设计意图：练习环节的目标不仅仅是巩固分小互化的方法，更是在练习中增进 学生对“单位”的理解。每个数的转化都离不开对计数单位的选择，这种认识在 循环小数面前被“放大”，学生自然而然地想到“怎么将循环小数转化为分数”。 此时面对这个问题，理解“为什么”比找到“怎么做”更有助于学生理解数概念 的本质。教师通过“难在哪儿”的追问，促进了学生对计数单位的深入理解。） 三、感受价值 师：经过大家的研究和讨论，我们找到了分数和小数互化的方法，自此，分 数在小数的世界里可以“加减乘除”，小数也可以在分数世界中“畅通无阻”了， 你们就好像成为了分数和小数世界的翻译。那什么时候该互化呢？ 生：不是总互化，只在需要的时候才互化。 师：有两条信息，请你自己读一读，并试着将其中的小数和分数互化，然后 再读一读。说说你的新发现。 信息一：五年级的亮亮在最近一次体检中得到了一些数据：他现在身高 米，比四年级时长高了 0.05 米，他从三年级到四年级时才长高了 0.03 米。 信息二： 许多体育比赛常采用淘汰制竞赛规则，参赛选手两人（或队）为 一组进行竞赛，获胜者进入下一轮，以此淘汰半数参赛者。当尚余 16 名参赛者 时，该轮比赛为“ 决赛”，决出 8 名参赛者后，比赛成为“ 决赛”，接下来剩余 4 名参赛者进入“半决赛（即 决赛）”，再次胜出的双方进行“决赛”，产生冠军 和亚军。 （1）学生独立阅读信息，并将信息中的分数和小数进行互化。 （2）全班交流阅读信息及转化数据后的感受。 7 生：在“信息一”中， 米转化成小数是 1.53 米。将身高转化成小数后， 更清楚，光看分数都不知道亮亮到底有多高，变成小数就更有感觉了。 师：就是因为小数的计数单位都是十分之几、百分之几和千分之几……这样 有规律的，所以我们才会对小数有中“很熟悉”“很清楚”的感觉。那么分数的 单位是怎样的呢？ 生：各种各样的、千变万化的、任何非 0 整数都可以作分母。 生：在“信息二”中的分数不需要化成小数，因为生活中没有听说过“0.125 决赛”、“0.25 决赛”或“0.5 决赛”，太别扭了。 生：化成小数后也听不出多少人参加比赛，胜出多少了。 师：看来分数也有自己的优势，它不仅能表示数量，还能清晰地表达量与量 之间的关系。 （设计意图：结合生活信息，学生在阅读中理解数据含义，互化后再进行对比， 学生自然地感受到分数与小数各自的特点，以此深化对数特征的理解。） 四、总结收获:谈谈通过这节课的学习你对分数和小数有了哪些新认识？