小学五年级奥数教案：猎狗追兔问题(讲师版) 9页

猎狗追兔问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性，其 中单位要统一是本类问题的关键。通常我们遇到的题给的都是通用单位，如米、 公里等等，这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位，关键就在于将这两者 统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！很多看 似无关的题目，实质思想是相通的！ 知识梳理 注： 在讲猎狗追兔问题之前，先复习追及问题的相关知识点，尤其要复习巩固一下 需要统一单位的相关题目。借此引起学生对单位统一的重视，提醒要注意单位 之间的换算，然后再介入猎狗追兔问题，重点讲解狗步与兔步的换算方法。 一、猎狗追兔问题 猎狗追兔问题：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到 的行程问题给的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一 样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差÷速度差= 追及时间”求解。 单位的统一：在猎狗追兔问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系，比 如猎狗跑四步(兔步)等于兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔步的比，相 同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑 3 步(兔步)猎狗跑 2 步(狗步)，进而可以 求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步)。具体是统一为 狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗 步，反之统一为兔步。若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。 注： 在猎狗追兔问题中，如果需要统一为狗步，则先求出相同路程时兔步与狗步最 小公倍数，然后再在相同时间内进行转换，如果需要统一为兔步则相反。 二、重点难点解析 1．行程问题中单位的统一。 2．追及问题的理解与应用。 3．比例及相关知识的初步引入。 三、竞赛考点挖掘 1．猎狗追兔问题与一般行程问题的类比。 2．解题中追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合。 3．统一及转化思想的应用 例题精讲 【试题来源】 【题目】 猎狗前面 26 步远有一只野兔，猎狗追之。兔跑 8 步的时间狗跑 5 步，兔跑 9 步的距离等于 狗跑 4 步的距离。问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步? 【答案】144；90 【解析】 “猎狗前面 26 步……”显然指的是猎狗的 26 步。因为题目中出现“兔跑 8 步的时间……” 和“兔跑 9 步的距离……”，8 与 9 的最小公倍数是 72，所以可以统一在“兔跑 72 步” 这个情况下考虑。 兔跑 72 步的时间狗跑 45 步，兔跑 72 步的距离等于狗跑 32 步距离，所以在兔跑 72 步的时 间里，狗比兔多跑了 45—32=13(步)的路程，这个 13 步是猎狗的 13 步. 由此推知，要追上 26(狗)步，兔跑了 72×(26÷13)=144(步)，此时猎狗跑了 5×(144÷8)=90(步)。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 野兔逃出 80 步后猎狗才开始追，野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步，野兔跑 9 步的时间猎 狗只能跑 5 步.问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔? 【答案】150 步 【解析】 “野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步，野兔跑 9 步的时间猎狗只能跑 5 步.”讲条件转 化为：“野兔跑 35 步的路程猎狗只需跑 15 步，野兔跑 27 步的时间猎狗只能跑 15 步.” 在猎狗跑 15 步的时间内，猎狗比野兔多跑 35-27=8（兔步）. 猎狗追上野兔需跑：15 ×（80÷8）=150（步）。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 猎狗追赶前方 15 米处的野兔.猎狗跑 3 步的时间野兔跑 5 步，猎狗跑 4 步的距离野兔要跑 7 步.猎狗至少跑出多少米才能追上野兔？ 【答案】315 步 【解析】 “猎狗跑 3 步的时间野兔跑 5 步，猎狗跑 4 步的距离野兔要跑 7 步.”将条件转化为：“猎 狗跑 12 步的时间野兔跑 20 步，猎狗跑 12 步的距离野兔要跑 21 步.”我们也就可以这样认 为：在一个单位时间内（猎狗跑 12 步的时间），猎狗跑了野兔的 21 步，野兔跑了 20 步， 速度差为野兔的 1 步.追击时间=15÷野兔的 1 步，所以猎狗追击的距离=（15÷野兔的 1 步） ×野兔的 21 步=315（米）。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 猎狗发现在离它 10 米远的地方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步。但是兔子动作快，猎狗跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步。 【答案】60 米 【解析】 兔子 9 步=狗 5 步，兔子 3 步所用时间=狗 2 步所用时间，所以兔子的速度：狗的速度=5：6。 所以狗跑的距离=狗的速度 x 追击时间=狗的速度 x（相差距离：速度差）=6 乘以 10：（6-5） =60 米。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 猎狗追赶前方 30 米处的野兔.猎狗步子大，它跑 4 步的路程兔子要跑 7 步，但是兔子动作 快，猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 4 步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？ 【答案】126 米 【解析】 猎狗跑 12 步的路程兔子要跑 21 步，猎狗跑 12 步的时间兔子要跑 16 步，在猎狗跑 12 步这 个单位时间内，两者的速度差为兔子的 5 步，所以猎狗追击距离为：30÷5×21=126（米）。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 一只猎狗正在追赶前方 20 米处的兔子，已知狗一跳前进 3 米，兔子一跳前进 2.1 米，狗跳 3 次的时间兔子可以跳 4 次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？ 【答案】280 米 【解析】 在一个单位时间里，狗跑 3×3＝9（米），兔子跑 4×2.1＝8.4（米）， 所以兔子跑的距离为：[20÷（9-8.4）]×8.4=280（米）。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬. 一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要 跑 568 步.如果狼跑 9 步的时间狗跑 7 步，狼跑 5 步的距离等于狗跑 4 步的距离，那么从它 们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步?狼跑了多少步? 【答案】224 步 【解析】 由题目条件知，狼跑 45 步的时间狗跑 35 步，狼跑 45 步的距离等于狗跑 36 步的距离，也 就是说，在相同的时间里，狼跑狗的 36 部，狗跑 35 步.所以相遇时，狼跑了： 36568 28836 35   （步），狗跑了：288÷9×7=224（步）。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出 40 米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2 步的时间兔子跑 3 步，猎狗跑 4 步的距离与兔子跑 7 步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追上它？ 【答案】240 米 【解析】 设狗跑 2 步的时间为 1(分钟)，兔跑 3 步的时间也为 1(分钟)；再设狗的步长为 7(米)，则 兔的步长为 4(米)，推出狗的速度是 2×7=14，兔的速度是 3×4=12。用 40÷（14－12）=20， 20 为追击时间。再用兔的速度乘上追击时间可得兔跑的路程，即 12×20=240（米）。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 猎犬发现在离它 9 步远的前方有一只奔跑的兔子,立刻追赶,猎犬步子大.它跑 5 步的路程, 兔子跑 9 步,但兔子动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子跑 3 步,猎犬至少跑多少步才能追上兔 子? 【答案】54 步 【解析】 狗 5 步＝兔子 9 步，步幅之比＝9：5；狗 2 步时间＝兔子 3 步时间，步频之比＝2：3；则 速度之比是 9×2：5×3＝6：5；这个 9 步是指狗的 9 步距离。6×9/(6－5)＝54 步。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 习题演练 【试题来源】 【题目】猎犬发现在离他 9 米远的前方有一只奔跑的兔子,立刻追赶,猎犬的步子大,它跑 5 步的路程,兔子要跑 9 步,但兔子动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子要跑 3 步.猎犬至少要跑多 少米才能追上兔子? 【答案】54 米。 【解析】54 米 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 一只野兔逃出 100 步后猎狗才开始追它，野兔跑 8 步的路程猎狗只需跑 3 步，猎 狗跑 4 步的时间兔子能跑 9 步，猎狗至少要跑 步才能追上野兔。 【答案】240 步 【解析】240 步 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】猎狗追野兔。在相等的时间里，猎狗跳 6 次，野兔跳 7 次；而猎狗跳 4 次的距离 等于野兔跳 5 次的距离。当猎狗发现野兔时，野兔已跳出离猎狗 10 次远的距离。问猎 狗跳出多少次以后才能追上野兔？ 【答案】120 次。 【解析】120 次 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】猎狗发现前方 150 米处有一只兔子正在逃跑，拔腿就追。兔子逃跑的速度是每秒 14 米，猎狗追赶的速度是每秒 18 米。在兔子前方 520 米处是一片灌木丛，如果兔子能 钻进灌木丛，猎狗就捉不到它了。猎狗究竟能不能抓住兔子呢？ 【答案】追不上。 【解析】追不上 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 小明家的猫和狗是死对头，见面就要相互打架。一天，它们同时发现了对方，它 们之间的距离猫要跑 260 步.如果猫跑 9 步的时间狗跑 5 步，猫跑 5 步的距离等于狗跑 3 步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，猫跑了多少步? 【答案】135 步。 【解析】135 步 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程 相同。而猫跑 3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同。 猫、狗、兔沿着周长为 300 米的圆形跑道，同时同地同向出发。问当它们出发后第一次相 遇时各跑了多少路程？ 【答案】猫跑了 8437.5 米；狗跑了 23437.5 米；兔跑了 16537.5 米。 【解析】猫跑了 8437.5 米；狗跑了 23437.5 米；兔跑了 16537.5 米。 【知识点】猎狗追兔问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4