小学数学精讲教案4_2_7 格点型面积 教师版 9页

模块一、正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定 是 1 个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶 点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形． 那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算 公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例 题的格点数． 我们能发现如下规律： ．这个规律就是毕克定理． 【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？ 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】判断 【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边 形． 【答案】⑴是格点多边形 【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积． 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行 了． 方法一：图⑴是正方形，边长是 4，所以面积是 (面积单位)； 图⑵是矩形，长是 5，宽是 3，所以面积是 (面积单位)； ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑶⑵⑴ ⑹⑸⑷ 4-2-7.格点型面积 例题精讲 12 LS N= + − 毕克定理 若一个格点多边形内部有 N 个格点，它的边界上有 L 个格点， 则它的面积为 12 LS N= + − ． 4 4 16× = 5 3 15× = 图⑶是三角形，底是 5，高是 4，所以面积是 (面积单位)； 图⑷是平行四边形，底是 5，高是 3，所以面积是 (面积单位)； 图⑸是直角梯形，上底是 3，下底是 5，高是 3，所以面积是 (面积单位)； 图⑹是梯形，上底是 3，下底是 6，高是 4，所以面积是 (面积单位)． 如果两格点之间的距离是 2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大 4 倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过 程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在 下面的题目中我们还将使用这种方法！ 如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的 一半． 如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得 平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想． 【答案】图⑴ ；图⑵ ；图⑶ ；图⑷ ；图⑸ ；图⑹ ． 【例 3】 如图(a)，计算这个格点多边形的面积． 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能 另想别的办法：这个三角形是处在长是 6、宽是 4 的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形， 如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是 所要求的三角形面积．矩形面积是 ；直角三角形Ⅰ的面积是： ；直角三角形Ⅱ 的面积是： ；直角三角形Ⅲ面积是 ；所求三角形的面积是 (面积单位)． 方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积 是： (面积单位)． 【答案】 【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积． 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形 ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的 ； 另外三个分别是： ABE、 FEC、 DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别 为 ， ， ．所以，图中阴影部分的面积为： ( )． 【答案】 【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积． IIIII I (c)(b)(a) 1cm 1cm A BC D E F 5 4 2 10× ÷ = 5 3 15× = 3 5 3 2 12+ × ÷ =（ ） 3 6 4 2 18+ × ÷ =（ ） 16 15 10 15 12 18 6 4 24× = 6 2 2 6× ÷ = 4 2 2 4× ÷ = 4 2 2 4× ÷ = 24 6 4 4 10− + + =（ ） 5 2 2 5 2 2 10× ÷ + × ÷ = 10 AEF △ △ △ 21.5cm 22cm 21.5cm 3 3 1.5 2 2 4× − × + =（ ） 2cm 4 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为 9 面积单位．第二幅图的面积 均为 10 面积单位． 【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格 点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！ 在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是 8 个；第 二个图形边界上的格点数是 10 个，包含在图形内的格点数也相等，都是 6 个． 【答案】第一幅图的面积均为 9；第二幅图的面积均为 10． 【巩固】求下列各个格点多边形的面积． 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】⑴ ∵ ； ，∴ (面积单位)； ⑵ ∵ ； ，∴ (面积单位)； ⑶ ∵ ； ，∴ (面积单位)； ⑷ ∵ ； ，∴ (面积单位)． 用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例 题的格点数． 我们能发现如下规律： ．这个规律就是毕克定理． 【答案】⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？ 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】图形内部格点数 ；图形边界上的格点数 ；根据毕克定理， 则 (单位面 积)． 【答案】 【例 7】 右图是一个 面积单位的图形．求矩形内的箭形 的面积． （1） （2） （3） （4） 12L = 10N = 121 10 1 152 2 LS N= + − = + − = 10L = 16N = 101 16 1 202 2 LS N= + − = + − = 6L = 12N = 61 12 1 142 2 LS N= + − = + − = 10L = 13N = 101 13 1 172 2 LS N= + − = + − = 12 LS N= + − 15 20 14 17 9N = 20L = 1 182 LS N= + − = 18 8 12× ABCDEFGH 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】箭形 的面积 (面积单位)． 【答案】 【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______ 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 9 题，6 分 【解析】①的面积为： ，②的面积也为 。所以两块阴影部分面积相 等均为 3。 【答案】相等 【例 9】 右图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ 【考点】格点型面积 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】图形内部格点数为 54，图形周界上格点数为 19． 所以图形的面积为： (面积单位)． 【答案】 【巩固】如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？ 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+ -1)×单位正方形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数． 有 N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+ -1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积， 有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形， 所以粗实线外格点内的图形面积为 1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为 16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5 平方厘米． 【答案】 平方厘米 H G F E DC B A ②① ④ ③② ① ⑤ ⑥ ABCDEFGH 8 10 2 1 4 8 4 2 1 2 12 32 2 46= + ÷ − + × + ÷ − × = + + =（ ） （ ） 46 1 1 12 1 1 1 3 1 32 2 2 × × + × × + × × = 3 2 2 3× ÷ = 54 19 2 1 62.5+ ÷ − = 62.5 L 2 7 2 6.5 【例 10】 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7 月 21 日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积 是 1，那么 7、2、1 三个数字所占的面积之和是多少？ 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】保良局亚洲区城市小学数学竞赛 【解析】要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都 可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数 字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点． 7 所 占 的 面 积 为 ： ； 2 所 占 的 面 积 为 ： ； 1 所 占 的 面 积 为 ： ．所以，这三个数字所占的面积之和为： ． 【答案】 【例 11】 的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选 7 个格点， 要求其中任意 3 个格点都不在一条直线上，并且使这 7 个点用直线连接后所围成的面积尽可能 大．那么，所围图形的面积是 平方厘米． 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】为了使这 7 个点围成最大的面积，这 7 个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取 7 个点，围成 面积最大．最大面积为 (平方厘米)． 【答案】 平方厘米 【例 12】 两个边长相等的正方形各被分成 25 个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来， 若左上角的阴影部分(块状)面积为 ，右下角的阴影部分(线状)面积为 ，求大正方形 的面积． 【考点】格点型面积 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】从小爱数学 【解析】块状部分与线状部分之间的部分称为 D，则 D 与前者共 14 个方格，与后者共 17 个方格，因此每个 方格的面积是 大正方形的面积为 ． 【答案】 平方厘米 【例 13】 将边长为正整数 的正方形平均分成 个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。例如：图 A 中的格点是边长为 的正方形的格点。图 B 中，在边长为 12 的正方形中有四个完全相同的直角三 角形。如果三角形的一条直角边是 3，那么这四个三角形各边共经过多少个格点？(每个格点只计 n 2n 2 15 2 1 8.5+ ÷ − = 24 2 1 11÷ − = 17 2 1 7.5÷ − = 8.5 11 7.5 27+ + = 27 5 5× 5 5 0.5 3 23.5× − × = 23.5 25.12cm 27.4cm 2197.4 5.12 17 14 cm25 − ÷ − =（ ）（ ） （ ） 219cm 19 2 一次) 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 19 题，10 分 【解析】如下图是一个三角形的示意图，共经过了 33 个格点 【答案】 个格点 模块二、三角形格点问题 1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的 面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形． 2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点 数，L 表示图形周界上的格点数，那么有 ，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数 的 2 倍与周界上格点数的和减去 2． 【例 14】 如图(a)，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积． 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】方法一：如图(b)所示，在 ABC 内连接相邻的三个点成 DEF，再连接 DC、EA、FB 后是 ABC 可看成是由 DEF 分别延长 FD、DE、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得 到 ， ， ，所以 (面积单位)． 方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数 小正三角形的方法，求出 ABC 的面积为 10． 方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形 ARBE 中有 6 个小正三角形，而 ABE 的面积是 平行四边形 ARBE 面积的一半，即 ，平行四边形 ADCH 中有 4 个小正三角形，而 ADC 的面积是平行四边形 ADCH 面积的一半，即 ．平行四边形 FBGC 中有 8 个小正三角形，而 FBC 的面积是平行四边形 FBGC 的一半，即： ．所以 (面积单位)． 【答案】 【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的等边三角形，计算 ABC 的面积． 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 （A） （B） A B CDF E C B A (b)(a) ' ' 'Ⅰ Ⅱ Ⅲ H G R Ⅲ Ⅱ Ⅰ (c) (d) A B C E F D C B A C B A 33 2 2S N L= × + −     2ACDS =  3AEBS =  4FBCS =  1 2 3 4 10S = + + + =    3AEBS =   2ACDS =   4FBCS =  1 2 3 4 10S = + + + =  10 △ 【解析】因为 ； ：所以 (面积单位)． 【答案】 【例 15】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形)． 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴ ∵ ； ，∴ (面积单位)； ⑵ ∵ ； ，∴ (面积单位)； ⑶ ∵ ； ，∴ (面积单位)； ⑷ ∵ ； ，∴ (面积单位)． 【答案】（1） ；（2） ；（） 【例 16】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是 128，求图中粗线 所围成的三角形的面积． 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】图中有 (个)小三角形，那么一个小三角形的面积是 ， 图形内部格点数为 12，图形周界上格点数为 4； 图形的面积为： (面积单位)，进而得图形的面积为： ． 【答案】 【例 17】 如图，如果每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位正三角形面积，其中 N 为图形内格点 数，L 为图形周界上格点数． 有 N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)． 法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有 10 个，而将不完整的小正三角形分成 4 部 分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为 4，所以①部分的面积为 2，②、③、④部分对应的 平行四边形面积分别为 2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为 1，4，3．所以粗实线内图形 的面积为 10+2+1+4+3=20(平方厘米)． 【答案】 平方厘米 【例 18】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是 2 平方厘米．那么，三角形 ABC 的面积是 _____平方厘米． （1） （2） （3） （4） D C B A ④ ③ ② ① A B C D ① 5N = 3L = 2 2 2 5 3 2 11S N L= × + − = × + − = 11 7L = 7N = 2 2 2 7 7 2 19S N L= × + − = × + − = 5L = 8N = 2 2 2 8 5 2 19S N L= × + − = × + − = 6L = 7N = 2 2 2 7 6 2 18S N L= × + − = × + − = 7L = 8N = 2 2 2 8 7 2 21S N L= × + − = × + − = 19 19 1 3 5 7 9 11 13 15 64+ + + + + + + = 128 64 2÷ = 2 12 4 2 26× + − = 26 2 52× = 52 20 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 【答案】 平方厘米 模块三、构造格点进行解题 【例 19】 图中正六边形 ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形 CEPQ 的面积． 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】如图，将正六边形 ABCDEF 等分为 54 个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积， 面积 ， 面积 ，四边形 ABQP 面积 ．上述三块面积之和为 ．因 此，阴影四边形 CEPQ 面积为 ． 【答案】 【例 20】 正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米．M 是 AB 中点，N 是 CD 中点，P 是 EF 中点．问：三角 形 MNP 的面积是多少平方厘米？ 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】将正六边形分成六个面积为 1 平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为 4 个 小正三角形．于是正六边形 ABCDEF 被分成了 24 个小正三角形，每一个小正三角形的面积是 (平方厘米)，三角形 MNP 由 9 个小正三角形所组成，所以三角形 MNP 的面积 (平方厘米)． 【答案】 【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？ 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成 12 个与三角形 PMN 全等(能完全重叠地放在一起)的小三 角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有 6×4=24 个与三角形 PMN 全等的小三角形， O P N M ABC ABD BCD ACDS S S S∆ ∆ ∆ ∆= + + 2 12 2 12 2 9= × + × + × 66( )= 平方厘米 66 PEF△ 3= CDE△ 9= 11= 3 9 11 23+ + = 54 23 31− = 31 6 24 0.25÷ = 0.25 9 2.25= × = 2.25 所以大正六角星形的面是小正六角星形的 3 倍，即 48 平方厘米． 【答案】 平方厘米 【例 22】 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个 六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样 就得到图所示的图形．如果这个图形面积是 1，那么原来的正三角形面积是多少? 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】方法一：如右图，我们将图 6-5 分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由 40 块小正三角形 组成图 6-5，而由 27 块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120 块小正三角形的面积为 1，所以 每块为 ，那么原来的正三角形由 81 块小正三角形组成，其面积显然为 ． 方法二：如下图，我们把图 6-5 中的三角形分成 A、B、C 三种，设 A 形正三角形面积为“1”，则 B、 C 两种正三角形的面积依次为“ ”、“ ”．在图中： A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为 1，3，12，所以图 6-5 中图形的面积为 1+3× +12× = ．所以有“1”对应 ，而原来的正三角形即为三角形 A，所以原来的正三角形的面积为 . 【答案】 B A C 48 1 120 27 40 1 9 1 81 1 9 1 81 40 27 27 40 27 40 27 40