六年级下册数学讲义 -小升初专题-应用--相遇、追及问题 全国通用 （含答案） (1) 11页

1 相遇、追及问题 1、概念：在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互 关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相 离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相 遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 一、相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地 相遇。这类问题即为相遇问题。 两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间 基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二、追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追 上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我 们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及 时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然 后运用公式求出第三者来达到解题目的。 追及路程路程＝甲路程—乙路程 ＝(甲的速度—乙的速度)×追及时间＝速度差×追及时间 基本公式有： 2 追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差 相遇追及问题中符号法则：相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。 题型一：相遇问题 例 1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48 千米。两 车在距中点 32 千米处相遇，东、西两地相距多少千米? 练 习 一 1，小玲每分钟行 100 米，小平每分钟行 80 米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离 中点 120 米处相遇。学校到少年宫有多少米？ 例 2 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，乙车每小时行 40 千米，经过 3 小时，快车已驶过中 点 25 千米，这时快车与慢车还相距 7 千米。慢车每小时行多少千米？ 练 习 二 1，兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行 120 米，5 分钟后哥哥已超过中点 50 米，这时兄弟二人还相距 30 米。弟弟每分钟行多少米？ 3 例 3 甲、乙二人上午 8 时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快 6 千米。中午 12 时甲到西村 后立即返回东村，在距西村 15 千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米？ 练 习 三 1，甲、乙二人同时从 A 地到 B 地，甲每分钟走 250 米，乙每分钟走 90 米。甲到达 B 地后立即返回 A 地，在离 B 地 3.2 千米处与乙相遇。A、B 两地间的距离是多少千米？ 例 4 甲、乙两车早上 8 点分别从 A、B 两地同时出发相向而行，到 10 点时两车相距 112.5 千米。 两车继续行驶到下午 1 点，两车相距还是 112.5 千米。A、B 两地间的距离是多少千米？ 练 习 四 1，甲、乙两车同时从 A、B 两地相向出发，3 小时后，两车还相距 120 千米；又行 3 小时，两车又 相距 120 千米。A、B 两地相距多少千米？ 例 5 甲、乙两车早上 8 时分别从 A、B 两地同时相向出发，到 10 时两车相距 112.5 千米。两车继 续行驶到下午 1 时，两车相距还是 112.5 千米。A、B 两地间的距离是多少千米？ 4 练 习 五 快、慢两车早上 6 时同时从甲、乙两地相向开出，中午 12 时两车还相距 50 千米。继续行驶到 14 时， 两车又相距 170 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 题型二：追及问题 例 1 中巴车每小时行 60 千米，小轿车每小时行 84 千米。两车同时从相距 60 千米的两地同方 向开出，且中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车？ 练 习 一 （1）一辆摩托车以每小时 80 千米的速度去追赶前面 30 千米处的卡车，卡车行驶的速度是每小时 65 千米。摩托车多长时间能够追上？ 例 2 一辆汽车从甲地开往乙地，要行 360 千米。开始按计划以每小时 45 千米的速度行驶，途中因 汽车故障修车 2 小时。因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行 30 千米。汽车是在离甲地多 远处修车的？ 练 习 二 （1）小王家离工厂 3 千米，他每天骑车以每分钟 200 米的速度上班，正好准时到工厂。有一天，他 出发几分钟后，因遇熟人停车 2 分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行 100 米。小王是在 离工厂多远处遇到熟人的？ 5 例 3 甲、乙两人以每分钟 60 米的速度同时、同地、同向步行出发。走 15 分钟后甲返回原地取东 西，而乙继续前进。甲取东西用去 5 分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟 360 米的速度追乙。甲 骑车多少分钟才能追上乙？ 练 习 三 （1）兄弟二人同时从家出发去学校，哥哥每分钟走 80 米，弟弟每分钟走 60 米。出发 10 分钟钟后， 哥哥返回家中取文具，然后立即骑车以每分钟 310 米的速度去追弟弟。哥哥骑车几分钟追上弟弟？ 例 4 甲骑车、乙跑步，二人同时从同一地点出发沿着长 4 千米的环形公路同方向进行晨练。出发 后 10 分钟，甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟 700 米，求甲、乙二人的速度各是 多少？ 练 习 四 （1）爸爸和小明同时从同一地点出发，沿相同方向在环形跑道上跑步。爸爸每分钟跑 150 米，小明 每分钟跑 120 米，如果跑道全长 900 米，问：至少经营几分钟爸爸从小明身后追上小明？ 6 例 5 甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟 100 米、90 米、75 米。甲在公路上 A 处，乙、丙在 公路上 B 处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲和乙相遇 3 分钟后，甲和丙又相遇了。求 A、 B 之间的距离。 练 习 五 （1）甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟 60 米、80 米、100 米。甲、乙二人在 B 地，丙在 A 地与甲、乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又过 2 分钟和甲相遇。求 A、B 两地的路程。 1，兄弟二人从 100 米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑 120 米； 哥哥在后，每分钟跑 140 米。几分钟后哥哥追上弟弟？ 2，一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行 36 千米，8 小时能到达。这辆汽车以每小时 36 千米的速 度行驶一段时间后，因排队加油用去了 15 分钟。为了能在 8 小时内到达乙地，加油后每小时必须多 行 7.2 千米。加油站离乙地多少千米？ 7 3，快车每小时行 60 千米，慢车每小时行 40 千米，两车同时从甲地开往乙地。出发 0.5 小时后，快 车因故停下修车 1.5 小时。修好车后，快车仍用原速前进，经过几小时才能追上慢车？ 4，在 300 米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4.4 米。两 人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？ 5，甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟 60 米、80 米、100 米。甲、乙二人从 B 地同时同向出 发，丙从 A 地同时同向去追甲和乙。丙追上甲后又经过 10 分钟才追上乙。求 A、B 两地的路程。 8 参考答案 题型一：相遇问题 例 1 分析与解答 从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了 32×2=64（千米）。两车同时出发， 为什么甲车会比乙车多行 64 千米呢？因为甲车每小时比乙车多行 56-48=8（千米）。64 里包含 8 个 8，所以此时两车各行了 8 小时，东、西两地的路程只要用（56+48）×8 就能得出。 32×2÷（56－48）=8（小时） （56＋48）×8=832（千米） 答：东、西两地相距 832 千米。 练习 1：[(120x2)÷(100-80)]×(100=80)=2160(千米) 例 2 分析与解答 快车 3 小时行驶 40×3=120（千米），这时快车已驶过中点 25 千米，说明甲、 乙两地间路程的一半是 120－25=95（千米）。此时，慢车行了 95－25－7=63（千米），因此慢车每 小时行 63÷3=21（千米）。 （40×3－25×2－7）÷3=21（千米）答：慢车每小时行 21 千米。 练 习 二（120x5-50x2-30）÷5=94（米） 例 3 分析与解答 二人相遇时，甲比乙多行 15×2=30（千米），说明二人已行 30÷6=5（小时）， 上午 8 时至中午 12 时是 4 小时，所以甲的速度是 15÷（5－4）=15（千米）。 因此，东西两村的距离是 15×（5－1）=60（千米） 上午 8 时至中午 12 时是 5 小时。 15×2÷6=5（小时） 15÷（5－4）=15（千米） 15×（5－1）=60（千米） 练 习 三 1，解:3.2 千米=3200 米 3200×2÷(250-90)=40(分) 9 250×40-3200=6800(米)=6.8 千米 ∴A,B 两地相距 6.8 千米 例 4 分析与解答 要求骑自行车的同学一共行多少千米，就要知道他的速度和所行时间。骑自行 车同学的速度是每小时 14 千米，而他所行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。因此， 用 18÷（4＋5）=2 小时，用这个时间和骑的同学的速度相乘就得到了他一共行的千米数 练 习 四 两车先相距再相遇，再相距，两车 3 小时共走 120×2=240（千米），两车的速度和，240 ÷3=80（千米/时）甲、乙两车同时从 A、B 两地相向出发，3 小时后，两车还相距 120 千米，因此两地相距 80×3+120=360（千米） 例 5 分析与解答 从 10 时到下午 1 时共经过 3 小时，3 小时里，甲、乙两车从相距 112.5 千米到 又相距 112.5 千米，共行 112.5×2=225 千米。两车的速度和是 225÷3=75 千米。从早上 8 时到 10 时共经过 2 小时，2 小时共行 75×2=150 千米，因此，A、B 两间的距离是 150＋112.5=262.5 千米。 练 习 五 12 时-6 时=6 小时 14 时-12 时=2 小时 （170+50）÷2×6+50 =220÷2×6+50 =660+50 =710（千米） 答：两地相距 710 千米 题型二：追及问题 例 1 分析与解答 原来小轿车落后于中巴车 60 千米，但由于小轿车的速度比中巴车快，每小 时比中巴车多行 84－60=24 千米，也就是每小时小轿车能追中巴车 24 千米。60÷24=2.5 小时，所 以 2.5 小时后小轿车能追上中巴车。 练 习 一 卡车的速度： 80-(3÷1/2)=80-6=74 千米 例 2 分析与解答 途中修车用了 2 小时，汽车就少行 45×2=90 千米；修车后，为了按时到达 乙地，每小时必须多行 30 千米。90 千米里面包含有 3 个 30 千米，也就是说，再行 3 小时就能把修 10 车少行的 90 千米行完。因此，修车后再行（45＋30）×3=225 千米就能到达乙地，汽车是在离甲地 360－225=135 千米处修车的。 练 习 二解：200+100=300（米/分钟） 300：200=3：2 2÷[（3-2）÷2]×300 =2÷[1÷2]×300 =2÷0.5×300 =4×300 =1200（米） 例 3 分析与解答 当甲取了东西改骑自行车出发时，乙已行 15＋15＋5=35 分钟，行了 60× 35=2100 米。甲骑车每分钟比乙步行多行（360－60）米，用 2100 米除以（360－60）米就得到甲骑 车追上乙的时间。 练 习 三 60x10x2÷(310-60)=4.8 分钟 例 4 分析与解答 出发 10 分钟后，甲从乙身后追上了乙，也就是 10 分钟内甲比乙多行了一 圈。因此，甲每分钟比乙多行 4000÷10=400 米。知道了二人的速度差是每分钟 400 米，速度和是每 分钟 700 米，就能算出甲骑车的速度是（700＋400）÷2=550 米，乙跑步的速度是 700－550=150 米。 练 习 四 900÷(150-120)=30 分 例 5 分析与解答 甲和乙相遇后，再过 3 分钟甲又能和丙相遇，说明甲和乙相遇时，乙比丙多 行（100＋75）×3=525 米。而乙每分钟比丙多行 90－75=15 米，多行 525 米需要用 525÷15=35 分 钟。35 分钟甲和乙相遇，说明 A、B 两地之间的距离是（100＋90）×35=6650 米。 练 习 五 甲乙之间距离 （100+60）x2=320 米 乙丙相遇时间 320÷（80-60）＝16 分钟 AB 距离 16x(100+80)=2880 米 1、100÷（140-120）=100÷20=5（分钟）； 2、15 分钟少行 15/60×36=9 千米 加油后用时:9÷7.2=1.25 小时 离乙地:1.25×(36+7.2)=54 千米 3、40×（1.5+0.5）-60×0.5=50 千米（相聚的距离） 11 50÷（60-40）=2.5 小时（追上用时） 4、5-4．4=0.6（米/秒） 300÷0.6=500（分） 500×5=2500（米） 2500÷300=8（圈）……100(米) 5、（60+100）×[（100+80）×10÷（80-60）] =160×90 =14400（米）