2020年湖南省常德市中考数学试卷(含解析） 23页

‎2020年湖南省常德市中考数学试卷 一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（3分）（2020•常德）4的倒数为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎ B．2 C．1 D．﹣4‎ ‎2．（3分）（2020•常德）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）（2020•常德）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）‎ A．70° B．65° C．35° D．5°‎ ‎4．（3分）（2020•常德）下列计算正确的是（　　）‎ A．a2+b2＝（a+b）2 B．a2+a4＝a6 ‎ C．a10÷a5＝a2 D．a2•a3＝a5‎ ‎5．（3分）（2020•常德）下列说法正确的是（　　）‎ A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 ‎ B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 ‎ C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 ‎ D．一组数据的众数一定只有一个 ‎6．（3分）（2020•常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（　　）‎ A．100‎3‎π B．200‎3‎π C．100‎5‎π D．200‎5‎π ‎7．（3分）（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．‎ 第23页（共23页）‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎8．（3分）（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）‎ A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．（3分）（2020•常德）分解因式：xy2﹣4x＝　 　．‎ ‎10．（3分）（2020•常德）若代数式‎2‎‎2x-6‎在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎11．（3分）（2020•常德）计算：‎9‎‎2‎‎-‎1‎‎2‎+‎8‎=‎　 　．‎ ‎12．（3分）（2020•常德）如图，若反比例函数y‎=‎kx（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝　 　．‎ ‎13．（3分）（2020•常德）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：‎ 阅读时间（x小时）‎ x≤3.5‎ ‎3.5＜x≤5‎ ‎5＜x≤6.5‎ x＞6.5‎ 第23页（共23页）‎ 人数 ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　 　次．‎ ‎15．（3分）（2020•常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为　 　．‎ ‎16．（3分）（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：‎ x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．‎ 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，‎ 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．‎ 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　 　．‎ 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）‎ ‎17．（5分）（2020•常德）计算：20+（‎1‎‎3‎）﹣1•‎4‎‎-‎4tan45°．‎ ‎18．（5分）（2020•常德）解不等式组‎2x-1＜x+4①‎‎2‎‎3‎x-‎3x+1‎‎2‎≤‎1‎‎3‎②‎．‎ 四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）‎ ‎19．（6分）（2020•常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1‎-‎‎7x-9‎x）‎÷‎x‎2‎‎-9‎x．‎ 第23页（共23页）‎ ‎20．（6分）（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？‎ 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）‎ ‎21．（7分）（2020•常德）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y‎=‎mx（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．‎ ‎22．（7分）（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）‎ ‎（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，‎2‎‎≈‎1.41）‎ 六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎23．（8分）（2020•常德）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．‎ ‎（1）轻症患者的人数是多少？‎ ‎（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？‎ ‎（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？‎ ‎（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 第23页（共23页）‎ 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．‎ ‎24．（8分）（2020•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．‎ ‎（1）求证：EC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．‎ 七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎25．（10分）（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，‎9‎‎4‎）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知直线l过点A，M（‎3‎‎2‎，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；‎ ‎（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．‎ 第23页（共23页）‎ ‎26．（10分）（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．‎ ‎（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：‎ ‎①EB＝EP；‎ ‎②∠EFP＝30°；‎ ‎（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．‎ 第23页（共23页）‎ ‎2020年湖南省常德市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（3分）（2020•常德）4的倒数为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎ B．2 C．1 D．﹣4‎ ‎【解答】解：4的倒数为‎1‎‎4‎．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）（2020•常德）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；‎ D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）（2020•常德）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）‎ A．70° B．65° C．35° D．5°‎ ‎【解答】解：作CF∥AB，‎ ‎∵AB∥DE，‎ ‎∴CF∥DE，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴AB∥DE∥DE，‎ ‎∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，‎ ‎∵∠1＝30°，∠2＝35°，‎ ‎∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，‎ ‎∴∠BCE＝65°，‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）（2020•常德）下列计算正确的是（　　）‎ A．a2+b2＝（a+b）2 B．a2+a4＝a6 ‎ C．a10÷a5＝a2 D．a2•a3＝a5‎ ‎【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；‎ B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；‎ C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；‎ D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•常德）下列说法正确的是（　　）‎ A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 ‎ B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 ‎ C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 ‎ D．一组数据的众数一定只有一个 ‎【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；‎ B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是‎1‎‎2‎，故本选项错误；‎ C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；‎ D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）（2020•常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（　　）‎ A．100‎3‎π B．200‎3‎π C．100‎5‎π D．200‎5‎π ‎【解答】解：这个圆锥的母线长‎=‎1‎0‎‎2‎+2‎‎0‎‎2‎=‎10‎5‎，‎ 第23页（共23页）‎ 这个圆锥的侧面积‎=‎1‎‎2‎×‎2π×10×10‎5‎‎=‎100‎5‎π．‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，故①正确，‎ 由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，‎ ‎∴‎-b‎2a=‎2，‎ ‎∴4a+b＝0，故③正确，‎ 由图象知，抛物线开口方向向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵4a+b＝0，‎ ‎∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＜0，故②正确，‎ 由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，‎ ‎∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，‎ 即正确的结论有3个，‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F ‎【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．‎ 设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，‎ 因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k‎=‎‎1‎‎2‎k（k+1），应停在第‎1‎‎2‎k（k+1）﹣7p格，‎ 这时P是整数，且使0‎≤‎‎1‎‎2‎k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，‎ ‎1‎‎2‎k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，‎ 若7＜k≤2020，‎ 设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，‎1‎‎2‎k（k+1）﹣7p＝7m‎+‎‎1‎‎2‎t（t+1），‎ 由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，‎ 故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．（3分）（2020•常德）分解因式：xy2﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．‎ ‎【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），‎ 故答案为：x（y+2）（y﹣2）‎ ‎10．（3分）（2020•常德）若代数式‎2‎‎2x-6‎在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x＞3　．‎ ‎【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，‎ 解得：x＞3，‎ 故答案为：x＞3．‎ ‎11．（3分）（2020•常德）计算：‎9‎‎2‎‎-‎1‎‎2‎+‎8‎=‎　3‎2‎　．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎3‎‎2‎‎2‎-‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎ ‎＝3‎2‎．‎ 第23页（共23页）‎ 故答案为：3‎2‎．‎ ‎12．（3分）（2020•常德）如图，若反比例函数y‎=‎kx（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝　﹣12　．‎ ‎【解答】解：∵AB⊥OB，‎ ‎∴S△AOB‎=‎|k|‎‎2‎=‎6，‎ ‎∴k＝±12，‎ ‎∵反比例函数的图象在二四象限，‎ ‎∴k＜0，‎ ‎∴k＝﹣12，‎ 故答案为﹣12．‎ ‎13．（3分）（2020•常德）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：‎ 阅读时间（x小时）‎ x≤3.5‎ ‎3.5＜x≤5‎ ‎5＜x≤6.5‎ x＞6.5‎ 人数 ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为　400人　．‎ ‎【解答】解：1200‎×‎6+4‎‎12+8+6+4‎=‎400（人），‎ 答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．‎ ‎14．（3分）（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　4　次．‎ ‎【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：‎ x+y=10‎‎15-1×10+5y=35‎‎，‎ 第23页（共23页）‎ 整理得：x+y=10‎‎5y=30‎，‎ 解得：x=4‎y=6‎．‎ 故答案为：4．‎ ‎15．（3分）（2020•常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为　12　．‎ ‎【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：‎ DG＝DA＝DC＝x，‎ ‎∵GF＝4，EG＝6，‎ ‎∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，‎ ‎∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣4，EF＝6+4＝10，如图1所示：‎ 在Rt△BEF中，由勾股定理得：‎ BE2+BF2＝EF2，‎ ‎∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，‎ ‎∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，‎ ‎∴x2﹣10x﹣24＝0，‎ ‎∴（x+2）（x﹣12）＝0，‎ ‎∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．‎ ‎∴DG＝12．‎ 故答案为：12．‎ 第23页（共23页）‎ ‎16．（3分）（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：‎ x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．‎ 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，‎ 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．‎ 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　x＝2或x＝﹣1‎+‎‎2‎或x＝﹣1‎-‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，‎ ‎∴x3﹣4x﹣x+2＝0，‎ ‎∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，‎ ‎∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，‎ 则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，‎ ‎∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，‎ 解得x＝2或x＝﹣1‎±‎‎2‎，‎ 故答案为：x＝2或x＝﹣1‎+‎‎2‎或x＝﹣1‎-‎‎2‎．‎ 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）‎ ‎17．（5分）（2020•常德）计算：20+（‎1‎‎3‎）﹣1•‎4‎‎-‎4tan45°．‎ ‎【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1‎ ‎＝1+6﹣4‎ ‎＝3．‎ ‎18．（5分）（2020•常德）解不等式组‎2x-1＜x+4①‎‎2‎‎3‎x-‎3x+1‎‎2‎≤‎1‎‎3‎②‎．‎ ‎【解答】解：‎2x-1＜x+4①‎‎2‎‎3‎x-‎3x+1‎‎2‎≤‎1‎‎3‎②‎，‎ 由①得：x＜5，‎ 由②得：x≥﹣1，‎ 不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．‎ 四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）‎ 第23页（共23页）‎ ‎19．（6分）（2020•常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1‎-‎‎7x-9‎x）‎÷‎x‎2‎‎-9‎x．‎ ‎【解答】解：（x+1‎-‎‎7x-9‎x）‎‎÷‎x‎2‎‎-9‎x ‎=x(x+1)-(7x-9)‎x⋅‎x‎(x+3)(x-3)‎‎ ‎ ‎=‎x‎2‎‎+x-7x+9‎‎(x+3)(x-3)‎‎ ‎ ‎=‎‎(x-3‎‎)‎‎2‎‎(x+3)(x-3)‎‎ ‎ ‎=‎x-3‎x+3‎‎，‎ 当x＝2时，原式‎=‎2-3‎‎2+3‎=-‎‎1‎‎5‎．‎ ‎20．（6分）（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？‎ ‎【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，‎ 由题意得：‎600‎x‎-‎600‎‎15x=‎140，‎ 解得：x＝4，‎ 经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，‎ ‎15×4＝60，‎ 答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．‎ 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）‎ ‎21．（7分）（2020•常德）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y‎=‎mx（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得 ‎3k+b=18‎‎-2k+b=8‎‎，‎ 第23页（共23页）‎ 解得k=2，‎b=12‎，‎ ‎∴一次函数的解析式为y＝2x+12；‎ ‎（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y‎=‎mx（m≠0）的图象只有一个交点，‎ ‎∴y=2x+12‎y=‎mx只有一组解，‎ 即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，‎ ‎∴m＝﹣18．‎ 把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，‎ 把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，‎ 即所求的交点坐标为（﹣3，6）．‎ ‎22．（7分）（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）‎ ‎（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，‎2‎‎≈‎1.41）‎ ‎【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，‎ 在Rt△ACF中，‎ ‎∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°‎=‎CFAC，‎ ‎∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，‎ 在Rt△BCF中，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵∠ABC＝45°，‎ ‎∴CF＝BF，‎ ‎∴BC‎=‎‎2‎CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，‎ 答：所求BC的长度约为2.6米．‎ 方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，‎ 在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，‎ ‎∴cosC＝cos70°‎=‎CEAC，‎ 即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，‎ sinC＝sin70°‎=‎AEAC，‎ 即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，‎ 又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，‎ ‎∴AE＝BE，‎ ‎∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，‎ 答：所求BC的长度约为2.6米．‎ 六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎23．（8分）（2020•常德）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．‎ ‎（1）轻症患者的人数是多少？‎ 第23页（共23页）‎ ‎（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？‎ ‎（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？‎ ‎（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．‎ ‎【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；‎ ‎（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；‎ ‎（3）所有患者的平均治疗费用‎=‎1.5×160+3×(200×15%)+100‎‎200‎=‎2.15（万元）；‎ ‎（4）列表得：‎ A B C D E A ‎（B，A）‎ ‎（C，A）‎ ‎（D，A）‎ ‎（E，A）‎ B ‎（A，B）‎ ‎（C，B）‎ ‎（D，B）‎ ‎（E，B）‎ C ‎（A，C）‎ ‎（B，C）‎ ‎（D，C）‎ ‎（E，C）‎ D ‎（A，D）‎ ‎（B，D）‎ ‎（C，D）‎ ‎（E，D）‎ E ‎（A，E）‎ ‎（B，E）‎ ‎（C，E）‎ ‎（D，E）‎ 由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D患者概率的有2种情况，‎ ‎∴P（恰好选中B、D）‎=‎2‎‎20‎=‎‎1‎‎10‎．‎ ‎24．（8分）（2020•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．‎ ‎（1）求证：EC是⊙O的切线；‎ 第23页（共23页）‎ ‎（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，‎ ‎∵OC＝OB，‎ ‎∴∠OBC＝∠OCB，‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠OBC+∠DFB＝90°，‎ ‎∵EF＝EC，‎ ‎∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，‎ ‎∴∠OCB+∠ECF＝90°，‎ ‎∴OC⊥CE，‎ ‎∴EC是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵OB＝5，‎ ‎∴AB＝10，‎ ‎∴AC‎=AB‎2‎-BC‎2‎=‎100-64‎=‎6，‎ ‎∵cos∠ABC‎=BDBF=‎BCAB，‎ ‎∴‎8‎‎10‎‎=‎‎4‎BF，‎ ‎∴BF＝5，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴CF＝BC﹣BF＝3，‎ ‎∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，‎ ‎∴∠BFD＝∠A，‎ ‎∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，‎ ‎∴△OAC∽△ECF，‎ ‎∴ECOA‎=‎CFAC，‎ ‎∴EC‎=OA⋅CFAC=‎5×3‎‎6‎=‎‎5‎‎2‎．‎ 七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎25．（10分）（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，‎9‎‎4‎）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知直线l过点A，M（‎3‎‎2‎，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；‎ ‎（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（﹣3，‎9‎‎4‎）代入y＝ax2，‎ 得到‎9‎‎4‎‎=‎9a，‎ ‎∴a‎=‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y‎=‎‎1‎‎4‎x2．‎ 第23页（共23页）‎ ‎（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有‎9‎‎4‎‎=-3k+b‎0=‎3‎‎2‎k+b，‎ 解得k=-‎‎1‎‎2‎b=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴直线l的解析式为y‎=-‎‎1‎‎2‎x‎+‎‎3‎‎4‎，‎ 令x＝0，得到y‎=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴C（0，‎3‎‎4‎），‎ 由y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎y=-‎1‎‎2‎x+‎‎3‎‎4‎，解得x=1‎y=‎‎1‎‎4‎或x=-3‎y=‎‎9‎‎4‎，‎ ‎∴B（1，‎1‎‎4‎），‎ 如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，‎ ‎∴BMMC‎=MB‎1‎MO=‎3‎‎2‎‎-1‎‎3‎‎2‎=‎‎1‎‎3‎，MCMA‎=MOMA‎1‎=‎3‎‎2‎‎3‎‎2‎‎-(-3)‎=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴BMMC‎=‎MCMA，‎ 即MC2＝MA•MB．‎ ‎（3）如图2中，设P（t，‎1‎‎4‎t2）‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，‎ ‎∴PD∥OC，PD＝OC，‎ ‎∴D（t，‎-‎‎1‎‎2‎t‎+‎‎3‎‎4‎），‎ ‎∴|‎1‎‎4‎t2﹣（‎-‎‎1‎‎2‎t‎+‎‎3‎‎4‎）|‎=‎‎3‎‎4‎，‎ 整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，‎ 解得t＝﹣1‎-‎‎7‎或﹣1‎+‎‎7‎或﹣2或0（舍弃），‎ ‎∴P（﹣1‎-‎‎7‎，2‎+‎‎7‎‎2‎）或（﹣1‎+‎‎7‎，2‎-‎‎7‎‎2‎）或（﹣2，1）．‎ ‎26．（10分）（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．‎ ‎（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：‎ ‎①EB＝EP；‎ ‎②∠EFP＝30°；‎ ‎（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．‎ ‎【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，‎ ‎∴∠A＝90°﹣30°＝60°，‎ 同理∠EDF＝60°，‎ ‎∴∠A＝∠EDF＝60°，‎ ‎∴AC∥DE，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴∠DMB＝∠ACB＝90°，‎ ‎∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，‎ ‎∴BMBC‎=BDAB=‎‎1‎‎2‎，‎ 即M是BC的中点，‎ ‎∵EP＝CE，即E是PC的中点，‎ ‎∴ED∥BP，‎ ‎∴∠CBP＝∠DMB＝90°，‎ ‎∴△CBP是直角三角形，‎ ‎∴BE‎=‎‎1‎‎2‎PC＝EP；‎ ‎②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，‎ ‎∴BC∥EF，‎ 由①知：∠CBP＝90°，‎ ‎∴BP⊥EF，‎ ‎∵EB＝EP，‎ ‎∴EF是线段BP的垂直平分线，‎ ‎∴PF＝BF，‎ ‎∴∠PFE＝∠BFE＝30°；‎ ‎（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，‎ ‎∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，‎ ‎∴△QEP≌△DEC（SAS），‎ 则PQ＝DC＝DB，‎ ‎∵QE＝DE，∠DEF＝90°‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴EF是DQ的垂直平分线，‎ ‎∴QF＝DF，‎ ‎∵CD＝AD，‎ ‎∴∠CDA＝∠A＝60°，‎ ‎∴∠CDB＝120°，‎ ‎∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，‎ ‎∴△FQP≌△FDB（SAS），‎ ‎∴∠QFP＝∠BFD，‎ ‎∵EF是DQ的垂直平分线，‎ ‎∴∠QFE＝∠EFD＝30°，‎ ‎∴∠QFP+∠EFP＝30°，‎ ‎∴∠BFD+∠EFP＝30°．‎ 第23页（共23页）‎