2015中考几何部分压轴题 28页

‎ 几何部分压轴题 ‎3．（2013•江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现： 在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 ①②③④‎ ‎（填序号即可） ①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． ●数学思考： 在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探究： 在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： 等腰直角三角形 ‎． ‎ 思路分析：操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论； 数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论； 类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；‎ 解：●操作发现： ∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形， ∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° ∵在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（AAS）， ∴BD=CE，AD=AE， ∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G， ‎ ‎∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC． ∵AB=AC， ∴AF=AG=AB，故①正确； ∵M是BC的中点， ∴BM=CM． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE， 即∠DBM=∠ECM． ∵在△DBM和△ECM中 ， ∴△DBM≌△ECM（SAS）， ∴MD=ME．故②正确； 如图，连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，‎ ‎ ∴整个图形是轴对称图形，故③正确． ∵AB=AC，BM=CM， ∴AM⊥BC， ∴∠AMB=∠AMC=90°， ∵∠ADM=90°， ∴四边形ADBM四点共圆， ∴∠AMD=∠ABD=45°． ∵AM是对称轴， ∴∠AME=∠AMD=45°， ∴∠DME=90°， ∴MD⊥ME，故④正确， 故答案为：①②③④ ●数学思考： MD=ME，MD⊥ME． 理由：如图，作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG， ‎ ‎∴AF=AB，AG=AC． ∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形， ∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC， ∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG． ∵M是BC的中点， ∴MF∥AC，MG∥AB， ∴四边形AFMG是平行四边形， ∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM． ∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE， ∴∠DFM=∠MGE． ∵在△DFM和△MGE中， ， ∴△DFM≌△MGE（SAS）， ∴DM=ME，∠FDM=GME． ∵MG∥AB， ∴∠GMH=∠BHM． ∵∠BHM=90°+∠FDM， ∴∠BHM=90°+∠GME， ∴∠BHM=90°+∠GME， ∵∠BHM=∠DME+∠GME， ∴∠DME+∠GME=90°+∠GME， 即∠DME=90°， ∴MD⊥ME． ∴DM=ME，MD⊥ME； ●类比探究： ∵如图3，点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，‎ ‎ ∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB， ∴四边形MFAG是平行四边形， ∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM ‎ ‎∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形， ∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90° ∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE， 即∠DFM=∠MGE． ∵在△DFM和△MGE中 ， ∴△DFM≌△MGE（SAS）， ∴MD=ME，∠MDF=∠EMG． ∵MG∥AB， ∴∠MHD=∠BFD=90°， ∴∠HMD+∠MDF=90°， ∴∠HMD+∠EMG=90°， 即∠DME=90°， ∴△DME为等腰直角三角形．‎ ‎8．（2013•盐城）阅读材料 如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD． 解决问题 （1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论； （2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系； （3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来） ‎ ‎8．解：（1）猜想：BF=CD．理由如下： 如答图②所示，连接OC、OD． ‎ ‎ ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点， ∴OB=OC，∠BOC=90°． ∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点， ∴OF=OD，∠DOF=90°． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． ∵在△BOF与△COD中， ， ∴△BOF≌△COD（SAS）， ∴BF=CD． （2）答：（1）中的结论不成立． 如答图③所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点， ∴=tan30°=，∠BOC=90°． ∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点， ∴=tan30°=，∠DOF=90°． ∴=． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠‎ COD． 在△BOF与△COD中， ∵=，∠BOF=∠COD， ∴△BOF∽△COD， ∴． （3）如答图④所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点， ∴=tan，∠BOC=90°． ∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点， ∴=tan，∠DOF=90°． ∴=tan． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． 在△BOF与△COD中， ∵=tan，∠BOF=∠COD， ∴△BOF∽△COD， ∴．‎ ‎10．（2013•衢州）【提出问题】 （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】 （2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． ‎ ‎10．（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （3）解：∠ABC=∠ACN． 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ‎ ‎∴， 又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN．‎ 例5 （2013•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S． （1）点A的坐标为 （-4，0）‎ ‎，直线l的解析式为 y=x+4‎ ‎； （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围； （3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值； （4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．‎ 思路分析：（1）利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB=特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式； （2）解答本问，需要弄清动点的运动过程： ①当0＜t≤1时，如答图1所示； ②当1＜t≤2时，如答图2所示； ③当2＜t＜时，如答图3所示． （3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值； （4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．‎ 解：（1）∵C（7，4），AB∥CD， ∴D（0，4）． ‎ ‎∵sin∠DAB=， ∴∠DAB=45°， ∴OA=OD=4， ∴A（-4，0）． 设直线l的解析式为：y=kx+b，则有 ， 解得：k=1，b=4， ∴y=x+4． ∴点A坐标为（-4，0），直线l的解析式为：y=x+4． （2）在点P、Q运动的过程中： ①当0＜t≤1时，如答图1所示： 过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5． 过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t． ∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t， S=PM•PE=×2t×（14-5t）=-5t2+14t； ②当1＜t≤2时，如答图2所示： ‎ ‎ 过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E， 则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t， S=PM•PE=×2t×（16-7t）=-7t2+16t； ③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7， 即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=． 当2＜t＜时，如答图3所示： MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t， S=PM•MQ=×4×（16-7t）=-14t+32． （3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-）2+， ∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=， ∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大， ∴当t=1时，S有最大值，最大值为9； ②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-）2+， ∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=， ∴当t=时，S有最大值，最大值为； ③当2＜t＜时，S=-14t+32 ∵k=-14＜0， ∴S随t的增大而减小． 又∵当t=2时，S=4； 当t=时，S=0， ∴0＜S＜4． 综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为． （4）△QMN为等腰三角形，有两种情形： ‎ ‎①如答图4所示，点M在线段CD上， MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4， 由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=； ②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D， 此时△QMN为等腰三角形，t=． 故当t=或t=时，△QMN为等腰三角形．‎ ‎8．（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°． （1）求△AED的周长； （2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由． ‎ ‎8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=6． 在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°， ∴AE=AD•cos30°=3，DE=AD•sin30°=3， ∴△AED的周长为：6+3+3=9+3． （2）在△AED向右平移的过程中： （I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK． ‎ ‎ ∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=t， ∴S=S△D0NK=ND0•NK=t•t=t2； （II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN． ∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t， ∴A0N=A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=（6-t）． ∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=×3×3-×（6-t）×（6-t）=-t2+2t-； （III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN． ∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C， ∴A0N=A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=（6-t）； 易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6， S=S梯形BND0I-S△BKJ= [t+（2t-6）]• （6-t）-•（12-2t）•（12-2t）=-t2+20t-42‎ ‎． 综上所述，S与t之间的函数关系式为： S=． （3）存在α，使△BPQ为等腰三角形． 理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC， 故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形． （I）当QB=QP时（如答图4）， 则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°， 即∠BCB1=30°， ∴α=30°； （II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C， 若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5）， ∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°， 即∠BCB1=75°， ∴α=75°．‎ ‎9．（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎9．解：如图，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．‎ ‎ ∴根据勾股定理，得=5cm． （1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时，，即， 解得t=； ②当△APM∽△ABC时，，即， 解得t=0（不合题意，舍去）； 综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似； （2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值． 如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴，即， ∴PH=t， ∴S=S△ABC-S△BPH， =×3×4-×（3-t）•t， =（t-）2+（0＜t＜2.5）． ‎ ‎∵＞0， ∴S有最小值． 当t=时，S最小值=． 答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．‎ ‎2.已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；‎ ‎(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；‎ ‎(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；‎ ‎(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.‎ y B C y T A C B O x O T A x ‎ 3.如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于 ‎，当点与点重合时，点停止运动．设，．‎ ‎（1）求点到的距离的长；‎ ‎（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．‎ A B C D E R P H Q ‎6.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎7.)如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： ‎ ‎（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；‎ ‎②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．‎ ‎（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．‎ ‎（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．‎ ‎9.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.‎ ‎（1）求证：△BDE≌△BCF； ‎ ‎（2）判断△BEF的形状，并说明理由；‎ ‎（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.‎ C D A B E F N M ‎13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．‎ ‎（1）求梯形ABCD的面积； ‎ ‎（2）求四边形MEFN面积的最大值． ‎ ‎（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，‎ 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由． ‎ ‎16.将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．‎ ‎（1）用含的代数式表示；‎ ‎（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；‎ （1） 连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与 能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．‎ 图1‎ O P A x B D C Q y 图2‎ O P A x B C Q y E ‎24.如图①，四边形和都是正方形，它们的边长分别为（），且点在上（以下问题的结果均可用的代数式表示）．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）把正方形绕点按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的；‎ ‎（3）把正方形绕点旋转一周，在旋转的过程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．‎ D C B A E F G G F E A B C D ‎①‎ ‎②‎ ‎.‎ ‎25.已知，，（如图13）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．‎ ‎（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；‎ ‎（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．‎ B A D M E C 图13‎ B A D C 备用图 ‎27.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BC？‎ ‎（2）设△AQP的面积为y（），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．‎ 例2　[2012·绥化] 已知，点E是矩形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P为EC上的一动点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.‎ ‎(1)如图Z2－2(甲)，当点P为线段EC中点时，易证：PR＋PQ＝；‎ ‎(2)如图(乙)，当点P为线段EC上任意一点(不与点E、点C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎(3)如图(丙)，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.‎ 解：(2)图乙中结论PR＋PQ＝仍成立．‎ 证明：如图1连接BP，过C点作CK⊥BD于点K，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD＝5.‎ ‎∵S△BCD＝BC·CD＝BD·CK，∴3×4＝5CK，∴CK＝.‎ 方法一：∵S△BCE＝S△BEP＋S△BCP，∴BE·CK＝PR·BE＋PQ·BC，‎ 又∵BE＝BC，∴CK＝PR＋PQ，‎ ‎∴CK＝PR＋PQ，即＝PR＋PQ.‎ 方法二：如图2，过点P作PM⊥CK于M，‎ ‎∴四边形PRKM为矩形，∴DK∥PM，PM∥RK，‎ ‎∴∠BEC＝∠MPC.‎ 又∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠ECB＝∠MPC.‎ 又∵∠PMC＝∠CQP＝90°，PC＝PC，‎ ‎∴△PMC≌△CQP，‎ ‎∴MC＝PQ，‎ ‎∴CK＝KM＋MC＝PR＋PQ＝.‎ ‎(3)PR－PQ＝.‎ ‎ ‎ 压轴题答案 ‎2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，‎ ‎ ∴， ∴‎ ‎ 当点A´在线段AB上时，∵，TA=TA´，‎ ‎ ∴△A´TA是等边三角形，且，‎ ‎ ∴，，‎ A´‎ y E ‎ ∴，‎ x O C T P B A ‎ 当A´与B重合时，AT=AB=，‎ ‎ 所以此时.‎ ‎ (2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，‎ ‎ 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，‎ A´‎ y x ‎ 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)‎ ‎ 又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)‎ P B E ‎ 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，.‎ F C ‎ (3)S存在最大值 A T O ‎ 当时，，‎ ‎ 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，‎ ‎∴当t=6时，S的值最大是.‎ 当时，由图，重叠部分的面积 ‎∵△A´EB的高是，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 当t=2时，S的值最大是；‎ 当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，‎ ‎∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，‎ ‎∴‎ 综上所述，S的最大值是，此时t的值是.‎ ‎3. 解：（1），，，．‎ 点为中点，．‎ ‎，．，‎ ‎，．‎ ‎（2），．‎ A B C D E R P H Q M ‎2‎ ‎1‎ ‎，，，，‎ 即关于的函数关系式为：．‎ ‎（3）存在，分三种情况：‎ A B C D E R P H Q ‎①当时，过点作于，则．‎ ‎，，．‎ ‎，，‎ A B C D E R P H Q ‎，．‎ ‎②当时，，．‎ ‎③当时，则为中垂线上的点，‎ 于是点为的中点，．‎ ‎，，．‎ 综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．‎ ‎6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=，∴B(,2)‎ ‎∵A(0,4),设AB的解析式为,所以解得,直线AB的解析式为 ‎（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,‎ ‎∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=‎ 如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°‎ ‎∴GD=BD=,DH=GH+GD=+=,‎ ‎∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG= ∴D(,)‎ ‎(3)设OP=x,则由（2）可得D()若ΔOPD的面积为：‎ 解得：所以P(,0)‎ ‎7. 解: ‎ ‎(1)①‎ ‎②仍然成立 ‎ 在图（2）中证明如下 ‎∵四边形、四边形都是正方形 ‎∴ ，， ‎ ‎∴ ∴ （SAS）‎ ‎∴ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ ‎ ‎（2）成立，不成立 ‎ 简要说明如下 ‎∵四边形、四边形都是矩形，‎ 且，，，(，)‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴‎ 又∵ ‎ ‎∴ ∴∴ ‎ ‎（3）∵ ∴‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴ ∴ ‎ ‎9.‎ ‎13. 解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ‎ ‎∵ AB∥CD， ∴ DG＝CH，DG∥CH． ‎ ‎∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1． ‎ C D A B E F N M G H ‎∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，‎ ‎∴ △AGD≌△BHC（HL）． ‎ ‎∴ AG＝BH＝＝3． ………2分 ‎ ‎∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， ‎ ‎∴ DG＝4． ‎ ‎∴ ． ………………………………………………3分 C D A B E F N M G H ‎（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， ‎ ‎∴ ME＝NF，ME∥NF． ‎ ‎∴ 四边形MEFN为矩形． ‎ ‎∵ AB∥CD，AD＝BC， ‎ ‎∴ ∠A＝∠B． ‎ ‎∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， ‎ ‎∴ △MEA≌△NFB（AAS）．‎ ‎∴ AE＝BF． ‎ 设AE＝x，则EF＝7－2x． ‎ ‎∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， ∴ △MEA∽△DGA．‎ ‎∴ ．∴ ME＝． ‎ ‎∴ ． ‎ 当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．‎ ‎（3）能． ‎ 由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝． ‎ 若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF． ‎ ‎ 即 7－2x．解，得 ． ∴ EF＝＜4． ‎ ‎∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为．‎ ‎16.‎ 解：（1），．‎ 图1‎ O P A x B D C Q y 图2‎ O P A x B C Q y 图3‎ O F A x B C y E Q P ‎（2）当时，过点作，交于，如图1，‎ 则，，，．‎ ‎（3）①能与平行．‎ 若，如图2，则，即，，而，‎ ‎．‎ ‎②不能与垂直．‎ 若，延长交于，如图3，则．‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，，‎ ‎， ，而， 不存在．‎ ‎24. 解：（1）∵点在上，‎ ‎∴， ∴， ‎ ‎∴.‎ ‎（2）连结， 由题意易知， ∴.‎ ‎（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆.‎ 第一种情况：当b>2a时，存在最大值及最小值；‎ 因为的边，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，取得最大、最小值.‎ 如图②所示时， ‎ 的最大值=‎ 的最小值=‎ 第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值；‎ 的最大值=.（如果答案为4a2或b2也可）‎ F1‎ O D C A B G F E F2‎ ‎25. 解：（1）取中点，联结，‎ 为的中点，，． （1分）‎ 又，． （1分）‎ ‎，得； （2分）（1分）‎ ‎（2）由已知得． （1分）‎ 以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，‎ ‎，即． （2分）‎ 解得，即线段的长为； （1分）‎ ‎（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，‎ 又易证得． （1分）‎ 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．‎ ‎①当时，，．．‎ ‎，易得．得； （2分）‎ ‎②当时，，．‎ ‎．又，．‎ ‎，即，得．‎ 解得，（舍去）．即线段的长为2． （2分）‎ 综上所述，所求线段的长为8或2．‎ ‎27. 解：（1）由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则CQ＝(4－2t)cm，‎ ‎∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm ‎∴AP＝（5－t）cm，‎ ‎∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，‎ ‎∴AP∶AB＝AQ∶AC，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝‎ ‎∴当t为秒时，PQ∥BC ‎（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC ‎∴AQ∶QD＝AB∶BC ‎∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝‎ ‎∴△APQ的面积：×AP×QD＝（5－t）×‎ ‎∴y与t之间的函数关系式为：y＝‎ ‎ 当面积被平分时有：＝××3×4，解得：t＝‎ ‎ 当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1‎ ‎∴不存在这样t的值 ‎（4）过点P作PE⊥BC于E ‎ 易证：△PAE∽△ABC，当PE＝QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形 ‎∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝‎ ‎∵QC＝4－2t，∴2×＝4－2t,解得：t＝‎ ‎∴当t＝时，四边形PQP′C为菱形此时，PE＝，BE＝，∴CE＝‎ 在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝＝＝∴此菱形的边长为cm ‎