2014四川省成都市中考数学试卷 18页

‎2014年四川省成都市中考数学试卷 ‎（满分150分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.（2014四川省成都市，1，3分）在-2，-1、0、2这四个数中，最大的数是（ ）‎ ‎(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2‎ ‎【答案】D ‎2. （2014四川省成都市，2，3分）下列几何体的主视图是三角形的是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎3. （2014四川省成都市，3，3分）正在建设的成都第二绕城高速全长超过220公里，串起我市二、三圈层以及周边的广汉、简阳等地，总投资达290亿元，用科学计数法表示290亿元应为（ ）‎ ‎（A）290× （B）290× ‎ ‎（C）2.90× （D）2.90× ‎ ‎【答案】C ‎4. （2014四川省成都市，4，3分）下列计算正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎5. （2014四川省成都市，5，3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎6. （2014四川省成都市，6，3分）函数中自变量的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎7. （2014四川省成都市，7，3分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（ ）‎ ‎（A）60° ‎ ‎（B）50° ‎ ‎（C）40° ‎ ‎（D）30°‎ ‎【答案】A ‎8. jscm（2014四川省成都市，8，3分）近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如下：‎ 成绩（分）‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 人 数 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎5‎ 则该办学生成绩的众数和中位数分别是（ ）‎ ‎（A）70分，80分 （B）80分，80分 ‎ ‎（C）90分，80分 （D）80分，90分 ‎【答案】B ‎9. jscm（2014四川省成都市，9，3分）将二次函数化为的形式，结果为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】D ‎10. jscm（2014四川省成都市，10，3分）在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=‎6cm，则扇形AOB的面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）‎ ‎11.（2014四川省成都市，11，4分）计算：_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎12. （2014四川省成都市，12，4分）如图，为估计池塘两岸边A,B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别去OA、OB的中点M，N，测的MN=‎32 ‎m，则A，B两点间的距离是_____________m.‎ ‎【答案】64‎ ‎13. （2014四川省成都市，13，4分）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过，两点，若，则________.（填”>”，”<”或”=”）‎ ‎【答案】＜‎ ‎14. （2014四川省成都市，14，4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD，若∠=25°，则∠C =__________度.‎ ‎ ‎ ‎【答案】40‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.（2014四川省成都市，15，6分）（1）计算 .‎ ‎【答案】解：原式＝3-4×+1-4‎ ‎＝3－2＋1－4‎ ‎＝－2‎ ‎15.（2014四川省成都市，15，6分）（2）解不等式组 ‎【答案】解：由①得x＞2，由②得x＜3‎ 所以，原不等式的解集为2＜x＜3‎ ‎16. jscm（2014四川省成都市，16，6分）（本小题满分6分）‎ 如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=‎20m，求树的高度AB.‎ ‎（参考数据：，，）‎ ‎【答案】解：由题意，知∠B=90°‎ ‎ ∴=tanC ‎ 则AB=BC·tanC ‎ ∵BC=20m，∠C=37°，‎ ‎ ∴AB=20×tan37°=20×0.75=15（m）‎ ‎ 答：树高AB大约为15m.‎ ‎17. （2014四川省成都市，17，8分）先化简，再求值：，其中，.‎ ‎【答案】解：原式=‎ ‎ =‎ ‎ =a+b ‎ 当，时，原式==2‎ ‎18. （2014四川省成都市，18，8分）第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人.‎ ‎（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；‎ ‎（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加.试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）P（选到女生）==.‎ ‎ （2）用列表法表示如下：‎ ‎ 第二张 和 第一张 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎ 或画树状图如下：‎ ‎ ‎ 开始 ‎ 2 3 4 5‎ ‎ 3 4 5 2 4 5 2 3 5 2 3 4‎ 和 5 6 7 5 7 8 6 7 9 7 8 9‎ 由表（或树状图）可知，共有12种等可能性的结果，其中和为偶数的有4种，和为奇数有8种，所以 ‎ P（甲参加）==，P（乙参加）==‎ ‎ ∴这个游戏不公平，乙参加的机会更大.‎ ‎19. （2014四川省成都市，19，10分）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点.‎ ‎（1）求一次函数的表达式；‎ ‎（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值.‎ ‎【答案】解：∵点A（-2，b）在反比例函数y= -的图像上，‎ ‎ ∴b= -=4，即点A的坐标为（-2.4）.‎ ‎ 将点A的坐标代入y=kx+5，得-2k+5=4，解得k=.‎ ‎ ∴一次函数的表达式是y=x+5.‎ ‎ （2）直线AB向下平移m个单位长度后表达式为y=x+5-m，‎ ‎ 联立 ‎ 消去y，整理得x²+2（5-m）x+16=0‎ ‎ ∵平移后的直线与反比例函数的图像有且只有一个公共点，‎ ‎ ∴=4（5-m）²-64=0.‎ ‎ 解得m=1或m=9.‎ ‎20. （2014四川省成都市，20，10分）如图，矩形中，，是边上一点， （为大于2的整数），连接，作的垂直平分线分别交、于点，，与的交点为，连接和.‎ ‎（1）试判断四边形的形状，并说明理由；‎ ‎（2）当（为常数），时，求的长；‎ ‎（3）记四边形的面积为，矩形的面积为，‎ 当时，求的值.（直接写出结果，不必写出解答过程）‎ ‎【答案】解：（1）四边形BFEG是菱形 ‎ 理由如下：‎ ‎ ∵FG垂直平分BE ‎ ∴BO=EO，∠BOG=∠EOF=90°‎ ‎ 在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠GBO=∠FEO.‎ ‎ ∴△BOG≌△EOF（ASA）.‎ ‎ ∴BG=EF.‎ ‎ ∴四边形BFEG是平行四边形.‎ ‎ 又∵FG⊥BE，‎ ‎ ∴平行四边形BFEG是菱形.‎ B卷（共50分）‎ 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）‎ ‎21. （2014四川省成都市，21，4分）在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图.根据图中数据。估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是_______.‎ ‎【答案】520‎ ‎22. jscm（2014四川省成都市，22，4分）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】k＞且k≠1‎ ‎23. （2014四川省成都市，23，4分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的三角形是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形所对应的S，N，L分别是_________.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=_________.（用数值作答）‎ ‎【答案】7,3,10,11‎ ‎24. （2014四川省成都市，24，4分）如图，在边长为2的菱形中，∠=60°，是边的中点，是边上一动点，将△沿所在的直线翻折得到△，连接,则长度的最小值是_______.‎ ‎【答案】解：-1‎ ‎25. （2014四川省成都市，25，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于，两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴于点，连接，.若△的面积是20，则点的坐标为___________.‎ ‎【答案】‎ 二、解答题（本小题共三个小题，共30分.）‎ ‎26. （2014四川省成都市，26，8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用‎28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设m.‎ ‎（1）若花园的面积为192, 求的值；‎ ‎（2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是‎15m和‎6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）由题意，得 ‎ x（28-x）=192‎ ‎ 解这个方程，得 ‎ ‎ ‎ （2）花园面积S=x（28-x）=-（x-14）²+196‎ ‎ 由题意，知解得6≤x≤13‎ ‎ 在6≤x≤13范围内，S随x的增大而增大.‎ ‎ ∴当x=13时，‎ ‎ =-（13-14）²+196=195(m²) ‎ ‎27. （2014四川省成都市，27，10分）如图，在⊙的内接△ABC中，∠ACB=90°‎ ‎，AC=2BC，过C作AB的垂线交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点，射线AP交于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.‎ ‎（1）求证：△PAC∽△PDF；‎ ‎（2）若AB=5，=，求PD的长；‎ ‎（3）在点P运动过程中，设，，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）‎ ‎【答案】解：（1）连接PB.‎ ‎ ∵∠ACB=90°，∴AB是O的直径.‎ ‎ ∴∠APB=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°.‎ ‎ ∵∠PBA=∠AFE ‎ ∵∠ABP=∠ACP，∴∠AFE=∠ACP ‎ 又∵∠PAC=∠PDC ‎ ∴△PAC∽△PDF ‎（2）在Rt△ABC中，AC=2BC，AB=5，由勾股定理，得AC=2，BC=‎ ‎ ∵=AB·CE=AC·BC，‎ ‎ ∴CE=2，可得AE=4，‎ ‎ 当时，有PA=PB，则△ABP为等腰直角三角形.‎ ‎ ∴∠PAB=45°，AP=AB=.‎ ‎ ∵EF⊥AB，∠PAB=45°‎ ‎ ∴EF=AE=4‎ ‎ 由垂径定理，得DE=CE=2，则DF=DE+EF=6‎ ‎ 由（1），知△PAC∽△PDF，得 ‎ 故PD=.‎ ‎（3）方法一：‎ ‎ 过点G作GH∥BP∠AP于点H，‎ ‎ 则GH⊥AP，∠AGP=∠ABP=∠AFD，=x ‎ ∵l⊥AB，∴，∴∠ABC=∠APD ‎ ∴=tan∠APD=tan∠ABC===x ‎ 即y与x之间的函数关系式为y=x.‎ ‎ 方法二：‎ ‎ 连接AD，BD则AD=AC，BD=BC，‎ ‎ ∵∠APG=∠DBG，∠AGP=∠DGB ‎ ∴△APG∽△DBG，则 ①‎ ‎ 同理，由△PBG∽△ADG，得 ②‎ ‎ 由①÷②，得·=，‎ ‎ 即=·=·=x ‎ ∴y=tan∠AFD=tan∠ABP==x，‎ ‎ 即y与x之间的函数关系式为y=x.‎ H ‎28. （2014四川省成都市，28，12分）（本小题满分12分） ‎ 如图，已知抛物线（为常数，且）与 轴从左至右依次交于A,B两点，与轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.‎ ‎（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值；‎ ‎（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？‎ ‎【答案】解：（1）由题意，‎ ‎ A（-2,0），B（4，0）‎ ‎ ∵直线y=-x+b经过点B（4,0），∴b=‎ ‎ ∵点D的横坐标为-5，且在直线y=-x+上，‎ ‎ ∴点D的坐标为（-5,3）.‎ ‎ D（-5,3）代入y=（x+2）（x-4），解得k=.‎ ‎ （2）方法一：‎ ‎ 易得C（0，-k），OA=2，OB=4，OC=k，‎ ‎ 由勾股定理，得AC=，BC=‎ ‎ 显然∠ABP为钝角，∠CAB与∠ABC是锐角，所以只有如下两种情况：‎ 1） 当△PAB∽△ABC时，由=，∠PAB=∠ABC.‎ 则PA===‎ 过点P作PH⊥x轴于H，则△PAH∽△CBO.‎ 有===，PH=.‎ 可得P点坐标为.‎ 代入y=（x+2）（x-4），得 ‎ ··.‎ ‎ 化简得-6=2，即k²=2，又∵k＞0，∴k=.‎ H P E F Q’‎ Q ‎ ii）当△APB∽△ABC时，有=，∠PAB=∠BAC ‎ 则AP===‎ ‎ 过P作PH⊥x轴于H，则△PAH∽△CAO.‎ ‎ 有===，得AH=，PH=，‎ ‎ 可得P点坐标为（，）代入y=（x+2）（x-4），得 ‎ =·（ -6）.‎ ‎ 化简得 -6=4，即k²=，又k＞0，∴k=.‎ ‎ 综上，k=或k=.‎ ‎ 方法二：‎ ‎ 易求C（0，-k），AB=6，AC=，BC=.‎ ‎ 作PH⊥x轴于点H，显然∠ABP为钝角，而∠CAB和∠CBA都是钝角，‎ ‎ 所以只能分△PAB∽△ABC和△APB∽△ABC两种情况：‎ i）由△PAB∽△ABC，有=,∠PAB=∠ABC，∴AP∥BC，‎ ‎ 易求直线BCA的表达式为y=x-k，从而易求得直线APA的表达式为y=x-.‎ ‎ 联立可得P（6，、2k）‎ ‎ 由勾股定理，得AP=·2.‎ ‎ 由=得，AB²=BC×PA，∴6²=·2‎ ‎ 解得k=（舍去负值）‎ ‎ i i）由△APB∽△ABC，有=，∠PAB=∠BAC.‎ ‎ 作点C（0，-k）关于x轴的对称轴点C’（0，k），则求直线AP上，‎ ‎ 由A（﹣2, 0）和C（0，k），易求直线AP的表达式为y=x+k ‎ 联立 可求P（8, 5k）.‎ ‎ 由勾股定理，得AP==5‎ ‎ 由得，∴AB²=BC·PA，∴6²==5.‎ ‎ 解得k=（舍去负值）；‎ ‎ 综上，符合条件的k值有两个：=，=.‎ ‎ 方法三：‎ ‎ 易求C（0，-k），AB=6，AC=,BC=.‎ ‎ 作PH⊥x轴于点H，设OH=p，‎ ‎ 显然∠ABP为钝角，而∠CAB和∠CBA都是钝角，‎ ‎ 所以只能分△PAB∽△ABC和△ABC两种情况：‎ i）由△PAB∽△ABC，有=，∠PAB=∠ABC，∴△APH∽△BCO ‎∴==，∴=‎ ‎ ∴PH=，AP=，即P（p，）.‎ 把P（p，）代入y=（x+2）（x-4），得=（p+2）（p-4）‎ ‎ ∵k≠0，p≠-2，∴=（p-4），解得p=6，即p（6,2k）‎ ‎ ∴AP=‎ ‎ 解得k=±（舍去负值），即k=.‎ i i）由△APB∽△ABC，由=，∠PAB=∠BAC，∴△APH∽△ACO，‎ ‎ ∴，∴，即P（p，）.‎ ‎ 把P（p，）代入y=（x+2）（x-4），得=（p+2）（p-4）.‎ ‎ ∵k≠0，p≠-2，∴=（p-4），解得p=8，即p（8,5k）.‎ ‎ ∴AP===5，‎ ‎ 由=得，∴AB²=AC·AP，∴6²=，‎ ‎ 解得k=±（舍去负值）‎ ‎ k=；‎ ‎ 综上，符合条件的k值只有两个，=，=.‎ ‎ （3）方法一：‎ ‎ 过D作DG⊥y轴于G，过点A作AQ⊥DG于Q，过F作FQ’⊥DG于Q’‎ ‎ 设直线BD交y轴于E，则E（0，）.‎ ‎ 在Rt△BOE中，tan∠EBO=，则∠EBO=30° ‎ ‎ 由DG∥AB，得∠EDG=30°，∴DF=2FQ’‎ ‎ 则动点M在整个运动过程中所用时间为：‎ ‎ t===AF+FQ’（秒）‎ ‎ 根据“垂线段最短”知，AF+FQ≥AQ.‎ ‎ ∴当点P为AQ于BD的交点时，点M在整个运动过程中所用的时间最少.‎ ‎ 此时，由DG⊥y轴，AQ⊥DG，得=-2‎ ‎ 又点F在直线BD上，得=2.‎ ‎ 所以符合条件的点F的坐标是（-2，2）‎ ‎ 方法二：‎ ‎ 设F（m，-m）‎ ‎ 设直线BD交y轴于点E，则E（0，）‎ ‎ 在Rt△BOE中，tan∠EBO=，则∠EBO=30°‎ ‎ 则动点M在整个运动过程中所用时间为：‎ ‎ t===AF+-.‎ ‎ ∴t=+3--m ‎ 即t-m-=‎ ‎ 两边平方，整理得m²+m-（t²-）=0 ①‎ ‎ =+4（t²-）=≥0‎ ‎ 显然t为正数，∴y≥3‎ ‎ 当t=3时，由①，得 ‎ m²+4m+4=0，解得m=-2.‎ ‎ ∴符合条件的点F的坐标是（-2，2）.‎ ‎ 方法三：‎ ‎ 设F（m，-m），AF==‎ ‎ DF==（m+5）‎ ‎ 则动点M在整个运动过程中所用时间为：‎ t==+（m+5）‎ ‎ 即t-（m+5）=‎ ‎ 两边平方，整理得m²+（t-2）m-（t²--1）=0 ①‎ ‎ =+4（t²-）=≥0‎ ‎ 显然t为正数，∴y≥3‎ ‎ 当t=3时，由①，得 ‎ m²+4m+4=0，解得m=-2.‎ ‎ ∴符合条件的点F的坐标是（-2，2）.‎