2013年沈阳市中考数学试题及答案 14页

‎2013年沈阳中考数学试卷 考试时间：120分钟，试卷满分150分，‎ 参考公式：参考公式：抛物线的顶点坐标是．‎ 对称轴是直线，‎ 注意事项2‎ ‎1．答题前，考生须用0. ‎5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；‎ ‎2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；‎ ‎3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回；．‎ ‎4．本试题卷包括八道大题，25道小题，共6页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负．‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）‎ ‎1．2013年第一季度，沈阳市公共财政预算收入完成196亿元（数据来源：‎4月16日《沈阳日报》），讲196亿用科学记数法表示为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．右图是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ）‎ A．圆柱体 B．三棱锥 C．球体 D．圆锥体 ‎ ‎3．下面计算一定正确的是（ ）‎ A． 　B． ‎ C． D． ‎ ‎4．如果，那么m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．下列事件中，是不可能事件的是（ ）‎ A．买一张电影票，座位号是奇数 B．射击运动员射击一次，命中9环．‎ C．明天会下雨 D．度量三角形的内角和，结果是360°‎ ‎6． 计算 的结果是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎7、在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）‎ ‎8．如图，中，AE交BC于点D，，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE的长等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（每小题4分，共32分）‎ ‎9．分解因式: _________．‎ ‎10．一组数据2,4，x，-1的平均数为3，则x的值是 =_________．‎ ‎11．在平面直角坐标系中，点M（-3,2）关于原点的对称点的坐标是 _________.‎ ‎12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值方位是 _________．‎ ‎13.如果x=1时，代数式的值是5，那么x= -1时，代数式的值 _________．‎ ‎14.如图，点A、B、C、D都在⊙O上，=90°，AD=3，CD=2，则⊙O 的直径的长是_________．‎ ‎15.有一组等式： 请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为_________‎ ‎16．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是 _________‎ 三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分．共26分）‎ ‎17．计算： ‎ ‎18．一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝，并让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该食品进行评价， 图①和图②是该公司采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图。‎ 请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题；‎ （1） 本次调查的人数为___________人；‎ （2） 图①中，a=_________，C等级所占的圆心角的度数为__________度；‎ （3） 请直接在答题卡中不全条形统计图。‎ ‎19．如图，中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，,AD与BE交于点F，连接CE，‎ ‎（1）求证：BF=2AE ‎（2）若，求AD的长。‎ 四、（每小题10分，共20分）‎ ‎20．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有意个实数，分别为3，，。（卡片除了实数不同外，其余均相同）‎ ‎（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接 写出卡片上的实数是3的概率；‎ ‎（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请 你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率。‎ ‎21．身高‎1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离BC=‎5米，建筑物底部宽FC=‎7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的高度AB=‎1.4米，风筝线与水平线夹角为37°。‎ ‎（1）求风筝据地面的告诉GF；‎ ‎（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距离3米处固定摆放，通过计算说明；若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？‎ ‎（参考数据:sin37○≈0.60, cos37○≈0.80,tan37○≈0.75）‎ 五、（本趣1O分）‎ ‎22．如图，OC平分，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E。‎ ‎（1）求证：ON是⊙A的切线；‎ ‎（2）若=60°，求图中阴影部分的面积。（结果保留π）‎ 六、（本题12分）‎ ‎23．某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口，某日，从早上8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象。‎ （1） 图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为________，其中自变量x的取值范围是_________。‎ （2） 若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？‎ （3） 上午10点时，每天普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式。‎ 七、（本题l2分）‎ ‎24.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”‎ ‎ 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等，‎ ‎ 理解：如图①，在中，CD是AB边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且。‎ ‎ 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O，‎ （1） 求证: 和是“友好三角形”；‎ （2） 连接OD，若和是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积，‎ ‎ 探究：在中，，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，和是“友好三角形”，将沿CD所在直线翻折，得到与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积。‎ 八、（本题14分）‎ ‎25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C，‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且，求点D的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE ‎ ①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；‎ ‎②点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M与点B不重合，当，请直接写出线段BM的长 辽宁省沈阳市2013年中考数学试卷参考答案 一、 选择题 ‎1～8 CACBD BCB 二、 填空题 ‎9．　3（a+1）2　．‎ ‎10．　7　．‎ ‎11．　（3，﹣2）　．‎ ‎12． a＞或a＜0　．‎ ‎13．　3　．‎ ‎14．　　．‎ ‎15．　82+92+722=732　．‎ ‎16．　1，7　．‎ 三、解答题 ‎17. 解：原式=﹣6×+1+2﹣2=2‎ ‎18．解：（1）20÷10%=200人；‎ ‎（2）C的人数为：200﹣20﹣46﹣64=70，‎ 所占的百分比为：×100%=35%，‎ 所以，a=35，‎ 所占的圆心角的度数为：35%×360°=126°；‎ 故答案为：（1）200；（2）35，126．‎ ‎（3）补全统计图如图所示．‎ ‎19．‎ ‎（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∵BE⊥AC，AD⊥BC，‎ ‎∴∠CAD+∠ACD=90°，‎ ‎∠CBE+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠CAD=∠CBE，‎ 在△ADC和△BDF中，，‎ ‎∴△ADC≌△BDF（ASA），‎ ‎∴BF=AC，‎ ‎∵AB=BC，BE⊥AC，‎ ‎∴AC=2AF，‎ ‎∴BF=2AE；‎ ‎（2）解：∵△ADC≌△BDF，‎ ‎∴DF=CD=，‎ 在Rt△CDF中，CF===2，‎ ‎∵BE⊥AC，AE=EC，‎ ‎∴AF=CF=2，‎ ‎∴AD=AF+DF=2+．‎ 四、解答题 ‎20‎ 解：（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．‎ ‎∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是3的概率是：；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况，‎ ‎∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为：=．‎ ‎21．‎ 解：（1）过A作AP⊥GF于点P．‎ 则AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠GAP=37°，‎ 在直角△PAG中，tan∠PAG=，‎ ‎∴GP=AP•tan37°≈12×0.75=9（米），‎ ‎∴GF=9+1.4≈10.4（米）；‎ ‎（2）由题意可知MN=5，MF=3，‎ ‎∴在直角△MNF中，NF==4，‎ ‎∵10.4﹣5﹣1.65=3.75＜4，‎ ‎∴能触到挂在树上的风筝．‎ ‎　‎ 五、（本题10分）‎ ‎22．‎ ‎（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，‎ ‎∵⊙A与OM相切与点B，‎ ‎∴AB⊥OM，‎ ‎∵OC平分∠MON，‎ ‎∴AF=AB=2，‎ ‎∴ON是⊙A的切线；‎ ‎（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，‎ ‎∴∠OEB=30°，‎ ‎∴AF⊥ON，‎ ‎∴∠FAE=60°，‎ 在Rt△AEF中，tan∠FAE=，‎ ‎∴AF=AF•tan60°=2，‎ ‎∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF•EF﹣×π×AF2=2﹣π．‎ ‎　‎ 六、（本题12分）‎ ‎23‎ 解：（1）设函数的解析式为y=ax2，‎ 把点（1，60）代入解析式得：a=60，‎ 则函数解析式为：y=60x2（0≤x≤）；‎ ‎（2）设需要开放x个普通售票窗口，‎ 由题意得，80x+60×5≥1450，‎ 解得：x≥14，‎ ‎∵x为整数，‎ ‎∴x=15，‎ 即至少需要开放15个普通售票窗口；‎ ‎（3）设普通售票的函数解析式为y=kx，‎ 把点（1，80）代入得：k=80，‎ 则y=80x，‎ ‎∵10点是x=2，‎ ‎∴当x=2时，y=160，‎ 即上午10点普通窗口售票为160张，‎ 由（1）得，当x=时，y=135，‎ ‎∴图②中的一次函数过点（，135），（2，160），‎ 设一次函数的解析式为：y=mx+n，‎ 把点的坐标代入得：，‎ 解得：，‎ 则一次函数的解析式为y=50x+60．‎ ‎　‎ 七、（本题12分）‎ ‎24．‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∵AE=BF，‎ ‎∴四边形ABFE是平行四边形，‎ ‎∴OE=OB，‎ ‎∴△AOE和△AOB是友好三角形．‎ ‎（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，‎ ‎∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，‎ ‎∵△AOB与△AOE是友好三角形，‎ ‎∴S△AOB=S△AOE．‎ ‎∵△AOE≌△FOB，‎ ‎∴S△AOE=S△FOB，‎ ‎∴S△AOD=S△ABF，‎ ‎∴S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2××4×3=12．‎ 探究：‎ 解：分为两种情况：①如图1，‎ ‎∵S△ACD=S△BCD．‎ ‎∴AD=BD=AB，‎ ‎∵沿CD折叠A和A′重合，‎ ‎∴AD=A′D=AB=4=2，‎ ‎∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，‎ ‎∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，‎ ‎∴DO=OB，A′O=CO，‎ ‎∴四边形A′DCB是平行四边形，‎ ‎∴BC=A′D=2，‎ 过B作BM⊥AC于M，‎ ‎∵AB=4，∠BAC=30°，‎ ‎∴BM=AB=2=BC，‎ 即C和M重合，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 由勾股定理得：AC==2，‎ ‎∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；‎ ‎②如图2，‎ ‎∵S△ACD=S△BCD．‎ ‎∴AD=BD=AB，‎ ‎∵沿CD折叠A和A′重合，‎ ‎∴AD=A′D=AB=4=2，‎ ‎∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，‎ ‎∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，‎ ‎∴DO=OA′，BO=CO，‎ ‎∴四边形A′DCB是平行四边形，‎ ‎∴BD=A′C=2，‎ 过C作CQ⊥A′D于Q，‎ ‎∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，‎ ‎∴CQ=A′C=1，‎ ‎∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；‎ 即△ABC的面积是2或2．‎ 八、（本题14分）‎ ‎25．‎ 解：（1）将A（，0）、B（1，）代入抛物线解析式y=x2+bx+c，得：‎ ‎，‎ 解得：．‎ ‎∴y=x2x+．‎ ‎（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．‎ ‎∵B（1，），‎ 当y=时，=x2x+，‎ 解得：x=1或x=4，‎ ‎∴D（4，）．‎ ‎（3）①四边形OAEB是平行四边形．‎ 理由如下：抛物线的对称轴是x=，‎ ‎∴BE=﹣1=．‎ ‎∵A（，0），‎ ‎∴OA=BE=．‎ 又∵BE∥OA，‎ ‎∴四边形OAEB是平行四边形．‎ ‎②∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）．‎ 过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=．‎ 在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．‎ ‎∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，‎ ‎∴∠FBM=2∠BMF．‎ ‎（I）当点M位于点B右侧时．‎ 在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，‎ 在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG==．‎ ‎∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．‎ 又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，‎ ‎∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，‎ ‎∴△GFB∽△GMF，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴BM=；‎ ‎（II）当点M位于点B左侧时．‎ 设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，‎ ‎∴KF=OB=FB=，‎ ‎∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，‎ 又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，‎ ‎∴∠BMF=∠MFK，‎ ‎∴MK=KF=，‎ ‎∴BM=MK+BK=+1=．‎ 综上所述，线段BM的长为或．‎