中考数学圆综合题汇编 21页

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  • 2021-05-10 发布

中考数学圆综合题汇编

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‎25题汇编 ‎1. 如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,AD为弦,OC∥AD。‎ ‎(1)求证:DC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若OA=2,求的值。‎ ‎2. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC ‎(1)求证:直线AP是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AC=3,求PD的长。‎ ‎3. 如图,已知AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,点E是⊙O上一点,点D是AM上一点,连接DE并延长交BN于点C,连接OD、BE,且OD∥BE。‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AD=1,BC=4,求直径AB的长。‎ ‎4. 如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥AB交BC于点E,过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F,且∠ABF=∠ABC。‎ ‎(1)求证:AB=AC;‎ ‎(2)若EF=4,,求DE的长。‎ ‎5. 在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E。‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AE=1,,求AB的长。‎ ‎6. 如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD垂直于过点C的直线,垂足为D,且AC平分 ‎∠BAD。‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若,AD=4,求AB的长。‎ ‎7. 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E。‎ 求证:(1)AC平分∠DAB;‎ ‎(2)若∠B=60°,,求AE的长。‎ ‎8. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是⊙O的直径,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E。‎ ‎(1)求证:BE是⊙O的切线;‎ ‎(2)求DE的长。‎ ‎9. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CB=CA=6,半径为2的⊙F与射线BA相切于点G,且AG=4,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转135°后得到Rt△ADE,点B、C的对应点分别是点D、E。‎ ‎(1)求证:DE为⊙F的切线;‎ ‎(2)求出Rt△ADE的斜边AD被⊙F截得的弦PQ的长度。‎ ‎10. ⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点E在AB弧上,点D在AC弧上,且AE弧等于CD弧,连接CE交AB于点F,连接BD交CE于点H,交AC于点G,连接AD。‎ ‎(1)求证:AF=CG;‎ ‎(2)若,AC=8,求AD的长。‎ ‎11. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连接CD,且AE=DE,BC=CE。‎ ‎(1)求∠ACB的度数;‎ ‎(2)过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长。‎ ‎12. 如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上的一点,且PA=PD,⊙O为△APD的外接圆。‎ ‎(1)求证:AB为⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为,,求AC的长。‎ ‎13. 如图,AC弧等于BC弧,D、E分别是半径OA,OB的中点,CE的延长线交⊙O于点F。‎ ‎(1)求证:CD=CE;‎ ‎(2)若CD=2,CF=5,求半径OA的长。‎ ‎14. 如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O外,连接OC,OC⊥AB,弦BD交OC于点E,CD=CE。‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AB=13,BD=12,求DE的长。‎ ‎15. 如图,点A在射线ON上,半径为5的⊙A与射线OM相切于点B,交射线ON于点D ‎(),将射线OM沿着射线ON翻折,得射线。‎ ‎(1)求证:为⊙A的切线;‎ ‎(2)点C在射线OM上,连CD,交⊙A于点E,若,,求弦DE的长。‎ ‎16. 如图,∠ABC=30°,半径为的⊙O与直线AB相切于点E,BE=1,将∠ABC沿着直线BC翻折,得到∠DBC。‎ ‎(1)求证:⊙O与BD相切;‎ ‎(2)点F与点E关于O点对称,过点F作GF∥BC,交射线BD于点G,求线段GF的长。‎ ‎17. 如图,在△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,将△ABC沿AC翻折,点B与D重合,O是CD上一点,OC=3,以O为圆心,OC为半径作⊙O,交CD于另一点E。‎ ‎(1)求证:直线AD是⊙O的切线;‎ ‎(2)过点D作⊙O的另一条切线,切点为点M,连接MC并延长,交AB边于点N,求线段MN的长。‎ ‎18. 如图,在⊙O中,弦AB∥弦CD,且AB、CD位于圆心O的两侧,AB=8,CD=6,AB、CD之间的距离为7,连接OA、OC。‎ ‎(1)求⊙O的半径;‎ ‎(2)过点A作⊙O的切线,交DC的延长线于点E,求线段CE的长。‎ ‎19. 如图,AB为⊙O的直径,AC、BC为⊙O的弦,,,将△ABC沿AC折叠,得到△ADC,点E在AD边上,AE=1,连接CE。‎ ‎(1)求证:CE是⊙O的切线;‎ ‎(2)作射线EO,交射线CB于点F,求BF的长。‎ ‎20.△如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A,B两点,点D在⊙O上,BD=BA,∠DAC=2∠ABC,⊙O交BC于点E,AD交BC于点F。‎ ‎(1)求证:AC为⊙O的切线。‎ ‎(2)若AB=3,AC=,求BC长。‎ 答案:‎ ‎1.解:(1)连接OD ∵AB是⊙O的直径 ∴OA=OB=OD ∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°‎ ‎∵OC∥AD,∴∠A=∠COB,∠ODA=∠COD, ∵OA=OD,‎ ‎∴∠A=∠ODA ∴∠COD=∠COB ‎∵OC=OC,∴△COD≌△COB, ∴∠ODC=∠OBC=90°‎ ‎∴DC是⊙O的切线。‎ ‎(2)连接BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠OBC=90°,‎ ‎∵∠BOC=∠A,∴△BAD∽△COB ‎∴ ∴ ∴OA=2,∴BA=2OA=4,OB=2 ∴ ‎ ‎2.(1)连接AO,则∠AOC=2∠B= ∵ OA=OC ∴∠OAC=∠OCA=‎ 又∵ PA=AC,∴∠P=∠ACP=30° 又∵∠AOP= ‎ ‎∴ ∴OA⊥AP ∴AP是⊙O的切线。‎ ‎(2)连AD,∵CD为直径,∴∠DAC=90°,∴ ∴‎ 又∵∠PAD= ∴∠P=∠PAD, ∴‎ ‎3. ‎ ‎(1)证明:连接OE,在⊙O中,OA=OE=OB,∴∠OBE=∠OEB,∵OD∥BE,‎ ‎∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD 又∵OA=OE,OD=OD,∴△AOD≌△EOD,∴∠OAD=∠OED ‎∵AM是⊙O的切线,切点为A,∴BA⊥AM,∴∠OAD=∠OED=90°,∴OE⊥DE ‎∵OE是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线。‎ ‎(2)解:过点D作BC的垂线,垂足为H。 ∵BN切⊙O于点B,∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD ‎∴四边形ABHD是矩形,∴AD=BH=1, AB=DH ∴‎ ‎∵AD、CB、CD分别切⊙O于点A、B、E,∴AD=ED=1,BC=CE=4, ∴DC=DE+CE=1+4=5 ‎ 在Rt△DHC中,,∴‎ ‎4. (1)证明:连接BD,∵AD⊥AB,∴∠DAB=90°,∴BD为⊙O的直径,∵BF与⊙O切于点B,‎ ‎∴∠OBF=90°,∴∠OBA+∠BAF=90°,∵∠DAB=90°,∴∠D+∠DBA=90° ∴∠D=∠ABF ‎∵∠D=∠C,∠ABC=∠ABF,∴∠C=∠ABC ∴AB=AC ‎(2)∵AD⊥AB,∴∠AEB+∠ABE=∠ABF+∠F,∵∠ABF=∠ABC,∴∠BEF=∠F,∴BE=BF ‎∴AE=EF,∵EF=4,∴AF=2,∵∠BAF=90°,∴ AB=3 ∵∠DAB=∠BAF ‎∠ABF=∠D,∴△ABF∽△ADB ∴ ∴‎ ‎∵AE=2,∴‎ ‎5. (1)证明:连接OD、AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,又∵AB=AC,∴BD=DC 又∵OB=OA,∴OD∥AC ∴∠ODE=∠CED=90°,∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线。‎ ‎(2)解:∵∠CED=∠CDA=90°,又∵∠C=∠C,∴△CED∽△CDA ∴‎ ‎∴ ∵ ,∴ ,∴CE=4‎ ‎∴AB=AC=5 ∴AB=5‎ ‎6. (1)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠1=∠2,∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,‎ ‎∴OC∥AD ∴∠OCD=∠ADC, ∵AD⊥DC, ∴∠ADC=90°, ∴∠OCD=90°,‎ ‎∴CD是⊙O的切线 ‎(2)解:连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵∠ADC=90°,∠1=∠3,‎ ‎∴cos∠1=cos∠3,即,∴ 把,AD=4代入得,得AB=6‎ ‎7. 证明:(1)如图1,连接OC,∵CD为⊙O的切线,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∵AD⊥CD,‎ ‎∴∠ADC=90°,∴∠OCD+∠ADC=180°,∴AD∥OC,∴∠1=∠2,∵OA=OC,∴∠2=∠3,‎ ‎∴∠1=∠3 即AC平分∠DAB ‎(2)如图2,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵∠B=60°,∴∠1=∠3=30°,‎ 在Rt△ACD中,,∴,在Rt△ABC中,,‎ ‎∴,连接OE,∵∠EAO=2∠3=60°,OA=OE,‎ ‎∴△AOE是等边三角形,∴‎ ‎8. 解(1)连接OB、OD,在△ABO和△DBO中,,∴△ABO≌△DBO,∴∠DBO=∠ABO ‎∵∠ABO=∠OAB=∠BDC,∴∠DBO=∠BDC,∴OB∥ED,∵BE⊥DC,∴∠BEC=90°,‎ ‎∴∠EBO=90°,∴OB⊥BE,∴BE是⊙O的切线。‎ ‎(2)∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,∵∠BDE=∠CAB,∠ABC=∠BED=90°,‎ ‎∴△BED∽△CBA,∴,∵BD=BA,AB=12,BC=5,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎9. (1)证明:过F点作FM⊥DE于M,则∠FME=90°,CB=CA,∠C=90°,∴∠BAC=45°,‎ ‎∵∠CAE=135°,∴∠CAE+∠BAC=180°,∴点B、A、E在一条直线上,连接FG,‎ ‎∵⊙F与射线BA相切于点G,∴FG⊥AE,∴∠FGE=90°,又∵∠AED=90°,‎ ‎∴四边形FGEM为矩形,∴FM=GE,∵AE=AC=6,AG=4,∴GE=2,∴FM=2,∴ED是⊙F的切线。‎ ‎(2)解:∵FG=2,FG=GE,∴四边形FGEM为正方形,连接EF并延长交PQ于点N,∵四边形FGEM为正方形,∴EF平分∠AED,∵△ADE为等腰直角三角形,∴EN⊥PQ ∴PN=NQ,‎ ‎△AEN为等腰直角三角形,连接FP,由勾股定理得, 又∵AE=6, ∴ ‎ ‎∴,在Rt△PFN中,PF=2,由勾股定理得,∴‎ ‎10. (1)证明:∵弧AE等于弧CD,∴∠ACF=∠CBG,∵等边△ABC,∴AB=AC=BC,‎ ‎∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∴△ACF≌△CBG,∴AF=CG。‎ ‎(2)过B作BK⊥AC,垂足为K,∵AC=8,∴AC=BC=8,∵,∴AF=CG=3,‎ AG=BF=5 ∵BK⊥AC ∴AK=CK=4 ,∴,∵在Rt△BCK中,‎ ‎,∴在Rt△BGK中,,∵∠D=∠BCG,‎ ‎∠BGC=∠AGD,∴△ADG∽△BGC,∴,,∴‎ ‎11. (1)证明:在⊙O中,∠A=∠D,∵∠AEB=∠DEC,AE=DE,∴△AEB≌△DEC,∴EB=EC,‎ 又∵BC=CE,∴BE=CE=BC,∴△EBC为等边三角形,∴∠ACB=60°。‎ ‎(2)解:∵OF⊥AC,∴AF=CF,∵△EBC为等边三角形,∴∠GEF=60°,∴∠EGF=30°,‎ ‎∵EG=2,∴EF=1,又∵AE=ED=3,∴CF=AF=4,∴AC=8,CE=5,∴BC=5,作BM⊥AC于点M,‎ ‎∵∠BCM=60°,∴∠MBC=30°,∴,‎ ‎∴, ∴‎ ‎12.(1)连接OA、OP、OD,设OP与AD交于点H,∵PA=PD,OA=OD,∴OP是线段AD的垂直平分线,∴OP⊥AD,∴∠AHP=90°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAC=∠BAC,又∵OA=OP,‎ ‎∴∠OAP=∠OPA,∵在Rt△AHP中 ,∠DAP+∠OPA=90°,‎ ‎∴∠OAB=∠OAP+∠BAC=∠OPA+∠DAP=90°,即OA⊥AB,∵点A在⊙O上,∴直线AB与⊙O相切。‎ ‎(2)连接BD交AC于点E,则AC⊥BD。设⊙O的半径为r ,设AC=4a ,∴AE=2a ,‎ ‎∵ ,∴DE= a ,a ,a ,‎ 在Rt△AHP中,a ,(过程详细些,不能直接使用),在Rt△AHO中,由勾股定理得:,即,‎ 解得:(舍) ∴AC=8‎ ‎13. 证明:(1)连接CO,∵D、E分别是半径OA,OB的中点,又∵OA=OB,∴OD=OE,‎ ‎∵AC弧等于BC弧,∴∠AOC=∠BOC,∵OC=OC,∴△DOC≌△EOC,∴CD=CE。‎ ‎(2)延长BO交⊙O于点G,连接BC,GF,∵∠CBG与∠F为CG弧所对的圆周角,‎ ‎∴∠CBG=∠F,∵∠CEB=∠GEF,∴△CEB∽△GEF,∴,∵CE=CD=2,GE=3BE,‎ ‎∴ ,∴,∴,∴‎ ‎14.(1)连接OD,在⊙O中,OB=OD,∠B=∠ODB,∵CD=CE,∴∠CDE=∠CED,在△BEO中,‎ ‎∵OC⊥AB,∴∠BOE=90°,∴∠B+∠OEB=180°—90°=90°,∵∠CED=∠OEB,‎ ‎∴∠ODE+∠CDE=∠B+∠OEB=90°,∴OD⊥CD,∴CD是⊙O的切线。‎ ‎(2)连接AD,在△ABD中,∵AB是直径,∴∠ADB=90°=∠BOE,‎ ‎∵,∴,∴,∴ ‎ ‎15. .解:(1)连接AB,过A作AH⊥OM′,垂足为点H,‎ ‎∵⊙A与射线OM相切于点B,‎ ‎∴AB⊥OM 由翻折知,ON平分∠MOM′‎ ‎∴AH=AB ∴OM′为⊙A的切线 ‎(2)作CG⊥ON于点G,DF⊥OM于点F, ‎ AK⊥CD于点K,‎ ‎∵∠MO M′=90°,∴∠MON=45°‎ 设OF=a,则DF= a,‎ ‎∵tan∠OCD=,∴CF=‎7a,OD=a,‎ ‎∴OC=‎8a,∴OG=GC=a,∴DG=a,‎ ‎∴tan∠GDC==‎ 在Rt△ADK中,设DK=3b,则AK=4b,‎ 由勾股定理得,AD=5b,∴5b =5,∴b=1‎ ‎∴DE=2DK=6‎ ‎16..解:(1)连接OE,‎ ‎∵⊙O与直线AB相切于点E,‎ ‎∴OE⊥BH 连接OB,‎ ‎∵BE=1,OE=,∴tan∠EBO=‎ ‎∴∠EBO=60°‎ ‎∵∠ABC=30°,∴∠ABD=60°,‎ ‎∴∠OBD=60°,∴∠OBD=∠OBH=60°‎ 作ON⊥BD于点D,则ON=OE,‎ ‎∴BD与⊙O相切 ‎(2)连结OF,‎ ‎∵点F与点E关于O点中心对称,∴点E、O、F在一条直线上,‎ ‎∵GF∥BC,∴∠BGF=∠CBD=30°,‎ ‎∴∠EFG=360°-120°-90°-30°=120°,‎ 延长GF,交⊙O于另一点M,则∠OFM=60°‎ 连结OM,则OM=OF,∴△OFM为等边三角形,∴∠FOM=60°,‎ ‎∵∠NBE=∠NBO+∠FBO=120°,∴∠EON=60°,‎ ‎∴∠FOM+∠FON=∠EON+∠FON =180°,‎ 点M、O、N也在一条直线上 ‎∴MN=,∴GM=2MN=‎ ‎∵FM=OM=,∴GF=GM-FM=‎ ‎17. 解:(1)过O作OF⊥AD,垂足为F,‎ ‎∵AB=10,BC=8,AC=6,∴△ABC是直角三角形 ‎∴∠ACD=90º,‎ ‎∵∠OFD=90,∠D=∠D ‎∴△ACD∽△OFD.‎ ‎ ∵OC=3,∴OD=5,∴OF=3=OC ‎∴直线AD是⊙O的切线 ‎(2)连接ME,‎ ‎∵AB∥DM,∴△BNC≌△DMC, ‎ ‎∴CN=CM 由(1)可知DM=DF=4,DE=2,DC=8,‎ ‎∴DM2=DE·DC,‎ ‎∴△DEM∽△DMC. ‎ ‎∴-‎ 设EM=a,则CM=‎2a,EC=6,‎ 由勾股定理得CM=,∴MN=‎ ‎18.解:(1)过点O作OM⊥AB于点M,交CD于点N,‎ 则∠AMO=90°,AM=AB,‎ ‎∵AB∥CD,∴∠AMO+∠CNO=180°‎ ‎∴∠CNO=90°,∴CN=CD,‎ 设OM=x,则ON=7-x,‎ 由勾股定理得:AM2+MO2=AO2,CN2+NO2=CO2,‎ ‎∵AB=8,CD=6,∴AM=4,CN=3,‎ ‎∴16+ x2=9+(7-x)2,解得:x=3‎ ‎∴AO=5,‎ ‎(2)在△AOM与△OCN中,‎ ‎∵,,∠AMO=∠ONC=90°,‎ ‎∴△AOM∽△OCN,‎ ‎∴∠AOM=∠OCN,∠MAO=∠NOC,‎ ‎ ∴∠AOM+∠CON=90°,‎ ‎∴∠AOC=90°‎ ‎∵AE为⊙O的切线,∴∠OAE=90°,‎ ‎ ∴∠OAE+∠COA=180°,∴AE∥CO ‎ 延长CO,交AB于点F,则四边形AECF为平行四边形,‎ ‎∴CE=AF ‎ ∵∠AOM+∠FOM=∠OFM+∠FOM=90°,∴∠AOM=∠OFM ‎∵∠OAM=∠FAO, ∴△AOM∽△AFO,‎ ‎∴AO2=AM·AF,∴AF=,CE=‎ ‎19..解:(1)连接OC。∵△ADC是由△ABC折叠得到。‎ ‎∴∠ACD=90.∠CAD=CAB.AC=.‎ ‎∴AD=5. ∴‎ ‎∵∠CAD=∠CAD. ∴△ACE∽△ADC。‎ ‎∴∠ACD=∠AEC=90‎ ‎∴∠ACE+∠CAE=90. ∵OA=OC. ∴∠OAC=∠OCA ‎∵∠OAC=∠EAC.‎ ‎∴∠OCA+∠ECA=90. ∴CE为⊙O的切线 ‎(2)过B作BG∥OC,交OF于G。‎ ‎∵OA=OB, BG∥OC.‎ ‎∴△AOE≌△BOG.‎ ‎∴BG=AE, ‎ ‎∴△FBG∽△FOC. ‎ ‎∴.∴FB= ‎ ‎20.解:(1)连接AO ∵BD=AB ∴AB弧=BD弧 ∵弧BAE-弧AB=弧BDE-弧BD ∴弧AE=弧DE ‎∴∠ABF=∠DBF ∵AB=BD ∴∠AFO=90° ∵∠AOE=2∠ABC ∠DAC=2∠ABC ∴∠DAC=∠AOE ‎∵∠AOF+∠OAF=90° ∴∠OAF+∠FAC=90° ∴∠OAC=90° ∴AC是⊙O的切线 ‎(2)过点C作AB的垂线,交BA的延长线于点G,∵∠OAC=90°,∴∠OAB+∠CAG=90°‎ ‎∵∠CAG+∠GCA=90°,∴∠GCA=∠BAO,∵OA=OB,∴∠BAO=∠OBA,∴∠GCA=∠OBA ‎∵∠CGA=∠BGC,∴△CGA∽△BGC,∵,∴,设,‎ 在Rt△ACG内,,∴,∴‎ 解得或(舍去),∴,∴CG=2,∵CG=2,BG=4,∠BGC=90°,‎ ‎∴‎