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- 2021-05-10 发布
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2016年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.下列各数中,最小的数是( )
A. B.0 C.﹣1 D.﹣3
2.计算2x2•(﹣3x3)的结果是( )
A.﹣6x5B.6x5C.﹣2x6D.2x6
3.如图,装修工人向墙上钉木条.若∠2=110°,要使木条b与a平行,则∠1的度数等于( )
A.55° B.70° C.90° D.110°
4.不等式5+2x<1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
5.自成都地铁4号线开通以来,成都地铁1、2、4号线线网客流增加明显,再遇到春季糖酒会、桃花节、通勤客流等三股主要客流汇集,2016年3月25日,成都地铁再创单日线网客流历史新高,达到1738200乘次,用科学记数法表示1738200为(保留三个有效数字)( )
A.1.74×106B.1.73×106C.17.4×105D.17.3×105
6.下列如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体,则它的俯视图是( )
A. B. C. D.
7.一组数据3、5、8、3、4的众数与中位数分别是( )
A.3,8 B.3,3 C.3,4 D.4,3
8.同学们玩过滚铁环吗?当铁环的半径是30cm,手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上,另一端到铁环的圆心的距离为50cm时,铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定
9.某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2012年投入3000万元,预计2014年投入5000万元.设教育经费的年平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A.3000x2=5000 B.3000(1+x)2=5000
C.3000(1+x%)2=5000 D.3000(1+x)+3000(1+x)2=5000
10.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示,将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后,B点到达的位置坐标为( )
A.(﹣2,2) B.(4,1) C.(3,1) D.(4,0)
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
11.点M(2,﹣3)关于y轴对称的对称点N的坐标是 .
12.如图,人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 °.
13.一个不透明的布袋中,放有3个白球,5个红球,它们除颜色外完全相同,从中随机摸取1个,摸到红球的概率是 .
14.如图,在平面直角坐标系中,过点M(﹣3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A、B两点,则四边形MAOB的面积为 .
三、解答题(共14小题,满分104分)
15.(1)计算:|﹣3|+•tan30°﹣﹣0+(﹣)﹣2
(2)解不等式组,并把其解集在数轴上表示出来.
16.化简,求值:,其中m=.
17.如图所示,秋千链子的长度为3m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5m.秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为53°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少?
(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)
18.某校七年级有200名学生参加了全国中小学生安全知识竞赛初赛,为了了解本校初赛的成绩情况,从中抽取了50名学校,将他们的初赛成绩(得分为整数,满分100分)分成五组:
第一组49.5﹣59.5;第二组59.5﹣69.5;第三组69.5﹣79.5;第四组79.5﹣89.5;第五组89.5﹣100.5.统计后得到如图所示的频数分布直方图(部分).观察图形的信息,回答下列问题:
(1)第四组的频数为 (直接写答案);
(2)若将得分转化为等级,规定:得分低于59.5分评为“D”,59.5﹣69.5分评分“C”,69.5﹣89.5分评为“B”,89.5﹣100.5分评为“A”,那么这200名参加初赛的学生中,参赛成绩评为“D”的学生约有 个(直接填空答案).
(3)若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组,再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛,用列表法或画树状图法求:挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率.
19.如图,点P的坐标为(2,),过点P作x轴的平行线交y轴于点A,作PB⊥AP交反比例函数y=(x>0)于点B,连结AB.已知tan∠BAP=.
(1)求k的值;
(2)求直线AB的解析式.
20.如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且∠DBA=∠BCD.
(1)证明:BD是⊙O的切线.
(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为16,cos∠BFA=,那么,你能求出△ACF的面积吗?若能,请你求出其面积;若不能,请说明理由.
21.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m、n,则m2﹣3mn+n2= .
22.如图所示,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行,在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上,航行半小时后到达B处,此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上,那么该船继续航行 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.
23.已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),点C关于x轴的对称点为C′,我们称以A为顶点且过点C′,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线,直线AC′为抛物线p的“关联”直线.若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为 .
24.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 .
25.如图,菱形ABCD中,AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点,且AE=BF,连接CE、AF交于点H,连接DH交AG于点O.则下列结论①△ABF≌△CAE,②∠AHC=120°,③AH+CH=DH,④AD2=OD•DH中,正确的是 .
26.今年清明假期,小王组织朋友取九寨沟三日游,经了解,现有甲、乙两家旅行社比较合适,报价均为每人640元,且提供的服务完全相同.针对组团三日游的游客,甲旅行社表示,每人都按8.5折收费;乙旅行设表示,若人数不超过20人,每人都按9折收费;超过20人,则超出部分每人按7.5折收费.假设组团参加甲、乙两家旅行社三日游的人数均为x人.
(1)请分别写出甲、乙两家旅行设收取组团三日游的总费用y(元)与x(人)之间函数关系式.
(2)若小王组团参加三日游的人数共有25人,请你通过计算,在甲、乙两家旅行社中,帮助小王选择收取总费用较少的一家.
27.如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形(如图2所示).将纸片△AC1D1沿直线D2B(A→B方向)平移(点A,D1,D2,B始终在同一直线上),当D1与点B重合时,停止平移.在平移的过程中,C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.
(1)当△AC1D1平移到如图3所示位置时,猜想D1E与D2F的数量关系,并说明理由.
(2)设平移距离D2D1为x,△AC1D1和△BC2D2重复部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x,使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
28.已知抛物线y=(a>0)与x轴交于A、B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.
(1)若抛物线过点D(2,﹣2),求实数a的值.
(2)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点E,使AE+CE最小,求出点E的坐标.
(3)在第一象限内,抛物线上是否存在点M,使得以A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
2016年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.下列各数中,最小的数是( )
A. B.0 C.﹣1 D.﹣3
【考点】有理数大小比较.
【分析】根据有理数大小比较的法则依次判断即可:①正数都大于0; ②负数都小于0;③正数大于一切负数; ④两个负数,绝对值大的其值反而小.
【解答】解:根据有理数大小比较的法则可直接判断出:﹣3<﹣1<0<,即D<C<B<A.
故选D.
2.计算2x2•(﹣3x3)的结果是( )
A.﹣6x5B.6x5C.﹣2x6D.2x6
【考点】同底数幂的乘法;单项式乘单项式.
【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘,底数不变,指数相加计算后选取答案.
【解答】解:2x2•(﹣3x3),
=2×(﹣3)•(x2•x3),
=﹣6x5.
故选:A.
3.如图,装修工人向墙上钉木条.若∠2=110°,要使木条b与a平行,则∠1的度数等于( )
A.55° B.70° C.90° D.110°
【考点】平行线的性质.
【分析】由已知木条b与a平行,所以得到∠3=∠2,又∠3+∠1=180°,从而求出∠1的度数.
【解答】解:已知a∥b,
∴∠3=∠2=110°,
又∠3+∠1=180°,
∴∠1=180°﹣∠3=180°﹣110°=70°.
故选:B.
4.不等式5+2x<1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
【分析】先解不等式得到x<﹣2,根据数轴表示数的方法得到解集在﹣2的左边.
【解答】解:5+2x<1,
移项得2x<﹣4,
系数化为1得x<﹣2.
故选C.
5.自成都地铁4号线开通以来,成都地铁1、2、4号线线网客流增加明显,再遇到春季糖酒会、桃花节、通勤客流等三股主要客流汇集,2016年3月25日,成都地铁再创单日线网客流历史新高,达到1738200乘次,用科学记数法表示1738200为(保留三个有效数字)( )
A.1.74×106B.1.73×106C.17.4×105D.17.3×105
【考点】科学记数法与有效数字.
【分析】根据科学记数法的表示方法:a×10n,有效数字是从第一个不为零的数字起都是有效数字,可得答案.
【解答】解:用科学记数法表示1738200为1.74×106,
故选:A.
6.下列如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体,则它的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【解答】解:人站在几何体的正面,从上往下看,正方形个数从左到右依次为1,1,2,
故选C.
7.一组数据3、5、8、3、4的众数与中位数分别是( )
A.3,8 B.3,3 C.3,4 D.4,3
【考点】众数;中位数.
【分析】根据中位数和众数的定义求解:众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.
【解答】解:把这组数据从小到大排列:3、3、4、5、8,
3出现了2次,出现的次数最多,则众数是3.
处于中间位置的那个数是4,由中位数的定义可知,这组数据的中位数是4;
故选C.
8.同学们玩过滚铁环吗?当铁环的半径是30cm,手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上,另一端到铁环的圆心的距离为50cm时,铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据题意画出相应的图形,由三角形ABC的三边,利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°,根据垂直定义得到AC与BC垂直,再利用切线的定义:过半径外端点且与半径垂直的直线为圆的切线,得到AC为圆B的切线,可得出此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切.
【解答】解:根据题意画出图形,如图所示:
由已知得:BC=30cm,AC=40cm,AB=50cm,
∵BC2+AC2=302+402=900+1600=2500,AB2=502=2500,
∴BC2+AC2=AB2,
∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,
∴AC为圆B的切线,
则此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切.
故选C.
9.某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2012年投入3000万元,预计2014年投入5000万元.设教育经费的年平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A.3000x2=5000 B.3000(1+x)2=5000
C.3000(1+x%)2=5000 D.3000(1+x)+3000(1+x)2=5000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),参照本题,如果设教育经费的年平均增长率为x,根据“2012年投入3000万元,预计2014年投入5000万元”,可以分别用x表示2012以后两年的投入,然后根据已知条件可得出方程.
【解答】解:设教育经费的年平均增长率为x,
则2013的教育经费为:3000×(1+x)万元,
2014的教育经费为:3000×(1+x)2万元,
那么可得方程:3000×(1+x)2=5000.
故选B.
10.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示,将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后,B点到达的位置坐标为( )
A.(﹣2,2) B.(4,1) C.(3,1) D.(4,0)
【考点】坐标与图形变化-旋转.
【分析】利用网格结构找出点B绕点D顺时针旋转90°后的位置,然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可.
【解答】解:如图,点B绕点D顺时针旋转90°到达点B′,
点B′的坐标为(4,0).
故选:D.
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
11.点M(2,﹣3)关于y轴对称的对称点N的坐标是 (﹣2,﹣3) .
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变可得答案.
【解答】解:点M(2,﹣3)关于y轴对称的对称点N的坐标是(﹣2,﹣3),
故答案为:(﹣2,﹣3).
12.如图,人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 140 °.
【考点】多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的内角和公式即可得出结果.
【解答】解:∵九边形的内角和=(9﹣2)•180°=1260°,
又∵九边形的每个内角都相等,
∴每个内角的度数=1260°÷9=140°.
故答案为:140.
13.一个不透明的布袋中,放有3个白球,5个红球,它们除颜色外完全相同,从中随机摸取1个,摸到红球的概率是 .
【考点】概率公式.
【分析】先求出球的总个数,再用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率.
【解答】解:∵口袋中有3个白球,5个红球,
∴共有8个球,
∴摸到红球的概率是;
故答案为:.
14.如图,在平面直角坐标系中,过点M(﹣3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A、B两点,则四边形MAOB的面积为 8 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】设点A的坐标为(a,b),点B的坐标为(c,d),根据反比例函数y=的图象过A,B两点,所以ab=2,cd=2,进而得到S△AOC=|ab|=1,S△BOD=|cd|=1,S矩形MCDO=3×2=6,根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO,即可解答.
【解答】解:如图,
设点A的坐标为(a,b),点B的坐标为(c,d),
∵反比例函数y=的图象过A,B两点,
∴ab=2,cd=2,
∴S△AOC=|ab|=1,S△BOD=|cd|=1,
∵点M(﹣3,2),
∴S矩形MCDO=3×2=6,
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=1+1+6=8,
故答案为:8.
三、解答题(共14小题,满分104分)
15.(1)计算:|﹣3|+•tan30°﹣﹣0+(﹣)﹣2
(2)解不等式组,并把其解集在数轴上表示出来.
【考点】实数的运算;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
【分析】(1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用立方根定义计算,第四项利用零指数幂法则计算,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分求出不等式组的解集,表示在数轴上即可.
【解答】解:(1)原式=3+×﹣2﹣1+9=3+1﹣3+9=10;
(2),
由①得:x≤5,
由②得:x>2,
则不等式组的解集为2<x≤5.
16.化简,求值:,其中m=.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先根据分式的混合运算法则把分式化简,再把m=代入求解即可求得答案.
【解答】解:原式=,
=,
=,
=,
=,
=.
∴当m=时,原式=.
17.如图所示,秋千链子的长度为3m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5m.秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为53°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少?
(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】如图所示,在△ABC中,BC⊥AC,AB=3,∠CAB=53°,故有AC=3cos53°≈3×0.6=1.8,CD≈3+0.5﹣1.8=1.7,即BE=CD=1.7m.
【解答】解:设秋千链子的上端固定于A处,秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点A,B的铅垂线分别为AD,BE,点D,E在地面上,过B作BC⊥AD于点C.
在Rt△ABC中,AB=3,∠CAB=53°,
∵cos53°=,
∴AC=3cos53°≈3×0.6=1.8(m),
∴CD≈3+0.5﹣1.8=1.7(m),
∴BE=CD≈1.7(m),
答:秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m.
18.某校七年级有200名学生参加了全国中小学生安全知识竞赛初赛,为了了解本校初赛的成绩情况,从中抽取了50名学校,将他们的初赛成绩(得分为整数,满分100分)分成五组:
第一组49.5﹣59.5;第二组59.5﹣69.5;第三组69.5﹣79.5;第四组79.5﹣89.5;第五组89.5﹣100.5.统计后得到如图所示的频数分布直方图(部分).观察图形的信息,回答下列问题:
(1)第四组的频数为 2 (直接写答案);
(2)若将得分转化为等级,规定:得分低于59.5分评为“D”,59.5﹣69.5分评分“C”,69.5﹣89.5分评为“B”,89.5﹣100.5分评为“A”,那么这200名参加初赛的学生中,参赛成绩评为“D”的学生约有 64 个(直接填空答案).
(3)若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组,再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛,用列表法或画树状图法求:挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率.
【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;频数(率)分布直方图.
【分析】(1)由抽取了50名学生,结合直方图,即可求得第四组的频数;
(2)利用样本即可估算总体,即可求得答案;
(3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:(1)第四组的频数为:50﹣16﹣20﹣10﹣2=2,
故答案为:2;
(2)参赛成绩评为“D”的学生约有:200×=64(个);
故答案为:64;
(3)画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的有2种情况,
∴挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率为: =.
19.如图,点P的坐标为(2,),过点P作x轴的平行线交y轴于点A,作PB⊥AP交反比例函数y=(x>0)于点B,连结AB.已知tan∠BAP=.
(1)求k的值;
(2)求直线AB的解析式.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)由点P的坐标可得出A点的坐标以及线段AP的长度,通过解直角三角形可求出BP的长度,结合点P的坐标即可得出B点的坐标,再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;
(2)设直线AB的解析式y=ax+b.结合A、B点的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式.
【解答】解:(1)∵点P的坐标为(2,),
∴AP=2,点A的坐标为(0,).
在Rt△ABP中,∠APB=90°,tan∠BAP=,AP=2,
∴BP=AP•tan∠BAP=2×=3,
∴点B的坐标为(2,).
∵点B(2,)在反比例函数y=(x>0)图象上,
∴=,解得:k=9.
(2)设直线AB的解析式y=ax+b,
则有,解得:.
∴直线AB的解析式为y=x+.
20.如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且∠DBA=∠BCD.
(1)证明:BD是⊙O的切线.
(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为16,cos∠BFA=,那么,你能求出△ACF的面积吗?若能,请你求出其面积;若不能,请说明理由.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)BD是⊙O的切线.先连接OB,由于AC是直径,那么∠ABC=90°,得到∠BAC+∠C=90°,由OA=OB,得到∠BAC=∠OBA,证明∠OBD=90°,根据切线的判定定理证明;
(2)由于cos∠BFA=,那么=,证明△EBF∽△CAF,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
【解答】解:(1)BD是⊙O的切线,
理由:如右图所示,连接OB,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠BAC+∠C=90°,
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠OBA,
∴∠OBA+∠C=90°,
∵∠ABD=∠C,
∴∠ABD+∠OBA=90°,即∠OBD=90°,
∴DB是⊙O的切线;
(2)在Rt△ABF中,
∵cos∠BFA=,
∴=,
∵∠E=∠C,∠EBF=∠FAC,
∴△EBF∽△CAF,
∴S△BFE:S△AFC=()2=,
∵△BEF的面积为16,
∴△ACF的面积为36.
21.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m、n,则m2﹣3mn+n2= 31 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】由m与n为已知方程的解,利用根与系数的关系求出m+n与mn的值,将所求式子利用完全平方公式变形后,代入计算即可求出值.
【解答】解:∵m,n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根,
∴m+n=4,mn=﹣3,
则m2﹣3mn+n2=(m+n)2﹣5mn=16+15=31.
故答案为:31.
22.如图所示,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行,在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上,航行半小时后到达B处,此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上,那么该船继续航行 15 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】过M作AB的垂线,设垂足为N.由题易知∠MAB=30°,∠MBN=60°;则∠BMA=∠BAM=30°,得BM=AB.由此可在Rt△MBN中,根据BM(即AB)的长求出BN的长,进而可求出该船需要继续航行的时间.
【解答】解:作MN⊥AB于N.
易知:∠MAB=30°,∠MBN=60°,
则∠BMA=∠BAM=30°.
设该船的速度为x,则BM=AB=0.5x.
Rt△BMN中,∠MBN=60°,
∴BN=BM=0.25x.
故该船需要继续航行的时间为0.25x÷x=0.25小时=15分钟.
23.已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),点C关于x轴的对称点为C′,我们称以A为顶点且过点C′,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线,直线AC′为抛物线p的“关联”直线.若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3 .
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为(1,4),再求出“关联”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标(﹣1,0),接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C(1,﹣4),则可设顶点式y=a(x﹣1)2﹣4,然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式.
【解答】解:∵y=x2+2x+1=(x+1)2,
∴A点坐标为(﹣1,0),
解方程组,
得或,
∴点C′的坐标为(1,4),
∵点C和点C′关于x轴对称,
∴C(1,﹣4),
设原抛物线解析式为y=a(x﹣1)2﹣4,
把A(﹣1,0)代入得4a﹣4=0,解得a=1,
∴原抛物线解析式为y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3.
故答案为:y=x2﹣2x﹣3.
24.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 24 .
【考点】一次函数综合题.
【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦,再求出OD的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.
【解答】解:∵直线y=kx﹣3k+4=k(x﹣3)+4,
∴k(x﹣3)=y﹣4,
∵k有无数个值,
∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得x=3,y=4,
∴直线必过点D(3,4),
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦,
∵点D的坐标是(3,4),
∴OD=5,
∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),
∴圆的半径为13,
∴OB=13,
∴BD=12,
∴BC的长的最小值为24;
故答案为:24.
25.如图,菱形ABCD中,AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点,且AE=BF,连接CE、AF交于点H,连接DH交AG于点O.则下列结论①△ABF≌△CAE,②∠AHC=120°,③AH+CH=DH,④AD2=OD•DH中,正确的是 ①②③④ .
【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质.
【分析】由菱形ABCD中,AB=AC,易证得△ABC是等边三角形,则可得∠B=∠EAC=60°,由SAS即可证得△ABF≌△CAE;则可得∠BAF=∠ACE,利用三角形外角的性质,即可求得∠AHC=120°;在HD上截取HK=AH,连接AK,易得点A,H,C,D四点共圆,则可证得△AHK是等边三角形,然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC,则可证得AH+CH=DH;易证得△OAD∽△AHD,由相似三角形的对应边成比例,即可得AD2=OD•DH.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵AB=AC,
∴AB=BC=AC,
即△ABC是等边三角形,
同理:△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°,
在△ABF和△CAE中,
,
∴△ABF≌△CAE(SAS);
故①正确;
∴∠BAF=∠ACE,
∵∠AEH=∠B+∠BCE,
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°;
故②正确;
在HD上截取HK=AH,连接AK,
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°,
∴点A,H,C,D四点共圆,
∴∠AHD=∠ACD=60°,∠ACH=∠ADH,
∴△AHK是等边三角形,
∴AK=AH,∠AKH=60°,
∴∠AKD=∠AHC=120°,
在△AKD和△AHC中,
,
∴△AKD≌△AHC(AAS),
∴CH=DK,
∴DH=HK+DK=AH+CH;
故③正确;
∵∠OAD=∠AHD=60°,∠ODA=∠ADH,
∴△OAD∽△AHD,
∴AD:DH=OD:AD,
∴AD2=OD•DH.
故④正确.
故答案为:①②③④.
26.今年清明假期,小王组织朋友取九寨沟三日游,经了解,现有甲、乙两家旅行社比较合适,报价均为每人640元,且提供的服务完全相同.针对组团三日游的游客,甲旅行社表示,每人都按8.5折收费;乙旅行设表示,若人数不超过20人,每人都按9折收费;超过20人,则超出部分每人按7.5折收费.假设组团参加甲、乙两家旅行社三日游的人数均为x人.
(1)请分别写出甲、乙两家旅行设收取组团三日游的总费用y(元)与x(人)之间函数关系式.
(2)若小王组团参加三日游的人数共有25人,请你通过计算,在甲、乙两家旅行社中,帮助小王选择收取总费用较少的一家.
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)根据甲乙两家旅行社的收费标准列出式子即可.
(2)利用(1)的结论代入计算即可.
【解答】解:(1)y甲=544x,
y乙=,
即y乙=.
(2)x=25时,y甲=13600,y乙=13920,
∴甲比较便宜.
27.如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2
两个三角形(如图2所示).将纸片△AC1D1沿直线D2B(A→B方向)平移(点A,D1,D2,B始终在同一直线上),当D1与点B重合时,停止平移.在平移的过程中,C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.
(1)当△AC1D1平移到如图3所示位置时,猜想D1E与D2F的数量关系,并说明理由.
(2)设平移距离D2D1为x,△AC1D1和△BC2D2重复部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x,使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
【考点】几何变换综合题.
【分析】(1)根据AD1=BD2就可以证明AD2=BD1,根据等角对等边证明AD2=D2F,D1E=D1B即可.
(2)由于△AC1D1与△BC2D2重叠部分为不规则图形,所以将其面积转化为S△BC2D2﹣S△BED1﹣S△FC2P,再求各三角形的面积即可.
(3)先假设存在x的值使得y=S△ABC,再求出△ABC的面积,然后根据(2)所求y=﹣x2+x(0≤x≤5)建立等量关系,通过根的判别式来判定是否有这样的x值存在.
【解答】解:(1)D1E=D2F.理由如下:
∵C1D1∥C2D2,
∴∠C1=∠AFD2.
又∵∠ACB=90°,CD是斜边上的中线,
∴DC=DA=DB,即C1D1=C2D2=BD2=AD1
∴∠C1=∠A,
∴∠AFD2=∠A
∴AD2=D2F.
同理:BD1=D1E.
又∵AD1=BD2,
∴AD2=BD1.
∴D1E=D2F.
(2)∵在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,
∴由勾股定理,得AB=10.
即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5
又∵D2D1=x,
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5﹣x.
∴C2F=C1E=x
在△BC2D2中,C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高,为.
设△BED1的BD1边上的高为h,
由探究,得△BC2D2∽△BED1,
∴=.
∴h=.S△BED1=×BD1×h=(5﹣x)2
又∵∠C1+∠C2=90°,
∴∠FPC2=90度.
又∵∠C2=∠B,sinB=,cosB=.
∴PC2=x,PF=x,S△FC2P=PC2×PF=x2
而y=S△BC2D2﹣S△BED1﹣S△FC2P=S△ABC﹣(5﹣x)2﹣x2
∴y=﹣x2+x(0≤x≤5).
(3)不存在.
当y=S△ABC时,即﹣x2+x=9,
整理得6x2﹣40x+75=0.
∵△=1600﹣4×6×75=﹣200<0,
∴该方程无解,即对于(2)中的结论不存在这样的x,使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的.
28.已知抛物线y=(a>0)与x轴交于A、B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.
(1)若抛物线过点D(2,﹣2),求实数a的值.
(2)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点E,使AE+CE最小,求出点E的坐标.
(3)在第一象限内,抛物线上是否存在点M,使得以A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将点D坐标代入抛物线解析式中即可;
(2)用两点之间线段最短,确定出AE+CE最小时,点E的位置即可;
(3)根据△ABC的特点分析出存在满足条件的点,经过简单的计算即可.
【解答】解:(1)∵抛物线过点D(2,﹣2),
∴×4+(﹣1)×2﹣2=﹣2,
∴a=4,
(2)如图1,
∵点A,B是抛物线与x轴的交点,
∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点,
∴连接BC交对称轴于点E,
∵a=4,
抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2,
∴点C(0,﹣2),D(4,0),对称轴x=1
∴CD解析式为y=x﹣2,
∴E(1,﹣);
(3)如图2
由(2)有,抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2,
∴A(﹣2,0),B(4,0),C(0,﹣2),
∴AB=6,AC=2,BC=2,
∴△ABC是锐角三角形,
点M在x轴上方的抛物线上时,△AMB为钝角三角形,
∴点M在x轴下方的抛物线上,
∵抛物线的顶点到x轴的距离为,
∴△ABM和△ACB中最大的边都是AB,
∴△BMA∽△ACB,
∵AB=AB,
∴△BMA≌△ACB,
∴M(2,﹣2)
∴存在点M,M坐标为(2,﹣2).
2016年6月30日