淄博市2015年中考数学卷 19页

山东省淄博市2015年中考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．‎ ‎1．（4分）（2015•淄博）比﹣2015小1的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2014‎ B．‎ ‎2014‎ C．‎ ‎﹣2016‎ D．‎ ‎2016‎ 考点：‎ 有理数的减法．.‎ 分析：‎ 根据题意列式即可求得结果．‎ 解答：‎ 解：﹣2015﹣1=﹣2016．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的减法，熟记有理数的减法的法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2015•淄博）下列式子中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（）﹣2=﹣9‎ B．‎ ‎（﹣2）3=﹣6‎ C．‎ ‎=﹣2‎ D．‎ ‎（﹣3）0=1‎ 考点：‎ 二次根式的性质与化简；有理数的乘方；零指数幂；负整数指数幂．.‎ 分析：‎ 根据二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂逐一运算，判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、=9，故本项错误；‎ B、（﹣2）3=﹣8，故本项错误；‎ C、，故本项错误；‎ D、（﹣3）0=1，故本项正确，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2015•淄博）将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 面CDHE B．‎ 面BCEF C．‎ 面ABFG D．‎ 面ADHG 考点：‎ 展开图折叠成几何体．.‎ 分析：‎ 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意找准红心“”标志所在的相邻面．‎ 解答：‎ 解：由图1中的红心“”标志，‎ 可知它与等边三角形相邻，折叠成正方体是正方体中的面CDHE．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相邻面入手进行分析及解答问题．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2015•淄博）已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎7‎ 考点：‎ 二次根式的化简求值．.‎ 分析：‎ 先把x、y的值代入原式，再根据二次根式的性质把原式进行化简即可．‎ 解答：‎ 解：原式=（x+y）2﹣xy ‎=（+）2﹣×‎ ‎=（）2﹣‎ ‎=5﹣1‎ ‎=4．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2015•淄博）已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的平方根为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎±2‎ B．‎ C．‎ ‎±‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 二元一次方程组的解；平方根．.‎ 分析：‎ 由x=2，y=1是二元一次方程组的解，将x=2，y=1代入方程组求出m与n的值，进而求出2m﹣n的值，利用平方根的定义即可求出2m﹣n的平方根．‎ 解答：‎ 解：∵将代入中，得：，‎ 解得：‎ ‎∴2m﹣n=6﹣2=4，‎ 则2m﹣n的平方根为±2．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题考查了二元一次方程组的解，以及平方根的定义，解二元一次方程组的方法有两种：加减消元法；代入消元法．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2015•淄博）某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）．某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．.‎ 分析：‎ 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．‎ 解答：‎ 解：列表：‎ 第二次 第一次 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎0‎ ‎﹣﹣‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎﹣﹣‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎﹣﹣‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎﹣﹣‎ 从上表可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，‎ 因此P（不低于30元）==．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查用列表法或树状图求概率．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2015•淄博）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎30°＜α＜45°‎ B．‎ ‎45°＜α＜60°‎ C．‎ ‎60°＜α＜90°‎ D．‎ ‎30°＜α＜60°‎ 考点：‎ 锐角三角函数的增减性．.‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．‎ 解答：‎ 解：∵α是锐角，‎ ‎∴cosα＞0，‎ ‎∵cosα＜，‎ ‎∴0＜cosα＜，‎ 又∵cos90°=0，cos45°=，‎ ‎∴45°＜α＜90°；‎ ‎∵α是锐角，‎ ‎∴tanα＞0，‎ ‎∵tanα＜，‎ ‎∴0＜tanα＜，‎ 又∵tan0°=0，tan60°=，‎ ‎0＜α＜60°；‎ 故45°＜α＜60°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2015•淄博）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．.‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 根据三角形的中位线求出EF=BD，EF∥BD，推出△AEF∽△ABD，得出=，求出==，即可求出△AEF与多边形BCDFE的面积之比．‎ 解答：‎ 解：连接BD，‎ ‎∵F、E分别为AD、AB中点，‎ ‎∴EF=BD，EF∥BD，‎ ‎∴△AEF∽△ABD，‎ ‎∴==，‎ ‎∴△AEF的面积：四边形EFDB的面积=1：3，‎ ‎∵CD=AB，CB⊥DC，AB∥CD，‎ ‎∴==，‎ ‎∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为1：（3+2）=1：5，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2015•淄博）如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．.‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP=PG，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系．‎ 解答：‎ 解：如图，‎ 延长GP交DC于点H，‎ ‎∵P是线段DF的中点，‎ ‎∴FP=DP，‎ 由题意可知DC∥GF，‎ ‎∴∠GFP=∠HDP，‎ ‎∵∠GPF=∠HPD，‎ ‎∴△GFP≌△HDP，‎ ‎∴GP=HP，GF=HD，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴CD=CB，‎ ‎∴CG=CH，‎ ‎∴△CHG是等腰三角形，‎ ‎∴PG⊥PC，（三线合一）‎ 又∵∠ABC=∠BEF=60°，‎ ‎∴∠GCP=60°，‎ ‎∴=；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2015•淄博）若关于x的方程+=2的解为正数，则m的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m＜6‎ B．‎ m＞6‎ C．‎ m＜6且m≠0‎ D．‎ m＞6且m≠8‎ 考点：‎ 分式方程的解．.‎ 分析：‎ 先得出分式方程的解，再得出关于m的不等式，解答即可．‎ 解答：‎ 解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m=2（x﹣2），‎ 解得：x=2﹣，‎ 因为关于x的方程+=2的解为正数，‎ 可得：，‎ 解得：m＜6，‎ 因为x=2时原方程无解，‎ 所以可得，‎ 解得：m≠0．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查分式方程，关键是根据分式方程的解法进行分析．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2015•淄博）如图是一块△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ πcm2‎ B．‎ ‎2πcm2‎ C．‎ ‎4πcm2‎ D．‎ ‎8πcm2‎ 考点：‎ 三角形的内切圆与内心．.‎ 分析：‎ 当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：=21r，利用三角形的面积公式可表示为•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面积，可得r，求得圆的面积．‎ 解答：‎ 解：如图1所示，‎ S△ABC=•r•（AB+BC+AC）==21r，‎ 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，‎ 设CD=x，‎ 由勾股定理得：在Rt△ABD中，‎ AD2=AB2﹣BD2=400﹣（7+x）2，‎ 在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣x2=225﹣x2，‎ ‎∴400﹣（7+x）2=225﹣x2，‎ 解得：x=9，‎ ‎∴AD=12，‎ ‎∴S△ABC==×7×12=42，‎ ‎∴21r=42，‎ ‎∴r=2，‎ 该圆的最大面积为：S=πr2=π•22=4π（cm2），‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角形的内切圆的相关知识及勾股定理的运用，运用三角形内切圆的半径表示三角形的面积是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2015•淄博）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q．设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象．.‎ 分析：‎ 首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤AD≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：过点C作CD⊥AB于点D，‎ ‎∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，‎ ‎∴∠B=60°，BC=AB=8，‎ ‎∴∠BCD=30°，‎ ‎∴BD=BC=4，‎ ‎∴AD=AB﹣BD=12．‎ 如图1，当0≤AD≤12时，AP=x，PQ=AP•tan30°=x，‎ ‎∴y=x•x=x2；‎ 如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x，‎ ‎∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x），‎ ‎∴y=x•（16﹣x）=﹣x2+8x，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了动点问题，注意掌握含30°直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论思想的应用．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共5小题，满分15分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．‎ ‎13．（3分）（2015•淄博）计算：=　3　．‎ 考点：‎ 二次根式的乘除法．.‎ 分析：‎ 根据二次根式的乘法法则计算．‎ 解答：‎ 解：原式=‎ ‎=‎ ‎=3．‎ 故填3．‎ 点评：‎ 主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则=．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•淄博）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA=　36　度．‎ 考点：‎ 多边形内角与外角；平行线的性质．.‎ 分析：‎ 首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．‎ 解答：‎ 解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，‎ ‎∴∠C=180°﹣72°=108°，‎ ‎∵CD=CB，‎ ‎∴∠CDB=36°，‎ ‎∵AF∥CD，‎ ‎∴∠DFA=∠CDB=36°，‎ 故答案为：36．‎ 点评：‎ 本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•淄博）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为　﹣2＜x＜﹣1　．‎ 考点：‎ 一次函数与一元一次不等式．.‎ 分析：‎ 由图象得到直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标（﹣1，﹣2）及直线y=kx+b与x轴的交点坐标，观察直线y=4x+2落在直线y=kx+b的下方且直线y=kx+b落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求．‎ 解答：‎ 解：∵经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），‎ ‎∴直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（﹣1，﹣2），直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B（﹣2，0），‎ 又∵当x＜﹣1时，4x+2＜kx+b，‎ 当x＞﹣2时，kx+b＜0，‎ ‎∴不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1．‎ 故答案为：﹣2＜x＜﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•淄博）现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为　18°　．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．.‎ 分析：‎ 已知扇形底面半径是10cm，就可以知道展开图扇形的弧长是20πcm，根据弧长公式l=nπr÷180得到．‎ 解答：‎ 解：20π=，解得：n=90°，‎ ‎∵扇形彩纸片的圆心角是108°‎ ‎∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°=18°．‎ 剪去的扇形纸片的圆心角为18°．‎ 故答案为：18°．‎ 点评：‎ 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：‎ ‎（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；‎ ‎（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2015•淄博）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　3+　．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．.‎ 分析：‎ 连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．‎ 解答：‎ 解：连接AC，BC，‎ ‎∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，‎ ‎∴点D的坐标为（0，﹣3），‎ ‎∴OD的长为3，‎ 设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，‎ 解得：x=﹣1或3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0）‎ ‎∴AO=1，BO=3，‎ ‎∵AB为半圆的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵CO⊥AB，‎ ‎∴CO2=AO•BO=3，‎ ‎∴CO=，‎ ‎∴CD=CO+OD=3+，‎ 故答案为：3+．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（4分）（2015•淄博）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．.‎ 分析：‎ 先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵解不等式①得：x＞﹣1，‎ 解不等式②得：x≥3，‎ ‎∴不等式组的解集是x≥3，‎ 在数轴上表示不等式组的解集为：．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．‎ ‎　‎ ‎19．（4分）（2015•淄博）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm．‎ ‎（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交与AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．‎ 考点：‎ 作图—复杂作图．.‎ 分析：‎ ‎（1）运用作垂直平分线的方法作图，‎ ‎（2）运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求解．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，‎ ‎（2）如图2，‎ ‎∵DE是BC边的垂直平分线，‎ ‎∴BD=DC，‎ ‎∵AB=4cm，AC=6cm．‎ ‎∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm．‎ 点评：‎ 本题主要考查了作图﹣复杂作图及垂直平分线的性质，解题的关键是熟记作垂直平分线的方法．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）（2015•淄博）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．‎ ‎（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；‎ ‎（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的应用．.‎ 分析：‎ ‎（1）设组建中型两类图书角x个、小型两类图书角（30﹣x）个，由于组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．若组建一个中型图书角的费用是860本，组建一个小型图书角的费用是570本，因此可以列出不等式组 ，解不等式组然后去整数即可求解．‎ ‎（2）根据（1）求出的数，分别计算出每种方案的费用即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30﹣x）个．‎ 由题意，得，‎ 化简得，‎ 解这个不等式组，得18≤x≤20．‎ 由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20．‎ 当x=18时，30﹣x=12；当x=19时，30﹣x=11；当x=20时，30﹣x=10．‎ 故有三种组建方案：‎ 方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；‎ 方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；‎ 方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．‎ ‎（2）方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；‎ 方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；‎ 方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）．‎ 故方案一费用最低，最低费用是22320元．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元一次不等式组在实际生活中的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题，同时也利用了一次函数．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2015•淄博）某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上为合格，达到9分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．‎ ‎（1）补充完成下列的成绩统计分析表：‎ 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲 ‎6.7‎ ‎　6　‎ ‎3.41‎ ‎90%‎ ‎20%‎ 乙 ‎　7.1　‎ ‎7.5‎ ‎　1.69　‎ ‎80%‎ ‎10%‎ ‎（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是　甲　组学生；（填“甲”或“乙”）‎ ‎（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．‎ 考点：‎ 条形统计图；算术平均数；中位数；方差．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）先根据条形统计图写出甲乙两组的成绩，然后分别计算甲的中位数，乙的平均数和方差；‎ ‎（2）比较两组的中位数进行判断；‎ ‎（3）通过乙组的平均数、中位数或方差进行说明．‎ 解答：‎ 解：（1）甲组：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6；‎ 乙组：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，平均数=7.1，S乙2=1.69；‎ ‎（2）因为甲组的中位数为6，所以7分在甲组排名属中游略偏上；‎ 故答案为6，7.1，1.69；甲；‎ ‎（3）乙组的平均数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组．‎ 点评：‎ 本题考查了条形统计图：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了中位数和方差．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2015•淄博）如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用．.‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH=42cm，先在Rt△BFH中，利用∠FBH的正弦计算出BF≈48.28，则BC=BF+CF=≈90.3（cm），再分别在Rt△BDQ和Rt△ADQ中，利用正切定义用DQ表示出BQ和AQ，得BQ=，AQ=，则利用BQ+AQ=AB=43得到+=43，解得DQ≈56.999，然后在Rt△ADQ中，利用sin∠DAQ的正弦可求出AD的长．‎ 解答：‎ 解：作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH=42cm，‎ 在Rt△BFH中，∵sin∠FBH=，‎ ‎∴BF=≈48.28，‎ ‎∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3（cm）；‎ 在Rt△BDQ中，∵tan∠DBQ=，‎ ‎∴BQ=，‎ 在Rt△ADQ中，∵tan∠DAQ=，‎ ‎∴AQ=，‎ ‎∵BQ+AQ=AB=43，‎ ‎∴+=43，解得DQ≈56.999，‎ 在Rt△ADQ中，∵sin∠DAQ=，‎ ‎∴AD=≈58.2（cm）．‎ 答：两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2015•淄博）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP．‎ ‎（1）当⊙O与直角边AC相切时，如图2所示，求此时⊙O的半径r的长；‎ ‎（2）随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围．‎ ‎（3）当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？试求出这个最大值．‎ 考点：‎ 圆的综合题．.‎ 分析：‎ ‎（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由切线的性质求出PB的长，过P作PQ⊥BC于Q，过O作OR⊥PC于R，根据PQ∥AC得出PC的长，再由△COR∽△CPQ即可得出r的值；‎ ‎（2）根据最短PC为AB边上的高，最大PC=BC=4即可得出结论；‎ ‎（3）当P与B重合时，圆最大．这时，O在BD的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，由BD=BC=2，由于AB是切线可知∠ABO=90°，∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，故可得出∠ABC=∠BOD，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．‎ 解答：‎ ‎（1）解：如图1，∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，‎ ‎∴AB===5．‎ ‎∵AC、AP都是圆的，圆心在BC上，AP=AC=3，‎ ‎∴PB=2，‎ 过P作PQ⊥BC于Q，过O作OR⊥PC于R，‎ ‎∵PQ∥AC，‎ ‎∴===，‎ ‎∴PQ=，BQ=，‎ ‎∴CQ=BC﹣BQ=，‎ ‎∴PC==，‎ ‎∵点O是CE的中点，‎ ‎∴CR=PC=，‎ ‎∴∠PCE=∠PCE，∠CRO=∠CQP，‎ ‎∴△COR∽△CPQ，‎ ‎∴=，即=，解得r=；‎ ‎（2）解：∵最短PC为AB边上的高，即PC==，最大PC=BC=4，‎ ‎∴≤PC≤4；‎ ‎（3）解：如图2，当P与B重合时，圆最大．O在BD的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，由BD=BC=2，‎ ‎∵AB是切线，‎ ‎∴∠ABO=90°，‎ ‎∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，‎ ‎∴∠ABC=∠BOD，‎ ‎∴=sin∠BOD=sin∠ABC==，‎ ‎∴OB=，即半径最大值为．‎ 点评：‎ 本题考查的是圆的综合题，熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2015•淄博）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ y1‎ ‎…‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎﹣5‎ ‎﹣12‎ ‎…‎ 设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为　（1，4）　，点C的坐标为　（0，3）　．‎ ‎（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=　12　．‎ ‎（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．.‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）先利用待定系数法求出抛物线m1的解析式为y1=﹣x2+2x+3，再配成顶点式可得到P点坐标，然后计算自变量为0时的函数值即可得到C点坐标；‎ ‎（2）根据抛物线的几何变换得到抛物线m1与抛物线m2的二次项系数互为相反数，然后利用顶点式写出抛物线m2的解析式，再计算自变量为﹣3时的函数值；‎ ‎（3）先确定A点坐标，再根据平移的性质得到四边形AMKC为平行四边形，根据菱形的判定方法，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，接着计算出AC=，则CK=，然后根据平移的方向不同得到K点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分别代入y1=a1x2+b1x+c1得，‎ 解得．‎ 所以抛物线m1的解析式为y1=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则P（1，4），‎ 当x=0时，y=3，则C（0，3）；‎ ‎（2）因为抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2，‎ 所以y2=（x﹣1）2﹣4，当x=﹣3时，y2=（x+1）2﹣4=（﹣3﹣1）2﹣4=12．‎ 故答案为（1，4），（0，3），12；‎ ‎（3）存在．‎ 当y1=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（0，3），‎ ‎∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，‎ ‎∴CK∥AM，CK=AM，‎ ‎∴四边形AMKC为平行四边形，‎ 当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC==，则CK=，‎ 当抛物线m1沿水平方向向右平移个单位，此时K（，3）；当抛物线m1沿水平方向向左平移个单位，此时K（﹣，3）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用数形结合的数学思想方法解决问题．‎ ‎　‎