2020年中考数学专题复习卷 图形的相似（含解析） 23页

图形的相似 一、选择题 ‎1.已知 ，下列变形错误的是（   ） ‎ A.                                B.                                C.                                D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】 由 得，‎3a=2b， A. 由 得 ，所以变形正确，故不符合题意； B. 由 得‎3a=2b，所以变形错误，故符合题意； C. 由 可得 ，所以变形正确，故不符合题意； D‎.3a=2b变形正确，故不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据已知比例式可得出‎3a=2b，再根据比例的基本性质对各选项逐一判断即可。‎ ‎2.如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A,B,C，直线n分别交直线a、b、c于点D,E,F,若 , ,则 的值应该（    ） ‎ A. 等于                               B. 大于                               C. 小于                               D. 不能确定 ‎【答案】B ‎ 23‎ ‎【解析】 ：如图，过点A作AN∥DF，交BE于点M，交CF于点N ∵a∥b∥c ∴AD=ME=NF=4（平行线中的平行线段相等） ∵AC=AB+BC=2+4=6 ∴ 设MB=x，CN=3x ∴BE=x+4，CF=3x+4 ∵ ∵x＞0 ∴ 故答案为：B 【分析】过点A作AN∥DF，交BE于点M，交CF于点N，根据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再根据平行线分线段成比例得出BM和CN的关系，设MB=x，CN=3x，分别表示出BE、CF，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。‎ ‎3.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（   ） ‎ A. （5，1）                           B. （4，3）                           C. （3，4）                           D. （1，5）‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】 ：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半， ‎ 23‎ 又∵A（6，8）， ∴端点C的坐标为（3，4）． 故答案为：C． 【分析】根据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。‎ ‎4.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1 ， S2 ， （    ） ‎ A. 若 ，则                              B. 若 ，则 C. 若 ，则                              D. 若 ，则 ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】 :如图，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M ‎ ∴DF∥BM，设DF=h1 ， BM=h2 ∴ ∵DE∥BC ∴ ∴ ∵若 ∴设 =k＜0.5（0＜k＜0.5） ∴AE=AC∙k，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2k ∵S1= AE∙h1= AC∙k∙h1 ， S2= CE∙h2= AC（1-k）h2 ‎ 23‎ ‎∴3S1= k2ACh2 ， 2S2=（1-K）∙ACh2 ∵0＜k＜0.5 ∴ k2＜（1-K） ∴3S1＜2S2 故答案为：D 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M，可得出DF∥BM，设DF=h1 ， BM=h2 ， 再根据DE∥BC，可证得 ，若 ，设 =k＜0.5（0＜k＜0.5），再分别求出3S1和2S2 ， 根据k的取值范围，即可得出答案。‎ ‎5.如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是(    ). ‎ A.                       B.                       C.                       D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】 ：∵GE∥BD, ∴ ,因此A不符合题意； ∵GE∥BD, ∴ ① ∵GF∥AC ∴ ②，,因此B、C不符合题意； 由①②得; ,因此D符合题意； 故答案为：D 【分析】抓住已知条件：GE∥BD，GF∥AC，利用平行线分线段成比例，及中间比代换，对各选项逐一判断即可求解。‎ 23‎ ‎6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则 等于（   ） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】 ：∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴ = ，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴ = = ．故答案为：A．【分析】由平行四边形的性质可得ED∥BC，BC=AD，根据相似三角形的判定可得△DEF∽△BCF，则可得比例式,设ED=k，则根据题意可得AE=2k，BC=3k，所以.‎ ‎7.已知 与 相似，且相似比为 ，则 与 的面积比（  ） ‎ A.                                       B.                                       C.                                       D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】 ∵ 与 相似，且相似比为 ∴ 与 的面积比为：1:9 故答案为：D 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答。‎ ‎8.如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝（   ） ‎ 23‎ A.                                      B. ＋1                                     C. 4                                     D. 2 ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】   ：设AD=x，根据折叠的性质的得出AB=AF=2，故DF=x-2, ∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=2,又四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴DC∶AD=FD∶DC,∴DC2=AD·FD ,即22=x(x-2)，解得  ：x1=  ,x2=（舍去）。 故答案为  ： 【分析】设AD=x，根据折叠的性质得出AB=AF=2，故DF=x-2,根据矩形的对边相等得出DC=AB=2，根据相似多边形的对应边成比例得出关于x的方程，求解得出答案。‎ ‎9.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 ， 和 ，另一个三角形的最短边长为‎2.5 cm，则它的最长边为（    ） ‎ A. ‎3cm                                    B. ‎4cm                                    C. ‎4.5cm                                    D. ‎‎5cm ‎【答案】C ‎ ‎【解析】 设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得 5：2.5=9：x， 解得：x=4.5， 故答案为：C. 【分析】要制作两个形状相同的三角形框架，其实质就是做两个相似的三角形框架，设另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求解即可得出答案。‎ ‎10. 如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为   （       ） ‎ 23‎ A. 3                                        B.                                         C.                                         D. 4‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】 ：取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如下图）.  ∵四边形ABCD是边长为6的正方形，BE=4. ∴AE=DF=2,CF=BE=4. ∴△DGF∽△BGE ∴==. ∴GF=2,EF=4. 又∵M、N、K、H、都是中点， ∴MK=GF=1,NH=EF=3.KF=DF=1,FH=CF=2, ∴MK=OH=1.KH=MO=3 ∴NO=2. 在Rt△MON中， ∴MN= == . 故答案为C. 【分析】取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如上图）；由正方形ABCD是边长和BE的长可以得出AE=DF=2,CF=BE=4； 再由题得到△DGF∽△BGE，利用相似三角形的性质可以求出.GF=2,EF=4；再根据三角形中位线可以得出MO=3，NO=2；利用勾股定理即可得出答案.‎ ‎11.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ）。‎ 23‎ A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 4‎ ‎【答案】A ‎ 解析 ：∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4， ∵∠BAD＝60°, ∴△ABD是等边三角形， 又∵O是菱形对角线AC、BD的交点， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOD中， ∴AO= ， ∴AC=‎2A0=4 ， ∴S△ACD= ·OD·AC= ×2×4 =4 ， 又∵O、E分别是中点， ∴OE∥AD， ∴△COE∽△CAD， ∴ , ∴ , ∴S△COE= S△CAD= ×4 = . 故答案为：A. 【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD 23‎ 是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO= ，AC=‎2A0=4 ，根据三角形面积公式得S△ACD= ·OD·AC=4 ，根据中位线定理得OE∥AD，由相似三角形性质得 ,从而求出△OCE的面积.‎ 二、填空题 ‎ ‎12.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________. ‎ ‎【答案】3或1.2 ‎ ‎【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，∴BD=10， ∵△PBE∽△DBC， ∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上， 如图1， 当DP=DA=8时，BP=2， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=2：10， ∴PE：6=2：10， ∴PE=1.2； 如图2， 当AP=DP时，此时P为BD中点， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=1：2， ∴PE：6=1：2， ∴PE=3； 综上，PE的长为1.2或3， ‎ 23‎ 故答案为：1.2或3. 【分析】 根据矩形的性质，可得出∠BAD=∠C=90°，利用勾股定理求出BD的长，根据相似三角形的性质，可得出∠PBE=∠DBC，得出点P在BD上，然后分情况讨论：当DP=DA=8时，BP=2；当AP=DP时，此时P为BD中点，利用相似三角形的性质得出对应边成比例，就可求出PE的长。‎ ‎13.在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,AD、BE相交于点F，且AF=4,EF= ,则AC=________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ：作EG⊥AF，连接CF，‎ ‎ ∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， 又∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA, ∴∠FAB+∠FBA=45°，∴∠AFE=45°， 在Rt△EGF中， ∵EF= ,∠AFE=45°， ∴EG=FG=1， 又∵AF=4, ∴AG=3, ∴AE= ， ∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA, ∴CF平分∠ACB, ‎ 23‎ ‎∴∠ACF=45°， ∵∠AFE=∠ACF=45°，∠FAE=∠CAF， ∴△AEF∽△AFC， ∴ , 即 , ∴AC= . 故答案为： . 【分析】作EG⊥AF，连接CF，根据三角形内角和和角平分线定义得∠FAB+∠FBA=45°，再由三角形外角性质得∠AFE=45°，在Rt△EGF中，根据勾股定理得EG=FG=1，结合已知条件得AG=3,在Rt△AEG中，根据勾股定理得AE= ；由已知得F是三角形角平分线的交点，所以CF平分∠ACB,∠ACF=45°，根据相似三角形的判定和性质得 ,从而求出AC的长.‎ ‎14.如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为________． ‎ ‎【答案】1:9 ‎ ‎【解析】 【解答】解：∵AD：DB＝1：2， ∴AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3， ∵DE//BC， ∴△ADE~△ABC， ∴ ， 则   故答案为：1:9. 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方；由平行可得△ADE~△ABC，而且相似比AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3.‎ 23‎ ‎15.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4， ∴NF= x，AN=4﹣x， ∵AB=2， ∴AM=BM=1， ∵AE= ，AB=2， ∴BE=1， ∴ME= ， ∵∠EAF=45°， ∴∠MAE+∠NAF=45°， ∵∠MAE+∠AEM=45°， ∴∠MEA=∠NAF， ∴△AME∽△FNA， ∴ ， ∴ ， 解得：x= ∴AF= ‎ 23‎ 故答案为： ． 【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，根据矩形的性质得出∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NF= x，AN=4﹣x，根据中点定义得出AM=BM=1，根据勾股定理得出BE=1，ME=， 然后判断出△AME∽△FNA，根据相似三角形对应边成比例得出AM ∶FN=ME∶AN，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，根据勾股定理得出AF的长。‎ ‎16.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝ ，则AB的长为________． ‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】 ：设AB=CD=2x，则AE=BE=CG=DG=x，AD2=BC2=AC2-CD2=6-4x2 ， ∵AG⊥GF， ∴∠AGD+∠CGF=90°， 在矩形ABCD中，∠D=∠FCG=90°， ∴∠AGD+∠DAG=90°， ∴∠CGF=∠DAG， ∴△ADG~△GCF， ∴ ，即DG·CG=AD·CF， ∵DG=CG=x，CF= AD， ∴ , 解得x1=1,x2=-1（舍去）， 则AB=2x=2 故答案为：2. 【分析】由AG⊥GF，及∠D=∠FCG=90°，可证明△ADG~△GCF，则 ，而CG=DG，CF= AD，则CG2= ，∴只需要得到另一个CG与AD的数量关系：由AC＝ 和勾股定理可知AD2=BC2=AC2-CD2=6-(2CG)2 ， 构造方程即可解答.‎ 23‎ ‎17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC= 20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于________． ‎ ‎【答案】78 ‎ ‎【解析】 :在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC= 20， ∴ BC=25 ∴△ABC的面积=ABAC=×15×20=150 ∵CD=AC-AD=‎20-5-15‎ ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=∠BAC=90° ∠C=∠C ∴△CDE∽△CBA 即CE:20=15：25 解之：CE=12 ∴BE=BC-CE=13 ∵S△ABE：S△ABC=BE:BC=13：25 ∴S△ABE：150=13：25 解之：S△ABE=78 故答案为：78 【分析】根据题意，利用勾股定理求出BC的长，就可求出△ABC的面积，再证明△CDE∽△CBA，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，求出CE的长，从而求出BE的长，然后根据S△ABE：S△ABC=BE:BC，建立方程，求出△ABE的面积即可。‎ 23‎ ‎18.如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线BD延长线上一点，BD＝4，DE＝1，∠BAE＝45°，则AB长为 ________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ：连接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N． ∵∠BAE=45°，∠BMA=90°，∴∠MAB=∠MBA=45°，∴AM=BM， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠AOE=90°，设AM=BM=b，ME=a， ∵∠E=∠E，∠AOE=∠BME=90°，∴△AOE∽△BME，∴ = ，∴ = ， ∴a2+ab=15     ① 又∵a2+b2=25    ② ①×5﹣②×3得到：‎2a2+5ab﹣3b2=0，∴（a+3b）（‎2a﹣b）=0， ∴b=‎2a代入②得到a= ，∴b=2 ，∵AB= AM=2 ．故答案为2 ． 【分析】连接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N．根据三角形的内角和判断出∠MAB=∠MBA=45°，根据等边对等角得出AM=BM，根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠AOE=90°，设AM=BM=b，ME=a，然后判断出△AOE∽△BME，根据相似三角形对应边成比例得出 O E∶ E M = A E∶ B E，从而得出关于a,b的方程，a2+ab=15     ①，根据勾股定理得出a2+b2=25    ②，①×5﹣②×3得到：‎2a2+5ab﹣3b2=0，求解得出，a,b的值，根据等腰直角三角形边之间的关系由AB= AM得出答案。‎ ‎19.边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点,P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动,过P做PF⊥DE,当运动时间为________秒时，以点P、F、E为顶点的三角形与△AED相似 ‎ ‎【答案】1或 ‎ 23‎ ‎【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，PF⊥DE， ∴∠A=∠DFP=∠ADC=90°， ∴∠ADE+∠EDP=∠EDP+∠DPF=90°， ∴∠ADE=∠FPD， ∴△ADE∽△FPD. （ 1 ）如图1， 当∠DPE=90°时，易得△FPD∽△FEP，则△ADE∽△FEP， 此时四边形AEPD是矩形， ∴DP=AE=1， ∴t=1，即当t=1时，△ADE∽△FEP； （ 2 ）如图2， 当DP=EP时，易得△FPE≌△FPD，则△FEP∽△ADE， 此时四边形AEHD是矩形， ∴DH=AE=1，HP=x-1，HE=AD=2， ∴PE2=HE2+HP2=PD2 ， ∴ ，解得： ； 综上所述，当 或 时，以点P、F、E为顶点的三角形与△AED相似. 故答案为：1或 . 【分析】由题意知，不论点P运动到何处，易证得△ADE∽△FPD，所以只需△FEP与三角形FPD 23‎ 相似或全等即可。由题意可分两种情况：（1）当∠DPE=90°时，易得△ADE∽△FEP，可得比例式求解；（2）当DP=EP时，易得△FPE≌△FPD，则△FEP∽△ADE，于是可得比例式求解。‎ 三、解答题 ‎ ‎20.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=‎6cm，DB=‎8cm，求：AC的长． ‎ ‎【答案】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ = ，即 = ，解得，AC=2 ． ‎ ‎【解析】【分析】∠ACD=∠B，而∠A是公共角，所以根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADC∽△ACB，所以可得比例式,即,解得AC=2.‎ ‎21.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC= ，AD=1，求DB的长． ‎ ‎【答案】解：∵∠ACD=∠ABC， 又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD ， ∴ ， ∵AC= ，AD=1， ∴ ， ∴AB=3， ∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2 ‎ ‎【解析】【分析】根据已知条件易证得△ABC∽△ACD ，由相似三角形的性质可得比例式,将已知的线段代入即可求解。‎ 23‎ ‎22.如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG，于点E，BF⊥AG于点F，设 。‎ ‎（1）求证：AE=BF； ‎ ‎（2）连接BE，DF，设∠EDF= ，∠EBF= 求证： ‎ ‎（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2 ， 求 的最大值． ‎ ‎【答案】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAF+∠EAD=90°，又因为DE⊥AG，所以∠EAD+∠ADE=90°， 所以∠ADE=∠BAF， 又因为BF⊥AG， 所以∠DEA=∠AFB=90°， 又因为AD=AB 所以Rt△DAE≌Rt△ABF， 所以AE=BF （2）易知Rt△BFG∽Rt△DEA，所以 在Rt△DEF和Rt△BEF中，tanα= ，tanβ= 所以ktanβ= = = = =tanα 所以 （3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，所以△ABG的面积等于 k因为△ABD的面积等于 又因为 =k，所以S1= 所以S2=1- k- = 所以 =-k2+k+1= ≤ 因为0＜k＜1，所以当k= ，即点G为BC中点时， 有最大值 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义，可证得∠ADE=∠BAF，∠ADE=∠BAF及AD=AB，利用全等三角形的判定，可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，从而可证得结论。 （2）根据已知易证Rt△BFG∽Rt△DEA，得出对应边成比例，再在Rt△DEF和Rt△BEF中，根据锐角三角函数的定义，分别表示出tanα、tanβ，从而可推出tanα=tanβ。 ‎ 23‎ ‎（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，分别表示出△ABG、△ABD的面积，再根据 =k,求出S1及S2 ， 再求出S1与S2之比与k的函数解析式，求出顶点坐标，然后根据k的取值范围，即可求解。‎ ‎23.如图，以 的直角边 为直径作 交斜边 于点 ，过圆心 作 ，交 于点 ，连接 .‎ ‎（1）判断 与 的位置关系并说明理由； ‎ ‎（2）求证： ； ‎ ‎（3）若 ， ，求 的长. ‎ ‎【答案】（1）解：DE是圆O的切线证明：连接OD ∵OE∥AC ∴∠1=∠3，∠2=∠A ∵OA=OD ∴∠1=∠A ∴∠2=∠3 在△BOE和△DOE中 OE=OD，∠2=∠3，OE=OE ∴△BOE≌△DOE（SAS） ∴∠ODE=∠OBE=90° ∴OD⊥DE ∴DE是圆O的切线 ‎ 23‎ ‎（2）解：证明：连接BD∵AB是直径 ∴∠BDC=∠ADB=∠ABC=90° ∵OE∥AC，O是AB的中点 ∴OE是△ABC的中位线 ∴AC=2OE ∵∠BDC=∠ABC，∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC ∴ ∴BC2=2CD•OE ∵BC=2DE， ∴（2DE）2=2CD•OE ∴ （3）解：∵ 设：BD=4x，CD=3x ∵在△BDC中，    ， ∴BC=2DE=5 ∴（4x）2+（3x）2=25 解之：x=1，x=-1（舍去） ∴BD=4 ∵∠ABD=∠C ∴AD=BD•tan∠ABD= ‎ ‎【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质及等腰三角形的性质证明∠2=∠3，再证明△BOE≌△DOE，可证出OD⊥DE，即可得证。 （2）连接BD，证明OE是△ABC的中位线，得出AC=2OE，再证明△ABC∽△BDC，得出BC2=AC•CD，结合BC=2DE，AC=2OE，即可求证结论。 （3）根据三角函数的定义，BD=4x，CD=3x，先求出BC的长，再根据勾股定理求出x的值，就可得出BD的长，再根据∠ABD=∠C，利用锐角三角函数的定义得出AD=BD•tan∠ABD，即可解答。‎ 23‎ ‎24.如果三角形的两个内角 与 满足 ＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． ‎ ‎（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝________°； ‎ ‎（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由． ‎ ‎（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”．求对角线AC的长． ‎ ‎【答案】（1）15° （2）解：存在， 如图①，连结AE， 在Rt△ABC中， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC=2∠BAD， ∴∠B+2∠BAD=90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， 又∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴∠B+2∠BAE=90°， ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°， ∴∠EAC=∠B, ‎ 23‎ 又∵∠C=∠C, ∴△CAE∽△CBA， ∴ , 即CA2=CB·CE， ∵AC＝4，BC＝5， ∴CE= . ∴BE=BC-CE=5- = . （3）解：如图②， 将△BCD沿BC翻折得到△BCF, ∵CD＝12， ∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD,∠CBD=∠CBF, 又∵BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD， ∴∠CBD+∠BCD=90°， ∴2∠CBD+2∠BCD=180°， 即∠ABD+∠CBD+∠CBF=180°， ∴A、B、F三点共线， 在Rt△AFC中， ∴∠CAB+∠ACF=90°， 即∠CAB+∠ACB+∠BCF=90°， ∴∠CAB+2∠ACB≠90°， ∵△ABC是“准互余三角形”, ∴2∠CAB+∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠BCF， ∵∠F=∠F, ‎ 23‎ ‎∴△FCB∽△FAC， ∴ , 即FC2=FA·FB, 设BF=x， ∵AB=7, ∴FA=x+7, ∴x（x+7）=122, 解得：x1=9，x2=-16（舍去） ∴AF=7+9=16. 在Rt△AFC中， ∴AC= = =20. ‎ ‎【解析】 （1）解：∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B+∠A=90°， ∴2∠B+60°=90°， ∴∠B=15°. 故答案为：15° 【分析】（1）根据“准互余三角形”，的定义，结合题意得2∠B+∠A=90°，代入数值即可求出∠B度数. （2）存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得∠B+2∠BAD=90°，根据“准互余三角形”，定义即可得△ABD是“准互余三角形”；根据△ABE是“准互余三角形”，以及直角三角形两内角互余可得∠EAC=∠B,根据相似三角形判定“AA”可得△CAE∽△CBA，再由相似三角形性质得 ,由此求出CE= .从而得BE长. （3）如图②，将△BCD沿BC翻折得到△BCF,根据翻折性质、直角三角形性质、“准互余三角形”定义可得到△FCB∽△FAC，再由相似三角形性质可得 ,设BF=x，代入数值即可求出x值，从而求出AF值，在Rt△AFC中，根据勾股定理即可求得AC长.‎ 23‎