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  • 2021-05-10 发布

挑战中考数学压轴题第七版精选2

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目 录 第一部分 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2013年上海市中考第24题 例2 2012年苏州市中考第29题 例3 2012年黄冈市中考第25题 例4 2010年义乌市中考第24题 例5 2009年临沂市中考第26题 例6 2008年苏州市中考第29题 ‎1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题 例2 2012年扬州市中考第27题 例3 2012年临沂市中考第26题 例4 2011年湖州市中考第24题 例5 2011年盐城市中考第28题 例6 2010年南通市中考第27题 例7 2009年江西省中考第25题 ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2013年山西省中考第26题 例2 2012年广州市中考第24题 例3 2012年杭州市中考第22题 例4 2011年浙江省中考第23题 例5 2010年北京市中考第24题 例6 2009年嘉兴市中考第24题 例7 2008年河南省中考第23题 ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题 例2 2012年福州市中考第21题 例3 2012年烟台市中考第26题 例4 2011年上海市中考第24题 例5 2011年江西省中考第24题 例6 2010年山西省中考第26题 例7 2009年江西省中考第24题 ‎1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2012年上海市松江中考模拟第24题 例2 2012年衢州市中考第24题 ‎ 例4 2011年义乌市中考第24题 例5 2010年杭州市中考第24题 例7 2009年广州市中考第25题 ‎1.6 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 例2 2012年菏泽市中考第21题 例3 2012年河南省中考第23题 例4 2011年南通市中考第28题 例5 2010年广州市中考第25题 例6 2010年扬州市中考第28题 例7 2009年兰州市中考第29题 ‎1.7 因动点产生的相切问题 例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 2012年河北省中考第25题 ‎ 例3 2012年无锡市中考第28题 ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 2013年天津市中考第25题 例2 2012年滨州市中考第24题 例3 2012年山西省中考第26题 第二部分 图形运动中的函数关系问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题 例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 2012年连云港市中考第26题 例4 2010年上海市中考第25题 ‎2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 2013年菏泽市中考第21题 例2 2012年广东省中考第22题 ‎ 例3 2012年河北省中考第26题 ‎ 例4 2011年淮安市中考第28题 例5 2011年山西省中考第26题 例6 2011年重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南京市中考第26题 例2 2013年南昌市中考第25题 ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 2013年江西省中考第24题 第一部分 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2013年上海市中考第24题 图1 ‎ 如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.‎ ‎(1)求这条抛物线的表达式;‎ ‎(2)连结OM,求∠AOM的大小;‎ ‎(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.‎ 例2 2012年苏州市中考第29题 如图1,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.‎ ‎(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);‎ ‎(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;‎ 图1‎ ‎(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ 例3 2012年黄冈市中考模拟第25题 如图1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.‎ ‎(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;‎ ‎(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;‎ ‎(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 例4 2010年义乌市中考第24题 如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).‎ ‎(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;‎ ‎(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;‎ ‎(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 例5 2009年临沂市中考第26题 如图,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.‎ 图1‎ 图 ‎,‎ 例6 2008年苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.‎ ‎(1)求ED、EC的长;‎ ‎(2)若BP=2,求CQ的长;‎ ‎(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.‎ 图1 备用图 例2 2012年扬州市中考第27题 如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;‎ 图1 ‎ ‎(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 例3 2012年临沂市中考第26题 如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;‎ 图1‎ ‎(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 例4 2011年盐城市中考第28题 如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B.‎ ‎(1)求点A和点B的坐标;‎ ‎(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.‎ 例5 2010年南通市中考第27题 如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.‎ 图1‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式; ‎ ‎(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ ‎(3)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?‎ 例 6 2009年江西省中考第25题 如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.‎ ‎(1)求点E到BC的距离;‎ ‎(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB交折线ADC于N,连结PN,设EP=x.‎ ‎①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;‎ ‎②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2013年山西省中考第26题 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m, 0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.‎ ‎(1)求点A、B、C的坐标;‎ ‎(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;‎ 图1 ‎ ‎(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 例2 2012年广州市中考第24题 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.‎ ‎(1)求点A、B的坐标;‎ ‎(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;‎ 图1 ‎ ‎(3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.‎ 例3 2012年杭州市中考第22题 在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).‎ ‎(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;‎ ‎(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;‎ ‎(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.‎ 例4 2011年浙江省中考第23题 设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H,则称直线l1与l2是点H的直角线.‎ ‎(1)已知直线①;②;③;④和点C(0,2),则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);‎ ‎(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2‎ 的解析式. ‎ 例5 2010年北京市中考第24题 在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动).‎ ‎①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;‎ 图1‎ ‎②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.‎ 例6 2009年嘉兴市中考第24题 图1‎ 如图1,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.‎ ‎(1)求x的取值范围;‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;‎ ‎(3)探究:△ABC的最大面积?‎ 例 7 2008年河南省中考第23题 如图1,直线和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0).‎ ‎(1)试说明△ABC是等腰三角形;‎ 图1‎ ‎(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.‎ ‎① 求S与t的函数关系式;‎ ‎② 设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,‎ 求出对应的t值;若不存在请说明理由;‎ ‎③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.‎ 例8 2008年河南省中考第23题 如图1,直线和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0).‎ ‎(1)试说明△ABC是等腰三角形;‎ 图1‎ ‎(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.‎ ‎① 求S与t的函数关系式;‎ ‎② 设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,‎ 求出对应的t值;若不存在请说明理由;‎ ‎③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.‎ ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 图1 ‎ 例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题 如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点. ‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求tan∠ABO的值;‎ ‎(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于 y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB 为平行四边形,求点M的坐标.‎ 例2 2012年福州市中考第21题 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).‎ ‎(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______;‎ ‎(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;‎ ‎(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长.‎ 图1   图2‎ 例3 2012年烟台市中考第26题 图1‎ 如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为 何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?‎ ‎(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形 ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶 点的四边形为菱形?请直接写出t的值.‎ 例4 2011年上海市中考第24题 已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数的图象上,且MO=MA.二次函数 y=x2+bx+c的图象经过点A、M.‎ ‎(1)求线段AM的长;‎ ‎(2)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.‎ 图1‎ 例5 2011年江西省中考第24题 将抛物线c1:沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.‎ ‎(1)请直接写出抛物线c2的表达式;‎ ‎(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.‎ ‎①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;‎ 图1‎ ‎②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.‎ 例6 2010年山西省中考第26题 在直角梯形OABC中,CB//OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;‎ ‎(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 例7 2009年江西省中考第24题 图1‎ 如图1,抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.‎ ‎(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;‎ ‎(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC 上的一个动点,过点P作PF//DE交抛物线于点F,‎ 设点P的横坐标为m.‎ ‎①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,‎ 四边形PEDF为平行四边形?‎ ‎②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系.‎ ‎1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题 已知直线y=3x-3分别与x轴、y轴交于点A,B,抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;‎ ‎(2)记该抛物线的对称轴为直线l,点B关于直线l的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上,且四边形ABCD为梯形.‎ ‎①求点D的坐标;‎ ‎②将此抛物线向右平移,平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y=3x-3交于点E,若,求四边形BDEP的面积.‎ 图1 ‎ 例2 2012年衢州市中考第24题 如图1,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.‎ ‎(1)求该抛物线的函数解析式;‎ ‎(2)点P为线段OC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 图1 ‎ 例 4 2011年义乌市中考第24题 已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.‎ ‎(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;‎ ‎(2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN. 在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式. ‎ 图1 图2‎ 例5 2010年杭州市中考第24题 图1‎ 如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =,点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上. ‎ ‎(1) 写出点M的坐标; ‎ ‎(2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时,求t的值.‎ 例7 2009年广州市中考第25题 图1‎ 如图1,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),△ABC的面积为.‎ ‎(1)求该二次函数的关系式;‎ ‎(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与 ‎△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;‎ (3) 在该二次函数的图象上是否存在点D,使以A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,‎ 请说明理由.‎ ‎1.6 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 图1 ‎ 如图1,已知抛物线(b、c是常数,且c<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).‎ (1) b=______,点B的横坐标为_______‎ ‎(上述结果均用含c的代数式表示);‎ ‎(2)连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E.‎ 点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,‎ 求抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,‎ 连结PB、PC.设△PBC的面积为S.‎ ‎①求S的取值范围;‎ ‎②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有_____个.‎ 例 2 2012年菏泽市中考第21题 图1‎ 如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.‎ ‎(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,‎ 使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?若存在,请求出 点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的 四边形?并写出它的两条性质.‎ 例 3 2012年河南省中考第23题 图1‎ 如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.‎ ‎(1)求a、b及sin∠ACP的值;‎ ‎(2)设点P的横坐标为m.‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;‎ ‎②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的 m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?若存在,直接写出m 的值;若不存在,请说明理由.‎ 例 4 2011年南通市中考第28题 图1‎ 如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线(x>0)交于点B(2,1).过点(p>1)作x轴的平行线分别交曲线(x>0)和(x<0)于M、N两点.‎ ‎(1)求m的值及直线l的解析式;‎ ‎(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;‎ ‎(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,‎ 请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.‎ 例5 2010年广州市中考第25题 图1‎ 如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E.‎ ‎(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;‎ ‎(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的 对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形 OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠 部分的面积;若改变,请说明理由.‎ 例 6 2010年扬州市中考第28题 图1‎ 如图1,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.‎ ‎(1)求线段AD的长;‎ ‎(2)若EF⊥AB,当点E在斜边AB上移动时,‎ ‎①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);‎ ‎②当x取何值时,y有最大值?并求出最大值.‎ (3) 若点F在直角边AC上(点F与A、C不重合),‎ 点E在斜边AB上移动,试问,是否存在直线EF将△ABC 的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;‎ 若不存在直线EF,请说明理由.‎ 例7 2009年兰州市中考第29题 如图1,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴上运动,当P点到D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.‎ ‎(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图2所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;‎ ‎(2)求正方形边长及顶点C的坐标;‎ ‎(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标.‎ ‎(4)如果点P、Q保持原速度速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎1.7 因动点产生的相切问题 ‎ 例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 如图1,已知⊙O的半径长为3,点A是⊙O上一定点,点P为⊙O上不同于点A的动点.‎ ‎(1)当时,求AP的长;‎ ‎(2)如果⊙Q过点P、O,且点Q在直线AP上(如图2),设AP=x,QP=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当时(如图3),存在⊙M与⊙O相内切,同时与⊙Q相外切,且OM⊥OQ,试求⊙M的半径的长.‎ 图1 图2 图3 ‎ 例2 2012年河北省中考第25题 如图1,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD//AB,∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒.‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)当∠BCP=15°时,求t的值;‎ ‎(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.‎ ‎ 图1‎ 例3 2012年无锡市中考模拟第28题 如图,菱形ABCD的边长为2厘米,∠DAB=60°.点P从A出发,以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从点A出发,以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动.当点P到达点C时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为t秒.‎ ‎(1)当P异于A、C时,请说明PQ//BC;‎ ‎(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点? ‎ ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 ‎ 例1 2013年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.‎ ‎(1)如图1,求点E的坐标;‎ ‎(2)如图2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连结A′B、BE′.‎ ‎①设AA′=m,其中0<m<2,使用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;‎ ‎②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).‎ 图1 图2‎ 图1‎ 例2 2012年滨州市中考第24题 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c 经过A(-2, -4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.‎ ‎(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;‎ ‎(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,‎ 求AM+OM的最小值.‎ 例3 2012年山西省中考第26题 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.‎ 图1‎ ‎(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;‎ ‎(2)点P是x轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q.‎ 试探究:随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐 标;若不存在,请说明理由;‎ (3) 请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,‎ 求出点M的坐标.‎ 第二部分 函数图象中点的存在性问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 ‎ 例1 2013年宁波市中考第26题 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(-4,0),点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P、D、B三点作⊙Q,与y轴的另一个交点为E,延长DQ交⊙Q于F,连结EF、BF.‎ ‎(1)求直线AB的函数解析式;‎ ‎(2)当点P在线段AB(不包括A、B两点)上时.‎ ‎①求证:∠BDE=∠ADP;‎ ‎②设DE=x,DF=y,请求出y关于x的函数解析式;‎ 请你探究:点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2∶1?如果存在,求出此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ 例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,,⊙B的半径长为1,⊙B交边CB于点P,点O是边AB上的动点.‎ ‎(1)如图1,将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M,请判断⊙M与直线AB的位置关系;‎ ‎(2)如图2,在(1)的条件下,当△OMP是等腰三角形时,求OA的长; ‎ ‎(3)如图3,点N是边BC上的动点,如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切,设NB=y,OA=x,求y关于x的函数关系式及定义域.‎ 图1 图2 图3‎ 例3 2012年连云港市中考第26题 如图1,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,点O为坐标原点.甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走,t小时后,甲到达M点,乙到达N点.‎ ‎(1)请说明甲、乙两人到达点O前,MN与AB不可能平行;‎ ‎(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?‎ ‎(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长.设s=MN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值. 图1‎ 例4 2011年上海市中考第25题 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,.‎ ‎(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;‎ ‎(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;‎ ‎(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.‎ 图1 图2 备用图 ‎2.2 由面积产生的函数关系问题 ‎ 例1 2013年菏泽市中考第21题 图1 ‎ 如图1, △ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.‎ ‎(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;‎ ‎(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒 ‎1个单位的速度运动,问:‎ ‎①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?‎ ‎②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?‎ 此时四边形PDCQ的面积是多少?‎ 例2 2012年广东省中考第22题 图1‎ 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.‎ ‎(1)求AB和OC的长;‎ ‎(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、‎ B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为 m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变 量m的取值范围;‎ (3) 在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;‎ 此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).‎ 例3 2012年河北省中考第26题 如图1,图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,.‎ 探究 如图1,AH⊥BC于点H,则AH=_____,AC=______,△ABC的面积S△ABC=________.‎ 图1 图2‎ 拓展 如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与点A重合时,我们认为S△ABD=0)‎ ‎(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;‎ ‎(2)求(m+n)与x的函数关系式,‎ 并求(m+n)的最大值和最小值;‎ (3) 对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,‎ 指出这样的x的取值范围.‎ 发现 请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条 直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出最小值.‎ 例4 2011年淮安市中考第28题 图1‎ 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S. ‎ (1) 当t=1时,正方形EFGH的边长是________;‎ 当t=3时,正方形EFGH的边长是________;‎ ‎(2)当1<t≤2时,求S与t的函数关系式;‎ ‎(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,‎ S最大?最大面积是多少?‎ 例5 2011年山西省中考第26题 图1‎ 如图1,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点,点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O—C—B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.‎ (1) 点C的坐标为____________,‎ 直线l的解析式为____________;‎ (2) 试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,‎ 并写出相应的t的取值范围.‎ (3) 试求题(2)中当t为何值时,S的值最大?‎ 最大值是多少?‎ 例6 2011年重庆市中考第26题 如图1,矩形ABCD中,AB=6,BC=,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动,在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为t秒(t≥0).‎ ‎(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;‎ ‎(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;‎ ‎(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由. 图1‎ 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南京市中考第26题 已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).‎ ‎(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点;‎ ‎(2)设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点D.‎ ‎①当△ABC的面积等于1时,求a的值 ‎②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.‎ 例2 2013年南昌市中考第25题 已知抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(bn-1,0)和An(bn,0).当n=1时,第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推 ‎ 备用图(仅供草稿使用)‎ ‎(1)求a、b的值及抛物线y2的解析式;‎ ‎(2)抛物线y3的顶点坐标为(_____,_____);‎ 依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____,_____)‎ ‎(用含n的式子表示);‎ 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________;‎ ‎(3)探究下列结论:‎ ‎①若用An-1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长,‎ 直接写出A0A1的值,并求出An-1 An;‎ ‎②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,‎ 且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接 写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.‎ ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, -3).‎ ‎(1)求此二次函数的解析式;‎ ‎(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,且所得四边形ABCD恰为正方形.‎ ‎①求正方形的ABCD的面积;‎ ‎②联结PA、PD,PD交AB于点E,求证:△PAD∽△PEA.‎ 例2 2013年江西省中考第24题 某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:‎ ‎(1)操作发现:‎ 在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连结MD和ME,则下列结论正确的是__________(填序号即可).‎ ‎①AF=AG=;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.‎ ‎(2)数学思考:‎ 在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连结MD和ME,则MD与ME有怎样的数量关系?请给出证明过程;‎ ‎(3)类比探究:‎ 在任意△ABC中,仍分别以AB、AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连结MD和ME,试判断△MDE的形状.答:_________.‎ 图1 ‎