挑战中考数学压轴题第七版精选2 22页

目 录 第一部分 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2013年上海市中考第24题 例2 2012年苏州市中考第29题 例3 2012年黄冈市中考第25题 例4 2010年义乌市中考第24题 例5 2009年临沂市中考第26题 例6 2008年苏州市中考第29题 ‎1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题 例2 2012年扬州市中考第27题 例3 2012年临沂市中考第26题 例4 2011年湖州市中考第24题 例5 2011年盐城市中考第28题 例6 2010年南通市中考第27题 例7 2009年江西省中考第25题 ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2013年山西省中考第26题 例2 2012年广州市中考第24题 例3 2012年杭州市中考第22题 例4 2011年浙江省中考第23题 例5 2010年北京市中考第24题 例6 2009年嘉兴市中考第24题 例7 2008年河南省中考第23题 ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题 例2 2012年福州市中考第21题 例3 2012年烟台市中考第26题 例4 2011年上海市中考第24题 例5 2011年江西省中考第24题 例6 2010年山西省中考第26题 例7 2009年江西省中考第24题 ‎1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2012年上海市松江中考模拟第24题 例2 2012年衢州市中考第24题 ‎ 例4 2011年义乌市中考第24题 例5 2010年杭州市中考第24题 例7 2009年广州市中考第25题 ‎1.6 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 例2 2012年菏泽市中考第21题 例3 2012年河南省中考第23题 例4 2011年南通市中考第28题 例5 2010年广州市中考第25题 例6 2010年扬州市中考第28题 例7 2009年兰州市中考第29题 ‎1.7 因动点产生的相切问题 例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 2012年河北省中考第25题 ‎ 例3 2012年无锡市中考第28题 ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 2013年天津市中考第25题 例2 2012年滨州市中考第24题 例3 2012年山西省中考第26题 第二部分 图形运动中的函数关系问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题 例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 2012年连云港市中考第26题 例4 2010年上海市中考第25题 ‎2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 2013年菏泽市中考第21题 例2 2012年广东省中考第22题 ‎ 例3 2012年河北省中考第26题 ‎ 例4 2011年淮安市中考第28题 例5 2011年山西省中考第26题 例6 2011年重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南京市中考第26题 例2 2013年南昌市中考第25题 ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 2013年江西省中考第24题 第一部分 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2013年上海市中考第24题 图1 ‎ 如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）连结OM，求∠AOM的大小；‎ ‎（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．‎ 例2 2012年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；‎ ‎（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ 图1‎ ‎（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 例3 2012年黄冈市中考模拟第25题 如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．‎ ‎（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；‎ ‎（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；‎ ‎（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 例4 2010年义乌市中考第24题 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；‎ ‎（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 例5 2009年临沂市中考第26题 如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．‎ 图1‎ 图 ‎,‎ 例6 2008年苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．‎ ‎（1）求ED、EC的长；‎ ‎（2）若BP＝2，求CQ的长；‎ ‎（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．‎ 图1 备用图 例2 2012年扬州市中考第27题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；‎ 图1 ‎ ‎（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 例3 2012年临沂市中考第26题 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；‎ 图1‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 例4 2011年盐城市中考第28题 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．‎ ‎（1）求点A和点B的坐标；‎ ‎（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．‎ ‎①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ 例5 2010年南通市中考第27题 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．‎ 图1‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式； ‎ ‎（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？‎ 例 6 2009年江西省中考第25题 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．‎ ‎（1）求点E到BC的距离；‎ ‎（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．‎ ‎①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；‎ ‎②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2013年山西省中考第26题 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．‎ ‎（1）求点A、B、C的坐标；‎ ‎（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；‎ 图1 ‎ ‎（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 例2 2012年广州市中考第24题 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；‎ 图1 ‎ ‎（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．‎ 例3 2012年杭州市中考第22题 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．‎ ‎（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；‎ ‎（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．‎ 例4 2011年浙江省中考第23题 设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．‎ ‎（1）已知直线①；②；③；④和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；‎ ‎（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2‎ 的解析式． ‎ 例5 2010年北京市中考第24题 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．‎ ‎①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；‎ 图1‎ ‎②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．‎ 例6 2009年嘉兴市中考第24题 图1‎ 如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．‎ ‎（1）求x的取值范围；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；‎ ‎（3）探究：△ABC的最大面积？‎ 例 7 2008年河南省中考第23题 如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．‎ ‎（1）试说明△ABC是等腰三角形；‎ 图1‎ ‎（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．‎ ‎① 求S与t的函数关系式；‎ ‎② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，‎ 求出对应的t值；若不存在请说明理由；‎ ‎③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．‎ 例8 2008年河南省中考第23题 如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．‎ ‎（1）试说明△ABC是等腰三角形；‎ 图1‎ ‎（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．‎ ‎① 求S与t的函数关系式；‎ ‎② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，‎ 求出对应的t值；若不存在请说明理由；‎ ‎③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．‎ ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 图1 ‎ 例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． ‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求tan∠ABO的值；‎ ‎（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于 y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M的坐标．‎ 例2 2012年福州市中考第21题 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；‎ ‎（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；‎ ‎（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．‎ 图1 　 图2‎ 例3 2012年烟台市中考第26题 图1‎ 如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为 何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形 ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶 点的四边形为菱形？请直接写出t的值．‎ 例4 2011年上海市中考第24题 已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数 y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．‎ ‎（1）求线段AM的长；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．‎ 图1‎ 例5 2011年江西省中考第24题 将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．‎ ‎（1）请直接写出抛物线c2的表达式；‎ ‎（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．‎ ‎①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；‎ 图1‎ ‎②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．‎ 例6 2010年山西省中考第26题 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；‎ ‎（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 例7 2009年江西省中考第24题 图1‎ 如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；‎ ‎（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC 上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，‎ 设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，‎ 四边形PEDF为平行四边形？‎ ‎②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．‎ ‎1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．‎ ‎①求点D的坐标；‎ ‎②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．‎ 图1 ‎ 例2 2012年衢州市中考第24题 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．‎ ‎（1）求该抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 图1 ‎ 例 4 2011年义乌市中考第24题 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．‎ ‎（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；‎ ‎（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式． ‎ 图1 图2‎ 例5 2010年杭州市中考第24题 图1‎ 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ＝，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上． ‎ ‎(1) 写出点M的坐标； ‎ ‎(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．‎ 例7 2009年广州市中考第25题 图1‎ 如图1，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），△ABC的面积为．‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与 ‎△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；‎ （3） 在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，‎ 请说明理由．‎ ‎1.6 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 图1 ‎ 如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．‎ （1） b＝______，点B的横坐标为_______‎ ‎（上述结果均用含c的代数式表示）；‎ ‎（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．‎ 点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，‎ 求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，‎ 连结PB、PC．设△PBC的面积为S．‎ ‎①求S的取值范围；‎ ‎②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．‎ 例 2 2012年菏泽市中考第21题 图1‎ 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，‎ 使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的 四边形？并写出它的两条性质．‎ 例 3 2012年河南省中考第23题 图1‎ 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．‎ 例 4 2011年南通市中考第28题 图1‎ 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．‎ ‎（1）求m的值及直线l的解析式；‎ ‎（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；‎ ‎（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，‎ 请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．‎ 例5 2010年广州市中考第25题 图1‎ 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的 对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形 OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠 部分的面积；若改变，请说明理由．‎ 例 6 2010年扬州市中考第28题 图1‎ 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．‎ ‎（1）求线段AD的长；‎ ‎（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，‎ ‎①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；‎ ‎②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．‎ （3） 若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），‎ 点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；‎ 若不存在直线EF，请说明理由．‎ 例7 2009年兰州市中考第29题 如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．‎ ‎（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；‎ ‎（2）求正方形边长及顶点C的坐标；‎ ‎（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．‎ ‎（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎1.7 因动点产生的相切问题 ‎ 例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．‎ ‎（1）当时，求AP的长；‎ ‎（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．‎ 图1 图2 图3 ‎ 例2 2012年河北省中考第25题 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；‎ ‎（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．‎ ‎ 图1‎ 例3 2012年无锡市中考模拟第28题 如图，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．‎ ‎（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；‎ ‎（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？ ‎ ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 ‎ 例1 2013年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．‎ ‎（1）如图1，求点E的坐标；‎ ‎（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．‎ ‎①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；‎ ‎②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．‎ 图1 图2‎ 图1‎ 例2 2012年滨州市中考第24题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．‎ ‎（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；‎ ‎（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，‎ 求AM＋OM的最小值．‎ 例3 2012年山西省中考第26题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．‎ 图1‎ ‎（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；‎ ‎（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．‎ 试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐 标；若不存在，请说明理由；‎ （3） 请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，‎ 求出点M的坐标．‎ 第二部分 函数图象中点的存在性问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 ‎ 例1 2013年宁波市中考第26题 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．‎ ‎（1）求直线AB的函数解析式；‎ ‎（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．‎ ‎①求证：∠BDE＝∠ADP；‎ ‎②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；‎ 请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．‎ ‎（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；‎ ‎（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长； ‎ ‎（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．‎ 图1 图2 图3‎ 例3 2012年连云港市中考第26题 如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．‎ ‎（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；‎ ‎（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？‎ ‎（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1‎ 例4 2011年上海市中考第25题 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．‎ ‎（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；‎ ‎（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．‎ 图1 图2 备用图 ‎2.2 由面积产生的函数关系问题 ‎ 例1 2013年菏泽市中考第21题 图1 ‎ 如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．‎ ‎（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；‎ ‎（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒 ‎1个单位的速度运动，问：‎ ‎①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？‎ ‎②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？‎ 此时四边形PDCQ的面积是多少？‎ 例2 2012年广东省中考第22题 图1‎ 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、‎ B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为 m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变 量m的取值范围；‎ （3） 在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；‎ 此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ 例3 2012年河北省中考第26题 如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．‎ 探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．‎ 图1 图2‎ 拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）‎ ‎（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；‎ ‎（2）求(m＋n)与x的函数关系式，‎ 并求(m＋n)的最大值和最小值；‎ （3） 对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，‎ 指出这样的x的取值范围．‎ 发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条 直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出最小值．‎ 例4 2011年淮安市中考第28题 图1‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S． ‎ （1） 当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；‎ 当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；‎ ‎（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，‎ S最大？最大面积是多少？‎ 例5 2011年山西省中考第26题 图1‎ 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．‎ （1） 点C的坐标为____________，‎ 直线l的解析式为____________；‎ （2） 试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，‎ 并写出相应的t的取值范围．‎ （3） 试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？‎ 最大值是多少？‎ 例6 2011年重庆市中考第26题 如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；‎ ‎（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；‎ ‎（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 图1‎ 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南京市中考第26题 已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．‎ ‎（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；‎ ‎（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．‎ ‎①当△ABC的面积等于1时，求a的值 ‎②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．‎ 例2 2013年南昌市中考第25题 已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An－1(bn－1,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推 ‎ 备用图（仅供草稿使用）‎ ‎（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；‎ ‎（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；‎ 依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，_____)‎ ‎（用含n的式子表示）；‎ 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；‎ ‎（3）探究下列结论：‎ ‎①若用An－1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，‎ 直接写出A0A1的值，并求出An－1 An；‎ ‎②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，‎ 且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接 写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．‎ ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．‎ ‎（1）求此二次函数的解析式；‎ ‎（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．‎ ‎①求正方形的ABCD的面积；‎ ‎②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．‎ 例2 2013年江西省中考第24题 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：‎ ‎（1）操作发现：‎ 在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．‎ ‎①AF＝AG＝；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．‎ ‎（2）数学思考：‎ 在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；‎ ‎（3）类比探究：‎ 在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．‎ 图1 ‎