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  • 2021-05-10 发布

全国100套中考数学压轴题分类解析汇编专题3代数综合问题

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‎2012年全国100套中考数学压轴题分类解析汇编 专题3:代数综合问题 ‎1. (2012广东佛山10分)规律是数学研究的重要内容之一.‎ ‎    初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.‎ ‎    请你解决以下与数的表示和运算相关的问题:‎ ‎ (1)写出奇数a用整数n表示的式子;‎ ‎ (2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子;‎ ‎ (3)函数的研究中,应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律).‎ 下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究:‎ xi ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎...‎ yi ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎...‎ yi+1-yi ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎...‎ 由表看出,当x的取值从0开始每增加1个单位时,y的值依次增加1,3,5...‎ 请回答:‎ 当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值变化规律是什么?‎ 当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值变化规律是什么?‎ ‎【答案】解:(1)n是任意整数,则表示任意一个奇数的式子是:2n+1。 (2)有理数b=(n≠0)。‎ ‎(3)①当x的取值从0开始每增加个单位时,列表如下:‎ xi ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎...‎ yi ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎...‎ yi+1-yi ‎...‎ 故当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值依次增加、 、 …。‎ ‎②当x的取值从0开始每增加个单位时,列表如下:‎ xi ‎0‎ ‎...‎ yi ‎0‎ ‎...‎ yi+1-yi ‎...‎ 故当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值依次增加、 、 …。‎ ‎【考点】分类归纳(数字的变化类),二次函数的性质,实数。‎ ‎【分析】(1)n是任意整数,偶数是能被2整除的数,则偶数可以表示为2n,因为偶数与奇数相差1,所以奇数可以表示为2n+1。‎ ‎(2)根据有理数是整数与分数的统称,而所有的整数都可以写成整数的形式,据此可以得到答案。‎ ‎(3)根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。‎ ‎2. (2012广东梅州10分)(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两根为x1、x2;求证:x1+x2=﹣p,x1•x2=q.‎ ‎(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(﹣1,﹣1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.‎ ‎【答案】(1)证明:∵a=1,b=p,c=q,p2﹣4q≥0,‎ ‎∴。‎ ‎(2)解:把(﹣1,﹣1)代入y=x2+px+q得p﹣q=2,即q=p﹣2。‎ ‎ 设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)。‎ ‎∵d=|x1﹣x2|,‎ ‎∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4。‎ ‎∴当p=2时,d 2的最小值是4。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,抛物线与x轴的交点,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。‎ ‎ 【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可】‎ ‎(2)把点(﹣1,﹣1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式,应用二次函数的最值原理即可得出结论。‎ ‎3. (2012广东湛江12分)先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:‎ 例题:解一元二次不等式x2﹣4>0‎ 解:∵x2﹣4=(x+2)(x﹣2)‎ ‎∴x2﹣4>0可化为 ‎ ‎(x+2)(x﹣2)>0‎ 由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得 解不等式组①,得x>2,‎ 解不等式组②,得x<﹣2,‎ ‎∴(x+2)(x﹣2)>0的解集为x>2或x<﹣2,‎ 即一元二次不等式x2﹣4>0的解集为x>2或x<﹣2.‎ ‎(1)一元二次不等式x2﹣16>0的解集为    ;‎ ‎(2)分式不等式的解集为    ;‎ ‎(3)解一元二次不等式2x2﹣3x<0.‎ ‎【答案】解:(1)x>4或x<﹣4。‎ ‎ (2)x>3或x<1。‎ ‎ (3)∵2x2﹣3x=x(2x﹣3)‎ ‎∴2x2﹣3x<0可化为 x(2x﹣3)<0‎ 由有理数的乘法法则“两数相乘,异号得负”,得 或。‎ 解不等式组①,得0<x<,解不等式组②,无解。‎ ‎∴不等式2x2﹣3x<0的解集为0<x<。‎ ‎【考点】有理数的乘法法则,一元一次不等式组的应用。‎ ‎【分析】(1)将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。‎ ‎(2)根据有理数的除法法则“两数相除,同号得正”,可以得到其分子、分母同号,从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。‎ ‎ (3)将一元二次不等式的左边因式分解后,有理数的乘法法则“两数相乘,异号得负”,化为两个一元一次不等式组求解即可。‎ ‎4. (2012贵州黔西南14分)问题:已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍。‎ 解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以 把代入已知方程,得 化简,得:‎ 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化成一般形式)‎ ‎(1)已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为:‎ ‎ ;‎ ‎(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根,求一个一元二方程,使它的根分别是已知方程的倒数。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】解:(1)y2-y-2=0。‎ ‎ (2)设所求方程的根为y,则(x≠0),于是(y≠0)。‎ 把代入方程,得,‎ 去分母,得a+by+cy2=0。‎ 若c=0,有,可得有一个解为x=0,与已知不符,不符合题意。‎ ‎∴c≠0。‎ ‎∴所求方程为cy2+by+a=0(c≠0)。‎ ‎【考点】一元二次方程的应用。‎ ‎【分析】(1)设所求方程的根为y,则y=-x所以x=-y。‎ 把x=-y代入已知方程,得y2-y-2=0。‎ ‎(2)根据所给的材料,设所求方程的根为y,再表示出x,代入原方程,整理即得出所求的方程。‎ ‎5. ((2012江苏南京9分)“?”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。‎ 题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留‎3m的空地,其他三侧内墙各保留‎1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是‎288m2‎?‎ 解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,‎ 根据题意,得x•2x=288.‎ 解这个方程,得x1=-12(不合题意,舍去),x2=12‎ 所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)‎ 答:当温室的长为‎28m,宽为‎14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是‎288m2‎.‎ ‎?‎ 我的结果也正确 小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中划了一条横线,并打开了一个“?”‎ 结果为何正确呢?‎ ‎(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:‎ 变化一下会怎样…… ‎ ‎(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由。‎ 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程:‎ 设温室的宽为ym,则长为2ym。‎ 则矩形蔬菜种植区域的宽为(y-1-1)m,长为(2y-3-1)m。‎ ‎∵,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1。‎ ‎(2)a+c b+d =2。理由如下:‎ 要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即,‎ 即 ,即a+c b+d =2。‎ ‎【考点】一元二次方程的应用(几何问题),相似多边形的性质,比例的性质。‎ ‎【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。‎ ‎(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得 ,然后利用比例的性质。‎ ‎6. (2012江苏盐城12分)‎ ‎ 知识迁移: 当且时,因为≥,所以≥,从而≥(当 时取等号).记函数,由上述结论可知:当时,该函数有最小值为.‎ ‎ 直接应用:已知函数与函数, 则当_________时,取得最小值为_________.‎ ‎ 变形应用:已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该最小值时相应的的值.‎ ‎ 实际应用:已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:一是固定费用,共元;二是燃油费,每千米为元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元?‎ ‎【答案】解:直接应用:1;2 。‎ 变形应用:∵ ,‎ ‎∴有最小值为。‎ 当,即时取得该最小值。‎ 实际应用:设该汽车平均每千米的运输成本为元,则 ‎, ‎ ‎∴当(千米)时, ‎ 该汽车平均每千米的运输成本最低,‎ 最低成本为元。‎ ‎【考点】二次函数的应用,几何不等式。‎ ‎【分析】直接运用:可以直接套用题意所给的结论,即可得出结果:‎ ‎∵函数,由上述结论可知:当时,该函数有最小值为,‎ ‎∴函数与函数,则当时,取得最小值为。‎ 变形运用:先得出的表达式,然后将看做一个整体,再运用所给结论即可。‎ 实际运用:设该汽车平均每千米的运输成本为元,则可表示出平均每千米的运输成本,利用所 给的结论即可得出答案。‎ ‎7. (2012四川内江12分)如果方程的两个根是,那么请根据以上结论,解决下列问题:‎ (1) 已知关于的方程求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;‎ (2) 已知满足,求;‎ (3) 已知满足求正数的最小值。‎ ‎【答案】解:(1)设关于的方程的两根为,则有:‎ ‎,且由已知所求方程的两根为 ‎∴,。‎ ‎∴所求方程为,即。‎ ‎(2)∵满足,‎ ‎∴是方程的两根。∴ 。‎ ‎∴。‎ ‎(3)∵且 ∴。‎ ‎∴是一元二次方程的两个根,‎ 代简,得 。‎ 又∵此方程必有实数根,∴此方程的,即,。‎ 又∵ ∴。 ∴。‎ ‎∴正数的最小值为4。.‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简。‎ ‎【分析】(1)设方程的两根为,得出,,再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案。‎ ‎(2)根据满足,得出是一元二次方程的两个根,由,即可求出的值。‎ ‎(3)根据,得出,是一元二次方程的两个根,再根据,即可求出c的最小值。‎ ‎8. (2012山东济宁8分)有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D,正面分别写有一个正多边形(所有正多边形的边长相等),把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上,从中随机抽取一张(不放回),接着再随机抽取一张.‎ ‎(1)请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果;‎ ‎(2)如果在(1)中各种结果被选中的可能性相同,求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率;‎ ‎(3)若两种正多边形构成平面镶嵌,p、q表示这两种正多边形的个数,x、y表示对应正多边形的每个内角的度数,则有方程px+qy=360,求每种平面镶嵌中p、q的值.‎ ‎【答案】解:(1)画树形图如下:‎ 所有出现的结果共有12种。‎ ‎(2)∵两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的情况有4种:AB,AD,BA,DA,‎ ‎∴P(两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌)=。‎ ‎(3)当正三角形和正方形构成平面镶嵌时,则有60p+90q=360,即2p+3q=12。‎ ‎∵p、q是正整数,∴p=3,q=2。‎ 当正三角形和六边形构成平面镶嵌时,则有60p+120q=360,即p+2q=6。‎ ‎∵p、q是正整数,∴p=4,q=1或p=2,q=2。‎ ‎【考点】列表法和树状图法,概率,多边形内角和定理,平面镶嵌(密铺)。‎ ‎【分析】(1)列表或画树状图即可得到所有的可能情况。‎ ‎ (2)根据平面镶嵌的定义,能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形,正三角形与正六边形,然后根据概率公式列式计算即可得解。‎ ‎(3)对两种平面镶嵌的情况,根据方程代入数据整理,再根据p、q都是整数解答。‎ ‎9. (2012浙江湖州10分)为进一步建设秀美、宜居的生态环境,某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄,已知甲、乙丙三种树的价格之比为2:2:3,甲种树每棵200元,现计划用210000元资金,购买这三种树共1000棵.‎ ‎(1)求乙、丙两种树每棵各多少元?‎ ‎(2)若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍,恰好用完计划资金,求这三种树各能购买多少棵?‎ ‎(3)若又增加了10120元的购树款,在购买总棵树不变的前提下,求丙种树最多可以购买多少棵? ‎ ‎【答案】解:(1)已知甲、乙丙三种树的价格之比为2:2:3,甲种树每棵200元,‎ ‎ ∴乙种树每棵200元,丙种树每棵×200=300(元)。‎ ‎ (2)设购买乙种树x棵,则购买甲种树2x棵,丙种树(1000-3x)棵.‎ 根据题意:200·2x+200x+300(1000-3x)=210000,‎ 解得x=30。‎ ‎∴2x=600,1000-3x=100,‎ 答:能购买甲种树600棵,乙种树300棵,丙种树100棵。‎ ‎(3)设购买丙种树y棵,则甲、乙两种树共(1000-y)棵,‎ 根据题意得:200(1000-y)+300y≤210000+10120,‎ 解得:y≤201.2。‎ ‎∵y为正整数,∴y最大为201。‎ 答:丙种树最多可以购买201棵。‎ ‎【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。‎ ‎【分析】(1)利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2:2:3,甲种树每棵200元,即可求出乙、丙两种树每棵钱数。‎ ‎(2)设购买乙种树x棵,则购买甲种树2x棵,丙种树(1000-3x)棵,利用(1)中所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵,得出等式方程,求出即可。‎ ‎(3)设购买丙种树y棵,则甲、乙两种树共(1000-y)棵,根据题意列不等式,求出即可。‎ ‎10. (2012内蒙古赤峰14分)阅读材料:‎ ‎(1)对于任意两个数的大小比较,有下面的方法:‎ 当时,一定有;‎ 当时,一定有;‎ 当时,一定有.‎ 反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”.‎ ‎(2)对于比较两个正数的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较:‎ ‎∵,‎ ‎∴()与()的符号相同 当>0时,>0,得 当=0时,=0,得 当<0时,<0,得 解决下列实际问题:‎ ‎(1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3张A4纸,7张B5纸;李明同学用了2张A4纸,8张B5纸.设每张A4纸的面积为x,每张B5纸的面积为y,且x>y,张丽同学的用纸总面积为W1,李明同学的用纸总面积为W2.回答下列问题:‎ ‎①W1= (用x、y的式子表示)‎ W2= (用x、y的式子表示)‎ ‎②请你分析谁用的纸面积最大.‎ ‎(2)如图1所示,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A.B两镇供气,已知A.B到l的距离分别是‎3km、‎4km(即AC=‎3km,BE=‎4km),AB=xkm,现设计两种方案:‎ 方案一:如图2所示,AP⊥l于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a1=AB+AP.‎ 方案二:如图3所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a2=AP+BP.‎ ‎①在方案一中,a1= km(用含x的式子表示);‎ ‎②在方案二中,a2= km(用含x的式子表示);‎ ‎③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.‎ ‎【答案】解:(1)①3x+7y;2x+8y。‎ ‎②W1﹣W2=(3x+7y)﹣(2x+8y)=x﹣y,‎ ‎∵x>y,∴x﹣y>0。∴W1﹣W2>0。‎ ‎∴W1>W2,所以张丽同学用纸的总面积大。 ‎ ‎(2)①x+3。‎ ‎②。‎ ‎③∵‎ ‎∴当>0(即a1﹣a2>0,a1>a2)时,6x﹣39>0,解得x>6.5;‎ 当=0(即a1﹣a2=0,a1=a2)时,6x﹣39=0,解得x=6.5;‎ 当<0(即a1﹣a2<0,a1<a2)时,6x﹣39<0,解得x<6.5。‎ 综上所述,当x>6.5时,选择方案二,输气管道较短,‎ 当x=6.5时,两种方案一样,‎ 当0<x<6.5时,选择方案一,输气管道较短。‎ ‎【考点】整式的混合运算,轴对称(最短路线问题)。‎ ‎【分析】(1)①W1=3x+7y,W2=2x+8y。‎ ‎(2)①a1=AB+AP=x+3。‎ ‎②过B作BM⊥AC于M,则AM=4﹣3=1,‎ 在△ABM中,由勾股定理得:BM2=AB2﹣12=x2﹣1,‎ 在△A′MB中,由勾股定理得:‎ AP+BP=A′B=。‎ ‎③根据阅读材料的方法求解。‎