江西省2016年中考数学卷 11页

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  • 2021-05-10 发布

江西省2016年中考数学卷

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江西省2016年中等学校招生考试 数学试题卷(word解析版)‎ ‎ (江西省 南丰县第二中学 方政昌)‎ 说明:1.本卷共有六个大题,23个小题,全卷满分120分,考试时间120分钟.‎ ‎2.本卷分为试题卷和答题卷,答案要求写在答题卷上,不得在试题卷上作答,否则不给分.‎ 一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,每小题只有一个正确选项)‎ ‎1.下列四个数中,最大的一个数是( ).‎ ‎ A.2 B.‎3‎ C.0 D.-2‎ ‎【答案】 A.‎ ‎2.将不等式‎3x-2<1‎的解集表示在数轴上,正确的是( ).‎ ‎ ‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】 D.‎ ‎3.下列运算正确的是是( ).‎ ‎ A.a‎2‎‎+a‎2‎=‎a‎4‎ B.‎(-b‎2‎)‎‎3‎‎=-‎b‎6‎  C.‎2x∙2x‎2‎=2‎x‎3‎ D.‎‎(m-n)‎‎2‎‎=m‎2‎-‎n‎2‎ ‎【答案】 B.‎ ‎4.有两个完全相同的长方体,按下面右图方式摆放,其主视图是( ).‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】 C.‎ ‎5.设α,β是一元二次方程x‎2‎‎+2x-1=0‎的两个根,则αβ的值是( ).‎ A. 2 B. ‎1 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】 D.‎ ‎6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均相等,网格中三个多边形(分别标记为,,)的顶点都在网格上,被一个多边形覆盖的网格线中,竖直部分线段长度之和为m,水平部分线段长度之和为n,则这三个多边形满足m=n的是( ). ‎ ‎ A.只有 B.只有 C. D. ‎【答案】 C.‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎7.计算:-3+2= ___ ____.‎ ‎【答案】 -1.‎ ‎8.分解因式ax‎2‎‎-ay‎2‎=‎____ ____.‎ ‎【答案】 a(x+y)(x-y)‎.‎ ‎9.如图所示,‎∆ABC中,‎∠BAC=33°,将∆ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,得到‎∆‎AB‎'‎C‎'‎,则∠B'AC的度数是___ _____.‎ ‎ 第9题 第10题 第11题 ‎【答案】 17°.‎ ‎10.如图所示,在‎□ABCD中‎,∠C=40°‎,过点D作AD的垂线,交AB于点E,交CB的延长线于点F,则∠BEF的度数为 ____ ___.‎ ‎【答案】 50°.‎ ‎11.如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y‎1‎‎=k‎1‎x (x>0)‎及y‎2‎‎=k‎2‎x (x>0)‎的图象分别交于点A,B,连接OA,OB,已知‎∆OAB的面积为2,则k‎1‎‎-k‎2‎=‎ __ ____.‎ ‎【答案】 4.‎ ‎12.如图,是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP 的底边长是___ ____.‎ ‎【答案】 5‎2‎,5,‎4‎‎5‎ .如下图所示:‎ 三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎13.(本题共2小题,每小题3分)‎ ‎ (1)解方程组x-y=2 ……………① ‎‎ x-y=y+1 …………②‎ ‎【解析】 由得:x=y+2‎,代入得:‎ ‎ y+2-y=y+1‎ , 解得y=1,‎ 把y=1‎代入得:x=3‎ ,‎ ‎ ∴原方程组的解是x=3‎y=1‎ .‎ ‎ (2)如图,Rt‎∆ABC中,∠ACB=90°,将Rt‎∆ABC向下翻折,使点A与点 C重合,折痕为DE,求证:DE∥BC. ‎ ‎【解析】 由折叠知:‎∆ADE≌∆CDE, ∴∠AED=‎∠CED ,‎ ‎ 又点A与点C重合, ∴∠AEC=180°‎,‎ ‎ ∴∠AED=‎∠CED=90°‎,‎ ‎ ∴∠EDC+∠ECD=90°‎,‎ ‎∵∠ACB=90°‎,∴∠BCD+∠ECD=90°‎,‎ ‎∴∠EDC=∠BCD, ‎ ‎∴DE∥BC.‎ ‎14.先化简,再求值:‎(‎‎2‎x+3‎+‎1‎‎3-x )÷xx‎2‎‎-9‎ ,其中x=6‎.‎ ‎【解析】 原式=‎(‎‎2‎x+3‎+‎1‎‎3-x )‎‎×‎x‎2‎‎-9‎x ‎ =‎(‎‎2‎x+3‎+‎1‎‎3-x )‎‎×‎‎(x+3)(x-3)‎x ‎ =‎ ‎2(x-3)‎x ‎-‎‎ ‎x+3‎x ‎ =‎‎ ‎x-9‎x ‎ 把x=6‎代入得:原式 =‎ ‎6-3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎ . ‎ ‎15.如图,过点A(2,0)的两条直线l‎1‎‎,‎l‎2‎ 分别交‎ y ‎轴于B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=‎13‎.‎ ‎ (1)求点B的坐标;‎ ‎ (2)若‎∆ABC的面积为4,求l‎2‎的解析式.‎ ‎【解析】 (1) 在Rt‎∆AOB中,OA‎2‎+OB‎2‎=‎AB‎2‎ ,‎ ‎ ∴ ‎‎2‎‎2‎‎+OB‎2‎=‎‎(‎13‎)‎‎2‎ ‎ ∴ ‎OB=3‎ ‎ ∴点B的坐标是(0,3) .‎ ‎ (2) ∵S‎∆ABC‎=‎1‎‎2‎ BC ‎∙OA ‎ ‎ ∴‎1‎‎2‎‎ BC×2=4‎ ∴BC=4‎ ∴C(0,-1)‎ ‎ ‎ 设l‎2‎‎ : y=kx+b , 把A(2,0),C(0,-1)‎ 代入得:‎ ‎ ‎ ‎‎2k+b=0‎‎ b=-1 ‎ ∴‎ ‎k=‎1‎‎2‎ ‎b=-1‎ ∴ l‎2‎的解析式的解析式是y=‎1‎‎2‎x-1‎ .‎ ‎16.为了了解家长关注孩子成长方面的情况,学校开展了针对学生家长的“你最关注孩子哪方面 成长”的主题调查,调查设置了“健康安全”, “日常学习”, “习惯养成”, “情感品质”四个项目,并随机抽取甲,乙两班共100位学生家长进行调查,根据调查结果,绘制了如下不完整的条形统计图.‎ ‎(1)补全条形统计图;‎ ‎(2)若全校共有3600位家长,据此估计,有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长?(3)综合以上主题调查结果,结合自身现状,你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和 指导? ‎ ‎【解析】(1)如下图所示:‎ ‎ (2) (4+6) ÷100×3600=360 ‎ ‎ ∴约有360位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长.‎ ‎(3) 没有确定答案,说的有道理即可.‎ ‎17.如图,六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:仅用无刻度直尺,保留必要的画图痕迹.‎ ‎ (1)在图(1)中画一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;‎ ‎ (2)在图(2)中画出线段AB的垂直平分线.‎ ‎【解析】 如图所示:‎ ‎ (1) ∠BAC=45º ; (2)OH是AB的垂直平分线.‎ 四、(本大题共4小题,每小题8分,共32分)‎ ‎18.如图,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,‎ 射线EP交 于点F,交过点C的切线于点D.‎ ‎(1)求证DC=DP ‎(2)若∠CAB=30°,当F是 的中点时,判断以A、O、C、F为顶点的四边形是什么特殊四边形?说明理由;‎ ‎【解析】 (1) 如图1 ‎ ‎ 连接OC, ∵CD是⊙O的切线,‎ ‎ ∴ OC⊥CD ∴∠OCD=90º,‎ ‎ ∴∠DCA= 90º-∠OCA .‎ ‎ 又PE⊥AB ,点D在EP的延长线上,‎ ‎ ∴∠DEA=90º ,‎ ‎ ∴∠DPC=∠APE=90º-∠OAC.‎ ‎ ∵OA=OC , ∴∠OCA=∠OAC.‎ ‎ ∴∠DCA=∠DPC ,‎ ‎ ∴DC=DP. ‎ ‎ (2) 如图2 四边形AOCF是菱形. 图1‎ ‎ 连接CF、AF, ∵F是 的中点,∴ ‎ ‎ ∴ AF=FC .‎ ‎ ∵∠BAC=30º ,∴ =60º , ‎ 又AB是⊙O的直径, ∴ =120º,‎ ‎∴ = 60º ,‎ ‎∴∠ACF=∠FAC =30º .‎ ‎∵OA=OC, ∴∠OCA=∠BAC=30º, 图2‎ ‎∴⊿OAC≌⊿FAC (ASA) , ∴AF=OA ,‎ ‎∴AF=FC=OC=OA , ∴四边形AOCF是菱形. ‎ ‎19.如图是一根可伸缩的鱼竿,鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成,闲置时鱼竿可收缩,完全收缩后,鱼竿的长度的长度即为第1节套管的长度(如图1所示),使用时,可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示),图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图,已知第1节套管长‎50cm,第2节套管长‎46cm,以此类推,每一节套管都比前一节套管少‎4cm,完全拉伸时,为了使相邻两节套管连接并固定,每相邻两节套管间均有相同长度的重叠,设其长度为xcm .‎ ‎ (1)请直接写出第5节套管的长度;‎ ‎ (2)当这根鱼竿完全拉伸时,其长度为‎311cm,求x的值 .‎ ‎ ‎ ‎ 图3‎ ‎【解析】 (1) 第5节的套管的长是‎34cm . (注:50-(5-1)×4 )‎ ‎ (2) (50+46+…+14) -9x =311‎ ‎ ∴320-9x =311 , ∴x=1‎ ‎ ∴x 的值是1.‎ ‎20.甲、乙两人利用扑克牌玩“10点”游戏,游戏规则如下:‎ 将牌面数字作为“点数”,如红桃6的“点数”就是6(牌面点数与牌的花色无关);‎ 两人摸牌结束时,将所得牌的“点数”相加 ,若“点数”之和小于或等于10,此时“点数”之和就是“最终点数”,若“点数”之和大于10,则“最终点数”是0;‎ 游戏结束之前双方均不知道对方“点数”;‎ 判定游戏结果的依据是:“最终点数”大的一方获胜,“最终点数”相等时不分胜负.‎ 现甲、乙均各自摸了两张牌,数字之和都是5,这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌,牌面数字分别是4,5,6,7.‎ ‎(1)若甲从桌上继续摸一张扑克牌,乙不再摸牌,则甲获胜的概率为 .‎ ‎(2)若甲先从桌上继续摸一张扑克牌,接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌,然后双方不再摸牌,请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果,再列表呈现甲、乙的“最终点数”,并求乙获胜的概率.‎ ‎【解析】 (1) P甲获胜‎=‎‎1‎‎2‎ .‎ ‎(2) 如图: ‎ ‎ ∴所有可能的结果是(4,5)(4,6)(4,7)(5,4)(5,6)(5,7)(6,4)(6,5)(6,7)‎ ‎ (7,4)(7,5)(7,6) 共12种.‎ 甲 ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 甲“最终点数”‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 乙“最终点数”‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 获胜情况 乙胜 甲胜 甲胜 甲胜 甲胜 甲胜 乙胜 乙胜 平 乙胜 乙胜 平 ‎ ∴ ‎P乙胜‎=‎‎5‎‎12‎ ‎21.如图1是一副创意卡通圆规,图2是其平面示意图,OA是 支撑臂,OB是旋转臂,使用时,以点A为支撑点,铅笔芯 端点B可以绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=‎10cm.‎ ‎ (1)当∠AOB=18º时,求所作圆的半径;(结果精确到‎0.01cm)‎ ‎ (2)保持∠AOB=18º不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等,‎ 求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到‎0.01cm)‎ ‎ (参考数据:sin9º≈0.1564,com9º≈0.9877º,‎ sin18º≈0.3090, com18º≈0.9511,可使用科学计算器) 图1 图2‎ ‎【解析】 (1) 图1,作OC⊥AB,‎ ‎ ∵OA=OB, OC⊥AB,∴AC=BC, ∠AOC=∠BOC=‎1‎‎2‎∠AOB=9°,‎ ‎ 在Rt⊿AOC 中,sin∠AOC = ACOA , ∴AC≈0.1564×10=1.564,‎ ‎ ∴AB=2AC=3.128≈3.13.‎ ‎ ∴所作圆的半径是3.13cm.‎ ‎ ‎ ‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎(2)图2,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交OB于点C,‎ ‎ 作AD⊥BC于点D;‎ ‎ ∵AC=AB, AD⊥BC,‎ ‎∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD=‎1‎‎2‎∠BAC,‎ ‎∵∠AOB=18°,OA=OB ,AB=AC, ‎ ‎∴∠BAC=18°, ∴∠BAD=9°,‎ 在Rt⊿BAD 中, sin∠BAD = BDAB , ‎ ‎∴BD≈0.1564×3.128≈0.4892,‎ ‎∴BC=2BD=0.9784≈0.98‎ ‎∴铅笔芯折断部分的长度约为0.98cm. 图2‎ ‎ ‎ 五、(本大题共10分)‎ ‎22.【图形定义】‎ ‎ 如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60°后,发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO,我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后,交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称∠OAB为“叠弦角”,⊿AOP为“叠弦三角形”.‎ ‎ 【探究证明】‎ ‎(1)请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(即⊿AOP)是等边三角形;‎ ‎ (2)如图2,求证:∠OAB=∠OAE'.‎ ‎ 【归纳猜想】‎ ‎ (3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 , ;‎ ‎ (4)图n中,“叠弦三角形” 等边三角形(填“是”或“不是”);‎ ‎ (5)图n中,“叠弦角”的度数为 (用含n的式子表示).‎ ‎【解析】 (1) 如图1 ∵四ABCD是正方形,‎ 由旋转知:AD=AD',∠D=∠D'=90°, ∠DAD'=∠OAP=60°‎ ‎ ∴∠DAP=∠D'AO ,‎ ‎ ∴⊿APD≌⊿AOD'(ASA)‎ ‎ ∴AP=AO ,又∠OAP=60°, ∴⊿AOP是等边三角形.‎ ‎ ‎ ‎ (2)如右图,作AM⊥DE于M, 作AN⊥CB于N.‎ ‎∵五ABCDE是正五边形,‎ 由旋转知:AE=AE',∠E=∠E'=108°, ‎ ‎∠EAE'=∠OAP=60°‎ ‎ ∴∠EAP=∠E'AO ,‎ ‎ ∴⊿APE≌⊿AOE'(ASA)‎ ‎ ∴∠OAE'=∠PAE.‎ ‎ 在Rt⊿AEM和Rt⊿ABN中,‎‎∠M=∠N=90° ‎‎∠AEM=∠ABN=72°‎‎ AE=AB ‎ ‎∴Rt⊿AEM≌Rt⊿ABN (AAS)‎ ‎∴ ∠EAM=∠BAN , AM=AN.‎ 在Rt⊿APM和Rt⊿AON中,AP=AOAM=AN ‎ ‎∴Rt⊿APM≌Rt⊿AON (HL).‎ ‎∴∠PAM=∠OAN,‎ ‎∴∠PAE=∠OAB ‎∴∠OAE'=∠OAB (等量代换).‎ ‎(3) 15°, 24°‎ ‎(4) 是 ‎(5) ∠OAB=[(n-2) ×180°÷n-60°] ÷2=60°-‎‎180°‎n 六、(本大题共共12分)‎ ‎23.设抛物线的解析式为y = a x2 , 过点B1 (1, 0 )作x轴的垂线,交抛物线于点A1 (1, 2 );过点B2 (1, 0 )作x轴的垂线,交抛物线于点A2 ,… ;过点Bn (‎(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎ ‎, 0 ) (n为正整数 )作x轴的垂线,交抛物线于点A n , 连接A n B n+1 , 得直角三角形A n B n B n+1 .‎ ‎ (1)求a的值;‎ ‎ (2)直接写出线段A n B n ,B n B n+1 的长(用含n的式子表示);‎ ‎ (3)在系列Rt⊿A n B n B n+1 中,探究下列问题:‎ ‎ 当n为何值时,Rt⊿A n B n B n+1 是等腰直角三角形?‎ ‎ 设1≤k<m≤n (k , m均为正整数) ,问是否存在Rt⊿A k B k B k+1 与Rt⊿A m B m B m+1‎ 相似?若存在,求出其相似比;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【解析】 (1) 把A(1 , 2)代入y=‎ax‎2‎ 得: 2=a×‎‎1‎‎2‎ , ∴a=2‎ .‎ ‎ (2) ‎ AnBn=‎2×‎[(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎]‎‎2‎ =‎‎2‎‎3-2n ‎ BnBn+1‎ =‎ (‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎-‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎n = ‎‎2‎‎-n ‎ (3) 若Rt⊿A n B n B n+1 是等腰直角三角形 ,则AnBn‎=BnBn+1‎ ‎.‎ ‎ ∴‎2‎‎3-2n‎=‎‎2‎‎-n , ∴n=3.‎ ‎ 若Rt⊿A k B k B k+1 与Rt⊿A m B m B m+1相似,‎ ‎ 则‎ Ak‎ ‎BkAmBm= ‎Bk‎ ‎Bk+1‎BmBm+1‎ 或‎ Ak‎ ‎BkBmBm+1‎= ‎Bk‎ ‎Bk+1‎AmBm ,‎ ‎ ∴‎ ‎2‎‎3-2k‎2‎‎3-2m= ‎‎2‎‎-k‎2‎‎-m 或‎ ‎2‎‎3-2k‎2‎‎-m= ‎‎2‎‎-k‎2‎‎3-2m ,‎ ‎ ∴ m=k (舍去) 或 k+m=6 ‎ ‎ ∵m>k ,且m , k都是正整数,∴ m=4‎k=2‎‎ 或 m=5‎k=1‎ ‎ ,‎ ‎ ∴ 相似比=‎2‎‎-k‎2‎‎3-2m‎=‎2‎‎-2‎‎2‎‎3-2×4‎ =8 :1‎ ,或 ‎2‎‎-k‎2‎‎3-2m‎=‎2‎‎-1‎‎2‎‎3-2×5‎ =64 :1‎.‎ ‎ ∴相似比是8:1或64:1‎