江西省2016年中考数学卷 11页

江西省2016年中等学校招生考试 数学试题卷(word解析版)‎ ‎ (江西省 南丰县第二中学 方政昌）‎ 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．‎ ‎2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．‎ 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．下列四个数中，最大的一个数是（ ）．‎ ‎ A．2 B．‎3‎ C．0 D．-2‎ ‎【答案】　A.‎ ‎2．将不等式‎3x-2<1‎的解集表示在数轴上，正确的是（ ）．‎ ‎ ‎ ‎ A． B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】　D.‎ ‎3．下列运算正确的是是（ ）．‎ ‎ A．a‎2‎‎+a‎2‎=‎a‎4‎ B．‎(-b‎2‎)‎‎3‎‎=-‎b‎6‎ 　C．‎2x∙2x‎2‎=2‎x‎3‎ D．‎‎(m-n)‎‎2‎‎=m‎2‎-‎n‎2‎ ‎【答案】 B.‎ ‎4．有两个完全相同的长方体，按下面右图方式摆放，其主视图是（ ）．‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 C.‎ ‎5．设α，β是一元二次方程x‎2‎‎+2x-1=0‎的两个根，则αβ的值是（ ）．‎ A. 2 B. ‎1 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】 D.‎ ‎6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，网格中三个多边形（分别标记为，，）的顶点都在网格上，被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和为m,水平部分线段长度之和为n,则这三个多边形满足m=n的是（ ）. ‎ ‎ A.只有 B.只有 C. D. ‎【答案】 C.‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎7．计算：-3+2= ___ ____.‎ ‎【答案】 -1.‎ ‎8．分解因式ax‎2‎‎-ay‎2‎=‎____ ____.‎ ‎【答案】 a(x+y)(x-y)‎.‎ ‎9．如图所示，‎∆ABC中，‎∠BAC=33°，将∆ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，得到‎∆‎AB‎'‎C‎'‎，则∠B'AC的度数是___ _____.‎ ‎ 第9题 第10题 第11题 ‎【答案】 17°.‎ ‎10．如图所示，在‎□ABCD中‎，∠C=40°‎，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ____ ___.‎ ‎【答案】 50°.‎ ‎11．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y‎1‎‎=k‎1‎x （x>0)‎及y‎2‎‎=k‎2‎x （x>0)‎的图象分别交于点A，B，连接OA,OB，已知‎∆OAB的面积为2，则k‎1‎‎-k‎2‎=‎ __ ____.‎ ‎【答案】 4.‎ ‎12．如图，是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是___ ____.‎ ‎【答案】 5‎2‎，5，‎4‎‎5‎ .如下图所示：‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13．（本题共2小题，每小题3分）‎ ‎ （1）解方程组x-y=2 ……………① ‎‎ x-y=y+1 …………②‎ ‎【解析】 由得：x=y+2‎，代入得：‎ ‎ y+2-y=y+1‎ ， 解得y=1，‎ 把y=1‎代入得：x=3‎ ，‎ ‎ ∴原方程组的解是x=3‎y=1‎ .‎ ‎ （2）如图，Rt‎∆ABC中，∠ACB=90°，将Rt‎∆ABC向下翻折，使点A与点 C重合，折痕为DE，求证：DE∥BC. ‎ ‎【解析】 由折叠知：‎∆ADE≌∆CDE， ∴∠AED=‎∠CED ，‎ ‎ 又点A与点C重合， ∴∠AEC=180°‎,‎ ‎ ∴∠AED=‎∠CED=90°‎，‎ ‎ ∴∠EDC+∠ECD=90°‎，‎ ‎∵∠ACB=90°‎，∴∠BCD+∠ECD=90°‎，‎ ‎∴∠EDC=∠BCD， ‎ ‎∴DE∥BC.‎ ‎14．先化简，再求值：‎（‎‎2‎x+3‎+‎1‎‎3-x ）÷xx‎2‎‎-9‎ ,其中x=6‎.‎ ‎【解析】 原式=‎（‎‎2‎x+3‎+‎1‎‎3-x ）‎‎×‎x‎2‎‎-9‎x ‎ =‎（‎‎2‎x+3‎+‎1‎‎3-x ）‎‎×‎‎(x+3)(x-3)‎x ‎ =‎ ‎2(x-3)‎x ‎-‎‎ ‎x+3‎x ‎ =‎‎ ‎x-9‎x ‎ 把x=6‎代入得：原式 =‎ ‎6-3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎ . ‎ ‎15．如图，过点A(2,0)的两条直线l‎1‎‎，‎l‎2‎ 分别交‎ y ‎轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=‎13‎.‎ ‎ (1)求点B的坐标；‎ ‎ (2)若‎∆ABC的面积为4，求l‎2‎的解析式.‎ ‎【解析】 (1) 在Rt‎∆AOB中，OA‎2‎+OB‎2‎=‎AB‎2‎ ，‎ ‎ ∴ ‎‎2‎‎2‎‎+OB‎2‎=‎‎（‎13‎）‎‎2‎ ‎ ∴ ‎OB=3‎ ‎ ∴点B的坐标是(0，3) .‎ ‎ (2) ∵S‎∆ABC‎=‎1‎‎2‎ BC ‎∙OA ‎ ‎ ∴‎1‎‎2‎‎ BC×2=4‎ ∴BC=4‎ ∴C(0，-1）‎ ‎ ‎ 设l‎2‎‎ : y=kx+b , 把A(2，0)，C(0，-1）‎ 代入得：‎ ‎ ‎ ‎‎2k+b=0‎‎ b=-1 ‎ ∴‎ ‎k=‎1‎‎2‎ ‎b=-1‎ ∴ l‎2‎的解析式的解析式是y=‎1‎‎2‎x-1‎ .‎ ‎16．为了了解家长关注孩子成长方面的情况，学校开展了针对学生家长的“你最关注孩子哪方面 成长”的主题调查，调查设置了“健康安全”， “日常学习”， “习惯养成”， “情感品质”四个项目，并随机抽取甲，乙两班共100位学生家长进行调查，根据调查结果，绘制了如下不完整的条形统计图.‎ ‎(1)补全条形统计图；‎ ‎(2)若全校共有3600位家长，据此估计，有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长？(3)综合以上主题调查结果，结合自身现状，你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和 指导？ ‎ ‎【解析】(1)如下图所示：‎ ‎ (2) (4+6) ÷100×3600=360 ‎ ‎ ∴约有360位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长.‎ ‎(3) 没有确定答案，说的有道理即可.‎ ‎17.如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹.‎ ‎ (1)在图(1)中画一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；‎ ‎ (2)在图(2)中画出线段AB的垂直平分线.‎ ‎【解析】 如图所示：‎ ‎ (1) ∠BAC=45º ； （2）OH是AB的垂直平分线.‎ 四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）‎ ‎18．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点(不与A、C重合)，过点P作PE⊥AB,垂足为E，‎ 射线EP交 于点F，交过点C的切线于点D.‎ ‎(1)求证DC=DP ‎(2)若∠CAB=30°，当F是 的中点时，判断以A、O、C、F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由；‎ ‎【解析】　(1) 如图1 ‎ ‎ 连接OC, ∵CD是⊙O的切线，‎ ‎ ∴ OC⊥CD ∴∠OCD=90º，‎ ‎ ∴∠DCA= 90º－∠OCA .‎ ‎ 又PE⊥AB ，点D在EP的延长线上，‎ ‎ ∴∠DEA=90º ，‎ ‎ ∴∠DPC=∠APE=90º－∠OAC.‎ ‎ ∵OA=OC , ∴∠OCA=∠OAC.‎ ‎ ∴∠DCA=∠DPC ,‎ ‎ ∴DC=DP. ‎ ‎ (2) 如图2 四边形AOCF是菱形. 图1‎ ‎ 连接CF、AF， ∵F是 的中点，∴ ‎ ‎ ∴ AF=FC .‎ ‎ ∵∠BAC=30º ，∴ =60º ， ‎ 又AB是⊙O的直径， ∴ =120º，‎ ‎∴ = 60º ，‎ ‎∴∠ACF=∠FAC =30º .‎ ‎∵OA=OC, ∴∠OCA=∠BAC=30º, 图2‎ ‎∴⊿OAC≌⊿FAC (ASA) , ∴AF=OA ,‎ ‎∴AF=FC=OC=OA , ∴四边形AOCF是菱形. ‎ ‎19．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成，闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿的长度的长度即为第1节套管的长度（如图1所示），使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示），图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图，已知第1节套管长‎50cm，第2节套管长‎46cm，以此类推，每一节套管都比前一节套管少‎4cm，完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm .‎ ‎ (1)请直接写出第5节套管的长度；‎ ‎ (2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为‎311cm，求x的值 .‎ ‎ ‎ ‎ 图3‎ ‎【解析】 (1) 第5节的套管的长是‎34cm . (注：50－（5－1）×4 )‎ ‎ (2) (50+46+…+14) －9x =311‎ ‎ ∴320－9x =311 , ∴x=1‎ ‎ ∴x 的值是1.‎ ‎20．甲、乙两人利用扑克牌玩“10点”游戏，游戏规则如下：‎ 将牌面数字作为“点数”，如红桃6的“点数”就是6（牌面点数与牌的花色无关）；‎ 两人摸牌结束时，将所得牌的“点数”相加 ，若“点数”之和小于或等于10，此时“点数”之和就是“最终点数”，若“点数”之和大于10，则“最终点数”是0；‎ 游戏结束之前双方均不知道对方“点数”；‎ 判定游戏结果的依据是：“最终点数”大的一方获胜，“最终点数”相等时不分胜负.‎ 现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是4,5,6,7.‎ ‎(1)若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为 .‎ ‎(2)若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后双方不再摸牌，请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表呈现甲、乙的“最终点数”，并求乙获胜的概率.‎ ‎【解析】 (1) P甲获胜‎=‎‎1‎‎2‎ .‎ ‎(2) 如图： ‎ ‎ ∴所有可能的结果是（4,5）（4,6）（4,7）（5,4）（5,6）（5,7）（6,4）（6,5）（6,7）‎ ‎ （7,4）（7,5）（7,6） 共12种.‎ 甲 ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 甲“最终点数”‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 乙“最终点数”‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 获胜情况 乙胜 甲胜 甲胜 甲胜 甲胜 甲胜 乙胜 乙胜 平 乙胜 乙胜 平 ‎ ∴ ‎P乙胜‎=‎‎5‎‎12‎ ‎21.如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是 支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯 端点B可以绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=‎10cm.‎ ‎ (1)当∠AOB=18º时，求所作圆的半径；（结果精确到‎0.01cm）‎ ‎ (2)保持∠AOB=18º不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，‎ 求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到‎0.01cm)‎ ‎ (参考数据：sin9º≈0.1564,com9º≈0.9877º,‎ sin18º≈0.3090, com18º≈0.9511,可使用科学计算器) 图1 图2‎ ‎【解析】 (1) 图1，作OC⊥AB，‎ ‎ ∵OA=OB, OC⊥AB，∴AC=BC, ∠AOC=∠BOC=‎1‎‎2‎∠AOB=9°,‎ ‎ 在Rt⊿AOC 中，sin∠AOC = ACOA , ∴AC≈0.1564×10=1.564,‎ ‎ ∴AB=2AC=3.128≈3.13.‎ ‎ ∴所作圆的半径是3.13cm.‎ ‎ ‎ ‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎(2)图2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交OB于点C,‎ ‎ 作AD⊥BC于点D;‎ ‎ ∵AC=AB, AD⊥BC，‎ ‎∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD=‎1‎‎2‎∠BAC,‎ ‎∵∠AOB=18°,OA=OB ,AB=AC, ‎ ‎∴∠BAC=18°, ∴∠BAD=9°,‎ 在Rt⊿BAD 中， sin∠BAD = BDAB , ‎ ‎∴BD≈0.1564×3.128≈0.4892,‎ ‎∴BC=2BD=0.9784≈0.98‎ ‎∴铅笔芯折断部分的长度约为0.98cm. 图2‎ ‎ ‎ 五、（本大题共10分）‎ ‎22．【图形定义】‎ ‎ 如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称∠OAB为“叠弦角”，⊿AOP为“叠弦三角形”.‎ ‎ 【探究证明】‎ ‎(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即⊿AOP)是等边三角形；‎ ‎ (2)如图2，求证：∠OAB=∠OAE＇.‎ ‎ 【归纳猜想】‎ ‎ (3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 ， ；‎ ‎ (4)图n中，“叠弦三角形” 等边三角形（填“是”或“不是”）；‎ ‎ (5)图n中，“叠弦角”的度数为 （用含n的式子表示）.‎ ‎【解析】 (1) 如图1 ∵四ABCD是正方形，‎ 由旋转知：AD=AD＇，∠D=∠D＇=90°, ∠DAD＇=∠OAP=60°‎ ‎ ∴∠DAP=∠D＇AO ，‎ ‎ ∴⊿APD≌⊿AOD＇（ASA）‎ ‎ ∴AP=AO ，又∠OAP=60°， ∴⊿AOP是等边三角形.‎ ‎ ‎ ‎ (2)如右图，作AM⊥DE于M, 作AN⊥CB于N.‎ ‎∵五ABCDE是正五边形，‎ 由旋转知：AE=AE＇，∠E=∠E＇=108°, ‎ ‎∠EAE＇=∠OAP=60°‎ ‎ ∴∠EAP=∠E＇AO ，‎ ‎ ∴⊿APE≌⊿AOE＇（ASA）‎ ‎ ∴∠OAE＇=∠PAE.‎ ‎ 在Rt⊿AEM和Rt⊿ABN中，‎‎∠M=∠N=90° ‎‎∠AEM=∠ABN=72°‎‎ AE=AB ‎ ‎∴Rt⊿AEM≌Rt⊿ABN (AAS)‎ ‎∴ ∠EAM=∠BAN , AM=AN.‎ 在Rt⊿APM和Rt⊿AON中，AP=AOAM=AN ‎ ‎∴Rt⊿APM≌Rt⊿AON (HL).‎ ‎∴∠PAM=∠OAN,‎ ‎∴∠PAE=∠OAB ‎∴∠OAE＇=∠OAB (等量代换).‎ ‎(3) 15°, 24°‎ ‎(4) 是 ‎(5) ∠OAB=[(n-2) ×180°÷n－60°] ÷2=60°－‎‎180°‎n 六、（本大题共共12分）‎ ‎23．设抛物线的解析式为y = a x2 , 过点B1 (1, 0 )作x轴的垂线，交抛物线于点A1 (1, 2 )；过点B2 (1, 0 )作x轴的垂线，交抛物线于点A2 ，… ；过点Bn (‎(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎ ‎, 0 ) (n为正整数 )作x轴的垂线，交抛物线于点A n , 连接A n B n+1 , 得直角三角形A n B n B n+1 .‎ ‎ (1)求a的值；‎ ‎ (2)直接写出线段A n B n ，B n B n+1 的长（用含n的式子表示）；‎ ‎ (3)在系列Rt⊿A n B n B n+1 中，探究下列问题：‎ ‎ 当n为何值时，Rt⊿A n B n B n+1 是等腰直角三角形？‎ ‎ 设1≤k＜m≤n (k , m均为正整数) ，问是否存在Rt⊿A k B k B k+1 与Rt⊿A m B m B m+1‎ 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【解析】 (1) 把A(1 , 2)代入y=‎ax‎2‎ 得： 2=a×‎‎1‎‎2‎ , ∴a=2‎ .‎ ‎ (2) ‎ AnBn=‎2×‎[(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎]‎‎2‎ =‎‎2‎‎3-2n ‎ BnBn+1‎ =‎ (‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎－‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎n = ‎‎2‎‎-n ‎ (3) 若Rt⊿A n B n B n+1 是等腰直角三角形 ，则AnBn‎=BnBn+1‎ ‎.‎ ‎ ∴‎2‎‎3-2n‎=‎‎2‎‎-n , ∴n=3.‎ ‎ 若Rt⊿A k B k B k+1 与Rt⊿A m B m B m+1相似，‎ ‎ 则‎ Ak‎ ‎BkAmBm= ‎Bk‎ ‎Bk+1‎BmBm+1‎ 或‎ Ak‎ ‎BkBmBm+1‎= ‎Bk‎ ‎Bk+1‎AmBm ，‎ ‎ ∴‎ ‎2‎‎3-2k‎2‎‎3-2m= ‎‎2‎‎-k‎2‎‎-m 或‎ ‎2‎‎3-2k‎2‎‎-m= ‎‎2‎‎-k‎2‎‎3-2m ,‎ ‎ ∴ m=k (舍去) 或 k+m=6 ‎ ‎ ∵m>k ,且m , k都是正整数，∴ m=4‎k=2‎‎ 或 m=5‎k=1‎ ‎ ，‎ ‎ ∴ 相似比=‎2‎‎-k‎2‎‎3-2m‎=‎2‎‎-2‎‎2‎‎3-2×4‎ =8 :1‎ ，或 ‎2‎‎-k‎2‎‎3-2m‎=‎2‎‎-1‎‎2‎‎3-2×5‎ =64 :1‎.‎ ‎ ∴相似比是8:1或64:1‎