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- 2021-05-10 发布
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二次函数
课 题
§第12课时 二次函数(1)
教学时间
教学目标:
1.掌握二次函数的定义、图像和性质
2.会用二次函数的图像性质在研究函数最值和增减性
3.进一步体会数形结合,分类讨论,函数与方程等数学思想在解题中的作用
教学重点:
二次函数最值和单调性,二次函数的最值和增减性的应用
教学难点:
二次函数最值和单调性,二次函数的最值和增减性的应用
教学方法:
自主探究 合作交流 讲练结合
教学媒体:
电子白板
【教学过程】:
一、知识梳理
1.二次函数:一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式:__________(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。
2.二次函数的解析式三种形式。
一般式:y=ax2 +bx+c(a≠0);顶点式:_________________;交点式: __________ __
3.二次函数图像与性质
二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴是___________;顶点坐标是_______________;与y轴交点坐标_____________
4.增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而_____;对称轴右边,y随x增大而_____
当a<0时,对称轴左边,y随x增大而_____;对称轴右边,y随x增大而_____
5.二次函数图像画法:
勾画草图关键点:开口方向 对称轴 顶点 与x轴交点 与y轴交点
6.图像平移步骤:(1)配方,确定顶点(h,k);
(2)沿x轴:左_____右_____;沿y轴:上_____下_____
7.用待定系数法求二次函数解析式的三种方法
(1)一般式:已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________
(2)顶点式:已知抛物线顶点坐标(h, k),通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.
复 备 栏
5
(3)交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.
二、典型例题
1.二次函数的定义
问题1 (1)下列函数中,y关于x的二次函数是( )
A.y=ax2+bx+c B.y=x(x﹣1) C.y= D.y=(x﹣1)2﹣x2
(2)已知y=(m﹣1)x是关于x的二次函数,求m的值.
(3)已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+2﹣2m.
①若这个函数是二次函数,求m的取值范围.
②若这个函数是一次函数,求m的值.
③这个函数可能是正比例函数吗?为什么?
2.二次函数的图像与性质
问题2(1)二次函数y=(x﹣2)2+7的顶点坐标是( )
A.(﹣2,7) B.(2,7) C.(﹣2,﹣7) D.(2,﹣7)
(2)对于抛物线y=﹣(x+2)2+3,下列结论中正确结论的个数为( )
①抛物线的开口向下; ②对称轴是直线x=﹣2;
③图象不经过第一象限; ④当x>2时,y随x的增大而减小.
A.4 B.3 C.2 D.1
(3)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为( )
A. B. C. D.
(4)已知抛物线y=-x2﹣3x﹣
(1)求其开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)x取何值时,y随x的增大而减小?
5
3.二次函数的平移
问题3(1)已知抛物线,将抛物线c平移得到抛物线c′,如果两条抛物线,关于直线x=1对称,那么下列说法正确的是( )
A.将c沿x轴向右平移个单位得到c′ B.将c沿x轴向右平移4个单位得到c′
C.将c沿x轴向右平移个单位得到c′ D.将c沿x轴向右平移6个单位得到c′
(2)将抛物线y=(x+m)2向右平移2个单位后,对称轴是y轴,那么m的值是 .
(3)已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线都相同,顶点与抛物线相同.
①求这条抛物线的解析式;
②将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式?
③若(2)中所求抛物线的顶点不动,将抛物线的开口反向,求符合此条件的抛物线解析式.
4.二次函数的最值
问题4 (1)抛物线y=﹣(x+1)2+3有( )
A.最大值3 B.最小值3 C.最大值﹣3 D.最小值﹣3
(2)二次函数y=﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5,则c的值是( )
A.﹣6 B.﹣2 C.2 D.3
(3)已知关于x的函数y=kx2+(2k﹣1)x﹣2(k为常数).
①试说明:不论k取什么值,此函数图象一定经过(﹣2,0);
②在x>0时,若要使y随x的增大而减小,求k的取值范围;
③试问该函数是否存在最小值﹣3?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明理由.
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5.用待定系数法求二次函数的解析式
问题1.(1)已知二次函数的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点,求二次函数的表达式.
(2)已知抛物线的顶点坐标是(3,-1),且经过点(4,1),求二次函数的表达式.
问题2.(1)已知抛物线经过点(4,-2),当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大,且顶点到轴的距离为4,求二次函数的解析式.
(2)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示:抛物线经过点B.求抛物线的解析式.
三、中考预测
1. (2017•金华)对于二次函数y=﹣(x﹣1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( )
A.对称轴是直线x=1,最小值是2 B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=﹣1,最小值是2 D.对称轴是直线x=﹣1,最大值2
5
2.(2017•台湾)已知坐标平面上有两个二次函数y=a(x+1)(x﹣7),y=b(x+1)(x﹣15)的图形,其中a、b为整数.判断将二次函数y=b(x+1)(x﹣15)的图形依下列哪一种方式平移后,会使得此两图形的对称轴重叠( )
A.向左平移4单位 B.向右平移4单位
C.向左平移8单位 D.向右平移8单位
四、反思总结
1.本节课你复习了哪些内容?
2.本节课中你觉得还有哪些不足?
5
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