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- 2021-05-10 发布
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海南省农垦中学2016年中考数学一模试卷
一、选择题(本大题满分42分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑.
1.﹣5的绝对值是( )
A.5 B.﹣5 C. D.﹣
2.若a23=26,则a等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.一组数据2,0,﹣2,1,3的平均数是( )
A.0.8 B.1 C.1.5 D.2
4.要使分式有意义,则x应满足的条件是( )
A.x≠1 B.x≠1或x≠0 C.x≠0 D.x>1
5.若x=﹣3是方程2(x﹣m)=6的解,则m的值为( )
A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12
6.长方体的主视图与左视图如图所示(单位:cm),则其俯视图的面积是( )
A.12cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.4cm2
7.如图,直线AB∥CD,∠B=70°,∠C=25°,则∠E等于( )
A.85° B.75° C.70° D.65°
8.不等式组的解集为( )
A.﹣2<x<3 B.﹣3<x<2 C.x<2 D.x>﹣3
9.在△ABC中,∠A=90°,AB=3,BC=5,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
10.如图,要使▱ABCD成为矩形,需添加的条件是( )
A.AB=BC B.AO=BO C.∠1=∠2 D.AC⊥BD
11.如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分OB,则∠ACD等于( )
A.30° B.45° C.60° D.70°
12.如图,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,DE=3,则BC的长等于( )
A.5 B.6 C.8 D.9
13.若点A(x1,﹣3)、B(x2,﹣2)都在函数的图象上,则x1,x2的大小关系是( )
A.x1>x2 B.x1<x2 C.x1=x2 D.无法确定
14.在一个不透明的袋中,装有3个红球和1个白球,这些球除颜色外其余都相同,搅匀后从中随机一次摸出两个球,这两个球都是红球的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题满分16分,每小题4分)
15.计算:﹣ab2﹣(﹣3ab2)= .
16.若关于x的方程x2+x+k=0的一个根为﹣2,则它的另一根为 .
17.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若AB=AD=DC=2,∠A=120°,则梯形ABCD的周长为 .
18.如图,AB是⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC切⊙O于点C,若AB=8,∠CPA=30°,则PC的长等于 .
三、解答题(本大题满分62分)
19.(1)计算:(﹣1)3﹣(2﹣5)+×;
(2)化简: .
20.某商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售工艺品8件时,与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得的利润相等、该工艺品每件进价和标价分别是多少元?
21.某市为调查学生的视力变化情况,从全市九年级学生中抽取了部分学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,并将所得数据处理后,制成如下折线统计图和扇形统计图.
请你根据图1、图2所给的信息,回答下列问题:
(1)在图2中,表示视力4.9以下的扇形的圆心角为 度;
(2)该市共抽取了九年级学生 名;
(3)若该市共有2万名九年级学生,估计该市九年级视力不良(4.9以下)的学生大约有 人.
22.在如图所示的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(1,﹣1).
(1)画出△ABC向左平移2个单位,然后再向上平移4个单位后的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕点M(﹣1,1)旋转180°后得到的△A2B2C2,并求出以A1、C2、A2、C1为顶点的四边形的面积;
(3)如何平移△ABC,使得平移后的△ABC与△A2B2C2拼成一个平行四边形?请说出一种平移方法.
23.如图,已知正方形ABCD的边长是2,∠EAF=m°,将∠EAF绕点A顺时针旋转,它的两边分别交BC、CD于点E、F,G是CB延长线上一点,且始终保持BG=DF.
(1)求证:△ABG≌△ADF;
(2)求证:AG⊥AF;
(3)当EF=BE+DF时,①求m的值;②若F是CD的中点,求BE的长.
24.如图1,已知抛物线y=a(x﹣1)2+3(a≠0)经过点A(﹣2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动(图2).设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,是否存在某个时刻,四边形BCPQ的面积最小?如果存在,请求出这个最小值;如果不存在,请说明理由.
2016年海南省农垦中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题满分42分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑.
1.﹣5的绝对值是( )
A.5 B.﹣5 C. D.﹣
【考点】绝对值.
【分析】根据绝对值的性质求解.
【解答】解:根据负数的绝对值等于它的相反数,得|﹣5|=5.故选A.
【点评】此题主要考查的是绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
2.若a23=26,则a等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】同底数幂的乘法.
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加,可得答案.
【解答】解:a23=26,
a=23=8,
故选:D.
【点评】本题考查了同底数幂的乘法,底数不变指数相加是解题关键.
3.一组数据2,0,﹣2,1,3的平均数是( )
A.0.8 B.1 C.1.5 D.2
【考点】算术平均数.
【分析】求得各个数的和后除以数据的个数即可.
【解答】解:这组数据平均数是=0.8,
故选:A.
【点评】此题主要考查了算术平均数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:对于n个数x1,x2,…,xn,则=(x1+x2+…+xn)就叫做这n个数的算术平均数.
4.要使分式有意义,则x应满足的条件是( )
A.x≠1 B.x≠1或x≠0 C.x≠0 D.x>1
【考点】分式有意义的条件.
【分析】根据分式的分母不为零分式有意义,可得答案.
【解答】解:由分式有意义,得
x﹣1≠0,
解得x≠1.
故选:A.
【点评】本题考查了分式有意义的条件,分母不等于零分式有意义.
5.若x=﹣3是方程2(x﹣m)=6的解,则m的值为( )
A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12
【考点】一元一次方程的解.
【分析】把x=﹣3,代入方程得到一个关于m的方程,即可求解.
【解答】解:把x=﹣3代入方程得:2(﹣3﹣m)=6,
解得:m=﹣6.
故选B.
【点评】本题考查了方程的解的定理,理解定义是关键.
6.长方体的主视图与左视图如图所示(单位:cm),则其俯视图的面积是( )
A.12cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.4cm2
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】主视图的矩形的两边长表示长方体的长为4,高为2;左视图的矩形的两边长表示长方体的宽为3,高为2;那么俯视图的矩形的两边长表示长方体的长与宽,那么求面积即可.
【解答】解:根据题意,正方体的俯视图是矩形,它的长是4cm,宽是3cm,面积=4×3=12(cm2),故选A.
【点评】解决本题的关键是根据所给视图得到俯视图的矩形的边长.
7.如图,直线AB∥CD,∠B=70°,∠C=25°,则∠E等于( )
A.85° B.75° C.70° D.65°
【考点】平行线的性质.
【分析】由“两直线平行,同位角相等”得到∠CDE=∠B=70°;然后在△CDE中,利用三角形内角和定理来求∠E的度数.
【解答】解:如图,∵直线AB∥CD,∠B=70°,
∴∠CDE=∠B=70°.
又∠C+∠E+∠CDE=180°,∠C=25°,
∴∠E=85°.
故选:A.
【点评】本题考查了平行线的性质.解题时,也可以根据“两直线平行,同旁内角互补”和三角形外角的性质进行解答.
8.不等式组的解集为( )
A.﹣2<x<3 B.﹣3<x<2 C.x<2 D.x>﹣3
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】先求出每个不等式的解集,再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.
【解答】解:
∵解不等式①得:x<2,
解不等式②得:x>﹣3,
∴不等式组的解集为﹣3<x<2,
故选B.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用,能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.
9.在△ABC中,∠A=90°,AB=3,BC=5,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】利用勾股定理得出AC的值,再利用锐角三角函数关系得出答案.
【解答】解:∵∠A=90°,AB=3,BC=5,
∴AC=4,
∴sinB==.
故选:C.
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系,正确记忆锐角三角函数关系是解题关键.
10.如图,要使▱ABCD成为矩形,需添加的条件是( )
A.AB=BC B.AO=BO C.∠1=∠2 D.AC⊥BD
【考点】矩形的判定;平行四边形的性质.
【分析】根据矩形的判定定理(①有一个角是直角的平行四边形是矩形,②有三个角是直角的四边形是矩形,③对角线相等的平行四边形是矩形)逐一判断即可.
【解答】解:A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
B、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AO=BO,
∴OA=OC=OB=OD,
即AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,故本选项正确;
C、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠ACB,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠ACB,
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,不能推出四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
D、∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形,不能推出四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
故选B.
【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用,注意:矩形的判定定理有:①有一个角是直角的平行四边形是矩形,②有三个角是直角的四边形是矩形,③对角线相等的平行四边形是矩形.
11.如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分OB,则∠ACD等于( )
A.30° B.45° C.60° D.70°
【考点】圆周角定理;线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】连接OC,在直角△OCE中,即可求得∠COE的度数,根据等腰三角形的性质,即可求解.
【解答】解:连接OC,
∵OE=OB=OC,
∴∠OCD=30°,
∴∠COB=60°,
∵OA=OC,
∴∠BAC=30°,
∴∠ACD=60°.
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,正确解直角三角形,求得∠COE的度数是关键.
12.如图,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,DE=3,则BC的长等于( )
A.5 B.6 C.8 D.9
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】由DE与BC平行,利用平行线分线段成比例求出BC的长即可.
【解答】解:∵在△ABC中,DE∥BC,
∴=,
∵DB=2AD,DE=3,
∴==,
代入比例式得: =,
解得:BC=9,
故选D
【点评】此题考查了平行线分线段成比例,熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键.
13.若点A(x1,﹣3)、B(x2,﹣2)都在函数的图象上,则x1,x2的大小关系是( )
A.x1>x2 B.x1<x2 C.x1=x2 D.无法确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】直接把点A(x1,﹣3)、B(x2,﹣2)代入函数,求出x1,x2的值,并比较出其大小关系即可.
【解答】解:∵点A(x1,﹣3)、B(x2,﹣2)都在函数的图象上,
∴﹣3=,﹣2=,
∴x1=2,x2=3,
∴x1<x2.
故选B.
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式.
14.在一个不透明的袋中,装有3个红球和1个白球,这些球除颜色外其余都相同,搅匀后从中随机一次摸出两个球,这两个球都是红球的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】列举出所有情况,看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可.
【解答】解:画树形图得:
一共有12种情况,两个球都是红球的有6种情况,
故这两个球都是红球相同的概率是=,
故选A.
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
二、填空题(本大题满分16分,每小题4分)
15.计算:﹣ab2﹣(﹣3ab2)= 2ab2 .
【考点】整式的加减.
【分析】原式去括号合并即可得到结果.
【解答】解:原式=﹣ab2+3ab2=2ab2.
故答案为:2ab2
【点评】此题考查了整式的加减,涉及的知识有:去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握法则是解本题的关键.
16.若关于x的方程x2+x+k=0的一个根为﹣2,则它的另一根为 1 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】设方程的另一根为x1,利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到﹣2+x1=﹣1,然后解一元一次方程即可.
【解答】解:设方程的另一根为x1,
∵关于x的方程x2+x+k=0的一个根为﹣2,
∴﹣2+x1=﹣1,
∴x1=1.
故答案为1.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=﹣,x1x2=.
17.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若AB=AD=DC=2,∠A=120°,则梯形ABCD的周长为 10 .
【考点】梯形.
【分析】首先过点A作AE∥CD,交BC于点E,由AB=AD=DC=2,∠A=120°,易证得四边形AECD是平行四边形,△ABE是等边三角形,继而求得答案.
【解答】解:过点A作AE∥CD,交BC于点E,
∵AD∥BC,
∴四边形AECD是平行四边形,∠B=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°,
∴AE=CD,CE=AD=2,
∵AB=DC,
∴△ABE是等边三角形,
∴BE=AB=2,
∴BC=BE+CE=4,
∴梯形ABCD的周长为:AB+BC+CD+AD=10.
故答案为:10.
【点评】此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.
18.如图,AB是⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC切⊙O于点C,若AB=8,∠CPA=30°,则PC的长等于 4 .
【考点】切线的性质.
【分析】连接OC,由切线的性质可知△OCP是直角三角形,又因为OC的长可求出,∠CPA=30°,所以PC的长即可求出.
【解答】解:连接OC,
∵PC切⊙O于点C,
∴OC⊥CP,
∴△OCP是直角三角形,
∵AB=8,
∴OC=4,
∵∠CPA=30°,
∴PC=4,
故答案为:4.
【点评】本题考查了圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
三、解答题(本大题满分62分)
19.(1)计算:(﹣1)3﹣(2﹣5)+×;
(2)化简: .
【考点】二次根式的混合运算;分式的乘除法.
【分析】(1)先进行乘方运算和二次根式的乘法运算,然后进行加减运算;
(2)先把分子分母因式分解,然后约分即可.
【解答】解:(1)原式=﹣1+3+
=﹣1+3+4
=6;
(2)原式=
=.
【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.也考查了分式的乘除法.
20.某商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售工艺品8件时,与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得的利润相等、该工艺品每件进价和标价分别是多少元?
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】根据“每件获利45元”可得出:每件标价﹣每件进价=45元;根据“标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”可得出等量关系:每件标价的八五折×8﹣每件进价×8=(每件标价﹣35元)×12﹣每件进价×12.
【解答】解:设每件工艺品进价为x元,标价为y元,
由题意可得:,
解得:.
答:进价为155元/件,标价为200元/件、
【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用,解题关键是根据标价、进价和利润的关系,找出等量关系,难度一般.
21.某市为调查学生的视力变化情况,从全市九年级学生中抽取了部分学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,并将所得数据处理后,制成如下折线统计图和扇形统计图.
请你根据图1、图2所给的信息,回答下列问题:
(1)在图2中,表示视力4.9以下的扇形的圆心角为 144 度;
(2)该市共抽取了九年级学生 500 名;
(3)若该市共有2万名九年级学生,估计该市九年级视力不良(4.9以下)的学生大约有 8000 人.
【考点】折线统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据扇形图首先计算出4.9以下的学生所占百分比,然后利用360°乘以所占百分比即可;
(2)根据折线图可得2011年视力4.9以下的人数有200人,再利用200人除以所占百分比即可;
(3)利用样本估计总体的方法用2万×样本中4.9以下的学生所占百分比可得答案.
【解答】解:(1)360°×(1﹣10%﹣20%﹣30%)=144°,
故答案为:144;
(2)200÷40%=500(人)
故答案为:500;
(3)20000×40%=8000.
故答案为:8000.
【点评】此题主要考查了折线图和扇形图,以及利用样本估计总体的方法,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
22.在如图所示的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(1,﹣1).
(1)画出△ABC向左平移2个单位,然后再向上平移4个单位后的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕点M(﹣1,1)旋转180°后得到的△A2B2C2,并求出以A1、C2、A2、C1为顶点的四边形的面积;
(3)如何平移△ABC,使得平移后的△ABC与△A2B2C2拼成一个平行四边形?请说出一种平移方法.
【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.
【分析】(1)利用点平移的坐标规律写出A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标,然后描点即可;
(2)利用网格特点和旋转的性质分别画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2,从而得到△A2B2C2,然后利用菱形的面积公式计算四边形的面积;
(3)方法很多,如可以将△ABC先向左平移4个单位,再向上平移4个单位,平移后的△ABC与△A2B2C2拼成一个平行四边形或将△ABC先向左平移1个单位,再向上平移2个单位,平移后的△ABC与△A2B2C2拼成一个平行四边形或将△ABC先向左平移5个单位,再向上平移2个单位,平移后的△ABC与△A2B2C2拼成一个平行四边形.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作,A1(﹣1,3);
(2)如图,△A2B2C2为所作;
四边形A1C2A2C1为菱形,它的面积=×6×4=12;
(3)可以将△ABC先向左平移4个单位,再向上平移4个单位,平移后的△ABC与△A2B2C2拼成一个平行四边形.
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.也考查了平移变换.
23.如图,已知正方形ABCD的边长是2,∠EAF=m°,将∠EAF绕点A顺时针旋转,它的两边分别交BC、CD于点E、F,G是CB延长线上一点,且始终保持BG=DF.
(1)求证:△ABG≌△ADF;
(2)求证:AG⊥AF;
(3)当EF=BE+DF时,①求m的值;②若F是CD的中点,求BE的长.
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;旋转的性质.
【分析】(1)在正方形ABCD中,AB=AD=BC=CD=2,∠BAD=∠C=∠D=∠ABC=∠ABG=90°.已知BG=DF,所以得出△ABG≌△ADF,
(2)由△ABG≌△ADF,得出∠GAB=∠FAD,从而得到∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°,得出结论AG⊥AF;
(3)①:由△ABG≌△ADF,AG=AF,BG=DF.得到EF=BE+DF,EF=BE+BG=EG.AE=AE,得出△AEG≌△AEF.所以∠EAG=∠EAF,∠EAF=∠GAF=45°,即m=45;
②若F是CD的中点,则DF=CF=BG=1.设BE=x,则CE=2﹣x,EF=EG=1+x.在Rt△CEF中,利用勾股定理得出BE的长为.
【解答】
解:(1)证明:在正方形ABCD中,
AB=AD=BC=CD=2,
∠BAD=∠C=∠D=∠ABC=∠ABG=90°.
∵BG=DF,
在∴△ABG和△ADF
∴△ABG≌△ADF(SAS);
(2)证明:∵△ABG≌△ADF,
∴∠GAB=∠FAD,
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF
=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°,
∴AG⊥AF;
(3)①解:△ABG≌△ADF,
∴AG=AF,BG=DF.
∵EF=BE+DF,
∴EF=BE+BG=EG.
∵AE=AE,
在△AEG和△AEF中.
∴
∴△AEG≌△AEF(SSS).
∴∠EAG=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF=45°,
即m=45;
②若F是CD的中点,则DF=CF=BG=1.
设BE=x,则CE=2﹣x,EF=EG=1+x.
在Rt△CEF中,CE2+CF2=EF2,即( 2﹣x )2+12=( 1+x )2,得x=.
∴BE的长为.
【点评】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理及旋转的性质,解题的关键是根据三角形全等求出相等的角与边.
24.如图1,已知抛物线y=a(x﹣1)2+3(a≠0)经过点A(﹣2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动(图2).设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,是否存在某个时刻,四边形BCPQ的面积最小?如果存在,请求出这个最小值;如果不存在,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将A的坐标代入y=a(x﹣1)2+3,可得a的值,即可得到抛物线的解析式;
(2)根据抛物线的解析式易得顶点D的坐标,作DE⊥x轴于E,可得DE、AE、AD的长,根据平行四边形、直角梯形、等腰梯形的性质,用t将其中的关系表示出来,并求解可得答案;
(3)易证△OBC是等边三角形,作PF⊥x轴于F,可得OQ、PF关于t的关系式,将四边形BCPQ的面积用含t的代数式表示出来,利用二次函数的性质可求得四边形BCPQ面积的最小值及此时t的值.
【解答】解:(1)∵抛物线y=a(x﹣1)2+3(a≠0)经过点A(﹣2,0),
∴0=a (﹣2﹣1)2+3,
解得a=﹣,
∴二次函数的解析式为:y=﹣x2+x+;
(2)如图1.∵D为抛物线的顶点,
∴D(1,3).
作DE⊥x轴于E,则DE=3,AE=3,
∴AD=6,∠DAE=60°.
∵OM∥AD,CD∥x轴,
∴四边形AOCD是平行四边形,
∴OC=AD=6,CD=OA=2,∠DCO=∠DAE=60°.
①当点P运动到C点时,四边形DAOP是平行四边形,
∴OP1=OC=6,t=6s;
②当DP⊥OM时,四边形DAOP是直角梯形,
∵在Rt△CDP2中,CD=2,∠DCO=60°,
∴CP2=1,
∴OP2=OC﹣CP2=6﹣1=5,t=5s;
③当PD=OA时,四边形DAOP是等腰梯形,
∵CD=OA=2,∠DCO=60°,
∴△CDP3为等边三角形,
∴CP3=CD=2,
∴OP3=OC﹣CP3=6﹣2=4,t=4s.
综上所述:当t分别等于6s、5s、4s时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形;
(3)存在某个时刻,能够使四边形BCPQ的面积最小.理由如下:
∵OM∥AD,
∴∠COB=∠DAE=60°.
∵OC=OB,
∴△OCB是等边三角形,
∴OB=OC=6.
∵OP=t,BQ=2t,
∴OQ=6﹣2t(0<t<3).
如图2,作PF⊥x轴于F,则PF=t,
∴S四边形BCPQ=S△OCB﹣S△OPQ
=×6×3﹣(6﹣2t)×t
=(t﹣)2+,
∵>0,
∴当t=时,S四边形BCPQ最小=.
【点评】本题是二次函数综合题,其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式,二次函数的性质,平行四边形、直角梯形、等腰梯形的性质,等边三角形的判定与性质,三角形、四边形的面积等知识,综合性较强,难度适中.利用数形结合准确作出辅助线是解题的关键.