2016年广东省中考数学试卷 21页

‎2016年广东省中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎2．如图所示，a与b的大小关系是（　　）‎ A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a ‎3．下列所述图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形 ‎4．据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.277×107 B．0.277×108 C．2.77×107 D．2.77×108‎ ‎5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）‎ A． B．2 ‎ C．+1 D．2+1‎ ‎6．某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（　　）‎ A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元 ‎7．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（　　）‎ A．5 B．10 C．12 D．15‎ ‎10．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11． 9的算术平方根是　　．‎ ‎12．分解因式：m2﹣4=　　．‎ ‎13．不等式组的解集是　　．‎ ‎14．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是　　cm（计算结果保留π）．‎ ‎15．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　 　．‎ ‎16．如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=　 　．‎ 三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）‎ ‎17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1．‎ ‎18．（6分）先化简，再求值：•+，其中a=﹣1．‎ ‎19．（6分）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．‎ ‎（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．‎ ‎　‎ 四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）‎ ‎20．（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．‎ ‎（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？‎ ‎（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？‎ ‎21．（7分）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．‎ ‎22．（7分）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：‎ ‎（1）这次活动一共调查了　　名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于　　度；‎ ‎（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是　　人．‎ ‎　‎ 五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）‎ ‎23．（9分）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（1，m ）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　　）；‎ ‎（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．‎ ‎24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：△ACF∽△DAE；‎ ‎（2）若S△AOC=，求DE的长；‎ ‎（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．‎ ‎25．（9分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．‎ ‎（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？‎ ‎（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；‎ ‎（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016年广东省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）（2016•黔东南州）﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）（2016•广东）如图所示，a与b的大小关系是（　　）‎ A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a ‎【解答】根据数轴得到a＜0，b＞0，‎ ‎∴b＞a，‎ 故选A ‎3．（3分）（2016•广东）下列所述图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形 ‎【解答】解：A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；‎ C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2016•广东）据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.277×107 B．0.277×108 C．2.77×107 D．2.77×108‎ ‎【解答】解：将27700000用科学记数法表示为2.77×107，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2016•广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）‎ A． B．2 C．+1 D．2+1‎ ‎【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，‎ ‎∴BC=CD==1，∠BCD=90°，‎ ‎∵E、F分别是BC、CD的中点，‎ ‎∴CE=BC=，CF=CD=，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∴△CEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴EF=CE=，‎ ‎∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）（2016•广东）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（　　）‎ A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元 ‎【解答】解：从小到大排列此数据为：3000元，4000元，5000元，7000元，10000元，‎ ‎5000元处在第3位为中位数，‎ 故他们工资的中位数是5000元．‎ 故选B．‎ ‎7．（3分）（2016•广东）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：点P（﹣2，﹣3）所在的象限是第三象限．‎ 故选C．‎ ‎8．（3分）（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由勾股定理得OA==5，‎ 所以cosα=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2016•广东）已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（　　）‎ A．5 B．10 C．12 D．15‎ ‎【解答】解：由x﹣2y+3=8得：x﹣2y=8﹣3=5，‎ 故选A ‎　‎ ‎10．（3分）（2016•广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：设正方形的边长为a，‎ 当P在AB边上运动时，y=ax；‎ 当P在BC边上运动时，y=a（2a﹣x）=﹣ax+a2；‎ 当P在CD边上运动时，y=a（x﹣2a）=ax﹣a2；‎ 当P在AD边上运动时，y=a（4a﹣x）=﹣ax﹣2a2，‎ 大致图象为：‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（2016•广东）9的算术平方根是　3　．‎ ‎【解答】解：∵（±3）2=9，‎ ‎∴9的算术平方根是|±3|=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2016•广东）分解因式：m2﹣4=　（m+2）（m﹣2）　．‎ ‎【解答】解：m2﹣4=（m+2）（m﹣2）．‎ 故答案为：（m+2）（m﹣2）．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2016•广东）不等式组的解集是　﹣3＜x≤1　．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得x≤1，‎ 解②得x＞﹣3，‎ 所以不等式组的解集为﹣3＜x≤1．‎ 故答案为﹣3＜x≤1．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2016•广东）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是　10π　cm（计算结果保留π）．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的高h为12cm，OA=13cm，‎ ‎∴圆锥的底面半径为=5cm，‎ ‎∴圆锥的底面周长为10πcm，‎ ‎∴扇形AOC中的长是10πcm，‎ 故答案为：10π．‎ ‎15．（4分）（2016•广东）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　　．‎ ‎【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，‎ ‎∴∠EB′C=90°，‎ ‎∵BC=3BE，‎ ‎∴EC=2BE=2B′E，‎ ‎∴∠ACB=30°，‎ 在Rt△ABC中，AC=2AB，‎ ‎∴AB=AC=×2=，‎ 故答案为：．‎ ‎16．（4分）（2016•广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=　a　．‎ ‎【解答】解：如图，连接OB、OC．‎ ‎∵AD是直径，AB=BC=CD，‎ ‎∴==，‎ ‎∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，‎ ‎∴∠APB=∠AOB=30°，∠APC=∠AOC=60°，‎ 在Rt△APE中，∵∠AEP=90°，‎ ‎∴AE=AP•sin30°=a，‎ 在Rt△APF中，∵∠AFP=90°，‎ ‎∴AF=AP•sin60°=a，‎ ‎∴AE+AF=a．‎ 故答案为a．‎ ‎　‎ 三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）‎ ‎17．（6分）（2016•广东）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1．‎ ‎【解答】解：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1‎ ‎=3﹣1+2‎ ‎=2+2‎ ‎=4．‎ ‎18．（6分）（2016•广东）先化简，再求值：•+，其中a=﹣1．‎ ‎【解答】解：原式=•+=+==，‎ 当a=﹣1时，原式===+1．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2016•广东）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．‎ ‎（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．‎ ‎【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．‎ ‎（2）∵AD=DB，AE=EC，‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC，‎ ‎∵DE=4，‎ ‎∴BC=8．‎ ‎　‎ 四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）‎ ‎20．（7分）（2016•广东）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．‎ ‎（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？‎ ‎（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？‎ ‎【解答】解：（1）设原计划每天修建道路x米，‎ 可得：，‎ 解得：x=100，‎ 经检验x=100是原方程的解，‎ 答：原计划每天修建道路100米；‎ ‎（2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，‎ 可得：，‎ 解得：y=20，‎ 经检验y=20是原方程的解，‎ 答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2016•广东）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．‎ ‎【解答】解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A=90°﹣30°=60°，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∴∠ACD=30°，‎ 在Rt△ACD中，AC=a，‎ ‎∴AD=a，‎ 由勾股定理得：CD==，‎ 同理得：FC=×=，CH=×=，‎ 在Rt△HCI中，∠I=30°，‎ ‎∴HI=2HC=，‎ 由勾股定理得：CI==，‎ 答：CI的长为．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）（2016•广东）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：‎ ‎（1）这次活动一共调查了　250　名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于　108　度；‎ ‎（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是　480　人．‎ ‎【解答】解：（1）这次活动一共调查学生：80÷32%=250（人）；‎ ‎（2）选择“篮球”的人数为：250﹣80﹣40﹣55=75（人），‎ 补全条形图如图：‎ ‎（3）选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角为：×360°=108°；‎ ‎（4）估计该学校选择足球项目的学生人数约是：1500×32%=480（人）；‎ 故答案为：（1）250；（3）108；（4）480．‎ 五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）‎ ‎23．（9分）（2016•广东）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（1，m ）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　2，1　）；‎ ‎（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线y=kx+1与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，m），‎ ‎∴m=2，‎ 把A（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2，‎ 解得：k=1；‎ ‎（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA=1，OA=2，‎ ‎∵点Q与点P关于直线y=x成轴对称，‎ ‎∴直线y=x垂直平分PQ，‎ ‎∴OP=OQ，‎ ‎∴∠POA=∠QOB，‎ 在△OPA与△OQB中，‎ ‎，‎ ‎∴△POA≌△QOB，‎ ‎∴QB=PA=1，OB=OA=2，‎ ‎∴Q（2，1）；‎ 故答案为：2，1；‎ ‎（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+，‎ ‎∴对称轴方程x=﹣=．‎ ‎24．（9分）（2016•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：△ACF∽△DAE；‎ ‎（2）若S△AOC=，求DE的长；‎ ‎（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．‎ ‎【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∵∠ABC=30°，‎ ‎∴∠ACB=60°‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠AOC=60°，‎ ‎∵AF是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAF=90°，‎ ‎∴∠AFC=30°，‎ ‎∵DE是⊙O的切线，‎ ‎∴∠DBC=90°，‎ ‎∴∠D=∠AFC=30°‎ ‎∴∠DAE=∠ACF=120°，‎ ‎∴△ACF∽△DAE；‎ ‎（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，‎ ‎∴∠CAF=30°，‎ ‎∴∠CAF=∠AFC，‎ ‎∴AC=CF ‎∴OC=CF，‎ ‎∵S△AOC=，‎ ‎∴S△ACF=，‎ ‎∵∠ABC=∠AFC=30°，‎ ‎∴AB=AF，‎ ‎∵AB=BD，‎ ‎∴AF=BD，‎ ‎∴∠BAE=∠BEA=30°，‎ ‎∴AB=BE=AF，‎ ‎∴=，‎ ‎∵△ACF∽△DAE，‎ ‎∴=（）2=，‎ ‎∴S△DAE=，‎ 过A作AH⊥DE于H，‎ ‎∴AH=DH=DE，‎ ‎∴S△ADE=DE•AH=וDE2=，‎ ‎∴DE=；‎ ‎（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，‎ 在△AOF与△BOE中，，‎ ‎∴△AOF≌△BEO，‎ ‎∴OE=OF，‎ ‎∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，‎ ‎∴∠AFO=∠GFO，‎ 过O作OG⊥EF于G，‎ ‎∴∠OAF=∠OGF=90°，‎ 在△AOF与△OGF中，，‎ ‎∴△AOF≌△GOF，‎ ‎∴OG=OA，‎ ‎∴EF是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎25．（9分）（2016•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．‎ ‎（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？‎ ‎（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；‎ ‎（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．‎ ‎【解答】（1）四边形APQD为平行四边形；‎ ‎（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，‎ ‎∵OQ⊥BD，‎ ‎∴∠PQO=45°，‎ ‎∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，‎ ‎∴OB=OQ，‎ 在△AOB和△OPQ中，‎ ‎∴△AOB≌△POQ（SAS），‎ ‎∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，‎ ‎∴∠AOP=∠BOQ=90°，‎ ‎∴OA⊥OP；‎ ‎（3）如图，过O作OE⊥BC于E．‎ ‎①如图1，当P点在B点右侧时，‎ 则BQ=x+2，OE=，‎ ‎∴y=וx，即y=（x+1）2﹣，‎ 又∵0≤x≤2，‎ ‎∴当x=2时，y有最大值为2；‎ ‎②如图2，当P点在B点左侧时，‎ 则BQ=2﹣x，OE=，‎ ‎∴y=וx，即y=﹣（x﹣1）2+，‎ 又∵0≤x≤2，‎ ‎∴当x=1时，y有最大值为；‎ 综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；‎