北师大初中数学八年级上册勾股定理中考考点 11页

勾股定理 ‎ 中考考点 掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。‎ 考点讲解 ‎ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：c=a+b(c为斜边)。它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角 形的主要依据之一。‎ 一、问题的提出：‎ 小明放学回家要经过一块长方形的麦地。如图：‎ 1、 小明本来应走大路从A经B到C可是他却直接从A到C，为什么？‎ 2、 为什么近、近多少？‎ ‎3、用数学知识如何解答？‎ 二、量一量，算一算：‎ ‎1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。‎ ‎2、进行有关的计算。‎ ‎3、得出结论：‎ 三、证明结论：‎ 利用拼合三角形的方法，如下：（1）‎ 由（1）‎ 由（2）‎ ‎（2）如图：‎ 练习：‎ ‎1、判断：‎ ‎ （1）已知a、b、c是三角形的三边，则 （ ）‎ ‎ （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。 （ ）‎ ‎ （3）在 （ ）‎ ‎2、填空：在中，‎ ‎（1）如果a=3，b=4，则c=‎ ‎（2）如果a=6，b=8，则c=‎ ‎（3）如果a=5，b=12，则c=‎ ‎(4) 如果a=15，b=20，则c=‎ 1、 解决新课开始提出的问题 中考考点 ‎ 1．把握勾股定理的逆定理；‎ ‎ 2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。‎ 考点讲解 ‎ 1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：‎ a+b= c，那么这个三角形是直角三角形。‎ ‎ 注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。‎ ‎ 1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：‎ ‎ （1）首先求出最大边（如c）；‎ ‎ （2）验证a+b与c是否具有相等关系；‎ ‎ 若c2=a2+b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。‎ ‎ 若c2≠a2+b，则△ABC不是直角三角形。‎ ‎ 2．直角三角形的判定方法小结：‎ ‎ （1）三角形中有两个角互余；‎ ‎ （2）勾股定理的逆定理；‎ ‎3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20等。‎ 四、典型例题 例1. 在中，，于D，求证：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ 分析：在图中有与三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。‎ 证明：‎ ‎（1）‎ ‎（2）又 即 例2、已知中，，求AC边上的高线的长。‎ 分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。‎ 解：‎ 为，且 作于D 设，则 答：AC边上的高线长为。‎ 例3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，‎ 求证：AB2－AD2=BD·DC 思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出现两个全等的直角三角形。‎ 由AB=ACBE=EC 结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得 AB2－AD2=BE2－DE2‎ AB2=AE2+BE2‎ AD2=AE2+DE2‎ 由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是 AB2－AD2=BD·CD AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE)‎ 结合图形知：BE+DE=BD BE－DE=CE－DE=CD 例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，∠CBA=90°,求S四边形ABCD 思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求 AC2=AB2+BC2=32+42=25‎ 在△CAD中，我们又可发现：‎ AC2+AD2=25+122=169‎ DC2=132=169‎ ‎∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知 ‎∴△ACD为Rt△，且∠DAC=90°‎ 此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。‎ ‎ S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD 例5、在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且EC = , 求证: ÐEFA = 90° 分析:通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。‎ 证明: 设正方形ABCD的边长为‎4a 则EC = a, BE = ‎3a, CF = DF = ‎‎2a 在RtABE中 在RtADF中 在RtECF中 由上述结果可得 由勾股定理逆定理可知AEF为Rt, 且AE是最大边, 即ÐAFE = 90° 例6、已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，EF=10，△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE，AF的长。‎ 思路分析：依题意知△AEF为Rt△用勾股定理，立马而定，于是有 EF2=AE2+AF2‎ 设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100 ①‎ 本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.‎ 五、专题检测：‎ ‎1、如图在ABC中, ÐBAC = 90°, AD^BC于D, 则图中互余的角有 ‎ A．2对 B．3对 ‎ C．4对 D．5对 ‎2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为 ‎3、已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：。‎ ‎4. 已知：钝角，CD垂直BA延长线于D，求证：‎ ‎。‎ ‎5. 已知：，且 ‎，D在BC上，求证：。‎ ‎6. 已知：，求证：。‎ ‎7已知：中，AD为BC中线，求证：。‎ ‎8、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=‎6a+8b+‎10c，判断ΔABC的形状。‎ ‎9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：AB=‎8cm，BC=‎10cm，求EC的长。‎ ‎10：已知：如图，DABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A。‎ 求：BD的长。‎ 分析：因为DABC中，AB=AC，可作AE⊥BC于E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。根据勾股定理可列方程式求解。‎ 解：作AE⊥BC于E∵AB=AC，BC=16‎ ‎∴BE=CE=（等腰三角形的性质）‎ 在中（勾股定理）‎ 设DE=x ‎ 在中 在中 ‎∴‎ ‎∴‎ 几何部分：2. 在中，‎ 在中，‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎3在中，在中，‎ ‎4. 作于E，‎ ‎5. 作于E，‎ ‎6. 作于E，‎