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- 2021-05-10 发布
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专题 16《对角互补模型》
破解策略
1.全等型之“90°”
如图,∠AOB=∠DCE=90°,OC 平分∠AOB,则
(1)CD=CE;
(2)OD+OE= OC;
(3) .
证明 方法一:如图,过点 C 分别作 CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为 M,N.
由角平分线的性质可得 CM=CN,∠MCN=90°.
所以∠MCD=∠NCE,
从而△MCD≌△NCE(ASA),
故 CD=CE.
易证四边形 MONC 为正方形.
所以 OD+OE=OD+ON+NE=2ON= OC.
所以 .
方法二:如图,过 C 作 CF⊥OC,交 OB 于点 F.
易 证 ∠DOC = ∠EFC = 45° , CO = CF , ∠DCO =
∠ECF.
所以△DCO≌△ECF(ASA)
所以 CD=CE,OD=FE,
可得 OD+OE=OF= .
A
O B
D C
E
2
21
2OCD OCES S OC∆ ∆+ =
2
2 21
2OCD OCE MONCS S S ON OC∆ ∆+ = = =正方形
2OC
N
M
A
O B
D C
E
F
A
O B
D C
E
所以 .
【拓展】如图,当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时,则:
(1)CD=CE;
(2)OE-OD= OC;
(3) .
如图,证明同上.
2.全等型之“120”
如图,∠AOB=2∠DCE=120°,OC 平分∠AOB,则:
(1)CD=CE;
(2)OD+OE=OC;
(3) .
证明 方法一:如图,过点 C 分别作 CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为 M,N.
所以
B
A
E
C
O
D
F
D
O
C
E
A
B
N
M
D
O
C
E
A
B
O B
E
C
D
A
21
2OCD OCE OCFS S S OC∆ ∆ ∆+ = =
2
21
2OCE OCDS S OC∆ ∆− =
23
4OCD OCES S OC∆ ∆+ =
232 4OCD OCE ONCS S S OC∆ ∆ ∆+ = =
易证△MCD≌△NCE(ASA),
所以 CD=CE,OD+OE=2ON=OC.
方法二:如图,以 CO 为一边作∠FCO=60°,交 OB 于点 F,则△OCF 为等边三角形.
易证△DCO≌△ECF(ASA).
所以 CD=CE,OD+OE=OF=OC,
∴S△OCD+S△OCE=S△OCF= OC 2
【拓展】如图,当∠DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时,则:
(1)CD=CE;(2)OD-OE=OC;(3)S△OCD-S△OCE= OC 2
如图,证明同上.
3、全等型之“任意角”
如图,∠AOB=2 ,∠DCE=180°-2 ,OC 平分∠AOB,则:
(1)CD=CE;(2)OD+OE=2OC·cos ;(3)S△ODC+S△OEC=OC 2·sin cos
证明:方法一:如图,过点 C 分别作 CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为 M,N
N
M
A
D
C
E
BO F
A
D
C
E BO
E O B
A
CD
N
M
E O B
A
C
D
FE O B
A
CD
EO B
A
CD
4
3
4
3
α α
α α α
M
N EO B
A
CD
易证△MCD≌△NCE(ASA)
∴CD=CE,OD+OE=2ON=2OC·cos
∴S△ODC+S△OEC=2S△ONC=OC 2·sin cos
方法二:如图,以 CO 为一边作∠FCO=180°-2 ,交 OB 于点 F.
易证△DCO≌△ECF(ASA)
∴CD=CE,OD+OE=OF=2OC·cos
∴S△ODC+S△OEC=S△OCF=OC 2·sin cos
【拓展】如图,当∠DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时,则:
(1)CD=CE;(2)OD-OE=2OC·cos ;(3)S△ODC-S△OEC=OC 2·sin cos
如图,证明同上
4、相似性之“90°”
如图,∠AOB=∠DCE=90°,∠COB= ,则 CE=CD·tan
方法一:如图,过点 C 分别作 CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为 M、N
易证△MCD∽△NCE,∴ ,即 CE=CD·tan
方法二:如图,过点 C 作 CF⊥OC,交 OB 于点 F.
FEO B
A
C
D
E O B
A
C
D
M
NE O B
A
C
D
FE O B
A
C
D
D
A
O B
C
E
M
N
D
A
O
C
E
α
α α
α
α
α α
α α α
α α
αtan===
CM
CN
CD
CE
MD
NE α
易证△DCO∽△ECF,∴ ,即 CE=CD·tan
方法三:如图,连接 DE.
易证 D、O、E、C 四点共圆
∴∠CDE=∠COE= ,故 CE=CD·tan
【拓展】如图,当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时,则 CE=CD·tan
如图,证明同上.
例题讲解
例 1、已知△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB=AC,在∠BAC 所对弧 BC 上任取一点 D,连接
AD,BD,CD.
(1)如图 1,若∠BAC=120°,那么 BD+CD 与 AD 之间的数量关系是什么?
(2)如图 2,若∠BAC= ,那么 BD+CD 与 AD 之间的数量关系是什么?
解:(1)BD+CD= AD
F
D
A
O B
C
E
EO B
D
C
A
M
N EO B
D
C
A
F EO B
D
C
A
EO B
D
CA
图1A
O
B C
D
图2A
O
B C
D
αtan===
CO
CF
CD
CE
OD
FE α
α α
α
α
3
D
A
O B
C
E
如图 3,过点 A 分别向∠BDC 的两边作垂线,垂足分别为 E、F.
由题意可得∠ADB=∠ADC=30°
易证△AEB≌△AFC
∴BD+CD=2DE= AD
⑵BD+CD=2ADsin .
如图 4,作∠EAD=∠BAC,交 DB 的延长线于点 E.
则△EBA≌△DCA,所以 BE=CD,AE=AD.
作 AF⊥DE 于点 F,则∠FAD= .所以 BD+CD=DE=2DF=2ADsin .
例 2 如图 1,将一个直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD 的对角线 BD 上滑动,并使
其一条直角边始终经过点 A,另一条直角边与 BC 相交于点 F.
⑴求证:PA=PE;
⑵如图 2,将⑴中的正方形变为矩形,其余不变,且 AD=10,CD=8,求 AP:PE 的值;
⑶如图 3,在⑵的条件下,当 P 滑动到 BD 的延长线上时,AP:PE 的值是否发生变化?
解:⑴如图 4,过点 P 分别作 PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为 M,N.
则 PM=PN,∠MPN=90°,由已知条件可得∠APE=90°,所以∠APM=∠EPN,所以△
图3
F
E
A
O
B C
D
3
2
α
D
F
B
E O
A
C
图 4
2
α
2
α
图 3
A
D
B E
P
F
C
A D
B
P
CE
图 2
A D
P
B E C
图 1
APM≌△EPN.
故 AP=PE.
⑵如图 5,过点 P 分别作 PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为 M,N.则 PM∥AD,PN∥
CD.
所以△BPM∽△BDA,△BNP∽△BCD.可得 ,所以 .
易证△APM∽△EPN,所以 .
⑶AP:PF 的值不变.[如图,理由同⑵]
进阶训练
1.如图,四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰 Rt△ABD 和 Rt△CBD,其中∠BAD 和∠BCD
都是直角,另一条对角线 AC 的长度为 2,则四边形 ABCD 的面积为_________.
答案:四边形 ABCD 的面积为 2.
【提示】易证 A、B、C、D 四点共圆,则∠BCA=∠BDA=∠ABD=∠ACD,由“全等型之
‘90°’”的结论可得 S 四边形 ABCD= AC2=2.
图 4
A D
P
B E CN
M
PM BP PN
AD BD CD
= = 5
4
PM AD
PN CD
= =
5
4
AP PM
PE PN
= =
图 5
A D
B
P
CE N
M
图 6
A D
B E
P
F
C
M
N
A
B
C
D
第 1 题图
1
2
2.在△ABC 中,AB=AC,∠A=60°,D 是 BC 边的中点,∠EDF=120°,DE 与 AB 边相
交于点 E,DF 与 AC 边(或 AC 边的延长线)相交于点 F.
⑴如图 1,DF 与 AC 边相交于点 F,求证:BE+CF= AB;
⑵如图 2,将图 1 中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度,使 DF 与 AC 边的延长线交于
点 F,作 DN⊥AC 于点 N,若 DN=FN,求证:BE+CF= (BE-CF).
答案:略.
【提示】⑴过点 D 作 DG∥AC 交 AB 于点 G,证△DEG≌△DFC,从而 BE+CF=BE+EG=BG
= AB.
⑵过点 D 作 DG∥AC 交 AB 于点 G,同⑴可得 BE-CF= AB=DC= ,延长 AB 至点 H,
使得 BH=CF,则 DH=DF=DE,从而 BE+CF=HE= DE= × DN=2DN,所以 BE
+CF= (BE-CF).
第 1 题图 1
A
E
F
CDB
A
E
F
CDB
N
第 1 题图 2
1
2
3
1
2
第 1 题答图 1
A
E
F
CDB
G
1
2
2
3
DN
2 2 2
3
3.在菱形 ABCD 中,两条对角线 AC,BD 相交于点 O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON
绕点 O 旋转,射线 OM 交 BC 于点 E,射线 ON 交 CD 于点 F,连结 EF.
⑴如图 1,当∠ABC=90°时,△OEF 的形状是____;
⑵如图 2,当∠ABC=60°时,请判断△OEF 的形状,并说明理由;
⑶如图 3,在⑴的条件下,将∠MON 的顶点移动到 AO 的中点 O'处,∠MO'N 绕点 O'旋转,
仍满足∠MO'N+∠BCD=180°,射线 O'M 交直线 BC 于点 E,射线 O'N 交直线 CD 于点 F,
当 BC=4,且 时,求 CE 的长.
答案:⑴等腰直角三角形;⑵△OEF 是等边三角形;⑶线段 CE 的长为 3 +3 或 3 -
3.
【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得 OE=OF.⑶两种情况,如图:
第 1 题答图 2
A
E
F
CD
B
N
H
G
' 9
8
O EF
ABCD
S
S
=
四边形
第 3 题图 1
A D
B C
O
M E
F
N
A
B C
D
O
F
EM N
第 3 题图 2
A D
B C
O
O'
第 3 题图 3
3 3
第 3 题答图
A D
B
C
O
O'
F N
E
M
E'
M'
F' N'