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  • 2021-05-10 发布

中考数学压轴题破解策略专题对角互补模型

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专题 16《对角互补模型》 破解策略 1.全等型之“90°” 如图,∠AOB=∠DCE=90°,OC 平分∠AOB,则 (1)CD=CE; (2)OD+OE= OC; (3) . 证明 方法一:如图,过点 C 分别作 CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为 M,N. 由角平分线的性质可得 CM=CN,∠MCN=90°. 所以∠MCD=∠NCE, 从而△MCD≌△NCE(ASA), 故 CD=CE. 易证四边形 MONC 为正方形. 所以 OD+OE=OD+ON+NE=2ON= OC. 所以 . 方法二:如图,过 C 作 CF⊥OC,交 OB 于点 F. 易 证 ∠DOC = ∠EFC = 45° , CO = CF , ∠DCO = ∠ECF. 所以△DCO≌△ECF(ASA) 所以 CD=CE,OD=FE, 可得 OD+OE=OF= . A O B D C E 2 21 2OCD OCES S OC∆ ∆+ = 2 2 21 2OCD OCE MONCS S S ON OC∆ ∆+ = = =正方形 2OC N M A O B D C E F A O B D C E 所以 . 【拓展】如图,当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时,则: (1)CD=CE; (2)OE-OD= OC; (3) . 如图,证明同上. 2.全等型之“120” 如图,∠AOB=2∠DCE=120°,OC 平分∠AOB,则: (1)CD=CE; (2)OD+OE=OC; (3) . 证明 方法一:如图,过点 C 分别作 CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为 M,N. 所以 B A E C O D F D O C E A B N M D O C E A B O B E C D A 21 2OCD OCE OCFS S S OC∆ ∆ ∆+ = = 2 21 2OCE OCDS S OC∆ ∆− = 23 4OCD OCES S OC∆ ∆+ = 232 4OCD OCE ONCS S S OC∆ ∆ ∆+ = = 易证△MCD≌△NCE(ASA), 所以 CD=CE,OD+OE=2ON=OC. 方法二:如图,以 CO 为一边作∠FCO=60°,交 OB 于点 F,则△OCF 为等边三角形. 易证△DCO≌△ECF(ASA). 所以 CD=CE,OD+OE=OF=OC, ∴S△OCD+S△OCE=S△OCF= OC 2 【拓展】如图,当∠DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时,则: (1)CD=CE;(2)OD-OE=OC;(3)S△OCD-S△OCE= OC 2 如图,证明同上. 3、全等型之“任意角” 如图,∠AOB=2 ,∠DCE=180°-2 ,OC 平分∠AOB,则: (1)CD=CE;(2)OD+OE=2OC·cos ;(3)S△ODC+S△OEC=OC 2·sin cos 证明:方法一:如图,过点 C 分别作 CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为 M,N N M A D C E BO F A D C E BO E O B A CD N M E O B A C D FE O B A CD EO B A CD 4 3 4 3 α α α α α M N EO B A CD 易证△MCD≌△NCE(ASA) ∴CD=CE,OD+OE=2ON=2OC·cos ∴S△ODC+S△OEC=2S△ONC=OC 2·sin cos 方法二:如图,以 CO 为一边作∠FCO=180°-2 ,交 OB 于点 F. 易证△DCO≌△ECF(ASA) ∴CD=CE,OD+OE=OF=2OC·cos ∴S△ODC+S△OEC=S△OCF=OC 2·sin cos 【拓展】如图,当∠DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时,则: (1)CD=CE;(2)OD-OE=2OC·cos ;(3)S△ODC-S△OEC=OC 2·sin cos 如图,证明同上 4、相似性之“90°” 如图,∠AOB=∠DCE=90°,∠COB= ,则 CE=CD·tan 方法一:如图,过点 C 分别作 CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为 M、N 易证△MCD∽△NCE,∴ ,即 CE=CD·tan 方法二:如图,过点 C 作 CF⊥OC,交 OB 于点 F. FEO B A C D E O B A C D M NE O B A C D FE O B A C D D A O B C E M N D A O C E α α α α α α α α α α α α αtan=== CM CN CD CE MD NE α 易证△DCO∽△ECF,∴ ,即 CE=CD·tan 方法三:如图,连接 DE. 易证 D、O、E、C 四点共圆 ∴∠CDE=∠COE= ,故 CE=CD·tan 【拓展】如图,当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时,则 CE=CD·tan 如图,证明同上. 例题讲解 例 1、已知△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB=AC,在∠BAC 所对弧 BC 上任取一点 D,连接 AD,BD,CD. (1)如图 1,若∠BAC=120°,那么 BD+CD 与 AD 之间的数量关系是什么? (2)如图 2,若∠BAC= ,那么 BD+CD 与 AD 之间的数量关系是什么? 解:(1)BD+CD= AD F D A O B C E EO B D C A M N EO B D C A F EO B D C A EO B D CA 图1A O B C D 图2A O B C D αtan=== CO CF CD CE OD FE α α α α α 3 D A O B C E 如图 3,过点 A 分别向∠BDC 的两边作垂线,垂足分别为 E、F. 由题意可得∠ADB=∠ADC=30° 易证△AEB≌△AFC ∴BD+CD=2DE= AD ⑵BD+CD=2ADsin . 如图 4,作∠EAD=∠BAC,交 DB 的延长线于点 E. 则△EBA≌△DCA,所以 BE=CD,AE=AD. 作 AF⊥DE 于点 F,则∠FAD= .所以 BD+CD=DE=2DF=2ADsin . 例 2 如图 1,将一个直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD 的对角线 BD 上滑动,并使 其一条直角边始终经过点 A,另一条直角边与 BC 相交于点 F. ⑴求证:PA=PE; ⑵如图 2,将⑴中的正方形变为矩形,其余不变,且 AD=10,CD=8,求 AP:PE 的值; ⑶如图 3,在⑵的条件下,当 P 滑动到 BD 的延长线上时,AP:PE 的值是否发生变化? 解:⑴如图 4,过点 P 分别作 PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为 M,N. 则 PM=PN,∠MPN=90°,由已知条件可得∠APE=90°,所以∠APM=∠EPN,所以△ 图3 F E A O B C D 3 2 α D F B E O A C 图 4 2 α 2 α 图 3 A D B E P F C A D B P CE 图 2 A D P B E C 图 1 APM≌△EPN. 故 AP=PE. ⑵如图 5,过点 P 分别作 PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为 M,N.则 PM∥AD,PN∥ CD. 所以△BPM∽△BDA,△BNP∽△BCD.可得 ,所以 . 易证△APM∽△EPN,所以 . ⑶AP:PF 的值不变.[如图,理由同⑵] 进阶训练 1.如图,四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰 Rt△ABD 和 Rt△CBD,其中∠BAD 和∠BCD 都是直角,另一条对角线 AC 的长度为 2,则四边形 ABCD 的面积为_________. 答案:四边形 ABCD 的面积为 2. 【提示】易证 A、B、C、D 四点共圆,则∠BCA=∠BDA=∠ABD=∠ACD,由“全等型之 ‘90°’”的结论可得 S 四边形 ABCD= AC2=2. 图 4 A D P B E CN M PM BP PN AD BD CD = = 5 4 PM AD PN CD = = 5 4 AP PM PE PN = = 图 5 A D B P CE N M 图 6 A D B E P F C M N A B C D 第 1 题图 1 2 2.在△ABC 中,AB=AC,∠A=60°,D 是 BC 边的中点,∠EDF=120°,DE 与 AB 边相 交于点 E,DF 与 AC 边(或 AC 边的延长线)相交于点 F. ⑴如图 1,DF 与 AC 边相交于点 F,求证:BE+CF= AB; ⑵如图 2,将图 1 中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度,使 DF 与 AC 边的延长线交于 点 F,作 DN⊥AC 于点 N,若 DN=FN,求证:BE+CF= (BE-CF). 答案:略. 【提示】⑴过点 D 作 DG∥AC 交 AB 于点 G,证△DEG≌△DFC,从而 BE+CF=BE+EG=BG = AB. ⑵过点 D 作 DG∥AC 交 AB 于点 G,同⑴可得 BE-CF= AB=DC= ,延长 AB 至点 H, 使得 BH=CF,则 DH=DF=DE,从而 BE+CF=HE= DE= × DN=2DN,所以 BE +CF= (BE-CF). 第 1 题图 1 A E F CDB A E F CDB N 第 1 题图 2 1 2 3 1 2 第 1 题答图 1 A E F CDB G 1 2 2 3 DN 2 2 2 3 3.在菱形 ABCD 中,两条对角线 AC,BD 相交于点 O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON 绕点 O 旋转,射线 OM 交 BC 于点 E,射线 ON 交 CD 于点 F,连结 EF. ⑴如图 1,当∠ABC=90°时,△OEF 的形状是____; ⑵如图 2,当∠ABC=60°时,请判断△OEF 的形状,并说明理由; ⑶如图 3,在⑴的条件下,将∠MON 的顶点移动到 AO 的中点 O'处,∠MO'N 绕点 O'旋转, 仍满足∠MO'N+∠BCD=180°,射线 O'M 交直线 BC 于点 E,射线 O'N 交直线 CD 于点 F, 当 BC=4,且 时,求 CE 的长. 答案:⑴等腰直角三角形;⑵△OEF 是等边三角形;⑶线段 CE 的长为 3 +3 或 3 - 3. 【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得 OE=OF.⑶两种情况,如图: 第 1 题答图 2 A E F CD B N H G ' 9 8 O EF ABCD S S = 四边形 第 3 题图 1 A D B C O M E F N A B C D O F EM N 第 3 题图 2 A D B C O O' 第 3 题图 3 3 3 第 3 题答图 A D B C O O' F N E M E' M' F' N'