2017年度中考数学（二次函数）押轴题专练2 66页

二次函数的押轴题解析汇编二 ‎ 二次函数 一、选择题 ‎1.（2011常州市第8题,2分）已知二次函数，当自变量取时对应的值大于0，当自变量分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足〖 〗‎ A．＞0、＞0 B．＜0、＜‎0 C．＜0、＞0 D．＞0、＜0‎ ‎【解题思路】先求抛物线与x轴的交点的横坐标，根据抛物线开口向下可得到m取大于0且小于1的数值时，函数值大于0，因此m-1小于0，m+1大于0，结合函数的图像易知它们所对应的函数值均小于0.‎ ‎【答案】选B.‎ ‎【点评】采用数形结合思想，结合函数的图像，是解决本题的有效方法。‎ ‎（第8题）‎ ‎（2010年江苏省宿迁市，8，3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（▲）‎ A．a＞0　 　B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 ‎【解题思路】a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点情况，抛物线的对称轴由a、b共同决定，b2－‎4ac决定抛物线与x轴的交点情况．抛物线开口方向向下，a＜0；与y轴的交点在x轴上方，c＞0；对称轴x=1，所以当x＞1时，y随x的增大而减小；抛物线与x轴有两个交点，一个是（－1，0），另一个点是关于直线x＝1的对称点（3，0）．所以3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，是二次函数图象信息探究问题．解决这类问题就是掌握a、b、c、x＝－、a＋b＋c、b2－‎4ac等与抛物线的位置关系，他们之间的相互关系要熟练掌握．有一定难度．‎ ‎（2011江苏无锡，9,3分）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是 ( ▲ )‎ ‎ A．y=(x－2)2+1 B．y=(x+2)2+1‎ ‎ C．y=(x－2)2－3 D．y=(x+2)2－3‎ ‎【解题思路】由题意对称轴是直线x=2，可以排除答案B、D，然后把x＝0分别代入y=(x－2)2+1 和y=(x－2)2－3得，y＝5和y＝1，所以选择C.‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题由二次函数的顶点式，求出对称轴方程，然后判断点(0，1)在不在二次函数图象上，即把x＝0代入二次函数的顶点式，若y＝1，则该点在抛物线上，反之，不在图象上. 难度较小.‎ ‎1. （2011安徽芜湖，10，4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.‎ ‎【解题思路】由二次函数的图形位置可以得到：a＜0，b＜0，c=0.再由此可以确定反比例函数与一次函数 的图像都在二、四象限，从而选D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎【点评】本题先由函数图象的位置特点来确定函数解析式中各项系数的取值范围，再由系数的取值范围来确定函数的图象位置，目的是将初中所学的三种函数的系数与图象的关系有机地结合起来考查，较为综合，这也是常见的数形结合问题.难度中等.‎ ‎2. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线的顶点坐标是（　　　）‎ A. （1,0） B. （-1,0） C. （-2,1） D. (2,-1)‎ ‎【解题思路】由配方可得：=，所以抛物线的顶点坐标是（1,0），故选A，其余选项错误.‎ ‎【答案】A．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线顶点坐标的求法，配方法和公式法是求抛物线顶点坐标的常用方法，本题常出现的错误是认为顶点坐标是（-1,0），避免的策略是由，得出x=1，从而判断横坐标是1．难度较小．‎ ‎8. （2011台湾19）坐标平面上，二次函数的图形与下列哪一个方程式的 图形没有交点？‎ ‎(A) x＝50 (B) x＝－50 (C) y＝50 (D) y＝－50‎ ‎【分析】：∵△>0所以抛物线与x轴有两个交点，顶点坐标是（3，-6）‎ ‎【答案】：D ‎【点评】：做出抛物线的简易草图，画上相应的四条直线即可判定。难度较小 ‎9. （2011台湾28）图(十二)为坐标平面上二次函数的图形，且此图形 通過（－1 , 1）、（2 ,－1）两点。下列关于此二次函数的叙述，何者正确？‎ ‎(A) y的最大值小于0‎ ‎(B)当x＝0时，y的值大于1‎ ‎(C)当x＝1时，y的值大于1‎ ‎(D)当x＝3时，y的值小于0‎ ‎【分析】：由图像知抛物线的对称轴x＜-1，开口向下，则在对称轴右侧y随x的增大而减 小.‎ ‎【答案】：D ‎【点评】：利用函数的增碱性结合图像来解决.难度较小.‎ ‎1. （2011台北6）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？‎ ‎ ‎ ‎【分析】：抛物线y＝2x2－8x＋6的图像交y轴于（0，6），而a=2, b=-8异号所以对称轴 在y轴的右侧。 ‎ ‎【答案】：A ‎【点评】：本题主要考察了二次函数图像与其系数之间的关系。难度较小 ‎2. （2011台北32）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面 上，判断方程式的两根，下列叙述何者正确？‎ ‎(A)两根相异，且均为正根 ‎(B)两根相异，且只有一个正根 ‎(C)两根相同，且为正根 ‎(D)两根相同，且为负根 ‎【分析】：方程式的两根就是二次函数的图形与 x轴相交时点的横坐标。根据图像很容易判断有两个不同的交点，且都在正半轴。‎ ‎【答案】：A ‎【点评】：本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系。难度中等.‎ ‎3. （2011湖北黄石，9，3分）设一元二次方程(x－1) (x－2)=m(m＞0)的两实根分别为．且＜，则，满足 A．1＜＜＜2 B．1＜＜2＜‎ C．＜1＜＜2 D． ＜1且＞2‎ ‎（第9题图）‎ y=(x－1) (x－2)－m y=－m x ‎(,0)‎ ‎（，0）‎ ‎（1，－m）‎ ‎（2，－m）‎ ‎【解题思路】如图，设y=(x－1) (x－2)－m，则抛物线与x轴的交点坐标为（，0）、（，0），因为(x－1) (x－2)=m(m＞0)，所以抛物线与直线x=－m的交点坐标为（1，－m）、（2，－m），则＜1且＞2.‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题构造二次函数图象，运用图像法得出，的取值范围是解题的关键，体现了方程与函数的关系，本题技巧性非常强．难度较大．‎ ‎3. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）＞0；（2）c＞1；(3)‎2a-b＜0；(4)a+b+c＜0.你认为其中错误的有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 x y ‎-1‎ ‎1‎ O ‎1‎ ‎【解题思路】由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，根据二次函数的图象和性质，判断出（1）＞0正确；当x=0时，由图像可知，y=c＜1，故（2）c＞1不正确；由图像可知对称轴x=＞-1，又根据抛物线开口向下，知a＜0，所以‎2a-b＜0，故(3)正确；由图象可知，二次函数，当x=1时，y=a+b+c，对应的点在x轴的下方，所以y=a+b+c＜0，故(4)正确.综合前面的分析得出其中错误的只有1个.故选D,其余选项错误.‎ ‎【答案】D．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质、对称轴及特殊点的函数值等知识点，本题的易错点主要是审题，如其中错误的有，很容易误认为正确的有. (3)‎‎2a ‎-b＜0；(4)a+b+c＜0判断有点难度，解决的关键是利用对称轴和特殊点的函数值来判断.难度中等．‎ ‎4. （2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是 A B C D E F G H x y ‎-1‎ O ‎1‎ x y ‎1‎ O ‎1‎ x y O ‎1‎ x y ‎1‎ O ‎1‎ ‎1‎ ‎【解题思路】由已知可得图中四个直角三角形全等，面积相等，AE=，AH=，s=1-=，因为a=2＞0，抛物线开口向上，对称轴x=，在y轴的右侧，故B选项正确，其余显然错误.‎ ‎【答案】B．‎ ‎【点评】考查的知识点和方法有正方形性质、三角形面积计算、二次函数图象和性质．根据开口方向和对称轴判定符合条件的函数图象是解决本题的关键.难度中等.‎ ‎13. （2011湖北襄阳，12，3分）已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k 的取值范围是（ ）‎ A．k＜4 B．k≤‎4 ‎ C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3‎ ‎【解题思路】当k－3＝0，即k＝3时，函数是一次函数，它的图象与x轴有一个交点(－，0)；当k－3≠0即k≠3时，函数是二次函数，其图象是抛物线，它与x轴有交点就是有两个或一个交点的意思，所以有4－4(k－3)≥0，解得k≤4．综上可知，当k≤4时，函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【点评】本题综合考查了一次函数，二次函数，一元二次方程知识，并从中渗透分类讨论的数学思想，是一个易错题．日常学习中，学生训练的较多的是抛物线与x轴有交点类的问题，实际解答中容易直接联想一元二次方程根的判别式得4－4(k－3)≥0，解得k≤4，同时认为k≠3，从而忽略了对系数k－3＝0后得到的一次函数情形的分析，错选为D．当然，也会有部分同学根本没有意识到讨论中需要k≠3，同时也没想到一次函数情形，而误打误撞选对答案B．难度中等．‎ ‎5. （2011贵州安顺，9，3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x. 则y关于x的函数图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解题思路】选项A中x取负不合题意，x=0时正方形EFGH就是正方形ABCD 所以y=1因此B是错误的，∵AE=x，∴DH=x，AH=1-x，y=EH2= AE2 + AH2= x2 + (1-x)2=2x2-2x+1。图像是抛物线，所以D是错误的，应选C。‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题主要考查几何图形的变化与函数图像之间的联系，做此题的关键是根据题意求出函数解析式。难度较小。‎ ‎6. (2011江苏镇江，8，2分)已知二次函数y＝－x2＋x－，当自变量x取m时对应的函数值大于0，当自变量x分别取m－1、m＋1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足( )‎ A．y1＞0，y2＞0 B．y1＜0，y2＜‎0 C．y1＜0，y2＞0 D．y1＞0，y2＜0‎ ‎【解题思路】设抛物线与横轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，其中0＜x1＜x2＜1(注：x1，x2可用求根公式求出)．依题意可知x1＜m＜x2，∴m－1＜x2－1＜0，且m＋1＞1＞x2，即点(m－1，y1)在原点左侧，而点(m＋1，y2)在B点右侧，∴y1＜0，y2＜0．‎ ‎【答案】B ‎【点评】此题考查二次函数的图象和性质．解此题的关键是确定自变量m－1、m＋1在横轴上的位置，难度中等．‎ ‎1．（2011湖南株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 第8题图 x (米)‎ y (米)‎ ‎ A．米 B．米 C．米 D．米 ‎【解题思路】由于＝－(x－2)2+4，所以抛物线的顶点坐标是（2，4），由此，水喷出的最大高度是‎4米.‎ ‎【答案】A ‎【点评】本题也可以通过抛物线的顶点坐标公式求得，另外，在运用配方时，应注意避免符号等错误.难度中等．‎ ‎12．（2011四川绵阳12，3）若x1，x2(x1＜x2)是方程(x－a)(x－b)＝1(al C．≥l D．≤l ‎【解题思路】本题主要考察二次函数图像的性质，因a=1>0,所以当x≤m时随的增大而减小，当x≥m时随的增大而减大，由题意得m≥1，故选C.‎ ‎【答案】C ‎ ‎【点评】本题主要考察二次函数图像的性质,和变量取值范围结合是一道较好的题目，中等难度．‎ ‎5、（2011四川乐山，5，3分）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 ‎ (A) (B) （C） （D）‎ ‎【解题思路】：根据题意可得：A中函数是由向左平移2个单位后 得到的函数，满足题意；B中函数是由向上平移2个单位后得到的函数，不满足题意；C中函数是由向右平移2个单位后得到的函数，不满足题意；D中函数是由向下平移2个单位后得到的函数，不满足题意。‎ ‎【答案】A。‎ ‎【点评】本题是对三视图的考查，一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，三视图的特点：主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等。本题难度较小。‎ ‎2．（2011湖南永州，13，3分）由二次函数，可知（ ）‎ A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 ‎【解题思路】：，开口向上；对称轴是；当时，y随x的增大而减小；函数有最小值1.‎ ‎【答案】C．‎ ‎【点评】：本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的常见形式，以及每种形式的性质是解题的关键，属于基本题型，学生较易理解.‎ ‎3.（2011湖南长沙，7，3分）如图，关于抛物线y=（x-1）2-2，下列说法错误的是（ ）‎ A.顶点坐标是（1，-2） ‎‎（第7题）‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-1‎ O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x y B.对称轴是直线x=1‎ C.开口方向向上 ‎ D.当x＞1时，y随x的增大而减小 ‎【解题思路】经过观察图象可知，抛物线 的顶点坐标是（1，-2），应排除A；对称轴是 直线x=1，应排除B；抛物线开口方向向上，‎ 所以C排除；当x＞1时，y随x的增大而增大，所以选项错误.‎ ‎【答案】D ‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象.由图象提供信息回答相关问题，体现了数形结合思想. 锻炼考生观察能力、分析问题能力.题目难度较小.‎ ‎11. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎【解题思路】如图：利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个，此时y=，则k的值为3。‎ ‎【答案】D ‎【点评】用数形结合更容易求解，当y一定时x值得个数也一定，0个、1个、2个、3个、4个几种情况。抓住顶点式和x的取值范围作图是解此题的关键所在。难度中等.‎ ‎4. （2011湖北孝感，12，3分）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1）,下列结论：①ac＜0；②a+b=0； ③‎4ac—b2=‎4a；④a+b+c＜0 .其中正确结论的个数是 ‎ ‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【解题思路】根据图像可知,a<0,c>0.故①正确；根据顶点的横坐标是得到=，得②正确；根据顶点的纵坐标是1得到=1，得③正确；根据抛物线的轴对称性，知当x=0和x=1时y的值相等，故④不对.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【点评】本题综合考查了二次函数中有关性质,如顶点坐标的表示和应用, 轴对称性，以及数形结合思想等,知识点多．难度较大．‎ ‎5．（2011湖北随州，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎【思路分析】当k=0时，代入可求得x=0,2,4,6，四个值，不合题意，故选项A错误；当k=1时，代入可求得x= ，，四个值，不合题意，故选项B错误；当k=2时，代入可求得x= ，，四个值，不合题意，故选项C错误；当k=3时，代入可求得x=-1,3,7，三个值，所以选项D正确.‎ ‎【点评】选择题的解法灵活多样，像直接法、特殊值法、估算法、  图解法 、 整体代入法等，有效的掌握选择题的解法和技巧是十分必要的，能够提高解题效率.本题难度较大.‎ ‎【答案】D 二、填空题 ‎11．（2011年河南，11，3分）点、是二次函数 的图象上两点，则与的大小关系为 （填“＞”、“＜”、“＝”）.‎ ‎ 【解题思路】：∵二次函数y=x2－2x＋1的图象的对称轴是x=1，所以在对称轴的右面y随x的增大而增大.∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象上两点， 2＜3，∴y1＜y2．‎ ‎【答案】＜‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是解本题的关键.‎ 图5‎ ‎16．（2011辽宁大连，16，3分）如图5，抛物线y＝－x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、‎ B（x2，0），点A在点B的左侧．当x＝x2－2时，y______0（填 ‎“＞”“＝”或“＜”号）．‎ ‎【解题思路】根据抛物线的特征，可以求出抛物线的对称轴x=1，A、B是 抛物线与x轴的两个交点，根据其位置判断x2一定小于2，因此x为负值，‎ 根据图像可知，当x为负值时，y<0‎ ‎【答案】<‎ ‎【点评】本题是一道综合性较强的小题，涉及到对称轴，函数y随x的变化而变化的规律，x2与2的大小比较。难度较大。‎ ‎1. （2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，a≠0）.则方程的解是 .‎ ‎【解题思路】令，，根据二次函数图象的性质可知，二次函数是将二次函数的图像向左平移两个单位得到，因为关于x的方程的解是，，所以方程的解应是-2=-4，-2=-1.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的图像的平移变化的性质，关键是将一元二次方程根的问题转化为二次函数与x轴两个交点的问题.难度较大.‎ ‎2. （2011福建泉州，15，4分）已知函数，当= 时，函数取最大值为 .‎ ‎【解题思路】当一个二次函数化为顶点式后，由内变外不变，可得出函数的最大值。即当时，函数取最大值为 ‎【答案】2，4‎ ‎【点评】考察二次函数的极值问题，掌握二次函数的顶点式的性质是解题关键，难度较小。‎ ‎6. （2011年怀化16，3分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大.‎ ‎【解题思路】总利润y=x（8-x）= -（x-4）2 +16，因为-1<0，所以当x=4时，总利润y有最大值16.‎ ‎【答案】4‎ ‎【点评】本题考察二次函数的 配方求最值，首先要列出表达式，再配方，难度适中.‎ ‎4. （2011湖北黄石，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用(m，n)表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m,n)，如果调整后的座位为(i，j)，则称该生作了平移[a，b]= [m－i，n－j]，并称a＋b为该生的位置数，若某生的位置数为10，则当m＋n取最小值时，m·n的最大值为 ‎ ‎【解题思路】由题意，得（m－i）＋（n－j）＝10，所以m＋n＝10＋i＋j，当i＋j最小为2时，m＋n的最小值为12，所以m·n=m（12－m）=－（m－6）2＋36，所以m·n的最大值为36．‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的建模，得出m＋n的最小值为12，构造出m·n=m（12－m）=－（m－6）2＋36是解题的关键．难度较大．‎ ‎（2011江苏省淮安市，14， 3分）抛物线的顶点坐标是 ．‎ ‎【解题思路】配方得y=(x-1)2+2，故其顶点坐标是（1,2）。‎ ‎【答案】（1,2）。‎ ‎【点评】本例考查二次函数的顶点坐标的求法，解题的关键是会用配方法，或熟记抛物线的顶点坐标公式。难度较小。‎ ‎（2011江苏扬州，17，3分）如图，已知函数y=－与y= ax2+bx(a＞0,b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解为 .‎ ‎【解题思路】因为点P的纵坐标为1且P是反比例函数y=－图象上一点，所以P的横坐标为－3．关于x的方程ax2+bx+=0，可化为ax2+bx=－，从图象上看此方程的解就是双曲线与抛物线交点的横坐标的值，故此方程的解是x=－3．‎ ‎【答案】x=－3．‎ ‎【点评】本题考查了方程与函数的关系，体现了数形结合及转化思想，是一道很不错的题目．‎ 三、解答题 ‎（2011江苏泰州，27，12分）已知二次函数的图象经过点P（－2，5）‎ ‎（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；‎ ‎（2）设在这个二次函数的图象上，‎ ‎①当m=4时，能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；‎ ‎②当m取不小于5的任意实数时，一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由。‎ ‎【解题思路】（1）把P的坐标代入即可求得b的值，再把函数解析式写成顶点式，利用图象，得知当1＜x≤3时，函数的增减性，从而求得y的取值范围；‎ ‎（2）①求出的值，根据三角形的三边关系，可以判定；‎ ‎②先根据函数的增减性，判定的大小关系，然后看两个最短边的和是否大于最长边，用求差法。‎ ‎【答案】解：（1）将P（-2，5）代入二次函数中得：b=-2‎ ‎∴二次函数为 ‎∵10‎ ‎∴对应的函数图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，‎ 当x=1时，y有最小值-4，当x=3时，y有最大值0.‎ ‎∴-4m+1>m ‎∴y10，由二次函数图象和性质可知：当m≥5时，≥1>0‎ 故y1+y2-y3>0，即y1+y2>y3‎ 所以当m≥5时，以y1,y2,y3为三边长一定能组成三角形。‎ ‎【点评】本题主要考查函数二次函数的解析式的表示以及求法、二次函数的性质、比较函数值的大小、三角形的三边关系、有关的代数运算等，涉及的数学思想方法有数形结合的思想、转化思想、待定系数法、求差法等，有一定的综合性。难度较大。‎ ‎（2011江苏盐城，23，10分）已知二次函数y = - x2 - x + .‎ ‎（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；‎ ‎（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x的取值范围；‎ ‎（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．‎ ‎【解题思路】第（1）题根据解析式列表、描点、连线即可做出图象；第（2）题观察图象，当y ＜ 0时，即函数图形位于x轴下方的两段，分别写出其对应自变量的取值范围即可；第（3）题先将解析式写成顶点式，根据“上加下减，左加右减”可写出平移后的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）二次函数y = - x2 - x + 图象如图：‎ ‎（2）当y ＜ 0时，x的取值范围是x＜-3或x＞1；‎ ‎（3）平移后图象所对应的函数关系式为y=-(x-2)2+2（或写成y=-x2+2x）. ‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象的作法、平移以及二次函数图象与不等式之间的关系．通过观察函数图象求解自变量或函数取值范围是函数中的一难点，充分考查了学生对函数图象的观察能力以及对数与形关系的理解．难度中等．‎ ‎（2011江苏盐城，26，10分）利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:‎ 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；‎ 信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，‎ 乙商品零售单价比进货单价的2倍少 ‎1元．‎ 信息3：按零售单价购买 甲商品3件和乙商品2件，‎ 共付了19元.‎ 请根据以上信息，解答下列问题： ‎ ‎（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?‎ ‎（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？‎ ‎【解题思路】第（1）题设直接未知数，根据信息2表示出零售单价，抓住两个关键词“和”、“共”列出方程组求解；第（2）题抓住销售量与零售单价的变化关系，表示出销售量，列出利润与降价m之间的函数关系式，转化为顶点式求出最值．‎ ‎【答案】解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．‎ ‎ 根据题意，得 解得 ‎ 答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元． ‎ ‎（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为S元，则 S=(1-m)(500+100×)+(5-3-m)(300+100×) ‎ 即S=-‎2000m2‎+‎2200m+1100=-2000(m-0.55)2+1705.‎ ‎∴当m=0.55时，S有最大值，最大值为1705. ‎ 答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.‎ x y ‎【点评】本题考查了列方程组解应用题、二次函数的实际应用．在求解应用题时学生往往有畏难情绪，关键是仔细审题，抓住题目中的关键词句，弄清楚量与量之间的数量关系，将实际问题转化为方程（组）求解；求最值时需要表示出问题中的两个量之间的函数关系，再利用函数的性质求解．难度中等．‎ ‎（2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线y＝x2－x＋a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y＝－2x上．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求A，B的坐标；‎ ‎（3）以AC，CB为一组邻边作□ABCD，则点D关于x轴的对称点D′ 是 否在该抛物线上？请说明理由．‎ ‎【解题思路】用配方法求出抛物线的顶点坐标，将其代入直线y＝－2x，可求得a及函数解析式；由函数解析式可求出A、B、C三点的坐标；对于（3），可先求出点D的坐标；由条件知四边形ABCD是平行四边形，则点C、D到x轴距离相等，点C关于x轴对称点坐标为（0，），将其向右平移2个单位得点D坐标为（2，），则点D关于x轴对称点D′坐标为（-2，），将点D′坐标代入抛物线解析式验证即可.‎ ‎【答案】解：（1）抛物线的顶点坐标为(1,a－)‎ ‎∵顶点在直线y＝－2x上，∴a－＝－2．即a＝－ ‎（2）由（1）知，抛物线表达式为y＝x2－x－ ，‎ x y D E D’‎ 令y＝0，得x2－x－ ＝0．解之得：x1＝－1，x3＝3．‎ ‎∴A的坐标 (－1,0)，B的坐标 (3,0)；‎ ‎（3）解法一：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴点C，D关于对角线交点(1,0)对称 又∵点D′ 是点D关于x轴的对称点，‎ 点C，D′ 关于抛物线的对称轴对称．‎ ‎∴D′ 在抛物线上．‎ 解法二：如图，过点D作DE⊥AB于E，‎ ‎∵A的坐标 (－1,0) ，B的坐标 (3,0)， C的坐标 (0, —)‎ ‎∴AO＝1，BO＝3 OC＝ 在□ACBD中，AC＝DB，AC∥DB，∴∠CAB＝∠DBA 在△AOC和△BDE中 AC＝DB ‎∠CAB＝∠DBA ‎∠AOC＝∠DEB＝90°‎ ‎∴△AOC≌△BDE ‎∴AO＝BE＝1 OC＝DE＝ ‎∴OE＝2‎ ‎∴D的坐标 (2, ) ‎ ‎∴D′ 的坐标 (2, －)‎ 把x＝2代入函数关系式得 y＝×22－2－ ＝×4－2－ ＝－ ‎∴D′ 在抛物线上．‎ ‎【点评】‎ 本题考查配方方法、待定系数法、平移、对称等思想方法，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，涉及了平行四边形性质等知识点，对于问题（3）有一定的区分度。难度中等.‎ ‎（2011江苏省淮安市，26， 10分）(本题满分10分)‎ 如图，已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴交于点B．‎ ‎(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；‎ ‎(2)在x轴的正半轴上是否存在点P,使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】（1）由函数图像上点的坐标的意义，把A（4,0）代入y=-x2+bx+3得：0=-42+4b+3，解得b=，则二次函数解析式为y=-x2+x+3，再令x=0得y=3即B（0,3）；‎ ‎（2）作AB的中垂线，由于OB＜OA，则AB的中垂线与x轴的交点P在正半轴上，设P（x，0），则OP=x，PB=PA=4-x，在Rt⊿OPB中，由勾股定理得：x2+32=(4-x)2，解得x=。‎ ‎【答案】（1）把A（4,0）代入y=-x2+bx+3得：0=-42+4b+3，解得b=，则二次函数解析式为y=-x2+x+3，再令x=0得y=3即B（0,3）；‎ ‎（2）存在这样的点P，使PA=PB。‎ 理由：作AB的中垂线，由于OB＜OA，则AB的中垂线与x轴的交点P在正半轴上，设P（x，0），则OP=x，PB=PA=4-x，在Rt⊿OPB中，由勾股定理得：x2+32=(4-x)2，解得x=，即P（，0）。‎ ‎【点评】本例综合考查了二次函数的解析式的求法及其图像上点的坐标的意义，和等腰三角形的意义，勾股定理的应用。解题的关键是正确理解函数图像上点的坐标的意义及方程思想的应用。难度较高。‎ ‎（2011江苏南京，7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．‎ ‎⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；‎ ‎⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．‎ ‎【解题思路】‎ ‎（１）求函数图像与y轴的交点时只要让x等于０即可，当x=0时，y=1。（２）因为函数中自变量x的系数为m，所以应该分情况讨论，即分m等于和不等于０两情况。‎ ‎【答案】⑴当x=0时，．‎ 所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．‎ ‎⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；‎ ‎②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，． ‎ 综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握方程与函数间的基本关系是解题的关键，本题难度中等.‎ ‎（2011江苏无锡，25,10分）(本题满分10分)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元／吨)与采购量x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)．‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)已知老王种植水果的成本是2 800元／吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大?最大利润是多少?‎ y x ‎0‎ ‎4 000‎ ‎8 000‎ ‎20‎ ‎40‎ A B C ‎【解题思路】根据题目条件先设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再根据题目中的数量关系列出二次函数，根据二次函数的性质求最值问题.‎ ‎【答案】解：⑴当0＜x≤20时，y＝8000，当20＜x≤40时，设y＝kx＋b 根据图象可得，‎ 解得， ∴y与x之间的函数关系式：‎ ‎⑵根据题意得，w＝x（y－2800）. 当0＜x≤20时，w最大＝104000. 当20＜x≤40时，‎ w＝x（－200 x＋12000－2800）＝－200（x－23）2＋105800. ‎ ‎ 所以当x＝23吨时，w最大＝105800（元）‎ 答：张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润w最大，最大利润是105800元 ‎【点评】本题考查一次函数和二次函数的相关知识.运用待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数最大值的求解.难度中等.‎ ‎12. （2011湖北鄂州，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当 地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万 元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后 对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100‎ 万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通 车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润（万元）‎ ‎⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？‎ ‎⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？‎ ‎⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？‎ ‎【解题思路】（1）利用顶点公式即可求解。‎ ‎（2）前两年：0≤x≤50，在对称轴的左侧，P随x增大而增大，当x最大为50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．‎ 后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，‎ 关键要注意此时的自变量只有一个，共投资100万，将x和100 —x分别代入相应的关系式即可 得到y与x的二次函数关系式，进而利用配方法或顶点公式求出最值。‎ ‎（3）把（1）、（2）中的最值做比较即可发现有极大的实施价值。‎ ‎【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．‎ ‎⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．‎ 后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q ‎=+==，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，‎ 故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．‎ ‎⑶有极大的实施价值．‎ ‎【点评】此题以实际问题为背景，重在体现数学在生活中的应用。“数学来源于生活，应用于生活。”考查的知识点是二次函数，利用抛物线顶点或抛物线图像的增减性求出最值得问题，并把最值进行比较，从而得到最佳方案。虽然看上去关系式较复杂，但给出的是二次函数顶点式，学生做起来还是较易突破的。难度中等 ‎10. （2011湖北荆州，23，10分）（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.‎ ‎ 型号 Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 金额 投资金额（万元）‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ 补贴金额（万元）‎ y1=kx(k≠0) ‎ ‎2‎ y2=ax2+bx(a≠0)‎ ‎2.4‎ ‎3.2‎ ‎（1）分别求出和的函数解析式.‎ ‎（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额 ‎【解题思路】（1）用待定系数法求解.（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，建立补贴金额Q万元与t万元的函数关系.‎ ‎【答案】解：（1）由题意得：①5k=2，k=‎ ‎∴………………………2分 ② ∴ ∴………………………4分 ‎（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10-t）万元，共获补贴Q万元 ‎,‎ ‎………………………7分 ‎∵∴Q有最大值，即当t=3时，，∴（万元）………………………9分 即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元………………………10分 ‎【点评】本题是一个具有实际背景的最大利润问题，解决此类问题关键在于认真审题，找出关键词句，确定好两个变量的关系，难度不大.‎ ‎1. （2011安徽芜湖，24，14分）平面直角坐标系中， 如图放置，点A、C的坐标分别为、，将此平行四边形绕点O顺时针旋转，得到 ‎（1）若抛物线过点,求此抛物线的解析式;‎ ‎（2）求 和 重叠部分的周长;‎ ‎（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点的坐标.‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】（1）先确定点的坐标，再由待定系数法求抛物线的解析式. （2）可证△∽△，再利用相似三角形的周长比等于相似比求出的周长. （3）用点M的横坐标的代数式表示出△的面积，再利用函数极值等知识解决问题.‎ ‎【答案】解: （1）∵ 由 旋转得到，且点A的坐标为，‎ ‎∴点的坐标为.所以抛物线过点.设抛物线的解析式为，可得 解得 ‎ ‎∴ 过点的抛物线的解析式为. ‎ ‎（2）因为，所以.‎ 所以.又,‎ ‎, ∴△∽△. 又.‎ ‎∴. 又△的周长为，‎ 所以△的周长为.‎ ‎（3）［解法1］连接，设M点的坐标为，‎ 因为点M在抛物线上，所以， ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，所以当时，. △的面积有最大值 所以当点M的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为 ‎[解法2]设直线的解析式为，∵点的坐标分别为，∴ 解得 ∴.‎ 将直线向右平移，当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P，此时最大，设平移后的直线的解析式为：，则有： 得，‎ 令，得. ‎ ‎∴.解得 ∴点坐标为,点P的坐标为.‎ 因为MP∥,所以△与△同底等高，它们面积相等.‎ 故.‎ 所以当点M的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为 ‎【点评】这是本试卷的压轴题.它将图形的旋转变换、图形的相似、二次函数等知识以平面直角坐标系为背景而综合起来，重点考查灵活运用相关知识综合解决问题的能力。其中（1）、（2）两个问题的解决还是比较常规的，但（3）的解决关键就在于能用点M的横坐标表示出所求三角形的面积，由于所求三角形是动态变化的，使得表示的方法呈多样性，从而成为解决问题的难点所在.难度较大.‎ ‎14. （2011广东珠海，18，7分）如图，Rt⊿OAB中,∠OAB=900，O为坐标原点，边OA在X轴上，OA=AB=1个单位长度，把Rt⊿OAB沿X轴正方向平移1个单位长度后得⊿AA1B1。（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式。（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与Y轴交于点D，求点D、C的坐标。‎ ‎【解题思路】（1）知道顶点和另一点B1的坐标，其抛物线的解析式可设为顶点式来求。（2）求出直线OB的解析式后，与抛物线的解析式构成方程组，求出方程组的解，就是点C的坐标。‎ ‎【答案】（1）设抛物线的解析式为Y=．则m=1，n=0,因点点B1的坐标为（2，1），代入解析式得1=（2—1）2，=1，抛物线的解析式为Y=．‎ ‎（2）将x=0代入y=得y=1，点D的坐标为（0，1）。 ‎ 设直线OB的解析式为Y=KX，点B的坐标为（1，1），代入解析式得K=1。‎ 解方程组得X=（舍去），X=，Y=。‎ 点C的坐标为（，）。‎ ‎【点评】本题考查了利用抛物线的性质求解析式和点的坐标。待定系数法确定函数解析式是中考的热点问题，尤其是第二问中通过求二次函数和一次函数的公共解，来求交点C的坐标。学生要看懂题意中的数形结合思想或方法，需要学生能够在众多的数据中理清等量关系，代入计算。难度较大。‎ ‎2. （2011贵州毕节,27,15分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点，且与轴交于D(0,3)，直线l是抛物线的对称轴。‎ ‎ (1) 求该抛物线的解析式。‎ ‎ (2) 若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的 对称轴和x轴围成的三角形面积为6，‎ 求此直线的解析式。‎ ‎(3) 点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标。‎ ‎0‎ A M N D y x l ‎·‎ ‎【解题思路】（1）把已知M(1,0)和N(3,0)，D(0,3) 三点代人解析式，就可以求出解析式。（2）由已知三角形的面积可求出直线AB与抛物线对称轴的交点坐标，再根据已知两点坐标求直线的解析式.(3)由题意知P点到轴和直线AB的距离相等，通过作，得∽，就可求出P点的坐标。‎ ‎【答案】解（1）抛物线的图象经过M(1,0)和N(3,0)，D(0,3)三点，可得解方程组得，‎ 故该抛物线的解析式为。‎ 设直线与抛物线的对称轴的交点为抛物线的对称轴与 轴的交点为。‎ 由抛物线的解析式为，可得对称轴是直线，又因为,即,故的坐标为或 分两种情况：‎ 设直线的解析式为，‎ ‎①当直线经过、时 得 解之得 所以直线的解析。‎ ‎②当直线经过、时，得解之得所以直线的解析 分两种情况：‎ ㈠直线的解析为时 ‎0‎ A M N D y x l ‎·‎ E P ‎ H B F 设点的坐标为，过作,‎ 垂足为,由题意可得, ‎ 因为∽‎ ‎，即,‎ ‎(A)当时，，‎ 得，所以;‎ ‎ (B)当时，，得，所以 ‎ （C）当时，，得，舍去。‎ ㈡当直线的解析为时，‎ 设点的坐标为，过作,‎ 垂足为,由题意可得, ‎ 因为∽‎ ‎0‎ A M N D y x l ‎·‎ E H P B F ‎，即,‎ 当时得 所以 当时得所以 当时，得舍去 综上所述，点的坐标为或或或 ‎【点评】此题属于有一定难度的代数与几何的综合型问题，具有一定的挑战性．它综合考查了二次函数解析式的求法、直线（射线）与圆的位置关系、相似三角形和方程、不等式等方面的知识．重点考查学生是否认真审题，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用转化的思想、方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力．本题第（1）小题属于常见题多数学生能够解答。第（2）小题一部分学生，只考虑了一种情况，忽略另一种。第（3）小题，一些学生不能把问题进转化，分类讨论也不全面．难度较大．‎ ‎3. （2011甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC的边长为‎2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）.‎ ‎（1）求抛物线的表达式.‎ ‎（2）如果P由点A出发沿AB边以2cm/s速度的向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设 ‎①试求出S与运动时间t之间函数关系式，并写出t取值范围；.‎ ‎①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.‎ x y A O B P Q C D ‎【解题思路】（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为三种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．‎ ‎【答案】（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线过A、B、D三点得 解得 抛物线的表达式为 ‎（2）①S=PQ2=（0≤t≤1）‎ ‎②由解得t=或t=（不合题意，舍去）‎ 此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，）‎ 若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，）或（1，－）或（1，）‎ 经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，）在抛物线上 所以抛物线上存在点R（3，）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。‎ ‎（3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求。因为如在对称轴上另取一点N，则 ND－NA=ND－NB0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）求a的取值范围；‎ ‎（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当00)的图象经过点C(0,1)，将点C（0，1）代入得c的值。‎ ‎（2）求a的取值范围。首先想到二次项系数不等于0.即根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点A的坐标 是（1，0），，。代入原函数解析式得。‎ 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于不同的两点A、B，可以得，得到a的取值范围。‎ ‎（3）求证：S1- S2为常数，并求出该常数。根据二次函数图像的对称性可以得知A、B、C、D四点构成的四边形是一个等腰梯形。通过，把S1- S2转化为等高不同底的两个三角形面积的差，由于高已知，把上下底用含有a的字母表示得证。‎ ‎【答案】(1)将点C（0，1）代入得 ‎ ‎ （2）由(1)知，将点A（1，0）代入得 ‎ ‎ ， ∴ ‎ ‎ ∴ 二次函数为 ‎ ∵二次函数为的图像与x轴交于不同的两点 ‎ ∴ ，而 ‎ ∴ 的取值范围是 且 ‎ (3)证明： ∵ ‎ ‎∴ 对称轴为 ‎∴ ‎ 把代入得 ‎，解得 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝＝1‎ ‎∴为常数，这个常数为1。‎ ‎【点评】本题是二次函数和四边形的结合题目。第一问已知二次函数通过一个y轴上的点的坐标，可以计算出二次函数y=ax2+bx+c中c的值，内容基础，难度较低。第二问求a的取值范围，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系和二次函数中二次项系数不等于零这两个知识点，综合性较强，难度中等。第三问是定值问题，题目是涉及二次函数的对称性和 梯形中三角形面积关系的转化，巧妙的把待求的不易表示面积的两个三角形的面积的差转化为可以表示面积的三角形的面积的差，从而获证。学生在有限的时间内，想到该问题，难度较大。‎ ‎5. (2011广东河源，22，本题满分9分)‎ ‎ 如图，已知抛物线y=x2-4x+3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C． ‎ ‎(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；‎ ‎(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；‎ ‎(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】（1）设点M（m，-2）在抛物线y=x2-4x+3上，则-2=m2-4m+3,即m2-4m+5=0,此方程无实数解，从而点M（m，-2）不在该抛物线上；（2）先求得点A、B、C的坐标，从而得到AC，BC，AB的长，再说明△ABC是等腰直角三角形；（3）设存在这样的点P，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，则连接点P与点C的线段应被x轴平分，得到点P的纵坐标是1，由点P在抛物线y= x2-4x+3上，将点P的纵坐标代入可得点P的坐标..‎ ‎【答案】（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，则-2=m2‎-4m+3,‎ m2‎-4m+5=0,由于△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，此方程无实数解，‎ 所以点M（m，-2）不会在该抛物线上；‎ ‎（2）当y=0时，x2-4x+3=0,x1=1,x2=3,由于点A在点B左侧，∴A(1,0),B(3,0)‎ y= x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴顶点C的坐标是（2，-1），‎ 由勾股定理得，AC=,BC=,AB=2，‎ ‎∵AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是等腰直角三角形；‎ ‎(3)存在这样的点P.‎ 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，‎ ‎∴点P的纵坐标是1，‎ ‎∵点P在抛物线y= x2-4x+3上，∴当y=1时，即x2-4x+3=1，解得x1=2-,x2=2+,‎ ‎∴点P的坐标是（2-，1）或（2+，1）.‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题涉及到抛物线和勾股定理的有关知识，点的坐标代入抛物线解析式，有解则点存在，无解则点不存在；解题关键对角线互相平分的四边形是平行四边形，由此可得点P的纵标，还需将点P的纵坐标代入抛物线解析式求得点P的横坐标，这点也是容易疏忽致错的地方. 难度较大.‎ ‎6. （2011广东省，15，6分）已知抛物线与x轴没有交点．‎ ‎（1）求c的取值范围；‎ ‎（2）试确定直线经过的象限，并说明理由．‎ ‎【解题思路】（1）已知抛物线与x轴没有交点，可知△＜0即可；（2）直线过定点（0，1）只要知道的范围即可 ‎【答案】（1）因为抛物线与x轴没有交点，即方程无实数根，所以△==1＜0，解得＞‎ ‎（2）因为＞，所以函数为增函数，因为直线过定点（0，1），所以直线过一、二和三象限。‎ ‎【点评】本题是考查一次函数的增减性，同时也考查函数图像的象限。本题考查了函数到方程的转化。难度中等．‎ ‎7. （2011广东省，15，6分）已知抛物线与x轴没有交点．‎ ‎（1）求c的取值范围；‎ ‎（2）试确定直线经过的象限，并说明理由．‎ ‎【解题思路】（1）已知抛物线与x轴没有交点，可知△＜0即可；（2）直线过定点（0，1）只要知道的范围即可 ‎【答案】（1）因为抛物线与x轴没有交点，即方程无实数根，所以△==1＜0，解得＞‎ ‎（2）因为＞，所以函数为增函数，因为直线过定点（0，1），所以直线过一、二和三象限。‎ ‎【点评】本题是考查一次函数的增减性，同时也考查函数图像的象限。本题考查了函数到方程的转化。难度中等．‎ ‎8. （2011广东省，21，9分）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).‎ ‎（1）求直线AB的函数关系式；‎ ‎（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ O x A M N B P C ‎（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.‎ ‎【解题思路】‎ ‎（1）解决关键是由B点坐标求出直线解析式，发现四边形ACBD是正方形．（2）将C、D两点坐标代入抛物线解析式构造二元一次方程组求解．（3）是存在的，需要由EM∥x轴理解E，M两点的纵坐标相同，进一步理解E，M两点关于抛物线的对称轴对称．‎ ‎【答案】（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=‎ ‎（2） ‎ ‎（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有 ‎，解得，‎ ‎ 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.‎ ①当t=1时，，，故,‎ 又在Rt△MPC中，，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形②当t=2时，，，故,‎ 又在Rt△MPC中，，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.‎ ‎【点评】此题是一道解析几何问题，综合考查了二次函数、一次函数、正方形、抛物线的平移等知识，需要学生系统掌握待定系数法，数形结合及分类讨论的数学思想，才能很好的解答．（1）（2）两问设计简洁明快，上手容易．第（3）问属于存在探究性问题，这类问题往往是要判断符合条件的关系式或结论是否存在，解答时，可以先对其做出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行计算和推理论证，若推出矛盾结论，则可否定先前假设，若推出合理结论，则肯定假设正确，从而最终得出问题的结论．难度较大.‎ ‎9. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．‎ ‎⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；‎ ‎⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．‎ ‎【解题思路】（1）将点A坐标代入y=x2+bx－2即可求出抛物线解析式，利用配方或顶点坐标公式即可求出点D坐标。（2）由已知可求出点A、B、C的坐标，进而求出AB、BC、AC的长度，可判断△ABC的形状。（3）在x轴上找一点M使CM+DM的值最小 ‎，要作C（或D）关于x轴的对称点C`（或D`），连接C`D（或D`C）与x轴的交点即为要求的点M。‎ ‎【答案】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上，∴× (-1 )2 + b× (-1) –2 = 0，解得b =‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,‎ ‎∴顶点D的坐标为 (, -). ‎ ‎（2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。‎ 当y = 0时， x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4, ∴B (4,0)‎ ‎∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.‎ ‎∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,‎ ‎∴AC2 +BC2 = AB2. ∴△ABC是直角三角形.‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。‎ 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.‎ ‎∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ‎∴△C′OM∽△DEM. ‎ ‎∴‎ ‎∴，∴m =．‎ 解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n ,‎ 则，解得n = 2, .‎ ‎∴ .‎ ‎∴当y = 0时， ，‎ ‎ . ∴.‎ ‎【点评】本题是一个代数、几何综合题，涉及到的知识点较多，主要涉及到二次函数、勾股定理、直角三角形的判定、轴对称的应用、一次函数、三角形相似等。第一问较为简单，用待定系数法。第二问也不困难，求出三边长度之后很容易判定三角形形状。第三问关键在于两条线段和的最小值利用轴对称的知识来解决。难度中等。‎ ‎10.‎ ‎1. （2011年怀化22，10分）已知：关于x的方程 （1） 当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；‎ （2） 求证：a取任何实数时，方程总有实数根.‎ ‎【解题思路】(1)运用二次函数的对称轴为列方程求解即可，实质是解方程.‎ ‎（2）本题考察分类讨论思想，分为a=0的一次方程和a≠0的二次方程来分析.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)解：∵二次函数的对称轴是x=-2‎ ‎∴ ‎ 解得a=-1‎ 经检验a=-1是原分式方程的解.‎ 所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；‎ ‎（2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；‎ ‎ 2）当a≠0时，原方程为一元二次方程，，‎ 当方程总有实数根，‎ ‎∴‎ 整理得，‎ ‎∵a≠0时 总成立 所以a取任何实数时，方程总有实数根.‎ ‎【点评】本题综合考察了二次函数的对称轴，分式方程的解法，分类讨论思想，二次方程的根的判别式等知识，是一个比较好的综合题，特别是第二问的分类讨论，学生容易忽略，难度较大.‎ ‎2．（2011湖南永州，24，10分）如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．‎ ‎⑴求该抛物线的解析式及对称轴；‎ ‎⑵当为何值时，？‎ ‎⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．‎ ‎（第24题）‎ ‎【解题思路】：（1）将A、B两点的坐标代入函数解析式，构建方程组求出解析式；求出解析式用对称轴公式求出对称轴；（2）先求出y=0时的x的值，再结合函数的增减性确定时对应的x的值；(3)根据正方形的性质和抛物线的对称性求出C点的坐标．‎ ‎【答案】解：⑴把A（，），B（0,7）两点的坐标代入，得 ‎ 解得 所以，该抛物线的解析式为，‎ 又因为，所以对称轴为直线．‎ ‎⑵当函数值时，的解为，‎ 结合图象，容易知道时，．‎ ‎⑶当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n），‎ 则，即 因为C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴对称，设点D的横坐标为 ‎，则，所以，所以CD=‎ 因为CD=CF，所以，整理，得，解得或5．‎ 因为点C在对称轴的左侧，所以只能取．‎ 当时，==4‎ 于是，得点C的坐标为（，4）．‎ ‎【点评】：本题考查了二次函数的知识，常考的内容有：（1）待定系数法是求函数解析的常用方法；（2）二次函数的最值问题；（3）根据二次函数的增减性由函数值确定自变量的值或有自变量的值确定函数值.本题是常见题型，难度偏难.‎ ‎3．（2011湖南省邵阳市，24，12分）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C．‎ ‎（1）求∠ACB的度数；‎ ‎（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解题思路】：(1) ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ∴∠ACB=‎ ‎(2) ∵△AOC∽△ABC ∴ ∵A(－，0)，点C(0，3)，∴ ∴ ∴ ∴B(4,0) 把 A、B、C三点坐标代入得 ‎ ‎(3)‎ ‎1）OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH= ∴D ‎ ‎2) BD=BO 过D作DG⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5‎ ‎∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG= DG= ∴D(,)‎ ‎【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等 ‎4．（2011湖北随州，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）‎ ‎⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？‎ ‎⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？‎ ‎⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？‎ ‎【思路分析】（1）由代数式可知当x=60时，可获得利润最大值，即可求出5年所获利润的最大值；3495万元.所以有实施价值.‎ ‎（2）前2年得利润加上后三年的利润再除去前2年每年拨出的利润50万元即可.‎ ‎（3）不开发5年所获利润的最大值是205万元；若按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值是 ‎【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．‎ ‎⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．‎ 后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q ‎=+==，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，‎ 故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．‎ ‎⑶有极大的实施价值．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法，要考虑其它的费用．难度中等.‎ ‎5. （2011湖南长沙，25，10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们说1是函数y=x-1的零点.已知函数y=x2-2mx-2（m ‎+3）（m为常数）.‎ ‎（1）当m=0时，求该函数的零点；‎ ‎（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；‎ ‎（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧）.点M在直线y=x-10上，当MA+MB最小时，求直线AM的解析式.‎ ‎【解题思路】（1）根据题目定义，m=0时，令y=0，把函数关系式转化为关于x的一元二次方程，解此方程求出x的值即为函数零点值；（2）令y=0，得到关于x的一元二次方程， x2-2mx-2（m+3）=0，运用判别式进行推理即可；（3）和是函数y=x2-2mx-2（m+3）（m为常数）零点，且满足，根据根与系数关系进一步求出m值，于是得到一个具体二次函数解析式y=x2-2x-8，求出与x轴交点坐标 ‎【答案】解：（1）当m=0时，y=x2-6.‎ 令y=0，x2-6=0，解得x=或x=.‎ 即m=0时，求该函数的零点为、.‎ ‎（2）证明：令y=0，则x2-2mx-2（m+3）=0.‎ 由于b2‎-4ac=（‎-2m）2-4·1·[-2（m+3）]=‎4m2‎+‎8m+24=4（m2+‎2m+1-1）+24=4（m+1）2+20.‎ 因为无论m为何值，4（m+1）2≥0，所以4（m+1）2+20＞0.‎ 即：无论m取何值，一元二次方程x2-2mx-2（m+3）=0一定有两个不相等的实数根，因此无论m取何值，函数y=x2-2mx-2（m+3）（m为常数）总有两个零点.‎ ‎（3）设函数的两个零点分别为和，则和是一元二次方程x2-2mx-2（m+3）=0的两个根，所以+=‎2m，·=-2（m+3）.‎ 则.‎ 又，所以=.‎ 解此分式方程，得m=1，经检验，m=1是=的根.‎ 所以y=x2-2x-8.‎ 此函数与x轴的交点坐标为A（-2,0），B（4,0）.‎ 设直线y=x-10与x轴交与点D（10,0），与y轴交于点F（0，-10），过点A作直线y=x-10的垂线，垂足为点E，延长AE到点A′，使AE=A′E，连接A′B，交y=x-10于点M，则此时MA+MB最小.‎ 易知OA=ON=2，OC=10.∴AN=，NC=8，NE=4.‎ ‎∴AE= A′E=6，A′N=10‎ ‎∴A′F=NF=10，OF=12.‎ 故点A′坐标为（10，-12）.‎ 设直线A′B的解析式为，把B（4,0），A′（10，-12）代入上式：‎ ‎·‎ ‎·‎ x y A B y=x-10‎ A′‎ C D M E O F N ‎，解得.‎ ‎∴直线A′B的解析式为y=-2x+8.‎ 解方程组，得. ‎ 所以点M（6，-4）.‎ 设直线AM的解析式为，把A（-2,0），M（6，-4）代入上式：‎ ‎，解得.‎ 故当MA+MB最小时，直线AM的解析式为y=x-1.‎ ‎ 【点评】本问题（1）主要考查了一元二次方程根的解法，解题关键是根据题目定义转化为一元二次方程求解；问题（2）主要运用一元二次方程根的判别式进行推断，本问解决过程中容易出现对推理过程得到式子=4（m+1）2+20分析出错或进行不下去，由非负数性质可知4（m+1）2+20＞0，即有两个不相等实数根；问题（3）解决问题难度层层上升，涉及到求二次函数解析式，一次函数解析式，二元一次方程组解法等，本问题需要数形结合进行解决，综合性较大，体现中考试题选拔功能设计.从某种意义上讲本大题考查了函数、一元二次方程、二元一次方程、不等式等内在联系.难度较大.‎ 图9‎ x y B A P′‎ P ‎1‎ O C D ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎6．（2011湖南省益阳，20，10）如图9，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′ 作x轴的平行线 交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：‎ ‎（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；‎ ‎（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．‎ ‎【解题思路】借助顶点P的位置及A点坐标求解函数解析式，‎ 通过两三角形相似求解有关比值，当顶点为动点时，化动为静，用变量M表 示相关量，借助相似求解。‎ ‎【答案】解：⑴ 设抛物线的解析式为 ， ‎ ‎　 抛物线经过 ， ， ‎ ‎　 .　 ‎ ‎,‎ ‎ ∥,,‎ 由，‎ ‎,. ‎ ‎，∽， ‎ ‎． 　　 　 ‎ ‎⑵ 设抛物线的解析式为　　‎ ‎，‎ ‎．　　　　　 ‎ ‎∥， ‎ ‎，，，，‎ ‎，，　　 ‎ 同⑴得 　‎ ‎．　　　 　 ‎ ‎【点评】本题把二次函数与动点问题结合起来考查，是中考题中最重要的考点之一，每年必考，且常以压轴题的形式出现。本题涉及到三角形的相似问题以及用待定系数法确定二次函数的解析式。 ‎ ‎25.（2011湖北孝感，25, 14分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折痕边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0.‎ ‎（1）求点E，F的坐标(用含m的式子表示);(5分) ‎ ‎(2)连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值;(4分) ‎ ‎(3)如图(2)，设抛物线y=a(x—m—6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接 AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.(5 分) ‎ ‎【解题思路】对于(1),由折叠可知,AF=10,故BF=6,则CF=4,可结合相似或勾股定理求出EF,CE;对于(2), △OAF是等腰三角形，要分为三种情况讨论,结合勾股定理解决;(3)的难度较大,借用轴对称性和相似,构造方程.‎ ‎【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AD=BC=10， AB＝DC＝8　，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°.‎ 由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.‎ 在Rt△ABF中，BF=.‎ ‎∴FC=4 .‎ 设EF=x,则EC=8-x 在Rt△ECF中，42+（8-x）2=x2解得x=5.‎ ‎∴CE =8-x=3.‎ ‎∵B (m,0) ∴E (m+10,3) ,F (m+6,0).‎ ‎(2)分三种情况讨论：‎ 若OF=AF，∵AB⊥OF∴OB=BF=6，∴ m=6.‎ 若AO=OF，则m+6=10 ,解得 m=4.‎ 若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64 ∴(m+6)2=m2+64,解得m=.‎ 综合得m=6或4或.‎ ‎（3）由（1）知A（m,8）,E (m+10,3).‎ 依题意： 得.‎ ‎∴M（m+6，-1）.‎ 设对称轴交AD于G，∴G（m+6,8） ∴AG =6 ,GM =8-(-1)=9.‎ ‎∵∠OAB +∠BAM =90°, ∠BAM +∠MAG =90°,‎ ‎∴∠OAB =∠M .‎ 又∵∠ABO=∠MGA=90°,‎ ‎∴△AOB∽△AMG.‎ ‎∴，即 , ∴m=12.‎ ‎【点评】本题作为压轴题,主要考查了轴对称,勾股定理,二次函数和相似等重要知识点,也考查了用字母表示数,方程思想以及分类讨论思想等．难度较大．‎ ‎27．（2011年湖南衡阳27，10分） （本题满分10分）已知抛物线 ‎．‎ ‎（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；‎ ‎（2）如图15，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C．直线与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．‎ ‎①抛物线上是否存在点P使得四边形ACPD是正方形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎【解题思路】（1）欲说明此抛物线与x轴总有两个不同的交点，只需计算出△的值，并讨论得出无论m为何实数，恒有△＞0即可．（2）①当P点为抛物线与x轴的另一个交点时，四边形ACPD是正方形，故存在点P，使得四边形ACPD是正方形．②因以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．根据平行四边形对边相等可得MN=CD=4．此题应分两种情况讨论：当点M在点N的上方时，设M（x，x-1），则N（x,x-5）；当点M在点N的下方时，设M（x，x-1），则N（x,x+3）；把N点的坐标代入二次函数的解析式，便可得x的值，从而探索出结论．‎ ‎【答案】解：（1）抛物线的△==（m-2）2+3．‎ ‎∵无论m为何实数，（m-2）2≥0，‎ ‎∴（m-2）2+3＞0‎ ‎∴△＞0‎ ‎∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．‎ ‎（2）①抛物线上存在点P使得四边形ACPD是正方形．‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=3，‎ ‎∴m=3．‎ ‎∴抛物线的解析式为：，顶点C（3，-2）‎ 设抛物线与x轴交于A、E两点 ‎∴A（1，0） E（5，0）‎ 设对称轴x=3与x轴交于点Q，则Q（3，0）‎ ‎∴AQ=EQ=2‎ ‎∵对称轴x=3与直线交点于点D ‎∴D（3，2）‎ ‎∴DQ=2‎ ‎∵C（3，-2）‎ ‎∴CQ=2，‎ ‎∴AQ=EQ= DQ= CQ=2‎ ‎∵AE⊥CD ‎∴四边形ACED为正方形 ‎∴当点P与点E重合时，四边形ACPD是正方形 故抛物线上存在点P，使得四边形ACPD是正方形，P的坐标为（5，0）‎ ‎②∵以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形 ‎∴MN=CD=4，‎ 设M（x，x-1），则N（x,x+3）或N（x,x-5）．‎ ‎∵N点在抛物线上 ‎∴或 解得：或x=5或x=3．‎ 因当x=3时，M、N分别与D、C两点重合，故当CD通过平移，使M（，）N（，），或M（，）N（，）或M（5，4） N（5，8）时，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎∴把直线CD向右移动个单位或向左平移个单位，或向右平移2个单位后，‎ 以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎【点评】△决定抛物线与x轴的交点个数：△＞0抛物线与x轴有两个交点；△=0抛物线与x轴有一个交点；△＜0抛物线与x轴没有交点．第（1）问便可根据△的值说明无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；第（2）问体现数形结合的思想，研究时要深刻理解函数解析式与图象之间的关系，根据点的意义求出点的坐标，从而说明平移方向，解法上要与平行四边形的性质结合，此题设置背景独特，构思巧妙，在解决第（2）中的②题，应注意分情况讨论．‎ ‎5. （2011湖北黄石，25，10分）已知二次函数y=x2－2mx＋‎4m－8‎ ‎ (1)当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围.‎ x y ‎0‎ A ‎(2)以抛物线y=x2－2mx＋‎4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 AMN（M，N两点在抛物线上)，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，‎ ‎ 请求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎(3)若抛物线y=x2－2mx＋‎4m－8与ｘ轴交点的横坐标均为整数，求整数ｍ的值． ‎ ‎【解题思路】因为抛物线开口向上，所以对称轴左侧的函数值y随x的增大而减小，所以≥2；根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则，分别用m的代数式表示MN、AB的长，可消去m，求出为定值；根据方程的根为整数，设，得，结合的奇偶性相同，得出 或，所以解得或 ‎【答案】解：（1）∵‎ ‎∴由题意得， （3分）‎ ‎（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则。设 ‎∴‎ 又 ‎ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴，‎ ‎∴定值 （3分）‎ x y ‎0‎ A N B M ‎（3）令，即时，有 由题意，为完全平方数，令 即 ‎∵为整数， ∴的奇偶性相同 ‎∴或 解得或 ‎【点评】本题是一道题能涉及众多重点知识，既有代数的，又有几何的，又能考查到重要的数学思想、方法，这正是代数几何综合题的“本色”，综合性强，能力要求高，区分度大，决定了代数几何综合题历来被命题者所看重．从近几年的中考来看，不少试卷把其作为压轴题把关．在复习中要对这类问题引起足够重视，掌握这类问题的几种典型类型，加强这类问题的训练．难度较大．‎ ‎6. （2011年湖北省武汉市10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为‎30米的篱笆围成.已知墙长为‎18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.‎ ‎（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；‎ ‎（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；‎ ‎（3）当这个苗圃园的面积不小于‎88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围. ‎ 分析：二次函数是中考的重点内容之一，尤其是求二次函数的最值、函数的增减性等基本知识，需要考生熟练掌握二次函数的相关运算，属于较难题．‎ 答案：解：（1）y=30-2x(6≤x<15)；（2）设矩形苗圃园的面积为S则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x ∴S=-2(x-7.5)2+112.5由（1）知，6≤x<15∴当x=7.5时,S最大值＝112.5.    即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为‎7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5（3）6≤x≤11‎ 点评：二次函数是中考的重点内容之一，尤其是求二次函数的最值、函数的增减性等基本知识，需要考生熟练掌握二次函数的相关运算，属于较难题．‎ ‎7. （2011年湖北省武汉市，25，12分）如图1，抛物线y=ax2‎ ‎+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.     （1）求抛物线的解析式；     （2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；     （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 分析：抛物线的解析式的求法及抛物线的平移。‎ 答案：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点     ∴‎9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0     解得a＝1     b＝4∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1∴抛物线的顶点M（-2，,1）∴直线OD的解析式为y=x     于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h， h），∴平移的抛物线解析式为y=（x-h）2+h.①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h2+h=9，     解得h=. ∴ 当 ≤h<     时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.     （2）当抛物线与直线CD只有一个公共点时，     由方程组y=（x-h）2+h,y=-2x+9.     得 x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，∴△=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，     解得h=4.     此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意.     综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 ≤h<.     （3）方法1     将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，‎ 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）.     假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.∵△PEF的内心在y轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，...............9分∴GP/PH=GE/HF,     ∴-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t)     ∴2kxE·xF=（t-3）（xE+xF）     由y=x2，y=-kx+3.得x2-kx-3=0.     ∴xE+xF=k,xE·xF=-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PEF的内心在y轴上.‎ 方法2 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）,点E，F的坐标分别为（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的对称点R（-m,m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使△PEF的内心在y轴上.‎ 点评：二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题．‎ ‎26．（2011四川眉山，26，11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；‎ ‎（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；‎ ‎（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．‎ ‎【解题思路】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把B（-4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C点坐标（3，5）；‎ ‎（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1= a2，又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2= a2+1，即有结论d2=d1+1；‎ ‎（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11．‎ ‎【答案】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，‎ ‎∵拋物线经过点B（-4，4），‎ ‎∴4=a•42，解得a=，‎ 所以抛物线的解析式为：y= x2； ‎ 过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，‎ ‎∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，‎ ‎∴Rt△BAE≌Rt△ACD，‎ ‎∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，‎ ‎∴OD=AD+OA=5，‎ ‎∴C点坐标为（3，5）；‎ ‎（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，‎ ‎∵点P在抛物线y= x2上，‎ ‎∴b= a2，‎ ‎∴d1= a2， ‎ ‎∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，‎ 在Rt△PAF中，PA=d2= ‎ ‎= a2+1，‎ ‎∴d2=d1+1； ‎ ‎（3）由（1）得AC=5， ‎ ‎∴△PAC的周长=PC+PA+5‎ ‎=PC+PH+6，‎ 则C、P、H三点共线时，PC+PH最小， ‎ ‎∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y= x2，得到y=，‎ 即P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，‎ ‎∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．‎ ‎【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．本题第（3）小题的关键是将△PAC的周长转化为PC与PH和的关系，从而求出三角形周长的最小值．难度较大．‎ ‎－1‎ y x O ‎（第28题）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎－2‎ ‎－4‎ ‎－3‎ ‎3‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－4‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ 本题第（3）小题与2010年南通市28题的第（3）小题非常类似，如下题，供参考。‎ ‎（2010江苏南通，28，14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．‎ ‎（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．‎ ‎24．（2011四川绵阳24，12）(本题满分12分）‎ 已知抛物线：y＝x2－2x+m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；‎ ‎(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形． ‎ ‎【解题思路】(1)由抛物线与x轴只有一个交点，则b2－‎4ac＝0，得出关于m的方程，求出m的值．(2)求出点A、B的坐标，得出OA＝OB，再根据AC∥x轴，得出∠BAC＝45°，根据点C和点A是关于抛物线对称轴的对称点，得出AB＝BC，则△ABC为等腰直角三角形．或分别计算出AB、AC、BC的长度，由勾股定理的逆定理确定为等腰直角三角形．(3)由平移规律，得出抛物线C′的解析式，得出点E、F的坐标；待定系数法求出直线EF的解析式，根据互相垂直的两条直线的系数之间的关系，设出过点E、F的EF的垂线的解析式；分别解两条垂线与抛物线解析式构成的方程组，得出点P的坐标．‎ ‎【解】（1）∵抛物线与x轴只有一个交点，‎ ‎∴△＝b2－‎4ac＝22－4×1×(m－1)＝0，解得m＝2．‎ ‎（2）方法一：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x²－2x+1．‎ 把x＝0代入y＝x²－2x+1，得y＝1，‎ ‎∴点A的坐标为（0，1）．‎ 把y＝0代入y＝x²－2x+1，得x＝1，‎ ‎∴点B的坐标为（1，0）．‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形．‎ 又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OAB＝45°．‎ A，C是对称点，∴AB＝BC，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形．‎ 方法二：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x²－2x+1．‎ 把x＝0代入y＝x²－2x+1，得y＝1，‎ ‎∴点A的坐标为（0，1）．‎ 把y＝0代入y＝x²－2x+1，得x＝1，‎ ‎∴点B的坐标为（1，0）．‎ ‎∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标为1．‎ 把y＝1代入y＝x²－2x+1，得x1＝0，x2＝2．‎ ‎∴点C的坐标为(2，1)．‎ ‎∴AC＝2，AB＝＝，BC＝＝．‎ ‎∴AB＝BC．‎ 又∵AB2+BC2＝+＝2+2＝4＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．‎ ‎（3）平移后解析式为y＝x2－2x－3，可知F(0，－3)．‎ 把y＝0代入y＝x2－2x－3，得x1＝－1，x2＝3．‎ 又点E在x轴得左半轴上，∴E(－1，0)．‎ 设直线EF的解析式为y＝kx－3，把E(－1，0)代入y＝kx－3，得k＝－3，‎ ‎∴EF的解析式为：y＝－3x－3．‎ 平面内互相垂直的两条直线的系数k值相乘等于－1，‎ ‎∴过E点或F点的直线为y＝+b．‎ 把E点和F点分别代入可得b＝或－3，‎ ‎∴或y＝－3．‎ 解方程解得x1＝－1，x2＝．x1是E点横坐标，舍去．‎ 把x2＝代入，得y＝，∴P1（，）．‎ 同理，解方程解得x1＝0(舍去)，x2＝．‎ 把x2＝代入，得y＝－，∴P2(，－)．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数及其运用，①b2－‎4ac＝0二次函数y＝ax2‎ ‎+bx+c与x轴只有一个交点；②对称轴是关于直线对称的两个点的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点到距离相等；③把抛物线上下平移，就是纵坐标进行加减运算，即“上加下减”；④平面上互相垂直的两条直线的比例系数的乘积等于－1． ‎ ‎7． （2011四川内江，加7，12分）如图，抛物线y＝x2―mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C（0，-1）且对称轴是x=1.‎ ‎（1）求抛物线解析式及A，B两点的坐标；‎ ‎（2）在x轴下方抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积是3？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由（使用图1）；‎ ‎（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）.‎ x x=1‎ A B C y O 图2‎ x x=1‎ A B C y O 图1‎ ‎【思路分析】（1）根据对称轴公式可求解m,代入C点坐标可求解n；（2）将四边形分割成三角形AOC、OCD、OBD，三角形AOC面积可求，三角形OCD、OBD，的底已知，高分别为点D的横坐标和纵坐标的相反数，根据三个三角形面积和是3列方程求解；（3）通过画图可观察以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形时，点Q只能在y轴正半轴上，且PQ=AB=4 , PQ ∥AB ,即已知点P横坐标，代入抛物线解析式可求纵坐标．‎ ‎【答案】解：（1）x==1,∴m=，∴y＝x2―x+n.把C（0，-1）代入得n= -1,∴求抛物线解析式是y＝x2―x-1；‎ 令0＝x2―x-1，得x=3或-1，∴A，B两点的坐标分别是（-1,0）（3,0）；‎ ‎（2）存在.‎ 设D的坐标是（x，y），则y＝x2―x-1，连接AC、CD、OD、BD.‎ ‎∴S△AOC+ S△OCD+ S△OBD=3，∴×1×1+×1×x+×3×(-y)=3,‎ ‎∴+x+×3×(―x2+x+1)=3,‎ 解得x=2或1，所以y=-1或-，∴D的坐标是（2，-1）、（1, -）.‎ ‎（3）（3）1°当AB为边时：设PQ =AB=4 , PQ ∥AB ,则P点的横坐标是4或-4，把x=4代入y＝x2―x-1得y=;把x= -4代入y＝x2-x-1得y=7，即当P的坐标是（4，）或（-4，7）时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.‎ ‎2°当AB为对角线时，则AB与PQ互相平分，线段AB中点是G，PQ过G与y轴交于Q点，过点P作x轴垂线交x轴于H，则△PHG≌△QOC，所以OG=GH，又因为点G的横坐标是1，所以点P的横坐标是2，把x=2代入y＝x2-x-1得y= -1，即当P的坐标是（2，-1），即当P的坐标是（2，-1））时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形. ‎ 综上，当P的坐标是（4，）、（-4，7）或（2，-1））时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.‎ ‎【点评】这类探究类问题首先假设存在，根据图形的存在性，求出符合条件的点的坐标．如果不存在，经过推理论证或计算，能够得出与已知条件或公里相矛盾的结论，从而推出假设错误．‎ ‎20．（2011年四川省南充市，20，8分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：‎ ‎（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？‎ ‎（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=‎10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？‎ ‎【解题思路】由函数图象上的两个点很容易用代定系数法求出一次函数关系式，利用二次函数的性质求最值。‎ ‎【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价(元/千度)的函数解析式为：‎ 该函数图象过点 ‎∴，解得 ∴‎ 当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润（元/千度）‎ ‎（3）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：‎ 化简配方，得：‎ 由题意，，∴当时，‎ 即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元。‎ ‎【点评】试题充分体现了函数知识在生活中的广泛应用，用函数知识可以解决生活中的很多问题。‎ ‎22．（2011年四川省南充市，22，8分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于点A和点C(‎2m－4,m－6).‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标；‎ ‎（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM 的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。‎ ‎【解题思路】(1)求函数关系式的三种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由A,C两点在一次函数图象上，求得m值，从而得出A,C两个点的坐标，进一步确定出B的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。‎ ‎(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出PQ与y轴的交点。结合二次函数求出P,Q的坐标。可能有两种情况，分别讨论。‎ ‎（3）△PQM中PQ一定，只需PQ上的高最大则△PQM的面积最大。‎ ‎【答案】解：点和在直线y=－x+p上 ‎∴解得∴‎ 设抛物线∵∴‎ ‎∴抛物线解析式为 ‎（2）AC=，AC所在直线的解析式为：，∠BAC=45°‎ ‎∵的面积为12‎ ‎∴中AC边上的高为 过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=,∴DN=4‎ ‎∵的边PQ所在直线在直线AC的两侧可能各有一条，‎ ‎∴PQ的解析式为或 ‎∴解得或 方程组无解 即,‎ ‎∵四边形ACQP是平行四边形， ‎ ‎∴当时，‎ 当时，‎ ‎∴满足条件的P,Q点是,或,‎ ‎（3）设，过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线点T，则，‎ 过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，‎ ‎=‎ ‎∴当时，，△PQM中PQ边上高的最大值为 ‎【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。‎ ‎23．（2011年河南，23，15分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.‎ ‎（1）求该抛物线的解析式； ‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.‎ ‎①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；‎ ‎②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．‎ ‎【解题思路】（1）根据已知条件，结合正方形的性质求出A、B点的坐标，利用一般式根据待定系数法求解. （2）①根据△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP-yD求出二函数最值即可；②根据G和F点的位置进行分类讨论：当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得x的值，求出P点的坐标，当点F落在y轴上时，同法可得求出P点的坐标．‎ ‎【解】（1）对于，当y＝0，x＝2.当x＝－8时，y＝－.‎ ‎∴A点坐标为（2，0），B点坐标为 由抛物线经过A、B两点，得 解得 ‎（2）①设直线与y轴交于点M．‎ 当x＝0时，y＝. ∴OM＝.‎ ‎∵点A的坐标为（2，0），∴OA＝2.∴AM＝‎ ‎∵OM∶OA∶AM＝3∶4∶5.‎ 由题意得，∠PDE＝∠OMA，∠AOM＝∠PED＝90°，∴△AOM～△PED.‎ ‎∴DE∶PE∶PD＝3∶4∶5．‎ ‎∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，‎ ‎∴PD＝yP－yD ‎ ‎ ‎＝‎ ‎∴‎ ‎②满足题意的点P有三个，分别是 ‎ 当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC＝AO＝2，即，解得，所以 当点F落在y轴上时，同法可得，‎ ‎ （舍去）.‎ ‎【点评】此题是一个典型的动点压轴题，它融知识于一体，包万象于其中，知识点之多,综合性之强，难度系数之大.分类讨论思想是重要的数学思想，同学们一定注意掌握．‎ A B C O x y 图12‎ ‎24．（2011辽宁大连，24，11分）如图12，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线x＝t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ关于直线x＝t的对称的图形与△QPC重叠部分的面积为S．‎ ‎⑴点B关于直线x＝t的对称点B′的坐标为________；‎ ‎⑵求S与t的函数关系式．‎ ‎【解题思路】(1)对称点连线被对称轴垂直平分，可以求B′的坐标；‎ ‎（2）因为点P的位置不同导致点B的对称点B′的位置不同，可能在线段OC上，也可能在线段OC的延长线上，如图a和图b，重合部分分别是四边形和三角形，图a先求AC的解析式和A’B’的解析式，求出点M的纵坐标，然后用△QPC的面积减去△B’MC的面积；图b，直接求△QPC的面积即可．‎ Q Q P P ‎【答案】（1）B’（2t+1,0）‎ ‎（2）当t=1.5是点B关于x=t的对称点B’与点C重合 当00)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ.‎ ‎①当△PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；‎ ‎②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，从而进一步解决问题。‎ ‎【答案】解：⑴.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为 ‎∵的图像经过了点B(5,5)‎ ‎∴ 解得 ‎∴‎ 即：‎ ‎⑵.‎ 如图，作点A关于y轴对称点,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点,与x轴交与点C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。‎ ‎∵A(1,5),B(5,1)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎⑶.①如图 ‎∵‎ ‎∴直线AB的解析式为 ‎∴直线与直线的交点 ‎∵，点Q为OP的中点 ‎∴‎ ‎∵△PBR与直线CD有公共点，‎ ‎∴，即 ‎②‎ ‎【点评】本题考查了一次函数、二次函数、三角形、四边形等知识的综合运用。难度较大。‎