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- 2021-05-10 发布
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2018年贵阳市中考数学试卷(含答案解析)
1. 全卷共 4 页,三个答题,共 25 小题,满分 150 分,考试时间为 120 分钟.
2. 可以使用科学计算器.
一、选这题(以下每个小题均有 A、B、C、D 四个选项,其中只有一个选项正确,
请用 2B 铅笔在答题卡相应位置作答,每小题 3 分,共 30 分)
1. 当 x = -1 时,代数式 3x + 1 的值是( B )
(A)-1 (B)-2 (C)-4 (D)-4
【解】 3 ´(- 1)+ 1 = -2
2. 如图,在 DABC 中有四条线段 DE,BE,EF,FG ,其中有一条线段是 DABC 的 中线,则该线段是( B )
(A)线段 DE (B)线段 BE (C)线段 EF (D)线段 FG
第 2 题 第 3 题 第 5 题
3. 如图是一个几何体的主视图和俯视图,则这个几何体是( A )
(A)三棱柱 (B)正方体 (C)三棱锥 (D)长方体
4. 在“生命安全”主题教育活动中,为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生 命安全知识掌握情况,小丽制定了如下方案,你认为最合理的是( D )
(A)抽取乙校初二年级学生进行调查
(B)在丙校随机抽取 600 名学生进行调查
(C)随机抽取 150 名老师进行调查
(D)在四个学校各随机抽取 150 名学生进行调查
5. 如图,在菱形 ABCD 中, E 是 AC 的中点, EF ∥ CB ,交 AB 于点 F ,如果
EF = 3 ,那么菱形 ABCD 的周长为( A )
(A)24 (B)18 (C)12 (D)9
【解】Q E、F 分别是 AC、AB 的中点且 EF = 3 BC = 2EF = 6
Q 四边形 ABCD 是菱形
AB = BC = CD = DA = 6 菱形 ABCD 的周长为 6 ´ 4 = 24 故选 A
6. 如图,数轴上有三个点 A、B、C ,若点 A、B 表示的数互为相反数,则图中 点 C 对应的数是( C )
(A)-2 (B)0 (C)1 (D)4
【解】记点 A、B、C 对应的数分别为 a、b、c
Q a、b 互为相反数
a + b = 0
由图可知: b - a = 6
c = 1
7. 如图,A、B、C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为 1,则 tan ÐBAC
的值为( B )
(A) 1 (B)1 (C)
2
3 (D) 3
3
【解】图解
8. 如图,小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子,且两个 棋子不在同一条网格线上,其中,恰好摆放成如图所示位置的概率是( A )
(A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 2
12 10 6 5
【解】见图
∵两个棋子不在同一条网格线上
∴两个棋子必在对角线上,如图:
有 6 条对角线供这两个棋子摆放,考虑每条对角线两端点皆可摆放黑、白棋子,
故有 6×2=12 种可能,而满足题意的只有一种可能,从而恰好摆放成如图所示位
置的概率是 1
12
9. 一次函数 y = kx - 1 的图像经过点 P ,且 y 的值随 x 值的增大而增大,则点 P 的
坐标可以为( C )
(A)(-5,3) (B)(1,-3) (C)(2,2) (D)(5,-1)
【解】∵ y 的值随 x 值的增大而增大∴ k > 0
(A)(-5,3) ® k = y + 1 = 3 + 1 = - 4 < 0
x - 5 5
(B)(1,-3)
® k = y + 1 = - 3 + 1 = -2 < 0
x 1
(C)(2,2)
® k = y + 1 = 2 + 1 = 3 > 0
x 2 2
(D) (5,-1) ® k = y + 1 = - 1 + 1 = 0
x 5
10.已知二次函数 y = - x 2 + x + 6 及一次函数 y = - x + m ,将该二次函数在 x 轴上方
的图像沿 x 轴翻折到 x 轴下方,图像的其余部分不变,得到一个新函数(如图所 示),当直线 y = - x + m 与新图
像有 4 个交点时, m 的取值范 围是( D )
(A) - 25 < m < 3
4
(B) - 25 < m < 2
4
(C) - 2 < m < 3
(D) - 6 < m < -2
【解】图解
故选 D
二、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
11.某班 50 名学生在 2018 年适应性考试中,数学成绩在 100~110 分这个分数段
的频率为 0.2,则该班在这个分数段的学生为 10 人.
【解】 频数 = 频率 Þ 频数 = 频率 ´ 总数 = 50 ´ 0.2 = 10人 总数
12.如图,过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线,分别与反比例函数 y = 3 ( x > 0) ,
x
y = - 6 ( x > 0) 的图像交于 A 点和 B 点,若 C 为 y 轴任意一点,连接 AB、BC ,则
x
9
DABC 的面积为 .
2
【解】
13.如图,点 M、N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB、BC 上的点,且 AM = BN , 点 O 是正五边形的中心,则 ÐMON 的度数是 度.
【解】方法一:特殊位置,即 OM ^ AB,ON ^ BC 时, ÐMON = 360° = 72°[来源:学科网ZXXK]
5
方法二:一般位置,作 OP ^ AB,OQ ^ BC ,如图所示:
易得: RtDOPM ≌ RtDOQN ,则 ÐPOM = ÐQON
ÐPOQ = ÐPOM + ÐMOQ
由
ÐNOM = ÐNOQ + ÐMOQ
∴ ÐMON = ÐPOQ = 360° = 72°
5
í
14.已知关于 x 的不等式组 ì5 - 3x ³ -1
îa - x < 0
【解】由 5 - 3x ³ -1 得: x £ 2
由 a - x < 0 得: x > a
无解,则 a 的取值范围是 .
当 a < 2 时,不等式组有解,即 a < x £ 2 ,如图:
[来源:学。科。网]
当 a = 2 时,不等式组有解,即 x = 2 ,如图:
当 a > 2 时,不等式组无解,如图:
综上所述: a > 2 .
15.如图,在 DABC 中, BC = 6 , BC 边上的高为 4,在 DABC 的内部作一个矩形
EFGH ,使 EF 在 BC 边上,另外两个顶点分别在 AB、AC 边上,则对角线 EG 长
12 13
的最小值为 .
13
【解】作 AM ^ BC 于点 M ,交 DG 于点 N ,设 DE = x ,由题意知: AM = 4,BC = 6
如图:
∵四边形 DEFG 是矩形
∴ DG ∥ EF
∴ DADG ∽ DABC
∴ AN = DG 即
AM BC
4 - x = DG Þ DG = 12 - 3x
4 6 2
EG =
DE 2 + DG 2 =
x 2 + (12 - 3x )2 =
在 RtDEDG 中
13 ( x - 24 )2 + 144
2 9 13 13
∴当 x =
24
时, EGmin =
13 ( 24 -
24 )2
+ 144 =
144
= 12 13
13 9 13 13 13
13 13
三、解答题(本大题 10 个小题,共 100 分)
17.(本题满分 10 分)在 6·26 国际禁毒日到来之际,贵阳市教育局为了普及禁
毒知识,提高禁毒意识,举办了“关爱生命,拒绝毒品”的知识竞赛.某校初一、
初二年级分别有 300 人,现从中各随机抽取 20 名同学的测试成绩进行调查分析,
成绩如下:
初一:68 88 100 100 79 94 89 85 100 88
100 90 98 97 77 94 96 100 92 67
初二:69 97 96 89 98 100 99 100 95 100
99 69 97 100 99 94 79 99 98 79
(1)根据上述数据,将下列表格补充完成整:
整理、描述数据:
分数段
60 £ x £ 69
70 £ x £ 79
80 £ x £ 89
90 £ x £ 100
初一人数
2
2
4
12
初二人数
2
2
1
15
分析数据:样本数据的平均数、中位数、满分率如下表:
年级
平均数
中位数
满分率
初一
90.1
93
25%
初二
92.8
97.5
20%
得出结论:
(2)估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共
135 人;
(3)你认为哪个年级掌握禁毒知识的总体水平较好,说明理由.
初二年级总体掌握禁毒知识水平较好,因为平均数和中位数都高于初一年级.
18.(本题满分 8 分)如图,将边长为 m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形 和两个矩形,拿掉边长为 n 的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.
(1)用含 m 或 n 的代数式表示拼成矩形的周长;
(2) m = 7 , n = 4 ,求拼成矩形的面积.
【解】(1)拼成矩形的周长= m + n + m - n = 2m
(2)拼成举行的哦面积= (m - n)(m + n) = (7 - 4) ´ (7 + 4) = 33
19.(本题满分 8 分)如图①,在 RtDABC 中,以下是小亮探究 间关系的方法:
a
sin A
与 b 之
sin B
图① 图②
Q sin A = a ,sin B = b
c =
c
a ,c =
c
b a = b
sin A
sin B
sin A
sin B
根据你掌握的三角函数知识,在图②的锐角 DABC 中,探究 之间的关系,并写出探究过程.
a
sin A
、 b
sin B
、 c
sin C
【解】作 CM ^ AB 于点 M ,作 AN ^ BC 于点 N ,如图所示:
在 RtDAMC 中,
sin A = CM AC
= CM
b
Þ CM = b × sin A
在 RtDBMC 中,
sin B = CM BC
= CM
a
Þ CM = a × sin B
b × sin A = a × sin B
b
sin B
= a
sin A
在 RtDANC 中, sin C = AN AC
在 RtDANB 中, sin B = AN AB
= AN Þ AN = b × sin C
b
= AN Þ AN = c × sin B
c
b × sin C = c × sin B
b
sin B
a
sin A
= c
sin C
= b
sin B
= c
sin C
20.(本题满分 10 分)某青春党支部在精准扶贫活动中,给结对帮扶的贫困家庭 赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵 10 元,用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用 360 元购买甲种树苗的棵数相同.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元?
(2)在实际帮扶中,他们决定再次购买甲、乙两种树苗共 50 棵.此时,甲种树
苗的售价比第一次购买时降低了 10%,乙种树苗的售价不变,如果再次购买两种
树苗的总费用不超过 1500 元,那么他们最多可购买多少棵乙种树苗?
【解】
(1)设甲种树苗每棵的价格是 x 元,由题意知:乙种树苗每棵的价格是 x + 10 元.
则 480 = 360 ,解得: x = 30
x + 10 x
即,甲、乙两种树苗每棵的价格分别是 30 元、40 元
(2)设他们购买乙种树苗 y 棵,则购买甲种树苗 50 - y 棵. 由(1)知:甲种树苗每棵 30 元,乙种树苗每棵 40 元
甲种树苗降低 10%后为: 30 ´(1 - 10%)= 27 元
由题意知: 27 ´(50 - y)+ 40 y £ 1500 解得: y £ 150 » 11.54
13
所以,他们最多可以购买 11 棵乙种树苗.
21.(本题满分 10 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AE 是 BC 边上的高,点 F 是 DE 的中点, AB 与 AG 关于 AE 对称, AE 与 AF 关于 AG 对称,
(1)求证: DAEF 是等边三角形;
(2)若 AB = 2 ,求 DAFD 的面积.
证明(1):
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD ∥ BC[来源:学_科_网]
∵ AE ^ BC
∴ AE ^ AD 即 ÐEAD = 90°
在 RtDEAD 中
∵ F 是 ED 的中点
∴ AF = 1 ED = EF
2
∵ AE 与 AF 关于 AG 对称
∴ AE = AF
∴ AE = AF = EF
∴ DAEF 是等边三角形
(3)由(1)知 DAEF 是等边三角形,则 ÐEAF = ÐAEF = 60°, ÐEAG = ÐFAG = 30°
在 RtDEAD 中, ÐADE = 30°
∵ AB 与 AG 关于 AE 对称
∴ ÐBAE = ÐGAE = 30°
在 RtDAEB 中, AB = 2
则 AE = AB × cos ÐBAE = 2 ´ cos 30° = 3
在 RtDEAD 中, AD = AE × tan ÐAEF =
3 ´ tan 60° = 3
∴ S = 1 S
= 1 ´ 1 ´ AE ´ AD = 1 ´ 1 ´
3 ´ 3 = 3 3
DAFD
2 DAED 2 2
2 2 4
22.(本题满分 10 分)图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子,每个面上分 别标有数字 1,2,3,4,图②是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子的方式玩跳棋 游戏,规则是:将这枚骰子掷出后,看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和 是几,就从图②中的 A 点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点,第二次从第一 次的终点处开始,按第一次的方法跳动.
(1)随机掷一次骰子,则棋子跳动到点 C 处的概率是 ;
(2)随机掷两次骰子,用画树状图或列表的方法,求棋子最终跳动到点 C 处的
概率.
【解】随机掷一次骰子,骰子向上三个面(除底面外)的数字之和可以是 6、7、
8、9.
(1)随机掷一次骰子,满足棋子跳动到点 C 处的数字是 8
所以,随机掷一次骰子,则棋子跳动到点 C 处的概率是 1 .
4
(2)随机掷两次骰子,棋子最终跳动到点 C 处的数字是 14,
列表如下:
6
7
8
9
6
12
13
14
15
7
13
14
15
16
8
14
15
16
17
9
15
16
17
18
树状图如下:
所以,随机掷两次骰子,棋子最终跳动到点 C 处的概率是 3 .
16
23.(本题满分 10 分)六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来,吸引大批滑雪爱好
者,一滑雪者从山坡滑下,测得滑行距离 y (单位:m)与滑行时间 x (单位:s) 之间的关系可以近似的用二次函数来表示.
滑行时间 x / s
0
1
2
3
…
滑行距离 y / m
0
4
12
24
…
(1)根据表中数据求出二次函数的表达式,现测量出滑雪者的出发点与终点的
距离大约 800m,他需要多少时间才能到达终点?
(2)将得到的二次函数图像补充完整后,向左平移 2 个单位,再向上平移 5 个
单位,求平移后的函数表达.
【解】(1)设二次函数表达式为: y = ax 2 + bx + c ,则
ì0 = c
ï
ï
í4 = a + b + c
î12 = 4a + 2b + c
ìa = 2
ï
íb
解得: ï = 2 ,故 y = 2 x 2 + 2 x,x > 0
îc = 0
(2)由(1)知: y = 2 x 2 + 2 x
向左平移 2 各单位得: y = 2( x + 2)2 + 2( x + 2) = 2 x 2 + 10 x + 12
向上平移 5 个单位得: y = 2 x 2 + 10 x + 12 + 5 = 2 x 2 + 10 x + 17
23.(本题满分 10 分)如图,AB 为⊙ O 的直径,且 AB = 4 ,点 C 在半圆上,OC ^ AB , 垂足为点 O , P 为半圆上任意一点,过 P 点作 PE ^ OC 于点 E,设 DOPE 的内心
为 M ,连接 OM、PM .
(1)求 ÐOMP 的度数;
(2)当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时,求内心 M 所经过的路径长.
【解】(1)∵ PE ^ OC
∴ ÐPEO = 90°
∴ ÐEPO + ÐEOP = 90°
∵ M 是 DOPE 的内心 ∴ ÐEOM = ÐPOM,ÐEPM = ÐOPM
∴ ÐPOM + ÐOPM = 1 (ÐEPO + ÐEOP) = 45°
2
在 DPOM 中, ÐOMP = 180° - (ÐPOM + ÐOPM ) = 180° - 45° = 135°
(2)连接 CM ,作过 O、M、C 三点的外接圆,即⊙ N ,连接 NC、NO ,在⊙ N
的优弧上任取一点 H ,连接 HC、HO .如图所示:
由题意知: OP = OC,ÐPOM = ÐCOM,OM = OM
∴ DPOM ≌ DCOM
∴ ÐOMP = ÐOMC = 135°
在⊙ N 的内接四边形 CMOH 中, ÐH = 180° - ÐOMC = 180° - 135° = 45°
∴ ÐN = 2 ´ 45° = 90°
由题意知: OC = 1 AB = 1 ´ 4 = 2
2 2
在等腰直角三角形 CNO 中, NC = NO
由勾股定理得: NC 2 + NO 2 = OC 2 即 2 NC 2 = 22 Þ NC = 2
当点 P 在上运动时,点 M 在上运动
90° ´p´
∴ 的长为:
180°
∵与关于 OC 对称
2 = 2 p
2
∴当点 P 在 上运动时,点 M 所在弧上的运动路径长与当点 P 在 上运动时,点 M 在
上运动的路径长相等
∴当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时,求内心 M 所经过的路径长为:
2 ´ 2 p = 2p[来源:学*
2
24.(本题满分 12 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB = 2,AD =
的一点,且 BP = 2CP .
3,P 是 BC 边上
(1)用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E ,连接 AE、BE (保留作图痕迹,不 写作法);
(2)如图②,在(1)的条件下,判断 EB 是否平分 ÐAEC ,并说明理由;
(3)如图③,在(2)的条件下,连接 EP 并延长交 AB 的延长线于点 F ,连接 AP ,
不添加辅助线, DPFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 DPAE 组成一个等腰三角
形?如果能,说明理由,并写出两种方法(指出对称轴、旋转中心、旋转方向或
平移方向和平移距离)
【解】
(1)分别以 D、C 为圆心,以相同且大于 1 DC =
2
接 MN 交 DC 于点 E ,即为 DC 的中点,如下图:
3
为半径作圆相交于 M、N 两点,连
2
(2)由题意及(1)知: EC = 1 AB = 1 ´ 2 = 1
2 2
在 RtDBCE 中, BC = 3
∴ tan ÐBEC = BC = 3
EC
∴ ÐBEC = 60°
由勾股定理得: EB =
EC 2 + BC 2 =
12 + (
3)2 = 2
同理: AE = 2
∴ AE = AB = EB
∴ ÐAEB = ÐABE = ÐBAE = 60°
∴ ÐAEB = ÐBEC = 60°
∴ EB 是否平分 ÐAEC .
(3) DPFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 DPAE 组成一个等腰三角形.
理由如下:
∵ BP = 2CP,AD = BC = 3
∴ BP =
2 3 ,CP = 3
3 3
在 RtDECP 中, tan ÐEPC = EC = 3
PC
∴ ÐECP = 60°
∴ ÐBPF = 60°
由勾股定理得: EP =
EC 2 + CP 2 =
12 + (
3 )2 = 2 3
3 3
∴ EP = PB
由题意知: ÐC = ÐABP = 90°
∵ BP = AB = 2
CP EC
∴ DABP ∽ DECP
∴ ÐAPB = 60°
∴ ÐBPF = ÐAPB = 60°
∵ ÐABP = ÐFBP = 90°,BP = BP
∴ RtDABP ≌ RtDFBP
∵ ÐAPB = ÐCPE = 60°
∴ ÐEPA = 180° - (ÐAPB + ÐCPE ) = 60°
∴ ÐAPB = ÐAPE
又 AP = AP
∴ RtDABP ≌ RtDAEP
∴ RtDABP ≌ RtDAEP ≌ RtDFBP
∴ DPFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 DPAE 组成一个等腰三角形.
-: APFB
PF
P 120. ;
:
APFB
P 120.
PF
3
=
:
E
FI
D
J
f F
D E C
_ - -
J
S
D
J D
S
S
B
1
F
A B F A
25.(本题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A 是反比例函数
3
y = m
- m2
x
( x > 0,m > 1) 图像上一点,点 A 的横坐标为 m ,点 B(0,- m) 是 y 轴负
半轴上的一点,连接 AB , AC ^ AB ,交 y 于点 C ,延长 CA 到点 D ,使得 AD = AC ,
过点 A 作 AE 平行于 x 轴,过点 D 作 y 轴平行线交 AE 于点 E .
(1)当 m = 3 时,求点 A 的坐标;
(2) DE = ,设点 D 的坐标为( x,y ),求 y 关于 x 的函数关系式和自变 量的取值范围;
(3)连接 BD ,过点 A 作 BD 的平行线,与(2)中的函数图像交于点 F ,当 m 为
何值时,以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行四边形?
【解】
(1)当 m = 3 时, xA = 3 ,则 y A =
m3 - m2
xA
33 - 32
= = 6
3
故: A (3,6)
(2)作 AF ^ y 轴于点 F ,则 ÐCFA = 90° .由题意知: A(m, m2 - m),B(0,- m)
Q CA ^ AB ÐCAB = 90°
ÐCAB = ÐCFA = 90° ÐABC + ÐFAB = ÐFAB + ÐCAF = 90° ÐCAF = ÐABC
RtDAFC ∽ RtDBFA
FA = CF ,即 m
= CF CF = 1
FB AF
m2 - m - (-m) m
Q AD = AC,ÐE = ÐAFC = 90°,ÐCAF = ÐDAE
RtDAFC ≌ RtDAED
AE = AF = m,DE = CF = 1
D(2m,m2 - m - 1)
消去 m 得: y = 1 x 2 - 1 x - 1,x > 2
4 2
ìx = 2m
í
î y = m2 - m - 1
综上: DE = 1,y = 1 x 2 - 1 x - 1,x > 2
4 2
(3) x > 2, A(m, m2 - m),B(0,- m) , D(2m,m2 - m - 1)
方法一:利用平行四边形对角线互相平分以及中点坐标公式
当AB 为对角线时
ìxA + xB = xD + xF
í
ìm + 0 =
í
即
2
2m + xF
2
Þ F (
-m,1 - m)
î y A + yB = yD + yF
îm - m + (-m) = m
- m - 1 + yF
则1 - m = 1 (-m)2 - 1 (-m) - 1 Þ m = 3 ±
17 (舍)
4 2
(考虑到二次函数图像不完整,只有x > 2 部分,故此情况不用写)
当 AD 为对角线时:
ìxA + xD = xB + xF
ìm + 2m = 0 + xF
即
(3 2 2 1)
í
î y A + yD = yB + yF
í
îm2 - m + m2
Þ F
- m - 1 = -m + yF
m,m
- m -
2m2 - m - 1 = 1 (3m)2 - 1 (3m) - 1 Þ m = 0(舍)或m = 2
4 2
综上:当 m = 2 时,以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行四边形.
方法二:坐标平移法(对边相等+点平移方向相同)
ìxA - xF = xB - xD
í
ìm - xF = 0 - 2m
F
即í
Þ F (3m,2m2 - m - 1)
î y A
- yF
= yB
- yD
îm2 - m - y
= -m - (m2 - m - 1)
代入 y = 1 x 2 - 1 x - 1 得 2m2 - m - 1 = 1 (3m)2 - 1 (3m) - 1 Þ m = 0(舍)或m = 2
4 2 4 2
ìxA - xF = xD - xB
或í
ìm - xF = 2m - 0
F
即í
Þ F (-m,1 - m)
î y A
- yF
= yD
- yB
îm2 - m - y
= m2 - m - 1 - (-m)
代入y = 1 x 2 - 1 x - 1 1 - m = 1 (-m)2 - 1 (-m) - 1 Þ m = 3 ±
17 (舍)
4 2 4 2[来源:学§科§网]
(考虑到二次函数图像不完整,只有x > 2 部分,故此情况不用写)
综上:当 m = 2 时,以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行四边形.
方法三:官方参考答案(过程相对复杂)
将 F 点坐标代入代入 y = 1 x 2 - 1 x - 1 得 m = 0(舍)或m = 2
4 2
所以,当 m = 2 时,以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行四边形.