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- 2021-05-11 发布
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中考数学折叠专项训练试题附参考答案
一.选择题(共9小题)
1.(2013•贵港)如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上M点处,延长BC、EF交于点N.有下列四个结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中,将正确结论的序号全部选对的是( )
A.
①②③
B.
①②④
C.
②③④
D.
①②③④
考点:
翻折变换(折叠问题);等边三角形的判定;矩形的性质.4946047
专题:
压轴题.
分析:
由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质,可证得CF=FM=DF;
易求得∠BFE=∠BFN,则可得BF⊥EN;
易证得△BEN是等腰三角形,但无法判定是等边三角形;
易求得BM=2EM=2DE,即可得EB=3EM,根据等高三角形的面积比等于对应底的比,即可求得答案.
解答:
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠BCD=90°,DF=MF,
由折叠的性质可得:∠EMF=∠D=90°,
即FM⊥BE,CF⊥BC,
∵BF平分∠EBC,
∴CF=MF,
∴DF=CF;故①正确;
∵∠BFM=90°﹣∠EBF,∠BFC=90°﹣∠CBF,
∴∠BFM=∠BFC,
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN,
∴∠BFE=∠BFN,
∵∠BFE+∠BFN=180°,
∴∠BFE=90°,
即BF⊥EN,故②正确;
∵在△DEF和△CNF中,
,
∴△DEF≌△CNF(ASA),
∴EF=FN,
∴BE=BN,
但无法求得△BEN各角的度数,
∴△BEN不一定是等边三角形;故③错误;
∵∠BFM=∠BFC,BM⊥FM,BC⊥CF,
∴BM=BC=AD=2DE=2EM,
∴BE=3EM,
∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF;
故④正确.
故选B.
点评:
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
2.如图,将矩形ABCD的一个角翻折,使得点D恰好落在BC边上的点G处,折痕为EF,若EB为∠AEG的平分线,EF和BC的延长线交于点H.下列结论中:
①∠BEF=90°;②DE=CH;③BE=EF;
④△BEG和△HEG的面积相等;
⑤若,则.
以上命题,正确的有( )
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
考点:
翻折变换(折叠问题).4946047
专题:
压轴题.
分析:
①根据平角的定义,折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断;
②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE≠CH;
③无法证明BE=EF;
④根据角平分线的性质,等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG和△HEG的面积相等;
⑤过E点作EK⊥BC,垂足为K.在RT△EKG中利用勾股定理可即可作出判断.
解答:
解:①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF,∵EB为∠AEG的平分线,∴∠AEB=∠GEB,∵∠AED=180°,∴∠BEF=90°,故正确;
②可证△EDF∽△HCF,DF>CF,故DE≠CH,故错误;
③只可证△EDF∽△BAE,无法证明BE=EF,故错误;
④可证△GEB,△GEH是等腰三角形,则G是BH边的中线,∴△BEG和△HEG的面积相等,故正确;
⑤过E点作EK⊥BC,垂足为K.设BK=x,AB=y,则有y2+(2y﹣2x)2=(2y﹣x)2,解得x1=y(不合题意舍去),x2=y.则,故正确.
故正确的有3个.
故选B.
点评:
本题考查了翻折变换,解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理,属于综合性题目,解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等,然后分别判断每个结论,难度较大,注意细心判断.
3.(2012•遵义)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F点,若CF=1,FD=2,则BC的长为( )
A.
3
B.
2
C.
2
D.
2
考点:
翻折变换(折叠问题).4946047
专题:
压轴题.
分析:
首先过点E作EM⊥BC于M,交BF于N,易证得△ENG≌△BNM(AAS),MN是△BCF的中位线,根据全等三角形的性质,即可求得GN=MN,由折叠的性质,可得BG=3,继而求得BF的值,又由勾股定理,即可求得BC的长.
解答:
解:过点E作EM⊥BC于M,交BF于N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABC=90°,AD=BC,
∵∠EMB=90°,
∴四边形ABME是矩形,
∴AE=BM,
由折叠的性质得:AE=GE,∠EGN=∠A=90°,
∴EG=BM,
∵∠ENG=∠BNM,
∴△ENG≌△BNM(AAS),
∴NG=NM,
∴CM=DE,
∵E是AD的中点,
∴AE=ED=BM=CM,
∵EM∥CD,
∴BN:NF=BM:CM,
∴BN=NF,
∴NM=CF=,
∴NG=,
∵BG=AB=CD=CF+DF=3,
∴BN=BG﹣NG=3﹣=,
∴BF=2BN=5,
∴BC===2.
故选B.
点评:
此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
4.如图,两个正方形ABCD和AEFG共顶点A,连BE,DG,CF,AE,BG,K,M分别为DG和CF的中点,KA的延长线交BE于H,MN⊥BE于N.则下列结论:①BG=DE且BG⊥DE;②△ADG和△ABE的面积相等;③BN=EN,④四边形AKMN为平行四边形.其中正确的是( )
A.
③④
B.
①②③
C.
①②④
D.
①②③④
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定;平行四边形的判定.4946047
专题:
证明题.
分析:
充分利用三角形的全等,正方形的性质,平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可.
解答:
解:由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB,
∴BG=DE,∠ADE=∠ABG,
∴可得BG与DE相交的角为90°,
∴BG⊥DE.①正确;
如图,延长AK,使AK=KQ,连接DQ、QG,
∴四边形ADQG是平行四边形;
作CW⊥BE于点W,FJ⊥BE于点J,
∴四边形CWJF是直角梯形;
∵AB=DA,AE=DQ,∠BAE=∠ADQ,
∴△ABE≌△DAQ,
∴∠ABE=∠DAQ,
∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°.
∴△ABH是直角三角形.
易证:△CWB≌△BHA,△EJF≌△AHE;
∴WB=AH,AH=EJ,
∴WB=EJ,
又WN=NJ,
∴WN﹣WB=NJ﹣EJ,
∴BN=NE,③正确;
∵MN是梯形WGFC的中位线,WB=BE=BH+HE,
∴MN=(CW+FJ)=WC=(BH+HE)=BE;
易证:△ABE≌△DAQ(SAS),∴AK=AQ=BE,
∴MN∥AK且MN=AK;
四边形AKMN为平行四边形,④正确.
S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S▱ADQG,②正确.
所以,①②③④都正确;
故选D.
点评:
当出现两个正方形时,一般应出现全等三角形.图形较复杂,选项较多时,应用排除法求解.
5.(2012•资阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=,则四边形MABN的面积是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
翻折变换(折叠问题).4946047
专题:
压轴题.
分析:
首先连接CD,交MN于E,由将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,即可得MN⊥CD,且CE=DE,又由MN∥AB,易得△CMN∽△CAB,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形对应高的比等于相似比,即可得,又由MC=6,NC=,即可求得四边形MABN的面积.
解答:
解:连接CD,交MN于E,
∵将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,
∴MN⊥CD,且CE=DE,
∴CD=2CE,
∵MN∥AB,
∴CD⊥AB,
∴△CMN∽△CAB,
∴,
∵在△CMN中,∠C=90°,MC=6,NC=,
∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6,
∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24,
∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18.
故选C.
点评:
此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质.此题难度适中,解此题的关键是注意折叠中的对应关系,注意数形结合思想的应用.
6.如图,D是△ABC的AC边上一点,AB=AC,BD=BC,将△BCD沿BD折叠,顶点C恰好落在AB边的C′处,则∠A′的大小是( )
A.
40°
B.
36°
C.
32°
D.
30°
考点:
翻折变换(折叠问题).4946047
分析:
连接C'D,根据AB=AC,BD=BC,可得∠ABC=∠ACB=∠BDC,然后根据折叠的性质可得∠BCD=∠BC'D,继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D,根据四边形的内角和求出各角的度数,最后可求得∠A的大小.
解答:
解:连接C'D,
∵AB=AC,BD=BC,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC,
∵△BCD沿BD折叠,顶点C恰好落在AB边的C′处,
∴∠BCD=∠BC'D,
∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D,
∵四边形BCDC'的内角和为360°,
∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°,
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°.
故选B.
点评:
本题考查了折叠的性质,解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等,注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D,根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数.
7.(2012•舟山)如图,已知△ABC中,∠CAB=∠B=30°,AB=2,点D在BC边上,把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合,得△AB′D,则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为( )
A.
B.
C.
3﹣
D.
考点:
翻折变换(折叠问题).4946047
专题:
压轴题.
分析:
首先过点D作DE⊥AB′于点E,过点C作CF⊥AB,由△ABC中,∠CAB=∠B=30°,AB=2,利用等腰三角形的性质,即可求得AC的长,又由折叠的性质,易得∠CDB′=90°,∠B′=30°,B′C=AB′﹣AC=2﹣2,继而求得CD与B′D的长,然后求得高DE的长,继而求得答案.
解答:
解:过点D作DE⊥AB′于点E,过点C作CF⊥AB,
∵△ABC中,∠CAB=∠B=30°,AB=2,
∴AC=BC,
∴AF=AB=,
∴AC===2,
由折叠的性质得:AB′=AB=2,∠B′=∠B=30°,
∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°,
∴∠CDB′=90°,
∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2,
∴CD=B′C=﹣1,B′D=B′C•cos∠B′=(2﹣2)×=3﹣,
∴DE===,
∴S阴影=AC•DE=×2×=.
故选A.
点评:
此题考查了折叠的性质,等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用,注意掌握折叠前后图形的对应关系.
8.(2013•定海区模拟)如图,已知△ABC中,∠CAB=∠B=30°,AB=,点D在BC边上,把△ABC沿AD翻折,使AB与AC重合,得△AED,则BD的长度为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
翻折变换(折叠问题).4946047
分析:
作CF⊥AB于点F,利用三线合一定理即可求得BF的长,然后证明△CDE是直角三角形,BD=x,则CD=DE=2﹣x,利用三角函数即可得到关于x的方程,解方程即可求解.
解答:
解:作CF⊥AB于点F.
∵∠CAB=∠B
∴AC=BC,
∴BF=AB=,
在直角△BCF中,BC==2,
在△CDE中,∠E=∠B=30°,∠ECD=∠CAB+∠B=60°,DE=BD,
∴∠CDE=90°,
设BD=x,则CD=DE=2﹣x,
在直角△CDE中,tanE===tan30°=,
解得:x=3﹣.
故选B.
点评:
本题考查了图形的折叠,以及三线合一定理、三角函数,正确理解折叠的性质,找出图形中相等的线段、相等的角是关键.
9.(2013•绥化)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=1,D在AC上,将△ADB沿直线BD翻折后,点A落在点E处,如果AD⊥ED,那么△ABE的面积是( )
A.
1
B.
C.
D.
考点:
翻折变换(折叠问题).4946047
专题:
压轴题.
分析:
先根据勾股定理计算出AB=2,根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°,在根据折叠的性质得BE=BA=2,∠BED=∠BAD=30°,DA=DE,由于AD⊥ED得BC∥DE,所以∠CBF=∠BED=30°,在Rt△BCF中可计算出CF=,BF=2CF=,则EF=2﹣,在Rt△DEF中计算出FD=1﹣,ED=﹣1,然后利用S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE计算即可.
解答:
解:∵∠C=90°,AC=,BC=1,
∴AB==2,
∴∠BAC=30°,
∵△ADB沿直线BD翻折后,点A落在点E处,
∴BE=BA=2,∠BED=∠BAD=30°,DA=DE,
∵AD⊥ED,
∴BC∥DE,
∴∠CBF=∠BED=30°,
在Rt△BCF中,CF==,BF=2CF=,
∴EF=2﹣,
在Rt△DEF中,FD=EF=1﹣,ED=FD=﹣1,
∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE
=2S△ABD+S△ADE
=2×BC•AD+AD•ED
=2××1×(﹣1)+×(﹣1)(﹣1)
=1.
故选A.
点评:
本题考查了折叠问题:折叠前后两图形全等,即对应线段相等;对应角相等.也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系.