中考数学四边形压轴题解析 65页

九年级上册四边形压轴题2‎ ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2009•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ ‎（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2．（2009•宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．‎ ‎（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；‎ ‎（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；‎ ‎（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．‎ ‎　‎ ‎3．（2009•黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．‎ ‎（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；‎ ‎（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；‎ ‎（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？‎ ‎　‎ ‎4．（2009•无锡校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）为斜边端点作直角△PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移．设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）求运动前点P的坐标；‎ ‎（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎5．（2008•北京）请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．‎ 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；‎ ‎（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；‎ ‎（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．‎ ‎　‎ ‎6．（2008•厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎7．（2008•嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：‎ ‎（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；‎ ‎（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；‎ ‎（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．‎ ‎　‎ ‎8．（2008•宁夏）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．‎ ‎（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；‎ ‎（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；‎ ‎（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．‎ ‎　‎ ‎9．（2008•昌平区二模）如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′、CB′、BB′、CC′．‎ ‎（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；‎ ‎（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B′、C′为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．（不用证明）‎ ‎　‎ ‎10．（2007•常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论成立．（考生不必证明）‎ ‎（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．‎ ‎（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？‎ ‎　‎ ‎11．（2007•宜昌）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．‎ ‎（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；‎ ‎（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．‎ ‎①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；‎ ‎②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似．‎ ‎　‎ ‎12．（2007•潍坊）已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．‎ ‎（1）求证：四边形AEPM为菱形；‎ ‎（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？‎ ‎　‎ ‎13．（2007•永州）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．‎ ‎（1）求DC的长；‎ ‎（2）E为梯形内一点，F为梯形外一点，若BF=DE，∠FBC=∠CDE，试判断△ECF的形状，并说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的长．‎ ‎　‎ ‎14．（2007•常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．‎ ‎（1）当DG=2时，求△FCG的面积；‎ ‎（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；‎ ‎（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎15．（2007•海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CDE；‎ ‎（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；‎ ‎（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎16．（2007•哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．‎ ‎（1）求证：EF+AC=AB；‎ ‎（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．‎ ‎　‎ ‎17．（2006•河南）如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF∥AB交直线DE于F．设CD=x．‎ ‎（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；‎ ‎（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？‎ ‎　‎ ‎18．（2006•温州）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连接AM．设AP=x ‎（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由；‎ ‎（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等？‎ ‎　‎ ‎19．（2006•沈阳）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．‎ ‎（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）‎ ‎（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．‎ ‎　‎ ‎20．（2006•成都）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．‎ ‎（1）设DE=m（0＜m＜12），试用含m的代数式表示的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长．‎ ‎　‎ ‎21．（2006•汾阳市）如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．‎ ‎（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；‎ ‎（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；‎ ‎（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；‎ ‎（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题 ‎　‎ ‎22．（2005•资阳）阅读以下短文，然后解决下列问题：‎ 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．‎ ‎（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；‎ ‎（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；‎ ‎（3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．‎ ‎　‎ ‎23．（2005•重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a=PM•PE，b=PN•PF，解答下列问题：‎ ‎（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；‎ ‎（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数k，使得？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎24．（2005•大连）如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．‎ 探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．‎ 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；‎ ‎（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．‎ 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．‎ ‎①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．‎ 附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．‎ ‎　‎ ‎25．（2005•湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=　　　　　　．（结果不取近似值）‎ ‎　‎ ‎26．（2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）． ‎（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．‎ ‎（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？‎ ‎（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． ‎　‎ ‎27．（2005•深圳校级自主招生）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．‎ 探究：设A、P两点间的距离为x．‎ ‎（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；‎ ‎（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．‎ ‎　‎ ‎28．（2004•贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．‎ ‎（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；‎ ‎（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；‎ ‎（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；‎ ‎（4）求四边形A5B5C5D5的周长．‎ ‎　‎ ‎29．（2004•无为县）（1）如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，易知AC⊥BD，=；‎ ‎（2）如图（2），若点E是正方形ABCD的边CD的中点，即，过D作DG⊥AE，分别交AC、BC于点F、G．求证：；‎ ‎（3）如图（3），若点P是正方形ABCD的边CD上的点，且（n为正整数），过点D作DN⊥AP，分别交AC、BC于点M、N，请你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再证明你猜想的结论．‎ ‎　‎ ‎30．（2004•佛山）如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．‎ ‎（1）如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=ha，EFGH是△ABC的内接正方形．设正方形EFGH的边长是x，求证：；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；‎ ‎（3）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎　‎ 九年级上册四边形压轴题2‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2009•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ ‎（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．‎ ‎（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．‎ 解答：‎ 解：（1）正确．‎ 证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．‎ ‎∴BM=BE，‎ ‎∴∠BME=45°，‎ ‎∴∠AME=135°，‎ ‎∵CF是外角平分线，‎ ‎∴∠DCF=45°，‎ ‎∴∠ECF=135°，‎ ‎∴∠AME=∠ECF，‎ ‎∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠CEF，‎ ‎∴△AME≌△ECF（ASA），‎ ‎∴AE=EF．‎ ‎（2）正确．‎ 证明：在BA的延长线上取一点N．‎ 使AN=CE，连接NE．‎ ‎∴BN=BE，‎ ‎∴∠N=∠NEC=45°，‎ ‎∵CF平分∠DCG，‎ ‎∴∠FCE=45°，‎ ‎∴∠N=∠ECF，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD∥BE，‎ ‎∴∠DAE=∠BEA，‎ 即∠DAE+90°=∠BEA+90°，‎ ‎∴∠NAE=∠CEF，‎ ‎∴△ANE≌△ECF（ASA），‎ ‎∴AE=EF．‎ 点评：‎ 此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．‎ ‎　‎ ‎2．（2009•宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．‎ ‎（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；‎ ‎（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；‎ ‎（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型．‎ 分析：‎ ‎（1）根据三角形判定方法进行证明即可．‎ ‎（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．‎ ‎（3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，‎ ‎∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，‎ ‎∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，‎ ‎∴∠BAE=∠DAG，‎ ‎∴△BAE≌△DAG．‎ ‎（2）解：∠FCN=45°，‎ 理由是：作FH⊥MN于H，‎ ‎∵∠AEF=∠ABE=90°，‎ ‎∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，‎ ‎∴∠FEH=∠BAE，‎ 又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，‎ ‎∴△EFH≌△ABE，‎ ‎∴FH=BE，EH=AB=BC，‎ ‎∴CH=BE=FH，‎ ‎∵∠FHC=90°，‎ ‎∴∠FCN=45°．‎ ‎（3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，‎ 理由是：作FH⊥MN于H，‎ 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，‎ 结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，‎ 又∵G在射线CD上，‎ ‎∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，‎ ‎∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，‎ ‎∴EH=AD=BC=b，‎ ‎∴CH=BE，‎ ‎∴==；‎ 在Rt△FEH中，tan∠FCN===，‎ ‎∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．‎ ‎　‎ ‎3．（2009•黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．‎ ‎（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；‎ ‎（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；‎ ‎（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？‎ 考点：‎ 正方形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用平行线的性质由角相等得出边相等；‎ ‎（2）假设四边形BCFE，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；‎ ‎（3）利用平行四边形及等腰直角三角形的性质证明四边形AECF是正方形．‎ 解答：‎ 解：（1）OE=OF．‎ 证明如下：‎ ‎∵CE是∠ACB的平分线，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴∠1=∠3．‎ ‎∴∠2=∠3．‎ ‎∴OE=OC．‎ 同理可证OC=OF．‎ ‎∴OE=OF．（3分）‎ ‎（2）四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，‎ 而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．（3分）‎ ‎（3）当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形．‎ 理由如下：‎ ‎∵O为AC中点，‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∵由（1）知OE=OF，‎ ‎∴四边形AECF为平行四边形；‎ ‎∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，‎ ‎∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，‎ ‎∴▱AECF为矩形，‎ 又∵AC⊥EF．‎ ‎∴▱AECF是正方形．‎ ‎∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．（3分）‎ 点评：‎ 本题考查的是平行线、角平分线、正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的形状，需同学们熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎4．（2009•无锡校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）为斜边端点作直角△PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移．设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）求运动前点P的坐标；‎ ‎（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围．‎ 考点：‎ 矩形的性质；圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型．‎ 分析：‎ ‎（1）过点P作PH⊥x轴于H，可求出MH的长即点P的横坐标，再根据tan∠PMN=，及勾股定理便可求出点P的坐标．‎ ‎（2）因为点A；点C同时从点O出发，点M（4，0），△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移，运动t秒后，OA=2t，OM=4+0.5t，‎ ‎①当0＜OA≤OM，即0＜2t≤时，两图形无交点；‎ ‎②当OM＜OA≤OH，即4+0.5t＜2t≤8+0.5t时，即＜t≤时，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S等于重叠的三角形的面积．‎ ‎③当OH＜OA≤ON，即8+0.5t＜2t≤9+0.5t，即＜t≤6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积减去不重叠的三角形的面积．‎ ‎④当OA＞ON，即2t＞9+0.5t，t＞6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积．‎ ‎（3）根据圆周角定理可知，当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q，即可求出t的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）如图，‎ 过点P作PH⊥x轴于H．‎ ‎∵MN=9﹣4=5，tan∠PMN=，‎ ‎∴PM=，PN=，‎ ‎∴PH=2，MH=4，NH=1．‎ ‎∴P（8，2）．‎ ‎（2）运动t秒后，OA=2t，OC=t，OM=4﹣0.5t．‎ 当0＜t≤时，S=0；‎ 当＜t≤时，S=t2﹣3t+4；‎ 当＜t≤6时，S=﹣t2+27t﹣76；‎ 当t＞6时，S=5．‎ ‎（3）当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q．‎ 当以OM为直径的圆与AC相切时，t=，‎ ‎∴t的取值范围是：0＜t≤．‎ 点评：‎ 此题是典型的动点问题，比较复杂，考查了同学们对圆及三角形，矩形，等相关知识的掌握情况，有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎5．（2008•北京）请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．‎ 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；‎ ‎（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；‎ ‎（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．‎ 考点：‎ 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；‎ ‎（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG 是等腰三角形）．‎ ‎（3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α）．‎ 解答：‎ 解：（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，‎ ‎∴△DPH≌△FGP，‎ ‎∴PH=PG，DH=GF，‎ ‎∵CD=BC，GF=GB=DH，‎ ‎∴CH=CG，‎ ‎∴CP⊥HG，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠DCG=120°，‎ ‎∴∠PCG=60°，‎ ‎∴PG：PC=tan60°=，‎ ‎∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，=；‎ ‎（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．‎ 证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，‎ ‎∵P是线段DF的中点，‎ ‎∴FP=DP，‎ ‎∵AD∥GF，‎ ‎∴∠HDP=∠GFP，‎ ‎∵∠GPF=∠HPD，‎ ‎∴△GFP≌△HDP（ASA），‎ ‎∴GP=HP，GF=HD，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，‎ ‎∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，‎ ‎∴∠GBF=60°，‎ ‎∴∠HDC=∠GBF，‎ ‎∵四边形BEFG是菱形，‎ ‎∴GF=GB，‎ ‎∴HD=GB，‎ ‎∴△HDC≌△GBC，‎ ‎∴CH=CG，∠HCD=∠GCB ‎∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）‎ ‎∵∠ABC=60°‎ ‎∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°‎ ‎∵∠HCG=∠HCB+∠GCB ‎∴∠HCG=120°‎ ‎∴∠GCP=60°‎ ‎∴=tan∠GCP=tan60°=；‎ ‎（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），‎ ‎∴∠PCG=90°﹣α，‎ 由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α），‎ ‎∴=tan（90°﹣α）．‎ 点评：‎ 本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用．‎ ‎　‎ ‎6．（2008•厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；开放型；存在型．‎ 分析：‎ ‎（1）因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，四边形便是菱形；‎ ‎（2）因为面积是24，也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；‎ ‎（3）因为AC=AO所以可以从与△AOE相似的角度考虑，即过E作EP⊥AD．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接EF交AC于O，‎ 当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，‎ ‎∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°（1分）‎ ‎∵在矩形ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴∠EAO=∠FCO，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA）．‎ ‎∴OE=OF（2分）‎ ‎∴四边形AFCE是菱形．（3分）‎ ‎（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．‎ 设AB=x，BF=y，∵∠B=90，‎ ‎∴（x+y）2﹣2xy=100①‎ 又∵S△ABF=24，∴xy=24，则xy=48．②（5分）‎ 由①、②得：（x+y）2=196（6分）‎ ‎∴x+y=14，x+y=﹣14（不合题意舍去）‎ ‎∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．（7分）‎ ‎（3）解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．（9分）‎ 证明：由作法，∠AEP=90°，‎ 由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，‎ ‎∴△AOE∽△AEP，‎ ‎∴=，则AE2=AO•AP（10分）‎ ‎∵四边形AFCE是菱形，∴AO=AC，AE2=AC•AP（11分）‎ ‎∴2AE2=AC•AP（12分）‎ 即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．‎ 点评：‎ 本题主要考查（1）菱形的判定方法“对角线互相垂直且平分的四边形”，（2）相似三角形的判定和性质．‎ ‎　‎ ‎7．（2008•嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：‎ ‎（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；‎ ‎（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；‎ ‎（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．‎ 考点：‎ 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）证明AE=DF，只要证明三角形ABE和DAF全等即可．它们同有一个直角，且AB=AD，又因为∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD，这样就构成了全等三角形判定中的AAS，两三角形就全等了；‎ ‎（2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，那么AM=EF，DN=GH，（1）中我们已证得△ABM、△DAN全等，那么AM=DN，即EF=GH，它们的比例也就求出来了；‎ ‎（3）做法同（2）也是通过构建三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，只不过证明三角形全等改为了证明其相似．解题思路和步骤是一样的．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵DF⊥AE ‎∴∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD 又∵AB=AD，∠ABE=∠DAF=90°‎ ‎∴△ABE≌△DAF，∴AE=DF；‎ ‎（2）解：作AM∥EF交BC于M 作DN∥GH交AB于N 则AM=EF，DN=GH 由（1）知，AM=DN ‎∴EF=GH，即 ‎（3）解：作AM∥EF交BC于M 作DN∥GH交AB于N 则AM=EF，DN=GH ‎∵EF⊥GH ‎∴AM⊥DN ‎∴∠AMB=90°﹣∠BAM=∠AND 又∵∠ABM=∠DAN=90°‎ ‎∴△ABM∽△DAN ‎∴‎ ‎∴．‎ 点评：‎ 本题中（1）（2）和（3‎ ‎）虽然所求不一样，但是解题思路和步骤是一样的，都是通过构建与已知和所求的条件相关的三角形，然后证明其全等或相似来得出线段间的相等或比例关系．‎ ‎　‎ ‎8．（2008•宁夏）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．‎ ‎（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；‎ ‎（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；‎ ‎（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．‎ 考点：‎ 正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；‎ ‎（2）过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，若△ADQ的面积是正方形ABCD面积的，则有S△ADQ=AD•QE=S正方形ABCD，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有解得AP值；‎ ‎（3）点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性质知，①当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时△ADQ是等腰三角形，②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=AC﹣AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：在正方形ABCD中，‎ 无论点P运动到AB上何处时，都有 AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，‎ ‎∴△ADQ≌△ABQ；‎ ‎（2）解法一：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，‎ 过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，‎ ‎∵在边长为4的正方形ABCD中，‎ ‎∴S正方形ABCD=16，‎ ‎∴AD×QE=S正方形ABCD=×16=，‎ ‎∴QE=，‎ ‎∵EQ∥AP，‎ ‎∴△DEQ∽△DAP，‎ ‎∴，即=，‎ 解得AP=2，‎ ‎∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；‎ 解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．‎ AD×QE=S正方形ABCD=×16=，‎ ‎∴QE=，‎ ‎∵点Q在正方形对角线AC上，‎ ‎∴Q点的坐标为（，），‎ ‎∴过点D（0，4），Q（，）两点的函数关系式为：y=﹣2x+4，‎ 当y=0时，x=2，‎ ‎∴P点的坐标为（2，0），‎ ‎∴AP=2时，即当点P运动到AB中点位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；‎ ‎（3）解：若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，‎ ‎①当AD=DQ时，则∠DQA=∠DAQ=45°‎ ‎∴∠ADQ=90°，P为C点，‎ ‎②当AQ=DQ时，则∠DAQ=∠ADQ=45°，‎ ‎∴∠AQD=90°，P为B，‎ ‎③AD=AQ（P在BC上），‎ ‎∴CQ=AC﹣AQ=BC﹣BC=（﹣1）BC ‎∵AD∥BC ‎∴=，即可得==1，‎ ‎∴CP=CQ=（﹣1）BC=4（﹣1）‎ 综上，P在B点，C点，或在CP=4（﹣1）处，△ADQ是等腰三角形．‎ 点评：‎ 本题利用了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质求解．‎ ‎　‎ ‎9．（2008•昌平区二模）如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′、CB′、BB′、CC′．‎ ‎（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；‎ ‎（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B′、C′为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．（不用证明）‎ 考点：‎ 菱形的判定；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型．‎ 分析：‎ 在（1）中，根据题意结合图形可以很容易发现BC′=CB′．‎ ‎（2）中BCB′C′为菱形，根据菱形的性质对角线互相垂直平分，而AC⊥BB′，AB⊥CC′，所以只要BB′与CC′相交于A点即可，即△ABC为直角三角形．‎ ‎（3）分情况讨论可以得出结果．‎ 解答：‎ 解：（1）猜想：BC′=CB′‎ ‎∵B′是点B关于直线AC的对称点 ‎∴AC垂直平分BB′‎ ‎∴BC=B′C 同理BC=BC′‎ ‎∴BC′=CB′‎ ‎（2）要使BCB′C′是菱形 根据菱形的性质，对角线互相垂直平分 ‎∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点 ‎∴AC垂直平分BB′AB垂直平分CC′‎ ‎∴BB′、CC′应该同时过A点 ‎∴∠BAC=90°‎ ‎∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个 ‎（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形 当A到BC的距离为时，‎ ‎∵∠ABC∠ACB=30°，∠BAD=∠CAD=60°，‎ ‎∠B′BA=∠BB′A=∠BAD=30°，∠C′CA=∠CC′A=∠CAD=30°，‎ ‎∴∠B′BC=∠B′CB=∠BB′C=60°，‎ ‎∴当A到BC的距离为时，△BB′C是等边三角形．‎ 当BC的中点及到BC的距离为的点除外时，‎ ‎∵∠BOC=B′OC′，OB=OC，OB′=OC′，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=∠OB'C'=∠OC′B′，‎ ‎∴BC∥B′C′，‎ ‎∵BC′不平行CB′BC′=CB′，‎ 四边形BCB′C′为等腰梯形．‎ 点评：‎ 本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．‎ ‎　‎ ‎10．（2007•常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论成立．（考生不必证明）‎ ‎（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．‎ ‎（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？‎ 考点：‎ 菱形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）借助中间比进行证明，根据平行线分线段成比例定理分别证明两个比都等于即可；‎ ‎（2）首先应画出两个不同的图形进行分析．构造30°的直角三角形，然后计算两条直角边的长，在两种情况中，GQ=16+3=19或16﹣3=13，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步根据比例式求得FG的长；‎ ‎（3）成立，根据（2）中的过程，可以分别求得左右两个比，从而证明结论．‎ 解答：‎ 解：（1）结论成立 证明：由已知易得FH∥AB，‎ ‎∴，‎ ‎∵FH∥GC，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵G在直线CD上，‎ ‎∴分两种情况讨论如下：‎ ‎①G在CD的延长线上时，DG=10，‎ 如图1，过B作BQ⊥CD于Q，‎ 由于四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，‎ ‎∴BC=AB=6，∠BCQ=60°，‎ ‎∴BQ=3，CQ=3，‎ ‎∴BG=．‎ 又由FH∥GC，可得，‎ 而△CFH是等边三角形，‎ ‎∴BH=BC﹣HC=BC﹣FH=6﹣FH，‎ ‎∴，‎ ‎∴FH=，‎ 由（1）知，‎ ‎∴FG=．‎ ‎②G在DC的延长线上时，CG=16，‎ 如图2，过B作BQ⊥CG于Q，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，‎ ‎∴BC=AB=6，∠BCQ=60°．‎ ‎∴BQ=3，CQ=3．‎ ‎∴BG==14．‎ 又由FH∥CG，可得，‎ ‎∴．‎ ‎∵BH=HC﹣BC=FH﹣BC=FH﹣6，‎ ‎∴FH=．‎ ‎∵FH∥CG，‎ ‎∴．‎ ‎∴BF=14×÷16=．‎ ‎∴FG=14+．‎ ‎（3）G在DC的延长线上时，，‎ ‎，‎ ‎∴成立．‎ 结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立．‎ 点评：‎ 证明比例式的时候，可以利用相似或利用平行线分线段成比例定理进行证明．‎ ‎　‎ ‎11．（2007•宜昌）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．‎ ‎（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；‎ ‎（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．‎ ‎①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；‎ ‎②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似．‎ 考点：‎ 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型；探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）四边形ABCE是菱形．由平移得到四边形ABCE是平行四边形，又AB=BC，可以推出四边形ABCE是菱形；‎ ‎（2）①四边形PQED的面积不发生变化．根据菱形的性质和已知条件可以求出菱形的面积，过A作AH⊥BD于H，再根据三角形的面积公式可以求出AH，由菱形的对称性知△PBO≌△QEO，所以BP=QE，现在可以得到S四边形PQED=S△BED，而S△BED的面积可以求出，所以四边形PQED的面积不发生变化．‎ ‎②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，即∠2=∠1，∴OP=OC=3，过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，根据相似三角形的对应线段成比例可以求出CG，而PB=BC﹣PC=BC﹣2CG，根据这个等式就可以求出BP的长．‎ 解答：‎ 解：（1）四边形ABCE是菱形．‎ ‎∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，‎ ‎∴EC∥AB，且EC=AB，‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形，‎ 又∵AB=BC，‎ ‎∴四边形ABCE是菱形；‎ ‎（2）①四边形PQED的面积不发生变化．‎ 方法一：∵ABCE是菱形，‎ ‎∴AC⊥BE，OC=AC=3，‎ ‎∵BC=5，‎ ‎∴BO=4，‎ 过A作AH⊥BD于H，（如图1）．‎ ‎∵S△ABC=BC×AH=AC×BO，‎ 即：×5×AH=×6×4，‎ ‎∴AH=．‎ 或∵∠AHC=∠BOC=90°，∠BCA公用，‎ ‎∴△AHC∽△BOC，‎ ‎∴AH：BO=AC：BC，‎ 即：AH：4=6：5，‎ ‎∴AH=．‎ 由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，‎ ‎∴BP=QE，‎ ‎∴S四边形PQED=（QE+PD）×QR=（BP+PD）×AH=BD×AH ‎=×10×=24．‎ 方法二：由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，‎ ‎∴S△PBO=S△QEO，‎ ‎∵△ECD是由△ABC平移得到的，‎ ‎∴ED∥AC，ED=AC=6，‎ 又∵BE⊥AC，‎ ‎∴BE⊥ED，‎ ‎∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED ‎=×BE×ED=×8×6=24．‎ ‎②方法一：如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，‎ ‎∵∠2是△OBP的外角，‎ ‎∴∠2＞∠3，‎ ‎∴∠2不与∠3对应，‎ ‎∴∠2与∠1对应，‎ 即∠2=∠1，‎ ‎∴OP=OC=3‎ 过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，‎ ‎∴△OGC∽△BOC，‎ ‎∴CG：CO=CO：BC，‎ 即：CG：3=3：5，‎ ‎∴CG=，‎ ‎∴PB=BC﹣PC=BC﹣2CG=5﹣2×=．‎ 方法二：如图3，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，‎ ‎∵∠2是△OBP的外角，‎ ‎∴∠2＞∠3，‎ ‎∴∠2不与∠3对应，‎ ‎∴∠2与∠1对应，‎ ‎∴QR：BO=PR：OC，即：：4=PR：3，‎ ‎∴PR=，‎ 过E作EF⊥BD于F，设PB=x，则RF=QE=PB=x，‎ DF==，‎ ‎∴BD=PB+PR+RF+DF=x++x+=10，x=．‎ 方法三：如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合，‎ 由菱形的对称性知，O为PQ的中点，‎ ‎∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线，‎ ‎∴CO=PO，‎ ‎∴∠OPC=∠OCP，‎ 此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，‎ ‎∴PR：CO=PQ：BC，‎ 即PR：3=6：5，‎ ‎∴PR=‎ ‎∴PB=BC﹣PR=5﹣=．‎ 点评：‎ 此题主要考查了图形变换，把图形的变换放在平行四边形，菱形的背景之中，利用特殊四边形的性质探究图形变换的规律．‎ ‎　‎ ‎12．（2007•潍坊）已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．‎ ‎（1）求证：四边形AEPM为菱形；‎ ‎（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？‎ 考点：‎ 菱形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，在本题中，可证出四边形AEPM为平行四边形，关键是找一组邻边相等，∵AD平分∠BAC再者PE∥AM所以可证∠EAP=∠EPA即AE=EP，所以为菱形；‎ ‎（2）S菱形AEPM=EP•h，S平行四边形EFBM=EF•h，若菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半，则EP=EF，所以，P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵EF∥AB，PM∥AC，‎ ‎∴四边形AEPM为平行四边形．‎ ‎∵AB=AC，AD平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAD=∠BAD，‎ ‎∵AD⊥BC（三线合一的性质），‎ ‎∵∠BAD=∠EPA，‎ ‎∴∠CAD=∠EPA，‎ ‎∵EA=EP，‎ ‎∴四边形AEPM为菱形．‎ ‎（2）解：P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM ‎∵四边形AEPM为菱形，‎ ‎∴AD⊥EM，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴EM∥BC，‎ 又∵EF∥AB，‎ ‎∴四边形EFBM为平行四边形．‎ 作EN⊥AB于N，则S菱形AEPM=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBM．‎ 点评：‎ 此题主要考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，题型比较新颖．‎ ‎　‎ ‎13．（2007•永州）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．‎ ‎（1）求DC的长；‎ ‎（2）E为梯形内一点，F为梯形外一点，若BF=DE，∠FBC=∠CDE，试判断△ECF的形状，并说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的长．‎ 考点：‎ 矩形的判定；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）要求DC的长，过A点作AG⊥DC，垂足为G，只需求DG+CG，在直角三角形AGD中，可求DG=5，所以DC=10；‎ ‎（2）由已知可证△DEC≌△BFC，得EC=CF，∠ECD=∠FCB，由∠BCE+∠ECD=90°，得∠ECF=90°，即△ECF是等腰直角三角形；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过F点作FH⊥BE，要求DE的长，只需求BF的长，在直角三角形BGF中，FG=CE=EG，由勾股定理可求．‎ 解答：‎ 解：（1）过A点作AG⊥DC，垂足为G，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BCD=∠ABC=90°，‎ ‎∴四边形ABCG为矩形，‎ ‎∴CG=AB=5，AG=BC=10，‎ ‎∵tan∠ADG==2，‎ ‎∴DG=5，‎ ‎∴DC=DG+CG=10；‎ ‎（2）∵DE=BF，∠FBC=∠CDE，BC=DC，‎ ‎∴△DEC≌△BFC，‎ ‎∴EC=CF，∠ECD=∠FCB，‎ ‎∵∠BCE+∠ECD=90°，∠ECF=90°，‎ ‎∴△ECF是等腰直角三角形；‎ ‎（3）过F点作FH⊥BE，‎ ‎∵BE⊥EC，CF⊥CE，CE=CF，‎ ‎∴四边形ECFH是正方形，‎ ‎∵BE：EC=4：3，∠BEC=90°，‎ ‎∴BC2=BE2+EC2，‎ ‎∴EC=6，BE=8，‎ ‎∴BH=BE﹣EH=2，‎ ‎∴DE=BF=．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及三角函数和勾股定理的综合运算．‎ ‎　‎ ‎14．（2007•常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．‎ ‎（1）当DG=2时，求△FCG的面积；‎ ‎（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；‎ ‎（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）要求△FCG的面积，可以转化到面积易求的三角形中，通过证明△DGH≌△CFG得出．‎ ‎（2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得；‎ ‎（3）若S△FCG=1，由S△FCG=6﹣x，得x=5，此时，在△DGH中，HG=．相应地，在△AHE中，AE=，即点E已经不在边AB上．故不可能有S△FCG=1．‎ 解答：‎ 解：（1）∵正方形ABCD中，AH=2，‎ ‎∴DH=4，‎ ‎∵DG=2，‎ ‎∴HG=2，即菱形EFGH的边长为2．‎ 在△AHE和△DGH中，‎ ‎∵∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=2，‎ ‎∴△AHE≌△DGH（HL），‎ ‎∴∠AHE=∠DGH，‎ ‎∵∠DGH+∠DHG=90°，‎ ‎∴∠DHG+∠AHE=90°，‎ ‎∴∠GHE=90°，即菱形EFGH是正方形，‎ 同理可以证明△DGH≌△CFG，‎ ‎∴∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，‎ 从而S△FCG=×4×2=4．（2分）‎ ‎（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AEG=∠MGE，‎ ‎∵HE∥GF，‎ ‎∴∠HEG=∠FGE，‎ ‎∴∠AEH=∠MGF．‎ 在△AHE和△MFG中，‎ ‎∴△AHE≌△MFG（AAS），‎ ‎∴FM=HA=2，‎ 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．‎ 因此S△FCG=×2×（6﹣x）=6﹣x．（6分）‎ ‎（3）若S△FCG=1，由（2）知S△FCG=6﹣x，得x=5，‎ ‎∴在△DGH中，HG=，‎ ‎∴在△AHE中，AE=，即点E已经不在边AB上．‎ ‎∴不可能有S△FCG=1．（9分）‎ 另法：∵点G在边DC上，‎ ‎∴菱形的边长至少为DH=4，‎ 当菱形的边长为4时：‎ ‎∵点E在AB边上且满足AE=2，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，‎ ‎∴最大值为HE=2．‎ 此时，DG=2，故0≤x≤2．‎ ‎∵函数S△FCG=6﹣x的值随着x的增大而减小，‎ ‎∴当x=2时，S△FCG取得最小值为6﹣2．‎ 又∵6﹣2=1，‎ ‎∴△FCG的面积不可能等于1．（9分）‎ 点评：‎ 解答本题要充分利用正方形的特殊性质．搞清楚菱形、正方形中的三角形的三边关系，同时考查了全等三角形的判定和性质．‎ ‎　‎ ‎15．（2007•海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CDE；‎ ‎（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；‎ ‎（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 正方形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据SAS可证△ADE≌△CDE；‎ ‎（2）根据（1）的结论和图中各角的关系证明∠G=∠6，∠5=∠7即可；‎ ‎（3）要使△ECG为等腰三角形，必须CE=CG，根据已知求得∠3的度数，再根据正切值进行计算求得．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴DA=DC，∠1=∠2=45°，DE=DE，‎ ‎∴△ADE≌△CDE．‎ ‎（2）证明：∵△ADE≌△CDE，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∵CH⊥CE，‎ ‎∴∠4+∠5=90°，‎ 又∵∠6+∠5=90°，‎ ‎∴∠4=∠6=∠3，‎ ‎∵AD∥BG，‎ ‎∴∠G=∠3，‎ ‎∴∠G=∠6，‎ ‎∴CH=GH，‎ 又∵∠4+∠5=∠G+∠7=90°，‎ ‎∴∠5=∠7，‎ ‎∴CH=FH，‎ ‎∴FH=GH．‎ ‎（3）解：存在符合条件的x值此时，‎ ‎∵∠ECG＞90°，要使△ECG为等腰三角形，必须CE=CG，‎ ‎∴∠G=∠8，‎ 又∵∠G=∠4，‎ ‎∴∠8=∠4，‎ ‎∴∠9=2∠4=2∠3，‎ ‎∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°，‎ ‎∴∠3=30°，‎ ‎∴x=DF=1×tan30°=．‎ 点评：‎ 此题综合性较强，主要考查了全等三角形的判定、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的判定．‎ ‎　‎ ‎16．（2007•哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．‎ ‎（1）求证：EF+AC=AB；‎ ‎（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；压轴题；动点型；探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）过F作FM⊥AB于点M，首先证明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．‎ ‎（2）连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，证明Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB．‎ ‎（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E．‎ ‎∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，‎ ‎∵AF平分∠BAC，‎ ‎∴EF=MF，‎ 又∵AF=AF，‎ ‎∴Rt△AMF≌Rt△AEF，‎ ‎∴AE=AM，‎ ‎∵∠MFB=∠ABF=45°，‎ ‎∴MF=MB，MB=EF，‎ ‎∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．‎ ‎（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB 证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，‎ ‎∵A1F1平分∠BA1C1，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，‎ 又∵A1F1=A1F1，∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，‎ ‎∴A1E1=A1P，‎ 同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，‎ ‎∴C1Q=C1E1，‎ 由题意：A1A=C1C，‎ ‎∴A1B+BC1=AB+A1A+BC﹣C1C=AB+BC=2AB，‎ ‎∵PB=PF1=QF1=QB，‎ ‎∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，‎ 即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，‎ ‎∴E1F1+A1C1=AB．‎ ‎（3）解：设PB=x，则QB=x，‎ ‎∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，‎ Rt△A1BC1中，A1B2+BC12=A1C12，‎ 即（3+x）2+（2+x）2=52，‎ ‎∴x1=1，x2=﹣6（舍去），‎ ‎∴PB=1，‎ ‎∴E1F1=1，‎ 又∵A1C1=5，‎ 由（2）的结论：E1F1+A1C1=AB，‎ ‎∴AB=，‎ ‎∴BD=．‎ 点评：‎ 本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识．‎ ‎　‎ ‎17．（2006•河南）如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF∥AB交直线DE于F．设CD=x．‎ ‎（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；‎ ‎（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？‎ 考点：‎ 菱形的判定；一元二次方程的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）ED、AC同时垂直于BC，因此EF∥AC，又有CF∥AB，那么四边形ACFE是个平行四边形，要想使其为菱形，就必须让CF=AC=2，然后用x表示出，CF、DF的值．在Rt△CDF中用勾股定理求出x的值即可．‎ ‎（2）由于四边形ACDE是个直角梯形，可根据其面积公式求出关于x的一元二次方程，然后求出x的值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ 又∵DE⊥BC，‎ ‎∴EF∥AC 又∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形EACF是平行四边形．‎ 当CF=AC时，四边形ACFE是菱形．‎ 此时，CF=AC=2，BD=3﹣x，tanB=，‎ ‎∵tanB=．‎ ‎∴ED=BD•tanB=（3﹣x）．‎ ‎∴DF=EF﹣ED=2﹣（3﹣x）=x．‎ 在Rt△CDF中，由勾股定理得CD2+DF2=CF2，‎ ‎∴x2+（x）2=22，‎ ‎∴x=±（负值不合题意，舍去）．‎ 即当x=时，四边形ACFE是菱形．‎ ‎（2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S梯形EACD=DC•（DE+AC）=×（4﹣x）•x=﹣x2+2x，‎ 依题意，得﹣x2+2x=2．‎ 整理，得x2﹣6x+6=0．‎ 解之，得x1=3﹣，x2=3+．‎ ‎∵x=3+＞BC=3，‎ ‎∴x=3+舍去．‎ ‎∴当x=3﹣时，梯形EACD的面积等于2．‎ 点评：‎ 本题的关键是如何判定四边形EFCA是菱形，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．‎ ‎　‎ ‎18．（2006•温州）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连接AM．设AP=x ‎（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由；‎ ‎（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等？‎ 考点：‎ 菱形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由题可知，四边形PMCN是一个▱，而要想成为一个菱形，则必须有邻边相等，如PM=MC，而PM和MC同在一直角三角形中，且PM为斜边＞直角边MC，因此不会为菱形；‎ ‎（2）S△ABM=x，由巳知可得四边形PMCN是平行四边形，则S四边形PMCN=（2﹣x）2‎ 解得x1=1，x2=4而x2=4不符合题意，舍去∴当x=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等．‎ 解答：‎ 解：（1）四边形PMCN不可能是菱形．‎ 点P在运动过程中，△PCM始终是一个直角三角形 斜边PM大于直角边MC ‎∴四边形PMCN不可能是菱形 ‎（2）∵AC=BC=2，AB∥PM，‎ ‎∴AP=BM=x，‎ ‎∴S△ABM=×BM×AC=×x×2=x，‎ ‎∵由巳知可得四边形PMCN是平行四边形，‎ ‎∴S四边形PMCN=MC•PC=（2﹣x）2‎ 解得x1=1，x2=4‎ x2=4不符合题意，舍去 当x=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形和菱形的概念和性质，难易程度适中．‎ ‎　‎ ‎19．（2006•沈阳）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．‎ ‎（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）‎ ‎（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．‎ 考点：‎ 正方形的性质；直角三角形全等的判定；正方形的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据正方形的性质证明△DEC≌△AFD即可知道结论成立．‎ ‎（2）由已知得四边形ABCD为正方形，证明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；进而得出AF⊥DE；‎ ‎（3）首先根据题意证明四边形MNPQ是菱形，然后又因为AF⊥DE，得出四边形MNPQ为正方形．‎ 解答：‎ 解：（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，‎ ‎∴△DEC≌△AFD；‎ ‎∴结论①、②成立（1分）‎ ‎（2）结论①、②仍然成立．理由为：‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，‎ 在Rt△ADF和Rt△ECD中 ‎，‎ ‎∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），（3分）‎ ‎∴AF=DE，‎ ‎∴∠DAF=∠CDE，‎ ‎∵∠ADE+∠CDE=90°，‎ ‎∴∠ADE+∠DAF=90°，‎ ‎∴∠AGD=90°，‎ ‎∴AF⊥DE；（5分）‎ ‎（3）结论：四边形MNPQ是正方形（6分）‎ 证明：∵AM=ME，AQ=QD，‎ ‎∴MQ∥DE且MQ=DE，‎ 同理可证：PN∥DE，PN=DE；MN∥AF，MN=AF；PQ∥AF，PQ=AF；‎ ‎∵AF=DE，‎ ‎∴MN=NP=PQ=QM，‎ ‎∴四边形MNPQ是菱形，（8分）‎ 又∵AF⊥DE，‎ ‎∴∠MQP=90°，‎ ‎∴四边形MNPQ是正方形．（10分）‎ 点评：‎ 本题考查的是全等三角形的判定，正方形的判定以及正方形的性质，难度一般．‎ ‎　‎ ‎20．（2006•成都）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．‎ ‎（1）设DE=m（0＜m＜12），试用含m的代数式表示的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长．‎ 考点：‎ 正方形的性质；平行线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）通过构建相似三角形来求解，过点H作MN∥AB，分别交AD，BC于M，N两点．那么MH就是三角形ADE的中位线，MH=m，那么HN=12﹣m，只要证出两三角形相似，就可表示出FH：HG的值，已知了一组对顶角，一组直角，那么两三角形就相似，FH：HG=MH：NH，也就能得到所求的值．‎ ‎（2）可通过构建相似三角形求解，过点H作HK⊥AB于点K，那么HN=KB，MH=AK，根据FH：HG=1：2，就能求出m的值，也就求出了MH，HN的长，又知道了HK的长，那么通过三角形AKH和HKP相似我们可得出关于AK，KH，KP的比例关系，就可求出KP的长，然后BP=KP﹣KB就能求出BP的长了．‎ 解答：‎ 解：（1）过点H作MN∥AB，分别交AD，BC于M，N两点，‎ ‎∵FP是线段AE的垂直平分线，‎ ‎∴AH=EH，‎ ‎∵MH∥DE，‎ ‎∴Rt△AHM∽Rt△AED，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴AM=MD，即点M是AD的中点，‎ ‎∴AM=MD=6，‎ ‎∴MH是△ADE的中位线，MH=DE=m，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴四边形ABNM是矩形，‎ ‎∵MN=AD=12，‎ ‎∴HN=MN﹣MH=12﹣m，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴Rt△FMH∽Rt△GNH，‎ ‎∴，‎ 即（0＜m＜12）；‎ ‎（2）过点H作HK⊥AB于点K，则四边形AKHM和四边形KBNH都是矩形．‎ ‎∵，‎ 解得m=8，‎ ‎∴MH=AK=m=×8=4，HN=KB=12﹣m=12﹣m=8，KH=AM=6，‎ ‎∵Rt△AKH∽Rt△HKP，‎ ‎∴，即KH2=AK•KP，‎ 又∵AK=4，KH=6，‎ ‎∴62=4•KP，解得KP=9，‎ ‎∴BP=KP﹣KB=9﹣8=1．‎ 点评：‎ 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，要充分利用好正方形的性质，通过已知和所求的条件构建出相似三角形来求解是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（2006•汾阳市）如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．‎ ‎（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；‎ ‎（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；‎ ‎（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；‎ ‎（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题 考点：‎ 正方形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型；开放型．‎ 分析：‎ 连接DF，易得△FEC∽△FBA，根据相似三角形的性质，按前两个小题不同的要求可得△CEF与△ADF的面积的比．‎ ‎（1）中为；‎ ‎（2）中为；进而可得△ABF与四边形ADEF的面积之比；‎ ‎（3）分析可得规律有当CE：ED=n：1时，可得答案；‎ ‎（4）根据（3）的结论，提出类似的问题即可．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，连接DF．‎ 因为点E为CD的中点，所以．‎ 据题意可证△FEC∽△FBA，所以．（2分）‎ 因为S△DEF=S△CEF，S△ABF=S△ADF，（2分）‎ 所以．（4分）‎ ‎（2）如图2，连接DF．‎ 与（1）同理可知，，‎ S△ABF=S△ADF，‎ 所以．（8分）‎ ‎（3）当CE：ED=3：1时，．（9分）‎ 当CE：ED=n：1时，．（12分）‎ ‎（4）提问举例：‎ ‎①当点E运动到CE：ED=5：1时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；‎ ‎②当点E运动到CE：ED=2：3时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；‎ ‎③当点E运动到CE：ED=m：n（m，n是正整数）时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少．‎ 评分说明：提出类似①的问题给1分，类似②的问题给3分，类似③的问题给4分；附加分最多4分，可计入总分，但总分不能超过12分．‎ 点评：‎ 解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．‎ ‎　‎ ‎22．（2005•资阳）阅读以下短文，然后解决下列问题：‎ 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．‎ ‎（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；‎ ‎（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；‎ ‎（3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．‎ 考点：‎ 矩形的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；阅读型；新定义．‎ 分析：‎ ‎（1）类似“友好矩形”的定义，即可写出“友好平行四边形”的定义：‎ 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”；‎ ‎（2）根据定义，则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边，过第三个顶点作它的对边，从而画出矩形．根据每个矩形和直角三角形的面积的关系，比较两个矩形的面积大小；‎ ‎（3）分别以三角形的一边当矩形的另一边，过第三个顶点作矩形的对边，从而画出矩形，根据三角形和矩形的面积公式，可知三个矩形的面积相等，设矩形的面积是S，三角形的三条边分别是a，b，c．根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边，进一步求得其周长，运用求差法比较它们的周长的大小．‎ 解答：‎ 解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”． ‎ ‎（2）此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAD、ABEF． ‎ 易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，‎ ‎∴△ABC的“友好矩形”的面积相等． ‎ ‎（3）此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK，‎ 其中的矩形ABHK的周长最小． ‎ 证明如下：‎ 易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，‎ ‎△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：‎ L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c，‎ ‎∴L1﹣L2=（+2a）﹣（+2b）=﹣（a﹣b）+2（a﹣b）=2（a﹣b），‎ 而ab＞S，a＞b，‎ ‎∴L1﹣L2＞0，即L1＞L2，‎ 同理可得，L2＞L3，‎ ‎∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．‎ 点评：‎ 理解该题中的新定义，能够根据定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用求差法比较数的大小．‎ ‎　‎ ‎23．（2005•重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a=PM•PE，b=PN•PF，解答下列问题：‎ ‎（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；‎ ‎（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数k，使得？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 矩形的性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）当四边形ABCD是矩形时，对角线BD把矩形ABCD分成两个全等三角形，即S△ABD=S△BCD，又MN∥AD，EF∥CD，所以四边形MBFP和四边形PFCN均为矩形，即S△MBF=S△BFP，S△EPD=S△NPD，根据求差法，可知S四边形AMPE=S四边形PFCNA，即a=b；‎ ‎（2）（1）的方法同时也适用于第二问；‎ ‎（3）由（1）（2）可知，任意一条过平行四边形对角线交点的直线将把平行四边形分成面积相等的两部分，利用面积之间的关系即可解答．‎ 解答：‎ 解：（1）∵ABCD是矩形，‎ ‎∴MN∥AD，EF∥CD，‎ ‎∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形，‎ ‎∴a=PM•PE=S矩形PEAM，b=PN•PF=S矩形PNCF，‎ 又∵BD是对角线，‎ ‎∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC，‎ ‎∵S矩形PEAM=S△BDA﹣S△PMB﹣S△PDE，‎ S矩形PNCF=S△DBC﹣S△BFP﹣S△DPN，‎ ‎∴S矩形PEAM=S矩形PNCF，‎ ‎∴a=b；‎ ‎（2）成立，理由如下：‎ ‎∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD ‎∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形 根据（1）可证S平行四边形PEAM=S平行四边形PNCF，‎ 过E作EH⊥MN于点H，‎ 则sin∠MPE=EH=PE•sin∠MPE，‎ ‎∴S▱PEAM=PM•EH=PM•PEsin∠MPE，‎ 同理可得S▱PNCF=PN•PFsin∠FPN，‎ 又∵∠MPE=∠FPN=∠A，‎ ‎∴sin∠MPE=sin∠FPN，‎ ‎∴PM•PE=PN•PF，‎ 即a=b；‎ ‎（3）方法1：存在，理由如下：‎ 由（2）可知S▱PEAM=AE•AMsinA，S▱ABCD=AD•ABsinA，‎ ‎∴=，‎ 又∵，即，，‎ 而，，‎ ‎∴‎ 即2k2﹣5k+2=0，‎ ‎∴k1=2，．‎ 故存在实数k=2或，使得；‎ 方法2：存在，理由如下：‎ 连接AP，设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为S1、S2、S3、S4，即，‎ ‎（8分）‎ 即∴‎ ‎∴‎ 即 ‎∴2k2﹣5k+2=0（9分）‎ ‎∴k1=2，‎ 故存在实数k=2或，使得．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的性质，在实际中的应用，难易程度适中．‎ ‎　‎ ‎24．（2005•大连）如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．‎ 探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．‎ 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；‎ ‎（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．‎ 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．‎ ‎①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．‎ 附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据观察它们的关系可能是MD=MF，MD⊥MF．证明思路：可以通过构建三角形来证明．延长DM交CE于点N，连接FD、FN．根据等腰直角三角形的性质，我们可以通过证明三角形DFN为等腰直角三角形，M为其斜边的中点来实现．那么我们要证明三角形DFN是个等腰直角三角形，且DM=MN．即要证明DF=FN，DM=MN，∠DFN=90度．如果要证明DM=MN，那么可通过证明三角形ADM和MNE全等来实现．由于AD∥BE，那么∠1=∠2，M为AE中点，AM=ME，对顶角∠3=∠4，根据ASA可得出△ADM≌△ENM，那么可得出MN=DM，AD=NE．下一步证明△DCF和△FNE全等即可．现在可得出的两个三角形中相等的条件是：AD=DC=NE，CF=EF（同为正方形CGEF的边），只要证明出∠DCF=∠FEN即可．我们发现CE时正方形CGEF的对角线，那么∠FCE=∠FEC=45°，DC⊥CE，那么∠DCF=90°﹣∠FCE=45°=∠FEC，这样根据CD=NE，CF=EF，∠DCF=∠FEN可根据SAS得出△DCF和△FNE全等那么DF=FN，∠5=∠6，∠6+∠CFN=∠CFE=90°，那么∠5+∠CFN也应该是90°，又由上面证得的DM=MN，那么我们可得出DFN是个等腰直角三角形，且M是斜边DN的中点，因此可得出MD=MF，MD⊥MF．‎ 附加题：证明思路同上，只不过辅助线的作法略有不同，本题过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．还是通过证明DFN是个等腰直角三角形且M是DN的中点来实现．‎ 解答：‎ 证明：关系是：MD=MF，MD⊥MF 如图，延长DM交CE于点N，连接FD、FN ‎∵正方形ABCD，‎ ‎∴AD∥BE，AD=DC，‎ ‎∴∠1=∠2‎ 又∵AM=EM，∠3=∠4‎ ‎∴△ADM≌△ENM ‎∴AD=EN，MD=MN ‎∵AD=DC，∴DC=NE 又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°‎ 又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°．∴∠DCF=∠NEF=45°‎ ‎∴△FDC≌△FNE ‎∴FD=FN，∠5=∠6‎ ‎∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°‎ 又∵DM=MN=DN，‎ ‎∴M为DN的中点，‎ ‎∴FM=DN，‎ ‎∴MD=MF，DM⊥MF 思路一：∵四边形ABCD、CGEF是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°‎ CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，∠FCE=∠FEC=45°‎ ‎∴∠DCF=∠FEC 思路二：‎ 延长DM交CE于N，∵四边形ABCD、CGEF是正方形 ‎∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM 又∵∠DMA=∠NME，AM=EM，∴△ADM≌△ENM 思路三：∵正方形CGEF，‎ ‎∴∠FCE=∠FEC=45°‎ 又∵正方形ABCD，‎ ‎∴∠DCB=90°．‎ ‎∴∠DCF=180°﹣∠DCB﹣∠FCE=45°，∠DCF=∠FEC=45°‎ 选取条件①‎ 证明：如图 ‎∵正方形ABCD，‎ ‎∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2‎ ‎∵AD=NE，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM ‎∴MD=MN 又∵AD=DC，‎ ‎∴DC=NE 又∵正方形CGEF，‎ ‎∴FC=FE，∠FCE=∠FEN=45°．‎ ‎∴∠FCD=∠FEN=45°‎ ‎∴△FDC≌△FNE ‎∴FD=FN，∠5=∠6，‎ ‎∴∠DFN=∠CFE=90°‎ ‎∴MD=MF，MD⊥MF 选取条件②‎ 证明：如图，‎ 延长DM交FE于N ‎∵正方形ABCD、CGEF ‎∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE．‎ ‎∴∠1=∠2‎ 又∵MA=ME，∠3=∠4，‎ ‎∴△AMD≌△EMN ‎∴MD=MN，AD=EN．‎ ‎∵AD=DC，‎ ‎∴DC=NE 又∵FC=FE，‎ ‎∴FD=FN 又∵∠DFN=90°，‎ ‎∴FM⊥MD，MF=MD．‎ 选取条件③‎ 证明：如图，‎ 延长DM交FE于N．‎ ‎∵正方形ABCD、CGEF ‎∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE ‎∴∠1=∠2‎ 又∵MA=ME，∠3=∠4，‎ ‎∴△AMD≌△EMN ‎∴AD=EN，MD=MN．‎ ‎∵CF=2AD，EF=2EN ‎∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，‎ ‎∴MD=MF，MD⊥MF 附加题：‎ 证明：如图 过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN 则∠ADC=∠H，∠3=∠4．‎ ‎∵AM=ME，∠1=∠2，‎ ‎∴△ADM≌△ENM ‎∴DM=NM，AD=EN．‎ ‎∵正方形ABCD、CGEF ‎∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，CG∥FE ‎∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE ‎∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°‎ ‎∴∠DCF=∠5=∠NEF ‎∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF ‎∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．‎ ‎∵∠CFE=90°‎ ‎∴∠DFN=90°．‎ ‎∴DM=FM，DM⊥FM．‎ 点评：‎ 本题考查的全等三角形的判定和正方形的性质的综合运用，本题中的难点是辅助线的作法，作好辅助线找对解题的方向是本题解答的关键所在．‎ ‎　‎ ‎25．（2005•湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=　　．（结果不取近似值）‎ 考点：‎ 正方形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 易证△ABG∽△DBF，可得BD：AB=BF：BG=，从而得出结果．‎ 解答：‎ 解：连接BD，交GF于H；连接BF．‎ ‎∵四边形ABCD与BEFG是正方形，‎ ‎∴BD：AB=BF：BG=，∠ABD=∠GBF=45°，‎ ‎∴∠ABG=∠DBF，‎ ‎∴△ABG∽△DBF，‎ ‎∴=．‎ 点评：‎ 解答本题要充分利用正方形的特殊性质．考查了相似三角形的判定和性质．‎ ‎　‎ ‎26．（2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）． ‎（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．‎ ‎（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？‎ ‎（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 考点：‎ 正方形的性质；矩形的性质；梯形．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；探究型．‎ 分析：‎ 正方形，矩形，平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形，它们的面积关系，就要看底边的关系了，由于AE+EB=CD，所以S△ADE+S△BCE=S△CDE在这三个图形中都成立；梯形不具备这一特征，就不一定成立．‎ 解答：‎ 解：①S△ADE+S△BCE=S△CDE 方法1：同底同高 S△ADE+S△BCE=．‎ 方法2：因为过E作EF∥BC交DC于F，则四边形AEFD和EBCF是矩形 所以S△AED=S△EFD，S△EBC=S△EFC， 所以S△ADE+S△BCE=S△EFD+S△EFC=S△DEC．‎ ‎②四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上 当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立．‎ ‎③当四边形ABCD是梯形时，①中结论当E点为AB中点时成立，其它情况不成立不成立．‎ 理由如下：‎ 设S△ADE=S1，S△BCE=S2，S△DEC=S3，‎ 梯形ABCD上底为a，下底为b面积为S，如图．‎ 则=‎ 如果S△ADE+S△BCE=S△DEC，则有，a（h1﹣h2）=b（h1﹣h2）．‎ 如果h1=h2，则E为AB中点，如果h1≠h2，则a=b，四边形ABCD是平行四边形．‎ 点评：‎ 解答本题要充分利用正方形、矩形，平行四边形的对边相等的性质；观察图形的底与高的关系，利用等底，等高的两个三角形面积相等，确定三角形的面积关系．‎ ‎　‎ ‎27．（2005•深圳校级自主招生）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．‎ 探究：设A、P两点间的距离为x．‎ ‎（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；‎ ‎（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 代数几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）PQ=PB，过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，可以证明Rt△MBP≌Rt△NPQ；‎ ‎（2）S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ分别表示出△PBC于△PCQ的面积就可以．‎ ‎（3）△PCQ可能成为等腰三角形．①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQ=QC，‎ ‎②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，就可以用x表示出面积．‎ 解答：‎ 解：（1）PQ=PB，（1分）‎ 过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，‎ 在正方形ABCD中，AC为对角线，‎ ‎∴AM=PM，‎ 又∵AB=MN，‎ ‎∴MB=PN，‎ ‎∵∠BPQ=90°，‎ ‎∴∠BPM+∠NPQ=90°；‎ 又∵∠MBP+∠BPM=90°，‎ ‎∴∠MBP=∠NPQ，‎ 在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，‎ ‎∵‎ ‎∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）‎ ‎∴PB=PQ．‎ ‎（2）∵S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，‎ ‎∵AP=x，‎ ‎∴AM=x，‎ ‎∴CQ=CD﹣2NQ=1﹣x，‎ 又∵S△PBC=BC•BM=•1•（1﹣x）=﹣x，‎ S△PCQ=CQ•PN=（1﹣x）•（1﹣x），‎ ‎=﹣+，‎ ‎∴S四边形PBCQ=﹣x+1．（0≤x≤）．（4分）‎ ‎（3）△PCQ可能成为等腰三角形．‎ ‎①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，‎ PQ=QC，此时，x=0．（5分）‎ ‎②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，（6分）‎ 有：QN=AM=PM=x，CP=﹣x，CN=CP=1﹣x，CQ=QN﹣CN=x﹣（1﹣x）=x﹣1，‎ ‎∴当﹣x=x﹣1时，x=1．（7分）．‎ 点评：‎ 此题主要考查正方形及直角三角形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．‎ ‎　‎ ‎28．（2004•贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．‎ ‎（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；‎ ‎（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；‎ ‎（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；‎ ‎（4）求四边形A5B5C5D5的周长．‎ 考点：‎ 矩形的判定；三角形中位线定理．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由A1D1分别是△ABD的中位线，B1C1是△CBD的中位线知，A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD，故四边形A1B1C1D1是平行四边形，由AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1知，四边形A1B1C1D1是矩形；‎ ‎（2）由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，故矩形A1B1C1D1的面积为12，可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半，为6；‎ ‎（3）由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为；‎ ‎（4）由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形A5B5C5D5的边长，再求得它的周长．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，‎ ‎∴A1D1是△ABD的中位线 ‎∴A1D1∥BD，A1D1=BD，‎ 同理：B1C1∥BD，B1C1=BD ‎∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD ‎∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．‎ ‎∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，‎ ‎∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°‎ ‎∴四边形A1B1C1D1是矩形；‎ ‎（2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，‎ 得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；‎ ‎（3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，‎ 故四边形AnBnCnDn的面积为；‎ ‎（4）解：方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3．‎ ‎∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1‎ ‎∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则，‎ 解得 ‎∴‎ ‎∴矩形A5B5C5D5的周长=‎ 方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积 ‎=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2‎ 即：12=（矩形A5B5C5D5的周长）2：142‎ ‎∴矩形A5B5C5D5的周长=．‎ 点评：‎ 本题利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方求解．‎ ‎　‎ ‎29．（2004•无为县）（1）如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，易知AC⊥BD，=；‎ ‎（2）如图（2），若点E是正方形ABCD的边CD的中点，即，过D作DG⊥AE，分别交AC、BC于点F、G．求证：；‎ ‎（3）如图（3），若点P是正方形ABCD的边CD上的点，且（n为正整数），过点D作DN⊥AP，分别交AC、BC于点M、N，请你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再证明你猜想的结论．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（2）由同角的余角知，∠1=∠2，由ASA证得△ADE≌△DCG⇒CG=DE，由BC∥AD⇒，故有；‎ ‎（3）同理猜想得到，有．‎ 解答：‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AD=DC，‎ ‎∴∠1+∠ADG=90°，‎ 又∵DG⊥AE，‎ ‎∴∠2+∠ADG=90°，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵AD=DC，∠1=∠2，∠ADE=∠DCG=90°，‎ ‎∴△ADE≌△DCG（ASA），‎ ‎∴CG=DE，‎ 又∵E为BC中点，‎ ‎∴CG=DE=DC，‎ ‎∴CG=AD，‎ ‎∵BC∥AD，‎ ‎∴，‎ ‎∴；（8分）‎ ‎（3）猜想；（10分）‎ 同理可证，‎ 又∵BC∥AD，‎ ‎∴，‎ ‎∴．（14分）‎ 点评：‎ 本题主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定和性质和平行线的性质进行求解．‎ ‎　‎ ‎30．（2004•佛山）如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．‎ ‎（1）如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=ha，EFGH是△ABC的内接正方形．设正方形EFGH的边长是x，求证：；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；‎ ‎（3）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．‎ 考点：‎ 正方形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由HG∥BC，可得△AHG∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果；‎ ‎（2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果；‎ ‎（3）正方形的一边落在三角形的最短一边BC上的内接正方形的面积最大．‎ 解答：‎ 解：（1）∵HG∥BC，‎ ‎∴△AHG∽△ABC，‎ ‎∴AM：AD=HG：BC，‎ ‎∴（ha﹣x）：ha=x：a，‎ a（ha﹣x）=hax，‎ aha﹣ax=hax，‎ ‎（a+ha）x=aha，‎ ‎∴；‎ ‎（2）根据（1）的结果，当图②的情况，BC==5，则AD=，‎ 此时正方形的边长是：=；‎ 当图③时，正方形的边长是=，‎ 故③的情况面积大．‎ ‎（3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，则S=aha，则x=，‎ 则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时，a+ha最小，则x最大，内接正方形的面积最大．‎ 点评：‎ 本题探讨合理利用三角形的边角余料，提高材料的利用率．‎ ‎　‎