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  • 2021-05-11 发布

中考数学专题10几何图形的归纳、猜想问题(含答案).doc

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中考数学专题10 几何图形的归纳,猜想,证明问题 ‎【前言】实行新课标以来,中考加大了对考生归纳,总结,猜想这方面能力的考察,但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察,所以大多放在填空压轴题来出。根据学生反映,这种问题一般较难,得分率很低,经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说,思考的方法是最重要的,所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。‎ 第一部分 真题精讲 ‎【例1】‎ 如图,+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设的面积为,的面积为,…,的面积为,则= ;=____ (用含的式子表示).‎ ‎【思路分析】拿到这种题型,第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好,将阴影部分标出,不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是,这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先所代表的三角形的底边是三角形的底边,而这个三角形和△是相似的.所以边长的比例就是与的比值.于是 ‎.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为(连接上面所有的B点,将阴影部分放在反过来的等边三角形中看)。那么既然是求面积,高相等,剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边都是平行的,于是自然可以得出 自然是所在边上的n+1等分点.例如就是的一个三等分点.于是(n+1-1是什么意思?为什么要减1?)‎ ‎【例2】‎ 在平面直角坐标系中,我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形,如图,菱形的四个顶点坐标分别是,,,,则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个;若菱形的四个顶点坐标分别为,,,(为正整数),则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数为_________(用含有的式子表示).‎ ‎【思路分析】此题方法比较多,例如第一空直接数格子都可以数出是48(笑)。这里笔者提供一种方法,其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数,所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数,再乘以4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过(-2n,0)(0,n),自然可以写出直线解析式为 ‎,斜率意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是?而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是,所有n个空白小三角形的面积之和为,相减之后自然就是所有格点正方形的面积,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是. ‎ ‎【例3】‎ 如图,,过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为.则第一个黑色梯形的面积 ;观察图中的规律,第(为正整数)个黑色梯形的面积 .‎ ‎【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形,而因为,所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1,下底是3,所以.第二个梯形面积,第三个是,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4. ‎ ‎【例4】‎ 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形A1B‎1C1D1,A2B‎2C2D2,A3B‎3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形A10B‎10C10D10四条边上的整点共有   个.‎ ‎【思路分析】此题看似麻烦,但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1,所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是就是80个.‎ ‎【例5】‎ 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜边的中点,向斜边做垂线,画出一个新的等腰直角三角形,如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止,此时这个三角形的斜边长为_____.‎ ‎【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度,并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度,包涵了8个45°。于是绕到第八次就可以和BC重叠了,此时边长为△ABC的,故而得解。‎ ‎【例6】‎ 如图,以等腰三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形,……,如此作下去,若,则第个等腰直角三角形的面积 ________(n为正整数).‎ ‎【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得,分子就是1,2,4,8,16这样的数列。于是 ‎【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题,只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题,首先就是要仔细读题,看清楚题目所求的未知量是什么,然后找出各个未知量之间的联系,这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中,哪些变了,哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时,不妨先写出第一项,第二项,第三项然后去找数式上的规律,如上面例6就是一例,如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方,反而会使问题复杂化,直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大,重在思考和分析的方法,还请考生细心掌握。‎ 第二部分 发散思考 ‎【思考1】‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,,,,‎ ‎,…,以为对角线作第一个正方形,以 为对角线作第二个正方形,以为对角线作第 三个正方形,…,如果所作正方形的对角线都在 y轴上,且的长度依次增加1个单位,顶点都在第一象 限内(n≥1,且n为整数).那么的纵坐标为 ;用n 的代数式表示的纵坐标: .‎ ‎【思考2】‎ 如图,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点处开始跳动,第一 次跳到点关于x轴的对称点处,接着跳到点关于y轴 的对称点 处,第三次再跳到点关于原点的对称点处,…,‎ 如此循环下去.当跳动第2009次时,棋子落点处的坐标是 ‎ . ‎ ‎【思考3】‎ 对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”,分裂成n个连续奇数的和,则自然数72的分裂数中最大的数是 ,自然数n的分裂数中最大的数是 .‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎ ‎ ‎【思考4】‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 一个质点在第一象限及轴、轴上运动,在第一秒钟,它从原点运动到,然后接着按图中箭头所示方向运动,即,且每秒移动一个单位,那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______‎ ‎【思考5】‎ 如图,将边长为的正方形纸片从左到右顺次摆放,其对应的正方形的中心依次为A1, A2, A3, ….①若摆放前6‎ 个正方形纸片,则图中被遮盖的线段(虚线部分)‎ 之和为 ;②若摆放前n(n为大于1的正 整数)个正方形纸片,则图中被遮盖的线段(虚线部分)之和为 .‎ 第三部分 思考题解析 ‎【思考1答案】2;‎ ‎【思考2答案】(3,-2)‎ ‎【思考3答案】13;2n-1‎ ‎【思考4答案】(5,0) ‎ ‎【思考5答案】10,‎